投入产出分析第六章 动态投入产出表

投资品，资本系数
；第二类部门的产品不能用
作投资品，其对应的资本系数全为零。
因此B通常是奇异矩阵（不可逆）。
投入产出分析
2020/9/29
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一、离散型动态投入产出模型
➢ 处理方法是通过行调整把B分成四块：
相应地，
由式（7）得：
一、离散型动态投入产出模型
❖ 由此得出： ❖ 解得：
❖
❖
根据上面两个公式可以逐年正向地推出所有规划年度的总产出向量。
➢ 此外，还可采用正向和反向同时推算，通过调整中间某个 年份的参数使之联结的办法进行求解。
一、离散型动态投入产出模型
❖ 动态逆及其经济解释
1.在各年度结构系数矩阵A和B不变情况下 一般的离散型动态投入产出模型的矩阵形式为：
令
，则：
（8）
在动态投入产出模型中，为了在第 m 年得到单位最终净产 品，不仅第 m 年有关部门的产量要有所增加，而且还会影
门产量的完全需要系数矩阵为
，以及第1年最终
净产品对第1年各部门产量的完全需要系数矩阵为Γ-1。 上述
结果可从矩阵求逆的角度得出。
一、离散型动态投入产出模型
➢ 若计划期的长度为m年，则式（8）可写成：
其中，
。矩阵形式为：
一、离散型动态投入产出模型
➢令
则
（11）
即为离散型动态投入产出模型的动态逆：
一、离散型动态投入产出模型
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
➢ 实际上，当一个工程项目开始建设时，首先进行建筑工程 ，然后再投入各种机器设备，最后进行设备等的安装和投 入流动资产。所以dij通常会随着投资提前期s的变化而变化 。如果考虑投资的部门产品构成系数随投资提前期变化， 即将dij变为dij(s) ，则多年时滞和多次性投资的动态投入产 出模型可以进一步表示成：
型的经济意义完全相同。
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
➢ 时滞是经济学中的一个重要概念，它反映一种经济现象与同它有联系 的另一种经济现象在时间上延后的情况。
➢ 对某一个部门来说，时滞长度也与工程规模、工程的现代化程度有关 。大型的、自动化程度很高的工厂，投资的时滞就比小型的、自动化 程度较低的工厂长。
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
❖ 2.考虑多年时滞和多次性投资的动态投入产出模型
（1）有关投资的几个系数 ➢ 平均投资系数
不同部门单位产值占用的资金数额相差很大。 如：全国规模以上部分工业企业资金占用情况（2008年）
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
❖ 2.考虑多年时滞和多次性投资的动态投入产出模型
生产性投资产品
用于增加生产性固定资产的产品
建筑安装工程 设备工具器具购置
用于增加库存的产品
原材料、辅助材料、燃料 等的储备增加量
一、离散型动态投入产出模型
➢ 我们可以得到以下关系式：
➢ Kij 表示第 i 部门用于满足第 j 部门扩大生产需要的投资品 的数量。
➢ 则有：
➢ 为第 j 部门的总产出增加 ∆xj 需要第 i 部门产品作为新 增资本的数量，bij表示为使第 j 部门的总产出增加一个单位 所需的第 i 部门产品作为新增资本的数量，通常称为资本 系数，B为资本系数矩阵。
响到其他年度各部门的产量。这是由于为使某个年度产量 增加，在上一年度就要为增加生产而进行必要的投资。
一、离散型动态投入产出模型
➢当
时，
（9）
为本年度最终净产品的需求量， 为第 m 年最终净
产品对当年各部门产量的完全需要系数矩阵。
➢当
时，
（10）
将式（9）代入式（10）可得：
此时，第m年最终净产品对第 m− 1年各部门产量的完全需 要系数矩阵为Γ-1BΓ-1。 ➢同样地，我们可以分别得出第m年最终净产品对第m,m1,m-2, m-3, …, 2,1 年各部门产量的完全需要系数矩阵：
三、连续型动态投入产出模型
❖ 模型结构
➢
假设第j部门的总产出随时间的变化率为
x j (t)
dx j (t) dt
，则
为实现第j部门在时刻 t t 的总产出水平 xj (t t) ，对时
刻t的第i部门投资品的需求量为：
kij (t) bij[x j (t t) x j (t)] bij x j (t)t
（2）
（3） 矩阵形式为：
（4） （4）式即为一般的离散型动态投入产出模型的基本结构。其中A、B是常
系数矩阵，称为模型的结构系数矩阵。
一、离散型动态投入产出模型
模型假定： 假定一：投资的提前期为一年； 假定二：结构系数矩阵A与B在所讨论的时间区间范围内固 定不变； 假定三：各部门没有过剩的生产能力，只有通过投资才能 满足扩大生产规模的要求。 假定四：动态投入产出模型只考虑经济增长的情况，即假定 总成立。
