2.5几种特殊的二阶张量
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
人教版高中数学选修四教学课件-几类特殊线性变换及其二阶矩阵
������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换
【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
2.5几种特殊的二阶张量
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
二阶总应变张量
二阶总应变张量二阶总应变张量是描述物体形变情况的重要工具。
它是一个3x3的矩阵，其中每个元素代表了物体的微小形变情况。
形变可以分为线性变形和切变两种情况，分别对应着总应变张量中的正交分量和非正交分量。
在力学领域，总应变张量的性质与物体的刚性和弹性有关。
当物体在受力作用下发生形变时，总应变张量的各个分量将表示物体在不同方向上的形变程度，进而影响物体的力学性质。
总应变张量通常可以表示为：ε = [ε11 ε12 ε13][ε21 ε22 ε23][ε31 ε32 ε33]其中ε11、ε22和ε33表示物体在x、y和z方向上的线性变形，也即长度的变化比例。
ε12、ε13、ε21、ε23、ε31和ε32表示物体在不同方向上的切变，也即角度的变化。
对于线弹性材料，总应变张量的各个分量与应力张量之间满足线性关系，可以表示为：σ = Eε其中σ为应力张量，E为弹性模量，ε为总应变张量。
这个关系称为胡克定律。
总应变张量的各个分量还可以通过位移向量来表示。
假设位移向量为u，则总应变张量的分量可以表示为：εij = (1/2) * (∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi)其中i和j表示坐标轴方向。
这个公式表示了总应变张量的分量是位移的一阶偏导数的和的一半。
这意味着总应变张量可以通过位移场的变化来计算。
总应变张量在实际应用中有很多重要的应用。
例如在工程实践中，通过测量和分析总应变张量，可以评估结构物的稳定性和安全性。
对于复杂结构物如桥梁、建筑物和机械装置，总应变张量的分布情况可以指示可能的破坏和变形情况，从而指导结构设计和维护。
此外，在材料科学中，总应变张量也广泛应用于材料的力学性质研究和材料工程中。
通过测量和分析总应变张量，可以评估材料的刚性和韧性，了解材料在受力下的形变行为，为材料的设计和应用提供重要参考。
总之，总应变张量是描述物体形变情况的重要工具。
它能够定量描述物体在不同方向上的线性变形和切变情况，为研究材料的力学性质和工程应用提供了重要的参考依据。
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
添加标题
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流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
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目录 /目录
01
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04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
二阶张量的特征问题
二阶张量的特征问题王帅;杨恩孝【摘要】In this paper, we study the eigenvalue and eigenvector (function) of second order tensor.On this basis, we obtain some ideal results for the eigenvalues and eigenvectors of symmetric second order tensor.The characteristics of two order tensors in different bases are found by linear transformation.%本文对二阶张量的特征值与特征向量(函数)展开研究,并在此基础上研究了对称二阶张量的特征值与特征向量, 得到了一些较理想的结果.通过线性变换找到了在不同基底下的二阶张量的特征.