光明市的菜篮子工程

光明市的菜篮子工程

摘要

本文研究的是蔬菜市场为满足不同条件的最优调配方案问题，用了Froyd 算法、线性规划建立了一系列数学规划模型，并用MATLAB和LINGO软件编程实现。

关于问题一：用Froyd算法结合MATLAB编程求出收购点至个菜市场的最短距离，以用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小为目标建立线性规划模型。用LINGO编程求得日均费用最少为4610元。

关于问题二：在模型一的基础增加各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%的约束条件，用LINGO编程求得最少日均费用以及最优供应方案。费用最少为4806元，供应方安见正文。

关于问题三：在模型一的基础上，改为以供货充足、费用最小为目标，建立模型三，用LINGO编程求得日均费用为4770元，增产的蔬菜每天应分给C收购点8000Kg。

关键字：蔬菜市场调配方案 Froyd算法线性规划

一、问题的重述

海江市是一个人口不到20万人的小城市。根据该市的蔬菜种植情况，分别在菜市场（A），菜市场（B）和菜市场（C）设三个收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场，该市道路情况，各路段距离（单位：100m）及各收购点，菜市场①⑧的具体位置见图3.2.按常年情况，A,B,C三个收购点每天收购量分别为30000，25000和20000（单位：100 kg）,各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg）见表 3.设从收购点至各菜市场蔬菜调运费为1元/(100kg.100m).

①7 ②

5 4 8 3 7

A 7 6 B

⑥ 6 8 5

5 4 7 11

7 4 ③

7 5 6

6 ⑤ 3 5 ④

8 6 6

10 C 10 ⑧

5 11

⑦

(a)为该市设计一个从收购点至个菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预

期的短缺损失为最小；

(b)若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案；

(c)为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增

产的蔬菜每天应分别向A,B,C三个采购点供应多少最经济合理。

二、符号说明

()

D i=……从A到i（各个菜市场）的最短距离

1,28

Ai

()

D i=……从B到i（各个菜市场）的最短距离

1,28

Bi

()

D i=……从C到i（各个菜市场）的最短距离

1,28

Ci

()

S i=……从A到i（各个菜市场）的运货量

1,28

Ai

()

S i=……从B到i（各个菜市场）的运货量

1,28

Bi

()

S i=……从C到i（各个菜市场）的运货量

1,28

Ci

P总调运费

Q短缺损失

R总费用

三模型假设

1、假设日需求量与缺货损失费用不变。

2、假设在蔬菜调配的过程中无意外发生。

3、假设新增产的蔬菜能够满足缺货量。

四模型的建立与求解

4.1问题一

4.1.1问题的分析：

为了使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小，即调运费用与缺货损失之和最小。首先考虑调运费用P，P为距离与送货量的积，因为与送货距离相关，我们必须先求出A、B、C三个采购点至各个菜市场的最短距离。采用Froyd算法，结合MATLAB编程实现。其次考虑缺货损失Q，以题中要求为约束条件，损失最低位目标建立线性规划模型，用LINGO编程求解。

4.1.2模型的建立与求解：

由图和表格的信息知，建立一个线性规划模型，使得蔬菜调运及预期的短缺

损失为最小。

调运总费用P 为：

888111Ai Ai Bi Bi Ci Ci

i i i P S D S D S D ====++∑∑∑

若使调运总费用最少，则应保证A 、B 、C 三个收购点到8个菜市场的路程最短，最短路线的求解过程如图一：

图一：求解过程图

分析上图可知，该路线为无向网络，就该图而言，网络弧集为：

E=[(v1,v2),(v1,v4),(v1,v5),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v2,v6),(v3,v2),.(v3,v6),(v3,v8),(v3,v9),(v4,v1),(v4,v5).(v4,v7),(v4,v10),(v5,v1),(v5,v2),(v5,v4),(v5,v6),(v5,v7),(v5,v8),(v6,v2),(v6,v3),(v6,v5),

(v6,v8),(v7,v4),(v7,v5),(v7,v8),(v7,v11),(v8,v3),(v8,v5),(v8,v6),(v8,v7),(v8,v9),(v8,v11),(v9,v3),

(v9,v8),(v9,v11),(v9,v13),(v9,v15),(v10,v4),(v10,v11),(v10,v12),(v10,v14),(v11,v7),(v11,v8),(v11,v9)(v11,v10),(v11,v12),(v12,v10),(v12,v11),(v12,v13),(v12,v14),(v13,v9),(v13,v12),(v13,v14),

(v14,v10),(v14,v12),(v14,v13),(v15,v9)]

下面来确定网络权矩阵：

W=()

n n ij w ⨯

其中

ii w =ij l ，当（i v ,j v ）属于E 时，ij l 为弧（i v ,j v ）的权

ii w =0，i=1,2,3……n

ij w =inf,当（i v ,j v ）不属于E 时。（inf 为无穷大，n 为网络结点个数）