第6章 通信网的可靠性
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R
1
R
2
R
n
（1）当各子系统均为不可修复时 若各子系统都是不可修复时，全系统的可靠度为
R ( t ) = 1 - ∏ (1 − R i ) = 1 −
i=1
n
∏
j
n
(1 − e − α i t )
i=1
=
∑
+
n
e
− α it
−
i=1
∑
e
j
− (α i + α
)t
i≠ j +α
k
i≠ j≠ k
∑
e
− (α i + α
稳 态 （ t → ∞ )， R ( t ) = R =
β
α + β
=
=
1
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+ 1
α
β
T1 T1+ T 2 全系统的平均无故障时间为： T1 = M T B F = = 1 = 1
α
=
1
∑α
i
i
1
∑
1 i =1 Ti
n
∑
n i =1
1 (M T B F )i
平均修复时间： T2 = M T T R = R = 1− R T1 ⋅ R 1− R = M TBF ⋅ R 1 , T1 =
如果系统不独立, 某一个系统损坏后, 其余系统停止工作 以减少损耗.第r个子系统失效的概率与 α r 成正比,平均修 复时间为 1 / β r。全系统的平均修复时间为: n αr ∑ βr n n 1 1 αr MTTR = ∑ p r = ∑ = r =1n n r =1 β r r =1 β r ∑α i ∑ α r 平均故障时间为
要计算可靠度 R(t )，可引入失效率α 。这被定义为当t时系 统正常运行的条件下，在t到 t + t内失效的条件概率为 t 。 α 一般而论， 是t 的函数。这样可用条件概率的公式得到 α R (t + t ) = R (t )(1 − α t ) 即t时在正常运行，到 t + t 时还在正常运行的概率必须在 t 内不出故障，后者的概率是 1 − α t 。令 t →0，上式 成为 R ' (t )=-α R(t ) 这是可靠性的微分方程。 在 R (0) = 1 的起始条件下，可解得
)t
L L
则平均寿命为
T =
∫
∞ 0
R ( t ) dt =
∑α
i =1
n
1
i
−∑
i≠ j
1 +LL αi + α j
如 果 ,α n
1
= α
2
= L = α
，平 均 寿 命
1 n 1 n 1 T = − + − L + ( − 1) n ⋅ α 2α 2 3α 3 nα Tα 所以 lim n = 0 , 说明并接系统虽然寿命在 n → ∞ 时趋 n→∞ 向于 ∞ , 但效率很低。 此时，可采用折中方式，即半热备份的方式。一个子系统 在运行，另一个处于半工作状态，如预热而未加高压。这 样一来，置换所需要的中断时间可减少至可以容忍，由于 处于半热状态下，故障率一般比正常工作时要低，则可延 长寿命。
MTBF =
i =1 r =1
1
∑α
r =1
n
r
于是，全系统的可靠度就是
R' = MTBF = MTBF + MTTR 1 n α 1+ ∑ r
r =1
βr
与各子系统独立时的可靠度 n βr R=∏ = r =1 α r + β r 相比，由于
n αr αr ∏ (1 + β ) > 1 + ∑ β r =1 r =1 r r n
∏
i
Ri , Ri =
αi + βi
1
βi
∑α
i
故
1− R T 2 = T1 ⋅ = R 1 ⋅
i
1− ⋅
i
∏
∑α
=
∏
⋅(
i
= =
1−
∑α
1
∏ R ∏ R
i i
αi + βi βi αi + βi
1 Ri − 1)
βi
i
1
∑α
1
∏
n i =1
∑α
i
⋅ (∏
1 − 1) = Ri
∑α
i
⋅ [∏
αi ( + 1) − 1] βi