➢ 分析：
• Φ-1为分块矩阵，共有m×m 个子块，每个子块为n×n 的子 矩阵。第j个列块上的子块表示为得到第j个年度单位最终净 产品，对各个年度各部门产品的完全需要量。
• 在Φ-1 的(p,q) 位置上的n×n 的子块中，第i行第j列的元素代 表为了在第q年得到第j个部门单位最终净产品对第p年第i部 门产品的完全需要量。
令
，假定 可逆，可得：
（6）
在实际经济规划工作中，动态投入产出模型的反向 递推解有很大的应用价值。
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一、离散型动态投入产出模型
➢模型求解：假设规划的目标期为第m+1年，为得到这m个
年度的各部门差值，我们可以推导：
正向递推法：
由式（4）可以推出
（7）
将国民经济部门分为两类：第一类部门的产品可以用作
提要
❖离散型动态投入产出模型 ❖考虑多年时滞和多次性投资的离散型动态
投入产出模型 ❖连续型动投入产出模型
一、离散型动态投入产出模型
❖ 基本思想
➢ 第 t 年的总产出 X 与前几年的最终产品 F 中的生产性投资 品有着密切的联系，因此需要把生产性投资品从最终产品 中分离出来。
最终产品
最终净产品
居民个人消费品 社会集体消费品 增加非生产性固定资产（如住宅） 增加国家储备 净出口
一、离散型动态投入产出模型
❖ 分析：
➢ 这两种方法假定的初始条件，反向递推法要求事先给出目 标期对各部门产值的要求，即给出将来的目标；正向递推 法要求事先给出基期各部门的产值及最终净产品的数值。
➢ 但这两种方法各有优缺点，因此在实际应用中，都需对目 标期的要求、规划期内各部门的最终净产品数量以及模型 中的各种系数进行反复修改，然后才能得出基本上符合我 们要求的规划期各部门的计划指标。
事实上，由于技术进步，新增生产能力的资本系数与原有 生产能力的资本系数相差很大。因而资本系数通常在不同 时期变化很大，其稳定程度远比直接消耗系数差。
一、离散型动态投入产出模型
➢模型求解：假设规划的目标期为第m+1年，为得到这m个
年度的各部门差值，我们可以推导：
反向递推法：
由式（4）可以推出
（5）
投入产出分析-动态投入产出模型
第六章 动态投入产出模型
问题的提出：
➢ 为了深刻地研究国民经济各个部门之间的联系及其数量依 存关系；
➢ 揭示前一时期最终需求中各部门的投资品与后面时期各部 门生产规模扩大数额之间的联系。
➢ 动态模型分析与研究若干时期的再生产过程，研究各个时 期再生产过程之间的相互联系，其内生变量涉及到很多时 期（年份）。
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
❖ 2.考虑多年时滞和一次性投资的离散型动态投入产 出模型
➢ 假设所有部门的投资都是一次性的，并且第j部门的投资时 滞为ηj年，则可建立模型：
➢ 该模型是一个一阶差分方程组，求解过程很烦琐，实际应 用性差。
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型 ❖ 假设各部门的投资时滞均相等，即ηj =ξ（j = 1,2,…,n）,计 划期的长度为m年，则可得到如下方程组：
2.在结构系数矩阵随时间变化情况下 当结构系数矩阵A、B的元素不是常数而是随时间变化时：
此时，离散型动态投入产出模型为： 令 则：
一、离散型动态投入产出模型
➢ 若计划期为m年，则上式可展开为：
矩阵形式为：
一、离散型动态投入产出模型
➢ 同理可得到： 在变系数情况下的动态逆Φ-1的表达式为：
其中， ➢ 在变系数动态模型下，动态逆的经济意义与常系数动态模
➢ 通过“投资—扩大生产”这一关系，各个年份的再生产过 程便动态地联系在一起。
一、离散型动态投入产出模型
❖ 离散型动态投入产出模型及其求解方法
➢ 模型结构：
假设资本的平均时滞为1年，即各部门投资的提前期均为一年，使t+1年 产量增加所需要的资本品应在第 t 年投入。由投入产出平衡关系得：
（1）
根据资本系数的定义，有 将（2）代入（1）整理得：
其中，
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
➢ 类似的，可以推到出公式： Φ-1即为各部门的投资时滞均为ξ时的动态逆矩阵。
➢ 例如，当 ξ=2 时，有以下矩阵：
➢即
，从而可以得到2年时滞情况下的计算公式：
（12） 该模型要求在求解时适当延长计划期的长度。
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
我们用 dij 表示在第 j 部门投资额中第 I 部门投资品所占的 比重，并称为投资额的部门产品构成系数。我们可通过过 去年份的相关统计资料来确定这一系数。
二、多年时滞和多次性投资的离散型动态投入产出模型
❖ 2.考虑多年时滞和多次性投资的动态投入产出模型
（2）模型的基本形式