河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
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常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
附录 二次曲面
2
2
2
河海大学理学院《高等数学》
x y z 2 2 1 2 a b c (2) 用坐标面 yoz( x=0 ) 与曲面相截
2 y2 2 z2 1 b c x 0
2
2Leabharlann 2截得中心在原点 的双曲线. 实轴与 y 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
x0
河海大学理学院《高等数学》
二 次 曲 面
河海大学理学院《高等数学》
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以 综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
三、双曲面
x y z 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c (1) 用坐标面 xoy(z=0) 与曲面 相截
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
截得中心在原 点 O(0,0,0) 的 椭圆.
z0
河海大学理学院《高等数学》
x y z 2 2 1 2 a b c 与平面 z=z1 的交线为 2 x2 y2 z1 2 2 1 2 a b c z z 1 为椭圆. 当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
河海大学理学院《高等数学》
（2）用坐标面xoz( y=0)与曲面相截 x y z x 2 2 pz 2 p 2q 截得 为抛物线 z y 0 与平面 y=y1 的交线为
2 2 y1 为抛物线 . z x 2 p 2 q 它的轴平行于z轴 x y y 2 y1 1 顶点 0, y1 ,
8.9 常见的二次曲面
y2 b y2
2 2
z2 c
2
x2 a
2
1
x a
用 x h ( h a ) 截椭球面得截痕曲线
z2
2
b c xh
h2 a
2
1
曲面在 xy , xz 平面上的截痕曲线为
x2 a
2
y2 b
2
1
x2 a
2
z2 c
2
1
z0
y0
是一对正交的双曲线 , 有公共的实轴 x 轴 , 实轴长为 a , 顶点 ( a , 0 , 0)
图形: 不妨设 p , q > 0 用 x h ( h 0) 截曲面得截痕曲线
h2 y 2 2q( z ) 2p xh
一族顶点在 xz 平面上的抛物线
用 y 0 截曲面得截痕曲线
x 2 2 pz
z
y0
双曲抛物面也常称为马鞍面 马鞍面的另一种形式 :
x
o
z xy
y
例 画出下列曲面所界立体的图形
曲面在 yz , xz 平面上的截痕曲线为
y 2qz
2
x 2 2 pz
x0
y0
一对正交的抛物线 , 都以原点为顶点
y2
z
o
x
y
5º 双曲抛物面 ( 马鞍面 )
x2 y2 2z p q ( pq 0)
特点: (1) 无界曲面
(2) 关于xz , yz 平面 , z 轴对称 , 无对称中心
y b
2 2
z c
2 2
1
x a
2 2
z c
2 2z1x0y0xo
2 2
z2 c
2
x2 a
2
1
x a
用 x h ( h a ) 截椭球面得截痕曲线
z2
2
b c xh
h2 a
2
1
曲面在 xy , xz 平面上的截痕曲线为
x2 a
2
y2 b
2
1
x2 a
2
z2 c
2
1
z0
y0
是一对正交的双曲线 , 有公共的实轴 x 轴 , 实轴长为 a , 顶点 ( a , 0 , 0)
图形: 不妨设 p , q > 0 用 x h ( h 0) 截曲面得截痕曲线
h2 y 2 2q( z ) 2p xh
一族顶点在 xz 平面上的抛物线
用 y 0 截曲面得截痕曲线
x 2 2 pz
z
y0
双曲抛物面也常称为马鞍面 马鞍面的另一种形式 :
x
o
z xy
y
例 画出下列曲面所界立体的图形
曲面在 yz , xz 平面上的截痕曲线为
y 2qz
2
x 2 2 pz
x0
y0
一对正交的抛物线 , 都以原点为顶点
y2
z
o
x
y
5º 双曲抛物面 ( 马鞍面 )
x2 y2 2z p q ( pq 0)
特点: (1) 无界曲面
(2) 关于xz , yz 平面 , z 轴对称 , 无对称中心
y b
2 2
z c
2 2
1
x a
2 2
z c
2 2z1x0y0xo
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
常见的二次曲面
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
椭球面
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
二次曲面的方程与图形ppt课件
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
.
7
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 x O
y
平面 zz1上的截椭痕 圆.为
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(p,q同号) x2 y 2 z 2 p 2q
双曲抛物面
x2 y2 z 2p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
.
