向量单元检测试题

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向量测试题目及答案高中

向量测试题目及答案高中向量测试题目及答案（高中）一、选择题1. 若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，向量$\overrightarrow{b}=(3,-2)$，则向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标为（）。

A. (4, 0)B. (0, 0)C. (-2, 4)D. (2, 0)答案：A2. 若向量$\overrightarrow{a}=(2,-3)$，向量$\overrightarrow{b}=(4,6)$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. $\frac{1}{2}$答案：A3. 若向量$\overrightarrow{a}=(1,1)$，向量$\overrightarrow{b}=(2,2)$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积为（）。

A. 0B. 1C. 4D. 2答案：D4. 若向量$\overrightarrow{a}=(3,-1)$，向量$\overrightarrow{b}=(2,4)$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的叉积为（）。

A. 10B. -10C. 2D. -2答案：B二、填空题5. 已知向量$\overrightarrow{a}=(2,3)$，向量$\overrightarrow{b}=(4,-6)$，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的点积。

答案：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \times 4 + 3 \times (-6) = 8 - 18 = -10$6. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,0)$，向量$\overrightarrow{b}=(0,1)$，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的模长。

重点中学平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（）A ．（－4，8）B ．（－4，8）或（4，－8）C ．（4，－8）D ．（8，4）或（4，8）2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（）A ．10B ．－10C ．2D ．－23．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（） A ．30º B ．45º C ．75º D ．135º4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线，则m 的值等于（）A ．－ 53B ．－ 95C ．－ 35D ．－ 595．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（）A ．（－52 ，－3）B ．（52 ，3）C ．（1，8）D ．（12 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．37．下列命题正确的是（）A ．若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（）A ．p =4 q =1B ． p =1 q =4C ． p =0 q =4D ． p =1 q =09．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB→ －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =⊗=⊗已知,0,3,21,2⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足()，为坐标原点其中O n OP m OQ +⊗=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（） A ．π，2 B ．，2π4 C ．,21π4 D ．π，21二、填空题：每小题5分，共25分．11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足a=b =1，b a 23-=3，则 b a +3 =13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为．15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1，－1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取．三、解答题16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ．（1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值．（2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b .18．（本题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，，，22==BC AB 点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若，2=⋅AF AB 求BF AE ⋅的值.19．（本题满分12分）已知向量OA→ =3i －4j ，OB → =6i －3j ，OC → =（5－m ）i －（4＋m ）j ，其中i 、j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量．（1）若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；（2）若ΔABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．20．（本题满分12分）已知向量.1,43),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为与向量向量π（1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.21．（本题满分13分）已知向量a 、b 、c 、d ，及实数x 、y ，且|a |=1，|b |=1，c =a ＋（x 2－3）b ，d =－y a ＋x b ，如果a ⊥b ，c ⊥d ，且|c |≤10 ．（1）求x 、y 的函数关系式y =f （x ）及定义域；（2）判断f （x ）的单调性，指出单调区间，并求出函数的最大值、最小值．ECA BDF答案一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A6.C7.C8.B9. B 10. D 二、填空题11．），），（（22-2-22,2 12．23 13．0 14.－ 65515．－4，2，1 . 16.解：（1）f(x)=8a ·b =8(sin 2x ，cos 2x)·(sin 2x ，1) = 8(sin 4x ＋cos 2x)= 2(1－cos2x)2＋4(1＋cos2x) =2(1－2cos2x ＋cos 22x)＋4＋4cos2x =6＋2cos 22x=7＋cos4x ．∴f(x)的最小正周期为最大值为8，最小值为6．（2）假设它的图象可以按向量m =(h,k)平移后得到y=sin4x 的图象．故按向量平移后便得到y=sin4x 的图象．17．3818．略19. （1）AB → =（3，1），AC → =（2－m ，－m ），AB → 与AC →不平行则m ≠1 .（2）AB → · AC → =0 m =2320．解：（1）令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x n 或则π )1,0()0,1(-=-=∴n n 或 3分（2）)1,0(0),0,1(-=∴=⋅=n a n a 4分)1sin ,,(cos -=+x x b n 6分b n +=222)1(sin cos -+x x =x sin 22-=)sin 1(2x -； 8分∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0≤b n +≤2, 10分21. 提示：（1）由 |c |≤10 ，及a ·b = 0得－6≤ x ≤6 又由c ⊥d 得 y =x 3－3x（2）单调增区间为[－6，－1]、[1，6]，单调减区间为[－1，1] 最大值为f （6）=36,最小值为f （－6）=－36 .。