【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2017(036)002【总页数】3页(P23-25)【关键词】二阶张量;特征值问题;线性变换【作者】王帅;杨恩孝【作者单位】长春光华学院基础教研部,吉林长春 130033;长春光华学院基础教研部,吉林长春 130033【正文语种】中文【中图分类】O151.24不同的物理量或几何量,表述的形式是不一样的,例如,在直角笛卡儿坐标中, 标量φ; 向量, ui(i=1,2,3);曲面的曲率张量, kαβ(α,β=1,2);应力张量, σij(i,j=1,2,3); 弹性系数张量, Cijkl(i,j,k,l=1,2,3)等.这些物理量和几何量，它们的分量个数是不同的.在直角坐标下, 它们可以写成.(采用Einstein求和约定).既然是物理量和几何量,它们表述的事实就应该与坐标系的选取无关，这就是张量的不变性.但在不同坐标系下,它们的分量却不同.只有在坐标系变换下,张量分量遵循确定的变换规律才能表述张量的不变性.为方便计,只考虑直角笛卡尔坐标系的变换.新旧两个直角笛卡尔坐标系,其单位正交基向量为i}(i=1,2,3), i′}(i′=1′,2′,3′).两组单位正交基向量满足变换:).式中Aii′Ai′i是变换系数,Aij′Aj′j=δij, Ai′jAjj′=δi′j′ ，(i=1,2,3;i′=1′,2′,3′).二阶张量定义: 二阶张量j在基向量变换(1.1)下,若其分量变换满足:σi′j′=Ai′iAj′jσij, (i=1,2,3,;i′=1′,2′,3′),则称是二阶张量.因此,二阶张量在不同基向量下,可以写为(1.5)式正好表明张量的不变性.张量的点积是一阶张量,这与用张量分量的缩并运算σijuj是相同的.2.1 线性变换)是二阶张量设V3是三维向量空间, 对∀∈V3,有且满足:∀∀,∀k∈R(实数).则称为V3上的线性变换.取,且易证是二阶张量,而且也是线性变换.因为,有又由(2.3)算式,显然满足(2.1),(2.2).由(2.3)算式定义的线性变换)是二阶张量.2.2 二阶张量的特征值问题若≠0,使得则称λ为二阶张量的特征值, 为的与特征值λ对应的特征向量.因为方程有非零解≠0, 必有亦即(2.5)或(2.6)称为二阶张量的特征方程,用以确定的特征值.式中j为度量张量.与λ(α)对应的特征向量(α)(≠0)由齐方程确定.2.3 对称二阶张量的特征值与特征向量二阶张量是对称的, (σij=σji),则必有3个实特征值λ(i)(i=1,2,3)，必存在与3个实特征值对应的单位正交的特征向量：于是而因此,σ(α)(β)=e(α)ie(β)jσij又因为则有因此σ(α)(β)=e(α)ie(β)jσij=λ(α)e(α)ie(β)i即有于是,在特征(基)向量下, 二阶张量为.【相关文献】[1] Seamus D Garvey, Uwe Prells,Michael I Friswell, Zheng Chen.General isospectral flows for linear dynamic systems[J]. Linear Algebra and its Applications， 2004,24(2):365-368.[2] M T Chu, Fasma Diele, Ivonne Sgura. Gradient flow methods for matrix completion with prescribed eigenvalues[J]. Linear Algebra and its Applications， 2004,34(1):85-112.[3] F Tisseur, K Meerbergen,The quadratic eigenvalue problem[J]. SIAM, Review，2001,24(6), 43:235-286.[4] M I Friswell, U Prells, S D Garvey.Low-rank damping modifications and defective systems[J]. Journal of Sound and Vibration， 2005,34(3):757-774.[5] P R Houlston, S D Garvey, A A Popov.Modal control of vibration in rotating machines and other generally damped systems[J].Journal of Sound and Vibration， 2007,12(3):104-116.。
第 2 章 二阶张量
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
非线性光学第二章第5-6节(打印PDF版)
第二 章
§2.5 非线性极化率张量元的基本特性（二阶为例）
§2.6 二阶非线性极化率张量的简化形式