12
平面 yy1上的截双痕 曲线为 平面 xx1上的截双痕 曲线为 x
Oy
平面 zz1(z1c)上的截 椭圆痕为
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
.
10
z
4. 椭圆锥面
z
ax22by22z2 (a,b为正) 数
在平z面 t上的截痕 椭圆为
x2 (at)2
.
3
x2 a2
by22
cz22
1
(a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 zz1(z1c)的交线为椭圆： ac22(c2x2z12)bc22(c2y 2z12)1
z
z z1
同样 yy1(y1b)及 xx1（ x1a） 的截痕
高数课件30空间几何5二次曲面
聚焦和散射： 二次曲面可以 用于聚焦和散
射光线
成像和投影： 二次曲面可以 用于成像和投
影
光学器件设计： 二次曲面可以 用于设计光学 器件，如透镜、
反射镜等
二次曲面在其他领域的应用
建筑设计：二次曲面在建筑设计中的应用广泛，如悉尼歌剧院、北京鸟 巢等 工业设计：二次曲面在工业设计中的应用，如汽车车身设计、飞机机翼 设计等
二次曲面在微分几何对象的
微分性质
二次曲面：在 空间中具有二 次方程的曲面
应用：二次曲 面在微分几何 中常用于描述 曲面的性质， 如曲率、挠率
等
例子：二次曲 面在微分几何 中的应用包括 球面、椭球面、
抛物面等。
二次曲面在几何光学中的应用
反射和折射： 二次曲面可以 模拟光线的反 射和折射现象
二次曲面的投影作图法
投影法：将二次曲面投影到平面上，得到 投影曲线
投影曲线：二次曲面的投影曲线是二次曲 线
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的作图方法：根据二次曲线的性 质，选择合适的作图方法
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
投影曲线的性质：二次曲线的性质决定了 二次曲面的性质
机遇：二次曲面在数学建模中 的广泛应用
机遇：二次曲面在数学建模中 的创新和优化
二次曲面与其他数学知识的 联系
第五章
二次曲面与线性代数的联系
二次曲面的方程可以表示为线性代数中的二次型 二次曲面的切平面可以用线性代数中的向量和矩阵来表示 二次曲面的曲率可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算 二次曲面的投影可以用线性代数中的矩阵和向量运算来计算
二次曲面的几何变换作图法
平移变换：将二次曲面沿某个方向移动一定距离 旋转变换：将二次曲面绕某个点旋转一定角度 缩放变换：改变二次曲面的大小和形状 反射变换：将二次曲面沿某个轴线进行反射 复合变换：将上述几种变换组合使用，实现更复杂的作图效果
常用的二次曲面方程及其图形
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
具体步骤：
1） 列出平面曲线（母线）方程，比如
f (x0 , y0 ) 0
2） 旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列 出空间旋转曲面等式 3） 当 z 0 =z，带入平面曲线方程。
M0 (x0 ,0, z0 )
M (x, y,z)
x0 z0 1 a2 c2
2 2
x 2 y 2 x0
f (x
x f (t ) 若准线的方程是： : y h ( t ) ，母线的方向向量为 z g (t ) x f (t ) lu {l , m, n}时，柱面方程是： : y h ( t ) m u z g (t ) n u
1、 椭圆球
x 方程为： a
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
得到旋转面的方程为：
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
具体步骤：
1） 列出平面曲线（母线）方程，比如
f (x0 , y0 ) 0
2） 旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列 出空间旋转曲面等式 3） 当 z 0 =z，带入平面曲线方程。
M0 (x0 ,0, z0 )
M (x, y,z)
x0 z0 1 a2 c2
2 2
x 2 y 2 x0
f (x
x f (t ) 若准线的方程是： : y h ( t ) ，母线的方向向量为 z g (t ) x f (t ) lu {l , m, n}时，柱面方程是： : y h ( t ) m u z g (t ) n u
1、 椭圆球
x 方程为： a
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
得到旋转面的方程为：
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
二次曲面的方程和图形
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
z
z
O yy xx
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到)
内容小结 二次曲面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号)
2p 2q
Oy
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
O
x
y
椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z
双曲抛物面
y2 b2
x2 a2
z
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
O
y
平面 z z1 上的截痕为椭圆.