空间向量单元测试题及答案

空间向量单元测试题及答案# 空间向量单元测试题及答案一、选择题1. 空间向量$ \overrightarrow{AB} $与$ \overrightarrow{CD} $平行，那么$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} $与$ \overrightarrow{AB} $的关系是什么？A. 垂直B. 平行C. 共线D. 无法确定答案：B. 平行2. 已知空间向量$ \overrightarrow{a} = (2, 3, 1) $，$ \overrightarrow{b} = (1, -1, 2) $，求$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} $的模。

A. 0B. 3C. 5D. 6答案：C. 53. 空间中任意两点A和B，它们之间的向量$ \overrightarrow{AB} $的模长是两点间的距离，这个说法：A. 正确B. 错误答案：A. 正确二、填空题4. 若空间向量$ \overrightarrow{a} $与$ \overrightarrow{b} $的夹角为90°，则$ \overrightarrow{a} $与$ \overrightarrow{b} $的点积$ \overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} $等于______。

答案：05. 空间向量$ \overrightarrow{a} = (x, y, z) $，若$ \overrightarrow{a} $的模长为1，则\( x^2 + y^2 + z^2 =______。

答案：1三、简答题6. 解释空间向量的基本性质，并给出两个例子。

答案：空间向量的基本性质包括：- 向量加法满足交换律和结合律。

- 向量的数乘满足分配律。

第二章向量单元测试卷及答案解析(必修4)人教A版(原始打印版)

即3i+2j=μ［-3i+(1-λ)j］=-3μi+μ(1-λ)j
∵i与j是两不共线向量,由基本定理得:
故当A、B、D三点共线时,λ=3.
必修4第二章向量(一)
必修4第三章向量(一)参考答案
一、选择题
1．D2．A3．C4．C5．B6.A7.D8．C9．B10．A11．D12．C
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解析: ∵ - + = +( - )= + =
又| |=2∴| - + |=| |=2
18．证明: ∵P点在AB上,∴ 与共线.
必修4第二章向量(一)
一、选择题:
1.下列各量中不是向量的是()
A．浮力B．风速C．位移D．密度
2．下列命题正确的是()
A．向量与是两平行向量
B．若a、b都是单位向量,则a=b
C．若 = ,则A、B、C、D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则
C．( ) = D．与共线 =
10．下列命题正确的个数是( )
① ②
③ ④( ) = ( )
A．1B．2C．3D．4
11．已知P1(2，3)，P2( 1，4)，且，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为( )
A．( ， )B．( ， )C．(4， 5)D．( 4，5)
12．已知，，且( +k )⊥( k )，则k等于( )
.
三、解答题
17．已知菱形ABCD的边长为2,求向量－ + 的模的长.

选修2-1空间向量单元测试题(经典)