=
1 1
α β
+ 1
α
=
β
T1 T1 + T 2
α
， T2 = 1
β/(α+β) α/(α+β)
定义T1-- 平均故障间隔时间（MTBF） T2-- 平均修复时间（MTTR） R称运行率， R =
T1 M TBF = T1 + T 2 M TBF + M TTR
要确定α和β 或 MTBF 和MTTR
6.1.1 不可修复系统
研究可靠性的对象大致可分为两类：一为不可修复系统； 另一为可修复系统。 所谓不可修复系统就是该系统一旦启用，直到损坏或失效 为止。这种系统只有两种状态：运行和失效；而且只有运 行状态向失效状态转移一种可能。一旦失效，就不会再回 到运行状态。 一般用可靠度 R(t) 来衡量不可修复系统的可靠性。令 R(t) 等于系统运行了时间t时仍在正常工作的概率，则可定义 R 系统在t时的可靠度为 R(t)。显然，(0) = 1，即起始运行时应 为正常的，或立即失效的概率接近零。由于概率的归一性， R (t ) F (t ) = 1 − R (t ) 是t时系统失效的概率，有时称之为系统在t时的不可靠度。 可靠度和不可靠度都可用来描述系统的可靠性。
运行
T11
失效
T12 T21 T22
T13 t T23
故障间隔时间是随机的，其样值分别为T11， T12，… 修 复时间也是随机的，其样值分别是T21， T22，… 当试验 时间足够长，或周期N足够大时，可得MTBF 和MTTR的估 N N 值如下 T T
M TBF =
^
∑
r =1
1r
N
,
M TTR =
以 n = 2 为例 R (t) = e
− α 1t
+ e
−α 2t
-e
− (α 1 + α
2
)t
例子：两个子系统并接运行, 子系统1运行的失效率为 α1 ; 子系统2半热备份, 半热备份时的失效率为 α 2 , 它工作时 的失效率为 α 3 。
α 1 − − 主系统失效率 α 2 − − 备用工作时失效率 α 3 − − 备用升为运行时失效率
^
∑
r =1
2r
N
因 而 得 α 和 β的 估 值 为 ^ 1 α = , ^ M TBF 则稳态可靠度为
β =
^
1
^
M TTR
∑T
R=
r =1 N r =1 1r
N
1r N
∑ T +∑ T
r =1
2r
从上述公式可以看出，要增大系统的可靠性，降低 α 或 增加MTBF当然很重要，这就是设备出厂时的重要指标。 但是，降低平均修复时间或者增加 β 也会起重要作用。 可修复系统和不可修复系统的区分并不是绝对的，在一 定条件下它们可以相互转换。
β
α + β α + β β α + R (t ) = e − (α + β ) t α + β α + β
+
α
e
− (α + β ) t
当t→∞时，此时R(t)有极限值, 这个值表示了稳态可靠度。
R = R ( t ) |t → ∞ = 其 中 ， T1 = 1
β α + β
R(t ) = e ∫
tα dt 0
若 α 是与t无关的常量，即得
R (t ) = e − α t
若 α 已知，就可利用上面的几个式子计算可靠度 R (t )。这 是以t为参量，运行状态作为二元随机变量而求得的状态 概率。 另一方面，也可把t作为因变量，来定义系统的寿命，即 当系统在t时失效，就认为该系统的寿命是t，t是连续随机 变量。 t时刻尚在运行的概率R (t )就是寿命大于t的概率，即R (t ) = 1 − F (t ) 因此，寿命t的概率密度函数f(t)为
1
∏ (1 +
r =1
n
αr ) βr
就有
R' > R
(2)并接系统 若干系统组网，只要一个好，即为正常工作;都坏，才不 能正常工作。 n F = ∏ Fi 各子系统独立时, ,其中不可靠度 Fi = 1 − Ri。同样, i =1 先考虑独立的情形, 再考虑非独立的情形; 并且分为不可 修复和可修复系统两类情形.
