Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合

Matlab的应用-多项式函数及多项式拟合

本节将向大家简要介绍matlab 在多项式处理方面的应用。

下面我们将介绍这些函数的用法：

1，roots---求多项式的根

格式:roots(c)

说明:它表示计算一个多项式的根,此多项式系数是向量c的元素.如果c有n+1个元素,那么此多项式为:

c(1)*x^n+c(2)*x^(n-1)+c(3)*x^(n-2)+--+c(n)*x+c(n+1)

2，poly---特征多项式

格式：poly(a)

说明:（1）如果a是一个n阶矩阵,poly(a)是一个有n+1个元素的行向量,这n+1个元素是特征多项式的系数(降幂排列).

（2）如果a是一个n维向量,则poly(a)是多项式(x-a(1))*(x-a(2))*..(x-a(n))，即该多项式以向量a的元素为根。

3，polyval—多项式计算

格式：polyval(v,s)

说明:

如果v是一个向量,它的元素是一个多项式的系数,那麽polyval(v,s)是多项式在s处的值.

如果s是一个矩阵或是一个向量,则多项式在s中所有元素上求值

例如:

v=[1 2 3 4];vv=poly2str(v,’s’)

(即 v=s^3+2*s^2+3*s+4)

s=2;

x=polyval(v,s)

x =

26

例如:

v=[1 2 3 4];

s=[2 4];

polyval(v,s)

ans=26 112

4，conv-多项式乘法

例：as=[1 2 3]

as =

1 2 3

>> az=[2 4 2 1]

az =

2 4 2 1

>> conv(as,az)

ans =

2 8 16 17 8 3

conv(az,as)

ans =

2 8 16 17 8 3

5，deconv-多项式除法

例：deconv(az,as)%返回结果是商式的系数

ans =

2 0

[awwq,qw]=deconv(az,as)%awwq是商式的系数，qw是余式的系数

awwq =

2 0

qw =

0 0 -4 1

6，polyder 微分多项式

polyder(as)

ans =

2 2

7，polyfit--多项式曲线拟合

格式::polyfit(x,y,n)

说明:polyfit(x,y,n)是找n次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i)) ~= y(i).

“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一

系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查到我国从1949年至1994年人口数

一般地，我们采用下面的分析处理方法：

首先，在直角坐标系上作出人口数与年份的散点图象。观察随着年份的增加人口数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做一条直线。那么我们如何把这条直线方程确定出来呢？并用他来估计1999年我国的人口数。 方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为 N = 14.088 t – 26915.842 ，代入t =1999,得N ≈12.46亿

方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。

方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。这就是曲线拟合的问题。

方法一与方法二都具有一定的局限性，下面我们重点介绍数据的曲线拟合。所谓曲线拟合是指给定平面上的n 个点(x i ,y i ),i=1,2,….,n,找出一条曲线使之与这

些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。最常见的曲线拟合是使用多项式来作拟合曲线。曲线拟合最常用的方法是最小二乘法。其原理是求f(x),使21])([i n

i i y x f -=∑=δ达到最小。matlab 提供了基本的多项式曲线拟合函数命令

polyfit

格式::polyfit(x,y,n)

说明:polyfit(x,y,n)是找n 次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i)) ~= y(i).

已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢?可以根据散点图进行直观观察，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后比较，观察那条曲线的最小二乘指标最小。

下面我们给出常用的曲线（下面的,x y 为变量，,a b 等为参数）

直线：y ax b =+

多项式：121231....n n n n n y a x a x a x a x a ---=+++++ (一般情况下，n 不宜过高，n=2,3)

双曲线：y=a y b x

=+ 指数曲线：bx y ae =

幂函数：b y ax =

有些曲线的拟合，为了利用数学软件，在拟合前需作变量替换，化为对未知数的线性函数。

思考：如果根据经验，曲线是双曲线

a

y b

x

=+或指数曲线bx

y ae

=及幂函数b

y ax

=

等，如何利用matlab的多项式拟合函数来作曲线拟合？

例2：在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律。测得一组数据

本题是一个可以用数据的曲线拟合来解决的问题。下面是利用matlab编的一段程序。

clear;

％录入数据

xy=[1 4

2 6.4

3 8.0

4 8.4

5 9.28

6 9.5

7 9.7

8 9.86

9 10

10 10.2

11 10.32

12 10.42

13 10.5

14 10.55

15 10.58

16 10.6];

x=xy(:,1);

y=xy(:,2);

plot(x,y,'r*');％画出散点图，观察曲线走势