第三章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝( )A.AG →B.CG →C.BC→ D.12BC →解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB→＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B3．已知i ，j ，k 为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15.答案：A4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B5．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.答案：C6．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )A.13，13，13B.13，13，16C.13，16，13D.16，13，13解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →. 故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →.答案：D7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)．所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×135＝55. 答案：A8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →|·|DN →|＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.答案：D9．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵|A 1B |＝|AC |＝2a ， ∴A 1M →＝13A 1B →，AN →＝13AC →，MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝－13A 1B →＋A 1A →＋AN → ＝－13A 1A →－13A 1B 1→＋A 1A →＋13AD →＋13A 1B 1→ ＝23A 1A →＋13AD →＝23B 1B →＋13B 1C 1→. 因此MN →，B 1B →，B 1C 1→共面．又∵MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B10．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )A.104B.66C.62D.102解析：设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，以B 为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C 1(0,1,1)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角θ的正弦值sin θ＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝322×1＝64，得cos θ＝1－sin 2θ＝104.答案：A11．如图，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22B.33 C ．－77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E . 设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22， P A ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144， ED ＝24.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，故选C.12．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23 B.66 C.33D.63解析：以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)，∴BE→＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)．设平面BED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BE→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧2y ＋z ＝0，3x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－12z .令z ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.又平面ABE 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，∴cos 〈n ，m 〉＝66，即平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE→＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →14．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．故cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →||B 1C →|＝925. 答案：92515．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA →＋4A 1D 1→，那么M 点一定在平面________内．解析：∵B 1M →＝PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→，∴B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→，即A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→.故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面，即M 点在平面A 1BCD 1内．答案：A 1BCD 116．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C —AB —D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值等于________．解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，连接CH ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C —AB —D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1.结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知四棱锥C —ABDE 为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM→＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AE →＝12，故EM ，AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16. 答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．解：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→，∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18．(12分)在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点．(1)求直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于点D ，求点O 1到点D 的距离．解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,3,0)，C (0,3,0)，E (1,3,0)，O 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,3,2)，C 1(0,3,2)，∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝AO 1→·B 1E →|AO 1→||B 1E →|＝－2210＝－1010. 故直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010.(2)设D (x 0，y 0,0)，O 1D →＝(x 0，y 0，－2)，AC →＝(－2,3,0)，AD →＝(x 0－2，y 0,0)．∵O 1D →⊥AC →且AD →∥AC →，∴⎩⎨⎧ －2x 0＋3y 0＝0，3(x 0－2)＋2y 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1813，y 0＝1213，∴O 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，1213，－2，∴|O 1D →|＝228613， ∴点O 1到点D 的距离为228613.19．(12分)如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.(1)求证：A1C⊥平面BED；(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．解：(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)．设E(0,2，t)，则BE→＝(－2,0，t)，B1C→＝(－2,0，－4)．∵BE ⊥B 1C ，∴BE →·B 1C →＝4＋0－4t ＝0，即t ＝1.故E (0,2,1)，BE→＝(－2,0,1)．又∵A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，∴A 1C →·BE →＝4＋0－4＝0，且A 1C →·DB →＝－4＋4＋0＝0. 因此A 1C →⊥DB →且A 1C →⊥BE →，即A 1C ⊥BD 且A 1C ⊥BE .故A 1C ⊥平面BDE .(2)由(1)知A 1C →＝(－2,2，－4)是平面BDE 的一个法向量，又∵A 1B →＝(0,2，－4)，∴cos 〈A 1C →，A 1B →〉＝A 1C →·A 1B →|A 1C →||A 1B →|＝306. 故A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值为306.20．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A .又∵AB ⊥AD ，AD ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面P AD .∴PD ⊥AB .又∵PD ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE ，∴BE ⊥PD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)，AD→＝(0,2a,0)．∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠ADP 是PD 与平面ABCD 所成的角．∴∠ADP ＝30°.∵AD ＝2a ，∴P A ＝2a tan30°＝233a ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a .∴PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－233a ，，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a . 设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎨⎧ n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧ ax ＋ay －233az ＝0，2ay －233az ＝0.取x ＝1，则n ＝(1,1，3)是平面PCD 的一个法向量．易知AD→＝(0,2a,0)为平面P AB 的一个法向量， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|AD →|·|n |＝55. ∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为55.21．(12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为棱C 1C ，B 1C 1的中点．(1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；(2)求二面角B —A 1D —A 的余弦值；(3)在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．解：(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC .∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 的长即为点B 到平面A 1C 1CA 的距离． ∵BC ＝2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2.(2)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如图的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (2,0,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，E (0,1,2)，∴BD →＝(0，－2,1)，BA 1→＝(2，－2,2)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(λ，1，μ)，则⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2＋μ＝02λ－2＋2μ＝0，解得⎩⎨⎧ μ＝2λ＝－1，∴n ＝(－1,1,2)由(1)知平面ACC 1A 1的法向量为CB →＝(0,1,0)，cos 〈n ，CB →〉＝16＝66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66.(3)设在线段AC 上存在一点F (x,0,0)，使得EF ⊥平面A 1BD .欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知当且仅当n ∥FE→. ∵FE→＝(－x,1,2)，∴x ＝1，故存在唯一一点F (1,0,0)满足条件，F 为AC 的中点．22．(12分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；(2)求二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23，所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0. 不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，。

完整版)平面向量单元测试卷及答案

完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。

2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。

|b|；②a∥b；③|a|。

|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。

平面向量单元测试题及答案

平面向量单元测试题及答案平面向量单元测试题2一、选择题：1.下列说法中错误的是（）A．零向量没有方向B．零向量与任何向量平行C．零向量的长度为零D．零向量的方向是任意的2.下列命题正确的是（）A.若a、b都是单位向量，则a=bB.若AB=DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形C.若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量D.AB与BA是两平行向量3.下列命题正确的是（）A.若a∥b，且b∥c，则a∥c。

B.两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。

C.向量AB 的长度与向量BA的长度相等,D.若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。

4.已知向量a=(m,1)，若，|a|=2，则m=（）A．1B.3C.±1D.±35.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a∥b，则有（）A，x1y2+x2y1=0，B，x1y2−x2y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2−y1y2=0。