§2.5 非线性极化率张量元的基本特性（以二阶为例） 一， 研究极化率张量元基本特性的必要性
非线性极化率是一个张量。一个 n 阶非线性极化率张量具有3(n+1)。研究张量元基本特性，如
对称特性，便可以大大简化张元数目。 完整地描述物质的非线性特性，必须了解不同频率的各外场通过介质所发生的相互作用对极化场
(ω1
+ω2
,
ω1
,
ω2
)E2
(ω1
)E1
(ω2
)
---（2.5-12）
+
χ (2) 122
(ω1
+ω2
,
ω1
,
ω2
)E2
(ω1
)E2
(ω2
)
+
χ (2) 123
(ω1
+ω2
,
ω1
,
ω2
)E2
(ω1
)E3
(ω2
)
+
χ (2) 131
第一章 流体力学预备知识(3)
* 张量的内积： — n 阶张量P 与 m 阶张量Q 的内积 PQ 定义为 张量的内积： 定义为:
P Q = p i1 i2...in1 t q t s2 s3...sm
— 显然，PQ 是 m+n-2 阶张量。 显然， 阶张量。
§1-5 张量初步 §1-5-3 张量的代数运算 * 应用款例： 应用款例
j = s, s ≠ k, t ≠ s, k ≠ t k = s, s ≠ j, t ≠ j, s ≠ t s = t, t ≠ k, t ≠ j, k ≠ j
0 = 00
§1-5 张量初步 §1-5-3 张量的代数运算
第一章 预备知识
* 张量的加减 ： — 具有相同阶的两个张量 P 和 Q 的加减定义为： 的加减定义为：
对应:。事实上： ω 对应 。事实上：
r
r (3) 对于反对称张量 A与任意矢量 b 来说有： 来说有： v v v v v A b = ω × b = b ×ω v v v 事实上： 事实上： A b = aijbj = εijkωk bj = εijkbjωk = b ×ω
a12 a13 0 ω3 ω2 0 A = ai j = a12 0 a23 = ω3 0 ω1 = εijkωk a a 0 ω2 ω1 0 23 13
第一章 §1-5 张量初步 §1-5-2 常用的几个特殊张量及性质 * Kronecker 记号 δij : 0 (i≠ j) δij = 是二阶张量。 是二阶张量。 1 (i= j) 事实上： 事实上： δij′ = αisα jtδ st
预备知识
* 置换符号 εijk ：
事实上： 事实上：
当 i, j,k 为偶排列时 1 εijk = 1 当 i, j,k 为奇排列时 0 当 i, j,k 为中有取值相同时 ′ εijk = αirα jsαkt ε rst
张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量
T
1 1
T
T T
T 1
满射性 对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性 变换T· u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1· u=w。
i 1 i 1
I
I
定理 三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射 为另一矢量组，满足
T u
T v T w detT u v w
证明 （式1.8.25）、(1.8.22)
detT
lmn
u v w detT u v w
l m n
Hale Waihona Puke T uT v T w
ijk
T uT v T w
i l
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的 矢量组T· u(i)(i=1，2，3)。 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且 充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。 （2）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 个不等 的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T· u≠T· v。
（3）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二 阶张量T -1，使
T T 1 T 1 T G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆 的二阶张量。可证
张量分析总结
