4-1马尔可夫过程PPT课件
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《马尔可夫过程 》课件
马尔可夫过程的应用实例
隐马尔可夫模型
隐马尔可夫模型是一种概率模型，常用于语音 识别、手写识别和自然语言处理等领域。
马尔可夫链蒙特卡罗法
马尔可夫链蒙特卡罗法是一种随机模拟方法， 用于估计复杂概率分布的数值解。
马尔可夫决策过程
马尔可夫决策过程是一种用来模拟决策问题的 数学框架，常应用于人工智能和运筹学领域。
马尔可夫过程的应用
自然语言处理
马尔可夫过程在自 然语言处理中被广 泛应用于语言模型 和信息检索等领域。
机器学习
马尔可夫过程是许 多机器学习算法中 的核心概念，如隐 马尔可夫模型和马 尔可夫决策过程。
金融市场分析
马尔可夫过程被用 于预测金融市场的 变化趋势和风险评 估。
生态学模型
马尔可夫过程能够 模拟生态系统中的 物种迁移和数量变 化，帮助研究者理 解生态系统的动态。
1 唯一性
2 可逆性
马尔可夫链的过渡概率是唯一确定的，无 论起始状态如何。
某些马尔可夫链具有可逆性，可以在时间 上逆转而保持同样的概率性质。
3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ态分布
4 马尔可夫链收敛于定态分布
马尔可夫链能够收敛于某个稳定的定态分 布。
随着时间的推移，马尔可夫链的状态会趋 向于定态分布，并在该分布上进行随机转 移。
PageRank算法
PageRank算法是根据网页之间的链接关系进行 排名的算法，被Google用于搜索引擎的搜索结 果排序。
结论
马尔可夫过程是一种强大的概率工具，它在不同的领域有着广泛的应用。深 入研究马尔可夫过程可能会带来更多的应用和发现。
参考文献
• [1] 马尔可夫过程 - 维基百科 • [2] 黄永宏《马尔可夫过程与随机游动》 • [3] 李航《统计学习方法》第10章
《马尔可夫过程 》课件
总结词
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
《马尔可夫链分析法》课件
特点
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
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CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫过程
P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表1)。 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
2
表1 马尔可夫过程的分类
分类名称 时间参数集T 状态空间I
离散
连续
离散 (n=0,1,2,…)
1、马尔可夫过程的一般概念 （1）、定义 t T ，若在 t1, t2 , 设有一随机过程X(t)，
时刻对X(t)观测得到相应的观测值
x1, x2 ,
, tn 1, tn t1 t2
, xn 1, xn
tn 1 tn T
满足条件
（7-61）
或
（7-62）
则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。其中
连续 (t≥0)
马尔可夫链
马尔可夫序列
可列马尔可夫过程
马尔可夫过程
3
1.1
马尔可夫序列
1、马尔可夫序列的定义 定义：若对于任意的n，随机序列{X(n)}的条件分布函数满足 则称此随机序列{X(n)}为马尔可夫序列。 条件分布函数FX(xn|xn-1)常被称为转移分布。 对于连续型随机变量，由上式可得
f X ( xn | xn 1, xn 2 , , x1 ) f X ( xn | xn1 )
因此，利用条件概率的性质
(2)
f X ( x1, x2
, xn ) f X ( xn | xn 1, xn 2 ,
, x1 )
f X ( x2 | x1 ) f X ( x1 ) (3)
结合式(2)可得
14
2）一维分布
马氏链在第n步所处状态为aj的无条件概率称为马氏链的“一维分布”， 也称为“状态概率”。表示为
最新第5章马尔可夫过程ppt课件
显然，绝对分布与初始分布和n步转移概率有如下关系：
q ( jn )q i ( 0 )p i ( jn )( 0 ) , n 0 ,i,j S i
或
q(n) q(0)P(n)(0)
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
事实上
q(n) j
P( X n
j)
P(
( X 0 i), X n j)
i
一直推下去，有 P ( k 1 ) ( n ) P ( n ) P ( n 1 )P ( n k ) , n , k 0
其分量形式为
p i ( j k 1 ) ( n )
p i j 1 ( n ) p j 1 j 2 ( n 1 )p j k j ( n k ) ,n , k 0 ; i , j S
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
解 根据题设，这个问题可以看成以S={0,1,2,…,c}为状态 空间的随机游动{Xn, n≥0}，质点从a点出发到达0状态先 于到达c状态的概率就是甲先输光的概率.设0<j<c,uj 为质点从j出发到达0状态先于到达c状态的概率.由全概率 公式有
j 1j 2 j k
在上式中把 k+1换成 k，便可得如下结论 ：
定理5.2.2 马尔可夫链的k 步转移概率由一步转移概率所 完全确定.
