专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)

专题14 运用函数的图像研零点问题

一、题型选讲

题型一： 运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数

复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层(

)f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数

题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题

三类问题之间的联系：即函数的零点⇔方程的根⇔函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进

而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原

题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题

求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围

例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨

⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，

x ＜0，x ，x ≥0，

t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )

－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．

2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________.

3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，

，，

若函数()2()g x f x ax =-恰有2

个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．

4、(2017苏北四市期末）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

sin x ，x ＜1，

x 3

－9x 2

＋25x ＋a ，

x ≥1，

)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同

的公共点，则实数a 的取值集合为________．

．

专题14 运用函数的图像研零点问题

一、题型选讲

题型一： 运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

⎩⎨

⎧<≤-<≤-=4

3,43

2,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5

)(-=的零点的个数为 【答案】 5

【解析】因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，

根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1

2x

－1，x ＜1，ln x

x 2

，x ≥1，

)则函数y ＝|f (x )|－1

8

的零点个数为________．

【答案】 4

【解析】设g (x )＝ln x

x 2，则由g ′(x )＝x －ln x ·2x x 4＝1－2ln x x 3＝0，可得x ＝e ，所以g (x )在(1，e)上单调递增，

在(e ，＋∞)上单调递减，当x →＋∞时，g (x )→0，故g (x )在(1，＋∞)上的最大值为g (e)＝12e ＞1

8.在同一平

面直角坐标系中画出y ＝|f (x )|与y ＝1

8

的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．

易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x 轴．

题型二 运用函数图像研究复合函数零点个数

复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数

例3、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝

⎩⎨⎧

1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．

【答案】11 【解析】

解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x －2，1≤x ≤3

2

，4－2x ， 3

2

n －1,2n

)(n ∈N *

)，则x

2

n －1∈[1,2)，

又f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12n －1x ，

①当x 2n －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2

]，所以f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ＝12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )

－3＝2x ·12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2

.由于x

∈[2

n －1,

3·2

n －2

]，所以x ＝3·2

n －2

；

②当x 2n －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n

)，所以f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ＝12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3

＝2x ·12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n

)，

所以无解．

综上所述，x ＝3·2n －2

.由x ＝3·2

n －2

∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)

上零点的个数是11.