一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ij δ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)可知3ij ij ii jj δδδδ===。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ij δ的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk(1.6)图1.1 i,j,k 排列图ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
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第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
二阶反对称张量
二阶反对称张量一、引言在数学和物理中，张量是一个多维数组，它可以描述不同类型的数据和满足各种数学运算的规则。
反对称张量是一种特殊的张量，其特点是任意两个不同的指标互换后，张量值会变号。
二阶反对称张量是所有反对称的二阶张量，它们形成一个线性空间。
本文将详细介绍二阶反对称张量的定义、性质和在物理中的应用。
二、二阶反对称张量的定义二阶张量是一个二维数组，而二阶反对称张量则是满足特定对称性质的二阶张量。
具体来说，对于一个二阶张量T，如果任意两个不同的指标i和j互换后，T[i][j]=-T[j][i]，则称T为二阶反对称张量。
三、二阶反对称张量的性质1. 对称性：如上所述，二阶反对称张量具有反对称性，即对于任意两个不同的指标i和j，T[i][j]=-T[j][i]。
2. 零元：在所有二阶反对称张量中，零张量是最小的元素，即对于任意指标i和j，T[i][j]=0。
3. 线性空间：所有二阶反对称张量构成一个线性空间。
在这个空间中，零元是唯一的零元素，任意一个元素T可以表示为零元素的线性组合。
四、二阶反对称张量的物理应用1. 电磁学：在电磁学中，电磁场是一个典型的二阶反对称张量。
磁场B的分量满足B[i][j]=-B[j][i]，电场E的分量也满足同样的性质。
因此，电磁场可以看作是二阶反对称张量的实例。
2. 晶体学：在晶体学中，晶体结构的对称性可以通过对称元素（如反射面、旋转轴等）来描述。
这些对称元素可以用二阶反对称张量来表示。
通过计算这些对称元素的组合和变换，可以得出晶体的完整对称性。
3. 弹性力学：在弹性力学中，应力张量和应变张量都是二阶张量。
当物体受到外力作用时，会产生应力和应变，这些应力和应变可以通过二阶张量来表示。
特别地，当物体具有对称性时（如球形或立方体），其应力张量和应变张量可能成为二阶反对称张量。
4. 量子力学：在量子力学中，角动量算符是一个典型的二阶反对称张量。
角动量算符由三个分量组成，满足L[i][j]=-L[j][i]，其中i和j是空间方向的指标。
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2.5.7.4
正交张量的标准形
det Q det Q det Q 1
2
J
Q 3
1 det Q 1
Q 为正常正交张量 Q 为反常正交张量
R R
~1 g
~ g2
~ det Q g g3 1
g2
g3
R 使 gi 只产生整体的刚性转动，右手系的 gi 仍变为右手系； －R 使 gi 不仅有刚性转动，还进行了一次镜面反射。
N N 1e1e1 N 2 e 2 e 2 N 3 e 3 e 3
N 为正张量的必要且充分条件是 N 为非负张量的必要且充分条件是
Ni > 0 Ni≥0
对于非负张量N ≥O，存在唯一的非负张量M ≥O，使
M
2
N
1 2
定义M 为N 的方根，记作
M N
可证：M与N具有相同的主方向。
sin cos 0
0 0 1
在垂直于e3的平面内任意一对正交标准化基，都可作为对 应的特征矢量。在这组正交标准化基中
R cos e 1 e 1 e 2 e 2 sin e 2 e 1 e 1 e 2 e 3 e 3
正交张量对其特征矢量所做的线性变换为
Q 设Q 的特征方程的特征根分别为 1 , Q , Q ，其中必 2 3 有一个模等于1的实根。于是可设
Q
Q 3
1 1
Q R Q R
3 所对应的特征方向上的单位矢量e3，称为正交张量
的轴。
由 J 3 1 2 3 1
Q Q Q Q
得
1 2 1
u u 1 e 2 u 2 e 1
u
u G u u u
2 2
2
2 e u 2 2 1 3 u 1 2 u
当1时， 代表了小
~ e 1 R e 1 cos e 1 sin e 2 ~ e 2 R e 2 sin e 1 cos e 2
~ e3 R e3 e3
~ e3 e3
e3
~ e2
e2
~ e1
u
e2
e1 －2.5 几种特殊的二阶张量
2.5.1 零二阶张量O