7.常见的二次曲面
z
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o
2 2 2
o x
y
2
由于椭球面方程只含 x , y, z的平方项， 因此，椭球面关于原点 、坐标面、坐标轴 都是对称的，原点是椭 球面的中心.
(1)范围：
x a,
y b,
z c,
y b, z c
椭球面包含在由平面x a ,
围成的长方体内. 因此椭球面是有界曲面.
§7 常见的二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 我们将用坐标面和平行于坐标面的平面与二次 曲面相截，考察其截痕的形状和性质，从而了 解二次曲面的图形，这种方法称为截痕法.
1
一、椭球面
x y z 方程 2 2 2 1 (a 0, b 0, c 0) a b c 表示的曲面叫做椭 球 面.
6
x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b c
z
如果 a b, 椭球面是由 y2 z2 平面上的椭圆 2 2 1 绕 x b c z 轴旋转而成的, 叫做旋 转 椭球面.
o
y
如果 a b c, 则 x y z a , 此时
2 2 2 2
方程表示一个球面 .
(1)
用平面x x0 去截曲面（ 1 ），得
2 x0 这是x x0面上的抛物线.顶点在 x ， 0 ， ， 0 2 p 对称轴平行于z轴，开口朝下.
27
x y z 2 p 2q
图形如下：
2
2
设 p 0, q 0
z
y
o
x
28
2 2
当z变动时，这种椭圆的中心都 在z轴上. 与平面 z z1 ( z1 0) 不相交.
x
o
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
高等数学7.9 二次曲面
x2 y2 2 1, a2 b 2 2 2 (c z1 ) (c z12 ) 2 c c2 z z1.
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
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z0
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
2020/4/4
68
图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
2020/4/4
40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
2020/4/4
35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
2020/4/4
36
图7：
2020/4/4
37
图7：
2020/4/4
38
图7：
2020/4/4
39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
2020/4/4
9
椭圆抛物面的图形
2020/4/4
10
双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
2020/4/4
11
双曲抛物面（马鞍面） 图形
2020/4/4
12
圆锥面方程
方程： z2 a2 x2 y2
其中：
a
a 为正常数。
53
图22：由 2z x2 y2 , z 1, z 2 所围成的图形如下：
2020/4/4
54
图23：球面 x2 y2 z2 1 的图形如下：
x 0, y 0 z 0, x y z 1
2020/4/4
55
图24：由 x 0 , y 0, z 0,
x 1 围成的图形如下： y 1
z 1
2020/4/4
56
图25：由平面 x 0, y 0 围成的图形如下： z 0, x y z 1
2020/4/4
57
图26： y x 由抛物柱面 y x
及平面
y 0,
z0
x z
围成的图形如下：
2
y 0, z 0 x z 2
2020/4/4
58
图27：由曲面 z xy 与平面 y x, x 1, z 0
z2 2x
2020/4/4
69
图38：锥面 z2 x2 y2 被圆柱面 x2 y2 2x
所截部分的曲面图形如下：
x2 y2 2x
2020/4/4
70
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
2020/4/4
71
3 3
c
处的切平面。
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c
2020/4/4
48
图17： 函数
z
4
x
y
x2
y2
的极值图形如下：
z 4x y x2 y2
2020/4/4
49
图18：求函数
z
x 2
xy
y 2
在区域
x y 1
上的最大值、最小值的图形。
x y 1
2020/4/4
50
图19：在直线
围成的图形如下：
2020/4/4
59
图28：由平面 z 0, z y , y 1 及抛物柱面
y x2 围成的区域如下：
x2 y2 z2 1, y 0, y 2
2020/4/4
60
图29：由 x2 y2 z2 1, y 0, y 2
围成的图形如下：
2020/4/4
61
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y 2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
2020/4/4
72
图41：曲面由三部分组成：（1）、 z 1 x2 y2 , x2 y2 1
（2）、x2 y2 1, 1 z 0 （3）、z 1, x2 y2 1
z 1, x2 y2 1
82
图51：柱面 y sin x 的图形如下：
y sin x
2020/4/4
83
图52： 曲面 z x2 2 y 2 及 z 2 x2 所
围成区域图形如下：
2020/4/4
84
图53： 曲面 x y z 2 ， y x 2， y 4x 2 及 y 1所围成的区域图形如下：
2020/4/4
13
圆锥面图形
2020/4/4
14
圆柱面方程（1）
方程： 其中：
x2 y2 a2 a 为正常数。
2020/4/4
15
圆柱面图形（1）
2020/4/4
16
圆柱面方程（2）
方程： y 2 z 2 a 2
a 其中：
为正常数。
2020/4/4
17
圆柱面图形（2）
2020/4/4
2020/4/4
79
图48：曲面 z xy2 D: x y 1
2020/4/4
80
图49： 锥面 z 1 x2 y2 与半球面
z 1 x2 y2 所围立体表面的内侧图形如下：
z 1 x2 y2
2020/4/4
81
图50：曲线
x z 1
x
2
y2
的图形如下：
2020/4/4