5.2 马尔可夫链的转移概率与概率分布
3. 马尔可夫链的分布
def
1)
初始分布称
q(0) i
P(X0i),iS为马尔可夫链{Xn,
n≥0}的
初始分布；
称第i个分量为
P(Xt1 i1, Xt2 i2, , Xtn in)
P( (X0 i), Xt1 i1, Xt2 i2, , Xtn in)
马尔可夫介绍PPT课件
100 0 5 15 70
合计 205 239 135
78
补充 100 305 339 235
178
这些数字怎么来的?如:175=250*0.7
8
2021/2/11
t=2
305 213 61 0 339 51 271 0 235 0 35 176 178 0 9 27
合计 264 376 203 补充 100 364 476 303
外部招聘
A
将提升到上一层次
退休+辞职
B
(提升受阻) 将提升到本层次
A现有人员 B可提升人员
11
2021/2/11
管理人员接替模型
12
2021/2/11
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
马尔可夫法
基本思路：通过收集历史数据，找出组织过去人事变动的规律
步骤
1.根据组织的历史资料，计算出人员流动的平均概率； 2.根据计算出来的概率，建立一个人员变动矩阵表； 3.根据期末的种类人数和所建立的变动矩阵表，预测下一期组
织可供给的人数。
例子：某企业在2000－2002年的三年时间中，管理人员从第二级提升到 第一级的人数分别为10人，12人和9人，而这三年中管理人员第二级的人 数分别是52、55和50。那么，这个企业管理人员从第二级提升到第一级 的概率是：(10＋12＋9/52+55+50)*100%=26.1%。同样可以计算出其他每 一类员工从一个级别流向另一个级别的平均概率。接着可以建立人员变 动矩阵表。
1
随机过程马尔科夫过程 ppt课件
3442马尔可夫链的状态分类ijij3542马尔可夫链的状态分类ii1称状态i为非常返的ii不返回到i期望值表示由i出发再返回到i的平均返回时间iinfiiii定义3642马尔可夫链的状态分类首达概率与n步转移概率有如下关系式定理44对任意状态iijij定义3742马尔可夫链的状态分类ijij3842马尔可夫链的状态分类引理42周期的等价定义gcdgcd例例4848设马尔可夫链的状态空间i123转移概率矩阵为求从状态1出发经n步转移首次到达各状态的概率3942马尔可夫链的状态分类121212124042马尔可夫链的状态分类同理可得11134142马尔可夫链的状态分类以下讨论常返性的判别与性质数列的母函数与卷积的卷积的母函数4242马尔可夫链的状态分类定理45状态i常返的充要条件为规定则由定理44iiiiii4342马尔可夫链的状态分类iiiiii4442马尔可夫链的状态分类4542马尔可夫链的状态分类ii同理ii4642马尔可夫链的状态分类定理47设i常返且有周期为d则其中ndiindii4742马尔可夫链的状态分类由定理47知对d的非整数倍数的nndiindiindii4842马尔可夫链的状态分类子序列所以d1从而i为非周期的i是遍历的ndiindiilim而由定理limlimndii4942马尔可夫链的状态分类状态的可达与互通状态i与状态j互通ij
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
马尔科夫过程介绍26页PPT
For the vector q, we can verify the below equation(with no rounding error)
When the system is in state q, there is no change in the system from one measurement to the next. A vector q like this called a steady-state vector(or equilibrium vector)for P
4.9 APPLICATIONS TO MARKOV CHAINS
1211101 1121100210 应用物理系
王允磊
What is Markov chains?
The Markov chains described in this section are used as mathematical models of a wide variety of situations in biology, business, chemistry, engneering, physics, and elsewhere. In each case, the model is used to describe an experiment or measurement that is performed many times in the same way, where the outcome of each trial of the experiment will be one of several specified possible outcomes, and where the outcome of one trial depends only on the immediately preceding trial.