6.若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a⊥b，则有（）A，x1y2+x2y1=0，B，x1y2−x2y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2−y1y2=0。

7.在△ABC中，若BA+BC=AC，则△ABC一定是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定8.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a，则a与b的夹角等于（）A．120B60C30D90o二、填空题：（5分×4=20分）9.已知向量a、b满足a=b=1，3a−2b=3，则3a+b=510.已知向量a=(4,2)，向量b=(x,3)，且a∥b，则x=211.三点A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求cos∠BAC =12，cos∠BAC=−3512.把函数y=x2+4x+7的图像按向量a经过一次平移以后得到y=x2的图像，则平移向量a是(-2,-4)三、解答题：（10分×6 = 60分）13.设P1(4,−3),P2(−2,6)，且P在P1P2的延长线上，使P1P=3，则求点P的坐标。

空间向量单元测试题(原卷版)

2021-2022年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，123aA M AN ==，则MN 与平面11BB C C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2. 已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是AD 、DC 中点，则(EF AB = )A ．14B ．14-C ．34D ．34-3. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为( )A ．12B 2C 3D 254. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，16AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为( )A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．15︒5. 如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为( )A 17B ．7C ．217D ．96. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．52B ．62C 2213D 24137. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( ) A 2B 3C ．34D ．18. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角．则其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．15.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱11A B ，BC 上的动点，且1A E BF =，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是．16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上，7AB =3AD ，AD DB ⊥，AC BD O =，//OP AQ ，2AQ =，M ，N分别是AQ 与CD 的中点．（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角M CB Q --的余弦值．18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223．19. 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D --的余弦值为55．20. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒．F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD ，AD 与BC 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 值；若不垂直，请说明理由．（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值．22. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1==，PO OB（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC-体积的最大值；（Ⅲ）若2BC=，点E在线段PB上，求CE OE+的最小值．。

向量单元专题测试

向量专题测试一、选择题 1．设点 P（3，-6），Q（-5，2），R 的纵坐标为-9，且 P、Q、R 三点共线，则 R 点的横坐标为（）。 2．已知 A、-9 B、-6 C 、9 D、 6 =(2,3), b=(-4,7)，则在 b 上的投影为（）。
A、
B、
C、
D、
3．在 OAB 中， OA =a， OB =b，M 为 OB 的中点，N 为 AB 的中点，ON，AM 交于点 P，则 AP = A．（） B．-
路程最短，小船应朝________方向行驶。 3．如果向量与 b 的夹角为 θ，那么我们称 × b 为向量与 b 的“向量积”， × b 是一个向量，它的长度| × b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, |b|=2, · b=-2，则| × b|=______。 4、已知向量 a (2 cos ,2 sin ) ， (

B． a // b

C． a = b D． a b
14.若平面四边形 ABCD 满足 AB + CD 0,( AB - AD ) AC 0, 则该四边形一定是（ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形（

）
15．已知向量 a (1,2)和b ( x,1),若向量a 2b与2a b平行, 则实数x 等于 A．

）
C
P A
2
B.9；
C. 9 ；
2
D.－9；
O
B
7.在平面直角坐标系中， i , j 分别是与 x , y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点 A、B、C 满足， AB 4i 3 j , AC ki 1 j 当 A、B、C 三点构成直角三角形时，实数 k 的可能值的

空间向量单元测试卷

空间向量单元测试卷第一部分：选择题1. 下列哪个不是空间向量的表示方法？A. 箭头表示法B. 行向量表示法C. 列向量表示法D. 数量表示法2. 空间向量的模长是指什么？A. 向量的长度B. 向量的方向C. 向量的大小D. 向量的起点和终点的距离3. 空间向量的方向角是指什么？A. 向量与$x$轴正向的夹角B. 向量的长度C. 向量与$y$轴正向的夹角D. 向量与$z$轴正向的夹角4. 下列哪个不是向量的线性运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 数乘5. 向量$\vec{a}(1, 2, 3)$和向量$\vec{b}(4, 5, 6)$的点积是多少？A. $32$B. $35$C. $38$D. $41$6. 两个向量的叉积为零，则它们的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 重合D. 倾斜7. 两个向量平行，则它们的叉积是什么？A. 零向量B. 原向量C. 单位向量D. 无法确定8. 空间中三个相互垂直的向量长度分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，则它们的信部角余弦分别为多少？A. $\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}$C. $\frac{1}{\sqrt{6}}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}$D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$第二部分：填空题1. 空间向量的数量表示法是用______个实数表示。