抛物柱面方程
方程： 其中：
y 2 px2
p 为正常数。
2020/4/4
23
抛物柱面图形
2020/4/4
24
常见空间图形
以下收集了《高等数学》课程中常用的空间图形， 这些图形准确，对学好《高等数学》很有帮助。
2020/4/4
25
图1（1）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形如下：
x 0, y 0 和 z 0 在第一象限内
围成的立体图形如下：
2020/4/4
88
图57：由曲面 z xy 与平面 z 0, x 1, y 0 和 y 9x 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
89
图58：曲面 z 0, z y,，y 1 与柱 面 y x 2 所围成的区域图 形如下：
2020/4/4
85
图54：
由曲 z 1 x2 y 2 及平面
z xx 0, x 0 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
86
图55：由曲面 z x2 y2, y x2 及平面
y 1, z 0 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
87
图56：曲面 x y2 z 2 1 及坐标面
方程： 其中：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
a, b, c 为正常数。
2020/4/4
5
单叶双曲面图形
2020/4/4
6
双叶双曲面方程
方程：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
其中： a, b, c 为正常数。
2020/4/4
7
双叶双曲面的图形
2020/4/4
8
椭圆抛物面方程
方程：
x2 y2 2z pq
z
1 ey
cos x ye y
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 e y cos x yey
2020/4/4
46
图15：抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
2020/4/4
47
图16：椭球面
x2
y2
z2
a2 b2 c2
1 在
点
3 a, 3
3 b, 3
2020/4/4
90
图59： 由平面 x 0, x 1, y x, y 1 以及 z x, z y 所围成的图形如下：
x 0, x 1, y x , y 1, z x, z y
2020/4/4
91
2020/4/4
73
图42：平面曲线 y
x
0 x 1
z 0
x 绕
轴旋转一周所得曲面图形如下：
x
2020/4/4
74
图43：曲面 4 y x2 z 2 的图形如下：
z
2020/4/4
75
图44：平面曲线 z ey 0 y 2 绕 z 轴
旋转一周所得旋转面图形如下：
2020/4/4
2020/4/4
26
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
2020/4/4
27
图2：
（2）、曲线
图形如下：
xyz 1
y
2
x
在点 1,1,1
处的切线
2020/4/4
28
图3：
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
常用二次曲面图形
2020/4/4
1
目录
1、椭球面 2、双曲面 3、抛物面 4、圆锥面 5、常见柱面 6、常见空间图形
2020/4/4
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
2020/4/4
68
图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
2020/4/4
40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
2020/4/4
35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
2020/4/4
36
图7：
2020/4/4
37
图7：
2020/4/4
38
图7：
2020/4/4
39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
2020/4/4
9
椭圆抛物面的图形
2020/4/4
10
双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
2020/4/4
11
双曲抛物面（马鞍面） 图形
2020/4/4
12
圆锥面方程
方程： z2 a2 x2 y2
其中：
a
a 为正常数。
53
图22：由 2z x2 y2 , z 1, z 2 所围成的图形如下：
2020/4/4
54
图23：球面 x2 y2 z2 1 的图形如下：
x 0, y 0 z 0, x y z 1
2020/4/4
55
图24：由 x 0 , y 0, z 0,
x 1 围成的图形如下： y 1
z 1
2020/4/4
56
图25：由平面 x 0, y 0 围成的图形如下： z 0, x y z 1
2020/4/4
57
图26： y x 由抛物柱面 y x
及平面
y 0,
z0
x z
围成的图形如下：
2
y 0, z 0 x z 2
2020/4/4
58
图27：由曲面 z xy 与平面 y x, x 1, z 0
z2 2x
2020/4/4
69
图38：锥面 z2 x2 y2 被圆柱面 x2 y2 2x
所截部分的曲面图形如下：
x2 y2 2x
2020/4/4
70
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
2020/4/4
71
3 3
c
处的切平面。
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c
2020/4/4
48
图17： 函数
z
4
x
y
x2
y2
的极值图形如下：
z 4x y x2 y2
2020/4/4
49
图18：求函数
z
x 2
xy
y 2
在区域
x y 1
上的最大值、最小值的图形。
x y 1
2020/4/4
50
图19：在直线
围成的图形如下：
2020/4/4
59
图28：由平面 z 0, z y , y 1 及抛物柱面
y x2 围成的区域如下：
x2 y2 z2 1, y 0, y 2
2020/4/4
60
图29：由 x2 y2 z2 1, y 0, y 2
围成的图形如下：
2020/4/4
61
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y 2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