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
Nhomakorabea2
计算
通过动态规划等方法求解得到某个状态或决策的价值函数。
3
马尔可夫链收敛定理
当状态转移矩阵满足一定条件时，价值函数将收敛于稳定状态。
马尔可夫决策的解法
动态规划方法
通过价值迭代或策略迭代，逐步优化价值函数和决策策略。
Q-学习算法
基于贝尔曼方程，通过不断更新Q值逼近最优策略。
SARSA算法
基于行动者-评论家模型，是一种基于完整算法更新的在线式强化学习方法。
马尔可夫决策过程（MDP）
定义
组成部分
马尔可夫决策过程是一种基于状态和动作的数学模 型，描述代理通过作出决策来影响环境状态的过程。
由状态、决策、即时奖励、状态转移函数和折扣因 子组成。
状态转移矩阵
描述状态之间的转移概率和奖励期望，是马尔可夫 决策的核心。
价值函数
1
定义
价值函数是衡量某个状态或决策的好坏程度的函数，用于指导决策。
案例分析
马尔可夫决策的应用举例
自主驾驶、机器人控制、智能电网等领域中广泛应 用。
基于马尔可夫决策的实际问题求解
根据不同行动策略，制定优化日常商场布局策略等。
总结
1 优缺点
马尔可夫决策具有计算代价高、状态空间巨 大等优缺点。
2 未来发展趋势
随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫决 策将在更多领域得到应用。
马尔可夫决策
在复杂的决策场景中，如何做出最佳决策？本课件将会详细介绍马尔可夫决 策，它是一种强大的数学工具，用于预测和优化决策过程。
概述
定义
马尔可夫决策是决策过程中 基于最优化准则进行决策的 一种数学模型。
特点
马尔可夫决策过程具有状态 转移矩阵、即时奖励等特点。
计算
通过动态规划等方法求解得到某个状态或决策的价值函数。
3
马尔可夫链收敛定理
当状态转移矩阵满足一定条件时，价值函数将收敛于稳定状态。
马尔可夫决策的解法
动态规划方法
通过价值迭代或策略迭代，逐步优化价值函数和决策策略。
Q-学习算法
基于贝尔曼方程，通过不断更新Q值逼近最优策略。
SARSA算法
基于行动者-评论家模型，是一种基于完整算法更新的在线式强化学习方法。
马尔可夫决策过程（MDP）
定义
组成部分
马尔可夫决策过程是一种基于状态和动作的数学模 型，描述代理通过作出决策来影响环境状态的过程。
由状态、决策、即时奖励、状态转移函数和折扣因 子组成。
状态转移矩阵
描述状态之间的转移概率和奖励期望，是马尔可夫 决策的核心。
价值函数
1
定义
价值函数是衡量某个状态或决策的好坏程度的函数，用于指导决策。
案例分析
马尔可夫决策的应用举例
自主驾驶、机器人控制、智能电网等领域中广泛应 用。
基于马尔可夫决策的实际问题求解
根据不同行动策略，制定优化日常商场布局策略等。
总结
1 优缺点
马尔可夫决策具有计算代价高、状态空间巨 大等优缺点。
2 未来发展趋势
随着人工智能技术的不断发展，马尔可夫决 策将在更多领域得到应用。
马尔可夫决策
在复杂的决策场景中，如何做出最佳决策？本课件将会详细介绍马尔可夫决 策，它是一种强大的数学工具，用于预测和优化决策过程。
概述
定义
马尔可夫决策是决策过程中 基于最优化准则进行决策的 一种数学模型。
特点
马尔可夫决策过程具有状态 转移矩阵、即时奖励等特点。
第4章马尔可夫链12PPT课件
称概率向量
P T (n) ( p1 (n), p2 (n), ), (n 0)
p j P{ X 0 j}和 Pj (n) P{ X n j}, ( j I )
为{Xn,nT}的初始概率和绝对概率，并分别称{pj, j I} 和 { p j (n), j I } 为 { X n , n T } 的 初 始 分 布 和 绝 对 分 布 ， 简 记 为 { pj } 和 { p j (n)} 。
第4章 马尔可夫链
• 马尔可夫过程按其状态和时间参数是连 续的或离散的，可分为三类：
• （1）时间、状态都是离散的马尔可夫 过程，称为马尔可夫链。
• （2）时间连续、状态离散的马尔可夫 过程，称为连续时间的马尔可夫链。
• （3）时间、状态都连续的马尔可夫过 程。
1
整体概述
概况一
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p(nl kj
)(m
l)
p(l ) ik
(m)
p p (nl) (l)
kj
ik
kI
kI
10
(2)在(1)中令l 1,kk1得
p(n) ij
p p(n1) ik1 k1j
k1I
这是一个递推公式，故可递推得到
p(n) ij
p p ik1 k1k2
k1I kn1I
pkn1j