0 0 0 0 0 0 0 O 0 0
O u 0
2.5.2
度量张量G
i j i j j i ij
G g ij g g j g i g δ i g g j g g i g j
在一般的斜坐标系中， Q T Q ，正交张量的矩阵 不是正交矩阵。只有在笛卡儿坐标系中，才有
T
Q T
Q ,
1
Q T Q Q Q T
i j
2.5.7.2
正交变换的“保内积”性质
定理 任意矢量u，v 用同一个正交张量进行映射 后，其内积不变，即 ~ ~ Q u Q v u v u v
i
k
i Q g k ~k Qk g i g
Qg
k
k k i ~ Qi g g
k k Q ~k g ~ g k g g
如果采用正交标准化基 ei ，则 ~ ~ ~ Q e1 e 1 e 2 e 2 e 3 e 3
i ~ i k i ~ cos e i , e j e e j e Q j e k Q j
M M 1e1e1 M 2 e 2 e 2 M 3 e 3 e 3
且其主分量为
Mi
Ni
若N ≥O，p为非负整数，则存在唯一的S=N 1/p≥O
S N1
1/ p
e1e1 N 2
1/ p
e2e2 N 3
1/ p
e3e3
正张量N >O 的对数lnN:
ln N ln N 1 e 1 e 1 ln N 2 e 2 e 2 ln N 3 e 3 e 3
u u
易证：
e3
（ 包含了 的全部信息）
1
:
J2
2.5.6.5
反对称二阶张量所对应的线性变换
e1 e 2
e 2 e1
e3 0
e3 u
×u
u+ · u e2
· e u 1
对于空间任一矢量 u u1e1+u2e2+u3e3，
1 G 0 0 0 1 0 0 0 1
G u u G T T G T
2.5.3
二阶张量的幂
二阶张量的正整数次幂
T
n
2.5.3.1
T T T
n 个T
T
m
T
n
T
mn
2.5.3.2
二阶张量的零次幂
T
0
G
2.5.3.3
二阶张量的负正整数次幂
T
n
T
-1
T
-1
T
-1
n 个T -1
2.5.4
正张量、非负张量及其方根、对数
正张量、非负张量都是对称二阶张量。 定义 正张量N >O满足u· u=N:uu>0 对于任意u≠0 N· 非负张量N ≥O满足u· u=N:uu≥0 对于任意u≠0 N· 对称二阶张量必定可在一组正交标准化基中化为对角标准形
1 2
0
2 3
2 3 0
1 3
u u
Τ
u
2.5.6.2
反对称二阶张量的主不变量
J1 0
J3 0
2 1 2
J2
2.5.6.2
2 2 3
2 1 3
2
反对称二阶张量的标准形
在垂直于e3的平面内，任选e1 e2 。在e1，e2，e3 内， 可 化为实数形式的标准形：
0 0 0 0 0 0 0
e1e 2 e 2 e1
2.5.6.4
反对称二阶张量的反偶矢量
矢量 与 之间满足
定义
2
则称 为反对称二阶张量 的反偶矢量。而称－与 互为 反偶。
几何意义：正交变换只能将空间一组基矢量进行刚性旋转 （可能加镜面反射），不能改变它们的长度与夹角。
逆定理 若一个二阶张量对于任意两个矢量u，v 进行 线性变换后，仍保持此二矢量的内积不变，则此二阶张量 必定是正交张量Q。
2.5.7.3
正交张量的并矢表达式
Q Qk g i g
i k
Qi g g k
转动， 是小转动矢量。
2.5.7
正交张量
定义
2.5.7.1
一个正则二阶张量，其逆与其转置张量相等，则称该 正则二阶张量为正交张量，用Q 表示。即
Q
1
Q
T
T
Q Q
Q Q G
T
Q Q Q Q Q Q Q G
T 1 1
T
T
可证：利用任意一个非对称二阶张量T 可构造两个非负张量
X T T
T
O
Y T
T
T O
如果T 是正则的，则X，Y 是正张量：
X T T
T
>O >O
Y T
T
T
一般来说，X，Y 是两个不同的张量。可证：它们具有相同 的主分量，只是主轴方向不同而已。
2.5.5
二阶张量的值
A A
i
Ai j
j
A:A
tr A A
T
满足范数公理的三个条件：非负性、对称性与三角不等式， 可作为二阶张量空间的一种范数。
2.5.6
2.5.6.1
反对称二阶张量
定义
满足 T 的张量称为反对称张量。在任一笛卡儿 坐标系中
i j
0 1 2 1 3
Q Q
一般可设
e
Q 1 Q 2
i
cos i sin cos i sin
e
i
复数形式的标准形
e i R 0 0
0 e
i
0
0 0 1
实数形式的标准形
cos R sin 0
的特征方程
特征方程的根
J2 0
3
3 0,
1 i,
2 i
的轴或零向e3满足
e3 3 e3 0
设与l，对应的特征矢量（复数基）为g1，g2
在g1，g2，e3中， 可化为对角型标准形
i 0 0 0 i 0 0 0 0