4.1.3 复杂系统分解
(1)串接系统 若干子系统，只要一个坏，全系统不能工作。
当各个子系统独立时, 总可靠度: 不可靠度为
R = ∏ Ri
i =1 n
F = 1 − R = 1 − ∏ Ri
i =1
n
已知各子系统的可靠度Rr总是小于1的，那么串接系统的 可靠度必小于任一子系统的可靠度，而且串接系统愈多， 可靠度也将越小。 当各不可修复的子系统有不同失效率 αr (r = 1, 2,..., n) 时，同 样可得全系统的可靠度为
α 称为形状系数， 对可靠性的影响较大。b可用α ( t ) z在t1处的连续性求得，即
a ( t1 −t0 )α a= b
或
a ( t1 −t0 )α b= a
A可用 R(t )在t1处的连续性求得，即
A=e
( t1 −t0 )α − b
6.1.2可修复系统 可修复系统
如果一个子系统在故障后，经历一段时间，修复又重新使 用，如此循环往复，这种系统称之为可修复系统。 可修复系统状态规定两个，即正常运行和出故障或失败， 不但可以从正常运行状态转移到失效状态，而且还能从失 效状态转移到正常运行状态。同时增加了一个特征参数: 修复率β 。
α
R
β
F
在时刻t系统处于故障的条件下, 在(t, t+∆t)内修复的概率 为: β • ∆t 。设α，β为常量，与时间无关。若 R(t + ∆t ) 是在 t + ∆t 时系统正常运行的概率，有两种情况可到达运行状态：即 t + ∆t t时在运行，t到 之间不出故障；以及t时已失效，t到 t + ∆t 之间能修复。于是
R (t ) = exp( −( ∑α i )t )
i =1 n
而平均寿命和等效失效率分别为
T =
∫
∞ 0
R (t )d t =
1
∑
i
α
i
α = 1 /T
当各子系统都是可修复系统时，在全系统运行中，只要有 一个子系统出故障，就使全系统失效。若每个子系统的失 n 效率为α r (r = 1, 2,L , n) ，则由于独立性，总失效率将为 ∑ α r r =1 这与不可修复系统没有区别，所以，全系统的平均故障间 隔时间将为 1
f (t ) = − R ' (t ) = α R(t ) = α e −α t
而系统的平均寿命为 ∞ ∞ T = ∫ tf (t )dt = ∫ R(t )dt 0 0 当 α 是与t无关的常熟时
F (t ) = 1 − e −α t
即寿命分布为参数 α 的负指数分布，此时系统的平均寿命 为 T = 1/ α 平均寿命T是表征系统可靠性的重要参量。定性的说，T愈 大。系统愈可靠。由上式可以知道，T与 α 一样，都可 以用来充分描述系统的可靠性，也就是系统的可靠性。系 统在平均寿命到达时尚能运行的概率为e-1=0.368，说明有 些系统可能在平均寿命到前失效。即寿命短于平均寿命。 要确定系统的可靠性和失效率，可用实际测量来估计。设 有N0系统同时开动，随着时间的推移，有些系统必将失效。 到t时若尚余N(t)个系统在运行，则 N (t ) / N (0) 可作为 的估值 R(t ) 。若N0足够大，这估值将接近实际的 R(t) 。
R (t + ∆t ) = R (t ) • 1 − α t） 1 − R ( t ) • β ∆t （ +
R (t + ∆ t)-R (t) R '( t ) = l i m ∆ t→ 0 ∆t = β − (α + β ) R ( t )
取极限
当 α和β 为常量时，
R (0 ) = 1 R (0 ) = 0 R (t ) =
^
为了方便计算，常用公式来表示图6.1（b）所示曲线，作 为 α 的近似，即用如下威布尔函数分布 0 ≤ t ≤ t0 0 a α (t ) = (t − t0 )α t0 ≤ t ≤ t1 b t1 ≤ t α
对于t ≥ t2 , 一般就不去管她了，由此得到相应的可靠度R(t )的近似为 0 ≤ t ≤ t0 1 (t −t0 )α − b R(t ) = e t0 ≤ t ≤ t1 −α (t −t0 )α t1 ≤ t Ae
第6章 通信网的可靠性
概述