(3)在(1)中令l=1，利用矩阵乘法可证。
定义2 称条件概率
pij P{Xn1j|Xni}
为马尔可夫链{Xn,nT}在时刻n的一步转移概率，其
中i, jI，简称为转移概率。
5
一 般 地 ， 转 移 概 率 pij(n)不 仅 与 状 态 i,j有 关 ， 而 且 与 时 刻 n有 关 。 当 pij(n)不 依 赖 于 时 刻 n时 ， 表 示 马 尔 可 夫 链 具 有 平 稳 转 移 概 率 。 定 义3 若 对 任 意 的 i,jI， 马 尔 可 夫 链 {Xn,nT}的 转 移 概 率 pij(n)与 n无 关 ， 则 称 马 尔 可 夫 链 是 齐 次 的 ， 并 记 pij(n)为 pij 。
P T (n) ( p1 (n), p2 (n), ), (n 0)
p j P{ X 0 j}和 Pj (n) P{ X n j}, ( j I )
为{Xn,nT}的初始概率和绝对概率，并分别称{pj, j I} 和 { p j (n), j I } 为 { X n , n T } 的 初 始 分 布 和 绝 对 分 布 ， 简 记 为 { pj } 和 { p j (n)} 。
第4章 马尔可夫链
• 马尔可夫过程按其状态和时间参数是连 续的或离散的，可分为三类：
• （1）时间、状态都是离散的马尔可夫 过程，称为马尔可夫链。
• （2）时间连续、状态离散的马尔可夫 过程，称为连续时间的马尔可夫链。
• （3）时间、状态都连续的马尔可夫过 程。
1
整体概述
概况一
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p(nl kj
)(m
l)
p(l ) ik
(m)
p p (nl) (l)
kj
ik
kI
kI
10
(2)在(1)中令l 1,kk1得
p(n) ij
p p(n1) ik1 k1j
k1I
这是一个递推公式，故可递推得到
p(n) ij
p p ik1 k1k2
k1I kn1I
pkn1j
(3)在(1)中令l=1，利用矩阵乘法可证。
定义2 称条件概率
pij P{Xn1j|Xni}
为马尔可夫链{Xn,nT}在时刻n的一步转移概率，其
中i, jI，简称为转移概率。
5
一 般 地 ， 转 移 概 率 pij(n)不 仅 与 状 态 i,j有 关 ， 而 且 与 时 刻 n有 关 。 当 pij(n)不 依 赖 于 时 刻 n时 ， 表 示 马 尔 可 夫 链 具 有 平 稳 转 移 概 率 。 定 义3 若 对 任 意 的 i,jI， 马 尔 可 夫 链 {Xn,nT}的 转 移 概 率 pij(n)与 n无 关 ， 则 称 马 尔 可 夫 链 是 齐 次 的 ， 并 记 pij(n)为 pij 。
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
报酬函数与策略
报酬函数
描述系统在某一状态下采取某一行动后所获得的报酬或收益，通常用$r(s, a)$表示。报酬函数可以是正值、负值或零 ，取决于具体的决策问题和目标。
策略
描述了在每个状态下选择行动的规则或方法，通常用$pi(a|s)$表示在状态$s$下选择行动$a$的概率。策略可以是确 定的或随机的，根据问题的性质和求解方法的不同而有所选择。
约束处理方法
处理约束的方法包括拉格朗日松弛、动态规划中的约束处理等。
应用场景
约束条件下的马尔可夫决策过程在资源分配、任务调度等问题中有 广泛应用。
连续时间马尔可夫决策过程
连续时间模型
与离散时间马尔可夫决策过程 不同，连续时间马尔可夫决策
过程的时间参数是连续的。
转移概率与决策策略
在连续时间模型中，转移概率 和决策策略需要适应连续时间
值函数
描述了从某一状态开始遵循某一策略所获得的期望总报酬，通常用$V^pi(s)$表示在状态$s$下遵循策略 $pi$的值函数。值函数是评估策略优劣的重要指标，也是求解马尔可夫决策过程的关键所在。
03 值函数与最优策略求解
值函数定义及性质
值函数定义
在马尔可夫决策过程中，值函数用于评估从 某一状态开始，遵循某种策略所能获得的期 望总回报。它分为状态值函数和动作值函数 两种。
强化学习
强化学习问题可以建模为MDP，通过 智能体与环境交互来学习最优策略。
02 马尔可夫决策过程模型
状态空间与行动空间
状态空间
描述系统所有可能的状态，通常用$S$表示。在马尔可夫决策过 程中，状态空间可以是离散的或连续的。
行动空间
描述在每个状态下可采取的所有行动，通常用$A$表示。行动空间 也可以是离散的或连续的。
第5章 (15)教材配套课件
第5章 马尔可夫过程