2. 向量$\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$和向量$\vec{b}=(x_2, y_2,z_2)$的点积为$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$，也可以表示为$\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cos\theta$，其中$\theta$为向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的______角。

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是（）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14．矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。

向量单元检测试题

第五章向量单元检测试题一、选择题〔本大题共12小题,每题4分,共48分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．单位向量i 、j 的夹角为60o ,那么2j －i 与i 的关系为 ( )A 、相等B 、垂直C 、平行D 、共线2．点A 〔x,5〕关于点C 〔1,y 〕的对称点是B 〔－2,－3〕,那么点P 〔x,y 〕到原点O 的距离是〔〕A 、4B 、13C 、15D 、173．向量i 、j,i=(1,0),j=(0,1),与2i+j 垂直的向量为〔〕A 、2i －jB 、i －2jC 、2i+jD 、i+2j4．b a a •2=2,b a b •2=2,那么a 与b 的夹角为〔〕A 、0oB 、30oC 、60oD 、180o5．a =〔1,2〕,b =〔x,1〕假设b a 2+与b a -2平行,那么x 为〔〕 A 、1 B 、21 C 、2 D 、－21 6．假设a =〔－4,3〕,b =〔5,6〕,那么b a a •4 -||32等于〔〕A 、23B 、57C 、63D 、837．点A 〔－4,5〕按a =〔－3,2〕平移后的对应点的坐标为〔〕A 、〔－1,3〕B 、〔－7,7〕C 、〔1,－3〕D 、〔－1,－3〕8．把一个函数的图象按)2 ,4(=πa 平移后,所得图象的函数解析式为2+)4+sin(=πx y ,那么原函数的解析式为〔〕A 、y=sinxB 、y=cosxC 、y=sinx+2D 、y=cosx+49．三点A 、B 、C 在同一直线上,A 〔3,－6〕,B 〔－5,2〕,假设点C 的横坐标为6,那么它的纵坐标为〔〕A 、－13B 、9C 、13D 、－910．M 〔－1,0〕,N 〔5,6〕,P 〔3,4〕在一条直线上,P 分MN 的比为λ,那么λ的值为〔〕A 、31B 、21 C 、2 D 、3 11．向量b c a a c b )•( - )•(与向量c 〔〕A 、平行但不相等B 、垂直C 、平行且相等D 、无法确定12．三角形的顶点A 〔1,1〕,B 〔4,1〕,D 〔4,5〕,那么cosA 的值为〔〕A 、51B 、52C 、53 B 、54 二、填空题〔本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中横线上〕13．非零向量a 、b,那么〔a －b 〕⊥〔a －b 〕的充要条件是______________.14．把函数y ＝log 3x+4的图象F 按a ＝〔1,－2〕平移后得到F ’,那么F ’的解析式为__________.15．假设向量a ＝〔3,－4〕,b ＝〔2,x 〕,c ＝〔2,y 〕,且a//b,a ⊥c,那么b •c ＝_________.16．下面几个有关向量数量积的关系式：① 0=0•0②b a b a •≤• ③22=a a ；④ab a b a =)•(2；⑤222•=)•(b a b a ； ⑥(a －b)2=a 2－2a •b+b 2.其中是真命题的有_____________(把正确命题的序号都填上)二、解做题〔本大题共3小题,共36分,解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤〕17.〔本小题总分值12分〕设两非零向量e 1、e 2,〔1〕试确定实数k,使得ke 1+e 2和e 1+ke 2共线；〔2〕假设|e 1|=2,|e 2|=3,e 1与e 2的夹角为60o ,试确定k,使ke 1+e 2和e 1+ke 2垂直.18.〔本小题总分值14分〕A 〔0,8〕,B 〔－4,0〕,C 〔5,－3〕,D 点分AB 的比为1：3,E 在BC 上,且使∆BDE 的面积是∆ABC 的面积的一半,求E 点的坐标.19.〔本小题总分值10分〕三个点A 〔4,2〕,B 〔6,4〕,C 〔－2,8〕〔1〕求证:AD AB ⊥;(2)要使四边形ABCD 为矩形,求点C 的坐标并求出矩形ABCD 两对角线所夹的锐角.。