整个网络的可靠性依赖于每个子系统的可靠性； 即使每个子系统的可靠度很大，如果构成网络 的方式不好，整体的可靠度就不会达到指标。 选择合理的拓扑结构和增加冗余投资来弥补故 障的影响。
6.1 可靠性理论概要
要研究可靠性，首先要明确提出“可靠”或“不可靠”得 定义。显然，常出故障必然不可靠，那么就应明确故障的 含义。由于故障具有随机的性质，同一产品不一定同时损 坏。随机性的描述，只能用概率的方法，因而可靠性也只 能在概率意义上来定义。有时一个设备中某一部件性能下 降，但并不损坏，已使设备不能正常运行；而在另一个设 备中，这种性能下降，并不影响设备的运行或影响不大。 这就使我们想到设备的运行状态来规定可靠性。 对于简单系统，假设它仅包含两个状态：正常和故障。
1
R
2
R
n
（1）当各子系统均为不可修复时 若各子系统都是不可修复时，全系统的可靠度为
R ( t ) = 1 - ∏ (1 − R i ) = 1 −
i=1
n
∏
j
n
(1 − e − α i t )
i=1
=
∑
+
n
e
− α it
−
i=1
∑
e
j
− (α i + α
)t
i≠ j +α
k
i≠ j≠ k
∑
e
− (α i + α
稳 态 （ t → ∞ )， R ( t ) = R =
β
α + β
=
=
1
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
+ 1
α
β
T1 T1+ T 2 全系统的平均无故障时间为： T1 = M T B F = = 1 = 1
α
=
1
∑α
i
i
1
∑
1 i =1 Ti
n
∑
n i =1
1 (M T B F )i
平均修复时间： T2 = M T T R = R = 1− R T1 ⋅ R 1− R = M TBF ⋅ R 1 , T1 =
如果系统不独立, 某一个系统损坏后, 其余系统停止工作 以减少损耗.第r个子系统失效的概率与 α r 成正比,平均修 复时间为 1 / β r。全系统的平均修复时间为: n αr ∑ βr n n 1 1 αr MTTR = ∑ p r = ∑ = r =1n n r =1 β r r =1 β r ∑α i ∑ α r 平均故障时间为
要计算可靠度 R(t )，可引入失效率α 。这被定义为当t时系 统正常运行的条件下，在t到 t + t内失效的条件概率为 t 。 α 一般而论， 是t 的函数。这样可用条件概率的公式得到 α R (t + t ) = R (t )(1 − α t ) 即t时在正常运行，到 t + t 时还在正常运行的概率必须在 t 内不出故障，后者的概率是 1 − α t 。令 t →0，上式 成为 R ' (t )=-α R(t ) 这是可靠性的微分方程。 在 R (0) = 1 的起始条件下，可解得
)t
L L
则平均寿命为
T =
∫
∞ 0
R ( t ) dt =
∑α
i =1
n
1
i
−∑
i≠ j
1 +LL αi + α j
如 果 ,α n
1
= α
2
= L = α
，平 均 寿 命
1 n 1 n 1 T = − + − L + ( − 1) n ⋅ α 2α 2 3α 3 nα Tα 所以 lim n = 0 , 说明并接系统虽然寿命在 n → ∞ 时趋 n→∞ 向于 ∞ , 但效率很低。 此时，可采用折中方式，即半热备份的方式。一个子系统 在运行，另一个处于半工作状态，如预热而未加高压。这 样一来，置换所需要的中断时间可减少至可以容忍，由于 处于半热状态下，故障率一般比正常工作时要低，则可延 长寿命。
MTBF =
i =1 r =1
1
∑α
r =1
n
r
于是，全系统的可靠度就是
R' = MTBF = MTBF + MTTR 1 n α 1+ ∑ r
r =1
βr
与各子系统独立时的可靠度 n βr R=∏ = r =1 α r + β r 相比，由于
n αr αr ∏ (1 + β ) > 1 + ∑ β r =1 r =1 r r n
∏
i
Ri , Ri =
αi + βi
1
βi
∑α
i
故
1− R T 2 = T1 ⋅ = R 1 ⋅
i
1− ⋅
i
∏
∑α
=
∏
⋅(
i
= =