对于 T = { 0 ， 1 ， 2 ，…}的马氏链 X = { X ( 0 )， X ( 1 )， X ( 2 )，…}，我们常将它记为 X ={X n ， n ≥0 }。对 此，容易证明，马氏性( 5.1.6 )式等价于对任一 n ≥0 ， i 0 ， i 1 ，…， i n +1 ∈S 均有
第5章 马尔可夫过程 对于 X 的 k 步转移概率矩阵 P (k ) (n )，由概率的定义易
知 p( k )ij(n ) ≥0 ，进而，由完全可加性可得
因此 P (k ) (n )均是随机矩阵。
第5章 马尔可夫过程
从马氏链的定义(5.1.6 )式出发，我们在( 5.2.1 )式中引 入了 X 的 k 步转移概率，而由马氏链的等价定义(5.1.7 )式 知，我们似乎只需要引入 X 的一步转移概率即可。由于定 义(5.1.6 )式和( 5.1.7 )式是等价的，因此易于猜测 k 步转移 概率与一步转移概率之间应是等价的，即可以互相表示。为 此，我们先来证明以下称之为 Chapman-Kolmogorov (简称 为 C－K )方程的一个公式。
容易验证，随机矩阵具有如下性质。
第5章 马尔可夫过程
性质 5.2.1 ( 1 )随机矩阵 P 的任意次幂 P m ( m ≥0 )均是 随机矩阵;
(2 )如果随机矩阵 P 的各行皆对应相等，即 pij= p j ，( ∀ i ， j )，则
为了描述马氏链 X ，由其定义( 5.1.6 )式，我们引入记号
第5章 马尔可夫过程
对齐次马氏链，由(5.2.4 )式易知， k 步转移概率 p( k ) ij(n )也与时间起点 n 无关，简记为p( k ) ij 。因此，在讨论转移概率时，我们就可假定时间起点为零， 即
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解
qij
lim Pij(Δt)
Δto
Δt
δi j
qij 0 j
λ
λ
0
0 0
Q
μ
(λ μ)
λ
0
0
0
μ
(λ μ)
λ
0
0
0
μ
(λ μ)
λ
0
0
0
0
0
主要内容
➢ (纯不连续)马尔可夫过程 ➢ 马尔可夫过程的数学描述 ➢ 马尔可夫过程的转移概率方程 ➢ 马尔可夫过程的状态概率方程 ➢ 马尔可夫过程的稳态分布 ➢ 典型马尔可夫过程
pn0(t)
p01(t) p11(t)
pn1(t)
p0n(t) p1n(t)
Байду номын сангаасpnn ( t)
跳跃强度矩阵： (转移率矩阵)
qij = p'ij(t)
Q
q00 q10
q01 q11
qn0 qn1
q0n q1n
qnn
和为零 非正
状态概率矩阵： （状态矢量）
w (t) w0(t), w1(t), ，wn(t)
其中：
qij
lim Pij(Δt) δi j
Δto
Δt
称为参数连续状态
离散马尔可夫过程的无穷小转移率 或 跳跃强度。
性质：
qij 0
j
qi1 1+qii
qi2
i
qi3
qi4
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度矩阵
跳跃强度(转移率)矩阵：
Q
q00 q10
q01 q11
qn0 qn1
每一行的所有元素之和为零
Pi j ( ) 0,
i, j I , t 0
Pi j ( ) 1,
jI
iI,t 0
lim 0
Pi j (
) ij
0, 1,
i j i j
➢pij(t)是t 的一致连续函数且可微
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度Q
定 对于一个很小的正的Δt
义 Pij(Δt) Pij(0) qij Δt o(Δt) δ ij qij Δt o(Δt)
右移动一格；
若在时刻 t 质点位于5，则以后远停留在5；
在(t+Δt)发生其他移动的概率是o(Δt)。
求 跳跃强度矩阵。
例
例1：确定跳跃强度
随机游动
λΔt+o(Δt)
1
x
1
2
3
4
5
μΔt+o(Δt)
游动规则，(t, t+Δt)中，右移一格概率为λΔt+o(Δt)，左移
一格概率为μΔt+o(Δt)；
马尔可夫过程
马尔可夫性：现在状态一确定，将来与过去无关 马尔可夫过程：若 t1<t2<...<tn+1∈T
F (x / x , x , x ) F (x / x ) tn1 /t1 ,t2 tn
tn1
t1 t2
tn
tn1 / tn
tn1
tn
P(x1 , xm , xm1 ) P(xm1 / xm ) P(x2 / x1 ) P(x1 )
服务台只有一个服务员，顾客所需服务时间是负指数分布的 随机变量，平均服务时间是1/μ；
若服务台空闲，则到达的顾客立刻得到服务； 若服务员正忙，则到达的顾客必须排队等候； 若顾客到达时有N人在等候，就离开且不再回来,则….
