直角三角形的射影定理

A

A ′ M N N

A A ′

B ′ M 直角三角形的射影定理

教学目标

（一） 知识与技能

1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；

2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．

（二）过程与方法

借助相似三角形的判定定理及性质定理，推导出射影定理．

教学重点 射影定理的证明．

教学难点 建立三角形以外的和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系． 教学过程设计

一 复习引入

在前面的学习中，大家已经知道了射影，请作出点A 及线段AB 在直线MN 上

的射影．

如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．

则 AC 、CD 在斜边AD

二 新知探究

如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：

1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？

2．结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： ⊿ACD 与⊿CBD 中，CD 2= ,

⊿BDC 与⊿BCA 中，BC 2

= , ⊿CDA 与⊿BCA 中，AC 2= ．

这三个关系式形式完全一样，可结合射影定义及图像，观察三个关系式的特点记忆。

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

三 例题分析

例1 如图，圆O 上一点C 在直

径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求 CD 、AC 和BC 的长．

B A D

C A

D O B C B

例2 如图，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2

=AD ·BD ．求 证：⊿ABC 是直角三角形．

（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难．可从如下两方面来思考：①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；

②我们往往将等式CD 2=AD ·BD 变形为DB

CD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）

四 课堂练习

1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，

DB ＝5，则AD 的长为________．

2．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，

EC ＝1，则AB 的长为________．

3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝

6，AD ∶DB ＝2∶3，则AC ＝________.

4.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，BD

＝8，则圆O 的半径等于________．

5．(2012·陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.

6．在⊿ABC 中，∠C=90°, CD ⊥AB ，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．

五 课堂小结

1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．

2 思想方法：化归． 总结本讲知识要点（结合图像记忆）

一、平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。

推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

二、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

三、相似三角形的定义、判定及性质

1.定义：

（1）对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

（2）相似三角形的对应边的比叫做相似比。

2．判定

3．性质

定义的反用：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

六课外作业

1．如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一

点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间

的距离等于23米，则A、C两点间的距离为________米．

2．如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm.则BC的长

为________．

3.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝

6，则BF＝________.

4.(2012·佛山质检)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC

＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．

5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD长为________．

6．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________．

7.如图，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝9

cm2，S△AOB＝__ ______；S△AOD=。

8.如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________，AD∶DB＝________.