1−
∑α
1
∏ R ∏ R
i i
αi + βi βi αi + βi
1 Ri − 1)
βi
i
1
∑α
1
∏
n i =1
∑α
i
⋅ (∏
1 − 1) = Ri
∑α
i
⋅ [∏
αi ( + 1) − 1] βi
=
1 1
α β
+ 1
α
=
β
T1 T1 + T 2
α
， T2 = 1
β/(α+β) α/(α+β)
定义T1-- 平均故障间隔时间（MTBF） T2-- 平均修复时间（MTTR） R称运行率， R =
T1 M TBF = T1 + T 2 M TBF + M TTR
要确定α和β 或 MTBF 和MTTR
6.1.1 不可修复系统
研究可靠性的对象大致可分为两类：一为不可修复系统； 另一为可修复系统。 所谓不可修复系统就是该系统一旦启用，直到损坏或失效 为止。这种系统只有两种状态：运行和失效；而且只有运 行状态向失效状态转移一种可能。一旦失效，就不会再回 到运行状态。 一般用可靠度 R(t) 来衡量不可修复系统的可靠性。令 R(t) 等于系统运行了时间t时仍在正常工作的概率，则可定义 R 系统在t时的可靠度为 R(t)。显然，(0) = 1，即起始运行时应 为正常的，或立即失效的概率接近零。由于概率的归一性， R (t ) F (t ) = 1 − R (t ) 是t时系统失效的概率，有时称之为系统在t时的不可靠度。 可靠度和不可靠度都可用来描述系统的可靠性。
运行
T11
失效
T12 T21 T22
T13 t T23
故障间隔时间是随机的，其样值分别为T11， T12，… 修 复时间也是随机的，其样值分别是T21， T22，… 当试验 时间足够长，或周期N足够大时，可得MTBF 和MTTR的估 N N 值如下 T T
M TBF =
^
∑
r =1
1r
N
,
M TTR =
以 n = 2 为例 R (t) = e
− α 1t
+ e
−α 2t
-e
− (α 1 + α
2
)t
例子：两个子系统并接运行, 子系统1运行的失效率为 α1 ; 子系统2半热备份, 半热备份时的失效率为 α 2 , 它工作时 的失效率为 α 3 。
α 1 − − 主系统失效率 α 2 − − 备用工作时失效率 α 3 − − 备用升为运行时失效率
^
∑
r =1
2r
N
因 而 得 α 和 β的 估 值 为 ^ 1 α = , ^ M TBF 则稳态可靠度为
β =
^
1
^
M TTR
∑T
R=
r =1 N r =1 1r
N
1r N
∑ T +∑ T
r =1
2r
从上述公式可以看出，要增大系统的可靠性，降低 α 或 增加MTBF当然很重要，这就是设备出厂时的重要指标。 但是，降低平均修复时间或者增加 β 也会起重要作用。 可修复系统和不可修复系统的区分并不是绝对的，在一 定条件下它们可以相互转换。
β
α + β α + β β α + R (t ) = e − (α + β ) t α + β α + β
+
α
e
− (α + β ) t
当t→∞时，此时R(t)有极限值, 这个值表示了稳态可靠度。
R = R ( t ) |t → ∞ = 其 中 ， T1 = 1
β α + β
R(t ) = e ∫
tα dt 0
若 α 是与t无关的常量，即得
R (t ) = e − α t
若 α 已知，就可利用上面的几个式子计算可靠度 R (t )。这 是以t为参量，运行状态作为二元随机变量而求得的状态 概率。 另一方面，也可把t作为因变量，来定义系统的寿命，即 当系统在t时失效，就认为该系统的寿命是t，t是连续随机 变量。 t时刻尚在运行的概率R (t )就是寿命大于t的概率，即R (t ) = 1 − F (t ) 因此，寿命t的概率密度函数f(t)为
1
∏ (1 +
r =1
n
αr ) βr
就有
R' > R
(2)并接系统 若干系统组网，只要一个好，即为正常工作;都坏，才不 能正常工作。 n F = ∏ Fi 各子系统独立时, ,其中不可靠度 Fi = 1 − Ri。同样, i =1 先考虑独立的情形, 再考虑非独立的情形; 并且分为不可 修复和可修复系统两类情形.