问： 1）t 时刻系统内有n个顾客的概率
2） 队列长度分布？等候时间分布？多服务员？多队列?...
例
例1：确定跳跃强度
λΔt+o(Δt)
1
x
1
2
3
4
5
μΔt+o(Δt)
在[1,5]上有个质点在整数点上作随机游动。
质点任何时刻都可能发生移动
若在时刻 t 质点位于2~4，则在(t+Δt)中以概率λΔt+o(Δt)
向右移动，以概率μΔt+o(Δt)向左移动
若在时刻 t 质点位于1，则在(t+Δt)中以概率λΔt +o(Δt)向
损坏后的修复时间： 典型地也是一个负指数分布的随机变量 平均修复时间为 1/μ；
问： 1) 一个系统正常启动后, 10小时以后正常工作的概率？
2) 系统平均无故障时间MTBF？平均修复时间MTTR？…
典型问题：排队论
N(t) t
到达某个服务台的顾客流是一个强度为 λ 的泊松过程，单位 时间到达服务台的平均人数为λ；
转移概率函数非负，按 j 求和为 1
定 义
转移概率矩阵： P(t)
行 p (t)：前向转移
p00(t) p10(t)
p01(t) p11(t)
i
列 s (t)：后向转移 j
pn0(t) pn1(t)
p0n(t) p1n(t)
pnn ( t)
马尔可夫过程的数学描述： pij(t)
t2 t1
对角线上各元素为非正
非对角线（i≠j）上的元素非负
q0n q1n
qnn
qi1 1+qii
qi2
i
qi3
qi4
马尔可夫过程的数学描述
齐次纯不连续马尔可夫过程 的数学描述：
转移概率： p (t)， i,j∈T
ij
转移概率矩阵
P(t)
p00(t) p10(t)
p (t)：前向转移 i
s (t)：后向转移 j
主要内容
➢ (纯不连续)马尔可夫过程 ➢ 马尔可夫过程的数学描述 ➢ 马尔可夫过程的转移概率方程 ➢ 马尔可夫过程的状态概率方程 ➢ 马尔可夫过程的稳态分布 ➢ 典型马尔可夫过程
典型问题：(设备、系统)可靠性分析
正常
正常
正常
正常
维修
维修
维修
t
从可靠性的角度，有"正常工作"或"修复中"两种状态
正常工作时间： 典型地是一个负指数分布的随机变量 平均正常工作时间为1/λ；
马尔可夫过程的数学描述：w(t)，P(t)
定 状态概率：离散状态马氏过程，状态空间I，称其在 t 时刻 义 过程取 j 状态的概率为wj(t) = P{ξ(t)=j}
状态概率矩阵： w (t) w0(t), w1(t), ，wn(t)
定 转移概率： P{ξ(t2)=j/ξ(t1)=i } ： 义 齐次条件：转移概率只是时间差的函数 Pij(t2-t1)
马尔可夫过程
马尔可夫性：现在状态一确定，将来与过去无关
定 纯不连续马尔可夫过程：参数连续、状态离散 义
P ξ(tm1 ) j / ξ(t1 ) i1 , ,ξ(tm ) im P ξ(tm1 ) j / ξ(tm ) im
齐次特性：
P ξ(t2) j / ξ(t1 ) i pij(t2 t1 )
马尔可夫链：离散参数、离散状态
纯不连续马尔可夫过程：参数连续、状态离散
定 P ξ(tm1 ) j / ξ(t1 ) i1 , ,ξ(tm ) im
义
P ξ(tm1 ) j / ξ(tm ) im
齐次特性： P ξ(t2 ) j / ξ(t1 ) i pij(t2 t1 )
马尔可夫过程的数学描述：跳跃强度
定 对于一个很小的正的Δt：