2020/4/4
72
图41：曲面由三部分组成：（1）、 z 1 x2 y2 , x2 y2 1
（2）、x2 y2 1, 1 z 0 （3）、z 1, x2 y2 1
z 1, x2 y2 1
82
图51：柱面 y sin x 的图形如下：
y sin x
2020/4/4
83
图52： 曲面 z x2 2 y 2 及 z 2 x2 所
围成区域图形如下：
2020/4/4
84
图53： 曲面 x y z 2 ， y x 2， y 4x 2 及 y 1所围成的区域图形如下：
2020/4/4
13
圆锥面图形
2020/4/4
14
圆柱面方程（1）
方程： 其中：
x2 y2 a2 a 为正常数。
2020/4/4
15
圆柱面图形（1）
2020/4/4
16
圆柱面方程（2）
方程： y 2 z 2 a 2
a 其中：
为正常数。
2020/4/4
17
圆柱面图形（2）
2020/4/4
2020/4/4
79
图48：曲面 z xy2 D: x y 1
2020/4/4
80
图49： 锥面 z 1 x2 y2 与半球面
z 1 x2 y2 所围立体表面的内侧图形如下：
z 1 x2 y2
2020/4/4
81
图50：曲线
x z 1
x
2
y2
的图形如下：
2020/4/4
抛物柱面方程
方程： 其中：
y 2 px2
p 为正常数。
2020/4/4
23
抛物柱面图形
2020/4/4
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常见空间图形
以下收集了《高等数学》课程中常用的空间图形， 这些图形准确，对学好《高等数学》很有帮助。
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图1（1）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形如下：
x 0, y 0 和 z 0 在第一象限内
围成的立体图形如下：
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图57：由曲面 z xy 与平面 z 0, x 1, y 0 和 y 9x 所围成的区域图形如下：
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图58：曲面 z 0, z y,，y 1 与柱 面 y x 2 所围成的区域图 形如下：
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图54：
由曲 z 1 x2 y 2 及平面
z xx 0, x 0 所围成的区域图形如下：
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图55：由曲面 z x2 y2, y x2 及平面
y 1, z 0 所围成的区域图形如下：
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图56：曲面 x y2 z 2 1 及坐标面
方程： 其中：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
a, b, c 为正常数。
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单叶双曲面图形
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双叶双曲面方程
方程：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
其中： a, b, c 为正常数。
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双叶双曲面的图形
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椭圆抛物面方程
方程：
x2 y2 2z pq
z
1 ey
cos x ye y
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 e y cos x yey
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图15：抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
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图16：椭球面
x2
y2
z2
a2 b2 c2
1 在
点
3 a, 3
3 b, 3
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图59： 由平面 x 0, x 1, y x, y 1 以及 z x, z y 所围成的图形如下：
x 0, x 1, y x , y 1, z x, z y
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图42：平面曲线 y
x
0 x 1
z 0
x 绕
轴旋转一周所得曲面图形如下：
x
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图43：曲面 4 y x2 z 2 的图形如下：
z
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图44：平面曲线 z ey 0 y 2 绕 z 轴
旋转一周所得旋转面图形如下：
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图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
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图2：
（2）、曲线
图形如下：
xyz 1
y
2
x
在点 1,1,1
处的切线
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图3：
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
常用二次曲面图形
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目录
1、椭球面 2、双曲面 3、抛物面 4、圆锥面 5、常见柱面 6、常见空间图形
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