4.1.3 复杂系统分解
(1)串接系统 若干子系统，只要一个坏，全系统不能工作。
当各个子系统独立时, 总可靠度: 不可靠度为
R = ∏ Ri
i =1 n
F = 1 − R = 1 − ∏ Ri
i =1
n
已知各子系统的可靠度Rr总是小于1的，那么串接系统的 可靠度必小于任一子系统的可靠度，而且串接系统愈多， 可靠度也将越小。 当各不可修复的子系统有不同失效率 αr (r = 1, 2,..., n) 时，同 样可得全系统的可靠度为
α 称为形状系数， 对可靠性的影响较大。b可用α ( t ) z在t1处的连续性求得，即
a ( t1 −t0 )α a= b
或
a ( t1 −t0 )α b= a
A可用 R(t )在t1处的连续性求得，即
A=e
( t1 −t0 )α − b
6.1.2可修复系统 可修复系统
如果一个子系统在故障后，经历一段时间，修复又重新使 用，如此循环往复，这种系统称之为可修复系统。 可修复系统状态规定两个，即正常运行和出故障或失败， 不但可以从正常运行状态转移到失效状态，而且还能从失 效状态转移到正常运行状态。同时增加了一个特征参数: 修复率β 。
α
R
β
F
在时刻t系统处于故障的条件下, 在(t, t+∆t)内修复的概率 为: β • ∆t 。设α，β为常量，与时间无关。若 R(t + ∆t ) 是在 t + ∆t 时系统正常运行的概率，有两种情况可到达运行状态：即 t + ∆t t时在运行，t到 之间不出故障；以及t时已失效，t到 t + ∆t 之间能修复。于是
R (t ) = exp( −( ∑α i )t )
i =1 n
而平均寿命和等效失效率分别为
T =
∫
∞ 0
R (t )d t =
1
∑
i
α
i
α = 1 /T
当各子系统都是可修复系统时，在全系统运行中，只要有 一个子系统出故障，就使全系统失效。若每个子系统的失 n 效率为α r (r = 1, 2,L , n) ，则由于独立性，总失效率将为 ∑ α r r =1 这与不可修复系统没有区别，所以，全系统的平均故障间 隔时间将为 1
f (t ) = − R ' (t ) = α R(t ) = α e −α t
而系统的平均寿命为 ∞ ∞ T = ∫ tf (t )dt = ∫ R(t )dt 0 0 当 α 是与t无关的常熟时
F (t ) = 1 − e −α t
即寿命分布为参数 α 的负指数分布，此时系统的平均寿命 为 T = 1/ α 平均寿命T是表征系统可靠性的重要参量。定性的说，T愈 大。系统愈可靠。由上式可以知道，T与 α 一样，都可 以用来充分描述系统的可靠性，也就是系统的可靠性。系 统在平均寿命到达时尚能运行的概率为e-1=0.368，说明有 些系统可能在平均寿命到前失效。即寿命短于平均寿命。 要确定系统的可靠性和失效率，可用实际测量来估计。设 有N0系统同时开动，随着时间的推移，有些系统必将失效。 到t时若尚余N(t)个系统在运行，则 N (t ) / N (0) 可作为 的估值 R(t ) 。若N0足够大，这估值将接近实际的 R(t) 。
R (t + ∆t ) = R (t ) • 1 − α t） 1 − R ( t ) • β ∆t （ +
R (t + ∆ t)-R (t) R '( t ) = l i m ∆ t→ 0 ∆t = β − (α + β ) R ( t )
取极限
当 α和β 为常量时，
R (0 ) = 1 R (0 ) = 0 R (t ) =
^
为了方便计算，常用公式来表示图6.1（b）所示曲线，作 为 α 的近似，即用如下威布尔函数分布 0 ≤ t ≤ t0 0 a α (t ) = (t − t0 )α t0 ≤ t ≤ t1 b t1 ≤ t α
对于t ≥ t2 , 一般就不去管她了，由此得到相应的可靠度R(t )的近似为 0 ≤ t ≤ t0 1 (t −t0 )α − b R(t ) = e t0 ≤ t ≤ t1 −α (t −t0 )α t1 ≤ t Ae
第6章 通信网的可靠性
概述
整个网络的可靠性依赖于每个子系统的可靠性； 即使每个子系统的可靠度很大，如果构成网络 的方式不好，整体的可靠度就不会达到指标。 选择合理的拓扑结构和增加冗余投资来弥补故 障的影响。
6.1 可靠性理论概要
要研究可靠性，首先要明确提出“可靠”或“不可靠”得 定义。显然，常出故障必然不可靠，那么就应明确故障的 含义。由于故障具有随机的性质，同一产品不一定同时损 坏。随机性的描述，只能用概率的方法，因而可靠性也只 能在概率意义上来定义。有时一个设备中某一部件性能下 降，但并不损坏，已使设备不能正常运行；而在另一个设 备中，这种性能下降，并不影响设备的运行或影响不大。 这就使我们想到设备的运行状态来规定可靠性。 对于简单系统，假设它仅包含两个状态：正常和故障。