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。

b-1/2a。

B。

a-1/2b。

C。

b+1/2a。

D。

a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。

若a-b=0，则a=bB。

若ab=0，则a=0或b=0C。

若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。

若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。

-2.B。

2.C。

-1/2.D。

不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。

a+b=a-b。

B。

a+b=a+b。

C。

a-b=a-b。

D。

a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。

3/2.B。

-3/2.C。

1/2.D。

06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。

3.B。

3/2.C。

53.D。

53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。

长方形。

B。

平行四边形。

C。

菱形。

D。

梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。

(π/3，-3)。

B。

(π/6，3)。

C。

(π/12，-3)。

D。

(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。

4.B。

1.C。

3.D。

向量的线性运算单元检测附答案

向量的线性运算单元检测附答案一、选择题1．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而证得结论．【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确；对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.3．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可；【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．若0a r、0b r 都是单位向量，则有（）．A ．00a b =r rB ．00a b =-r rC ．00a b =r rD ．00a b =±r r【答案】C 【解析】【分析】由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：∵0a r 、0b r 都是单位向量 ∴00a b =r r故选C.【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．5．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.6．下面四个命题中正确的命题个数为（）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．7．下列结论正确的是（）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关【答案】C 【解析】【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.8．下列命题正确的是（） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b rB ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b rC ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b rD ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r＝0 【答案】C 【解析】【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【详解】解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r，不正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案．【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．下列说法中，正确的是（）A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0B ．如果e r 是单位向量，那么e r＝1C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a rD ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r，那么a r ∥b r【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r．B 、如果e r 是单位向量，那么e r＝1，错误．应该是e r ＝1．C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r，正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.11．已知a r、b r、c r都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b rr的是（）A ．a b =r rB ．3a b =rrC ．//a c r r，//b c r rD ．2,2a c b c ==-rrr r【答案】A 【解析】【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案．【详解】解：A 、||||a b =r r只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意;D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．12．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u rAE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．13．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（）A ．AB BA =-u u u r u u u rB ．AB BA =uu u r uu rC ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u rD ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】D 【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】A 选项，AB BA =-u u u r u u u r，成立；B 选项，AB BA =uu u r uu r，成立；C 选项，AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r不一定成立；故答案为D. 【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.15．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r的方向关系是（） A ．a r∥b r，并且a r 和b r方向一致B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r方向相反C ．a r 和b r方向互相垂直D ．a r 和b r之间夹角的正切值为5【答案】B 【解析】【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．【详解】∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r，∴a r ∥b r ，a r 与b r的方向相反，故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．16．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b r rB ．20a b +=r rC ．a r 与b r方向相同D ．a r 与b r方向相反【答案】D 【解析】【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.17．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：OP uuu r ＝（m ，n ）．已知OA u u u r ＝（x 1，y 1），OB uuu r＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（） A ．OC u u u r ＝（3，20190），OD uuu r＝（﹣3﹣1，1）B ．OE uuu r ﹣1，1），OF uuu r，1）C ．OG u u u r 12），OH u u u r ）2，8）D ．OM u u u u r ），ON u u u r2，2）【答案】A 【解析】【分析】根据向量互相垂直的定义作答．【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC u u u r 与OD uuu r互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE uuu r 与OF uuu r不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG u u u r 与OH u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM u u u u r 与ON u u u r 不垂直，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.20．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（）． A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =rrC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．。

平面向量单元检测

平面向量基础检测题
姓名：总分：
一、填空题（本大题共20题，每题2分，共计40分）
1、
2、若 ,则
3、则向量＿＿＿＿，＿＿＿＿＿；
4、若 ,则的充要条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
5、若 ,C为AB的中点，则C的坐标为C=＿＿＿＿＿若 ,则｜｜=＿＿＿＿＿＿，
9、的充要条件是：＿＿＿＿＿＿＿，若 ,则的充要条件是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
二、判断题（对的打错的打）（本大题共5小题，每题2分，共计10分）；
21、零向量与任何向量平行；（）
22、共线向量不一定平行；（）
23、若｜｜=｜｜，则 = ；（）
24、两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同；（）
25、若 ,则四边形ABCD是平行四边形；（）
26、若四边形ABCD是平行四边形，则；（）
14、已知 ,且 ,则y=＿＿＿＿＿；若，则y=＿＿＿；
15、若 ,C为AB的中点，则C的坐标为C=＿＿＿＿＿；
16、，则
17、若为单位向量，则｜｜=＿＿＿；
18、已知三角形ABC的两边长分别为a=3、b=7， 60°，则c=＿, ＿＿＿＿；
19、
20、A、B、C三点共线的充要条件是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
27、若，，则 ; （）
28、若，且 ,则且 ;（）
29、 ;（）
30、两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（）
三、简答题：请写出必要的解题步骤（本大题共5小题，每题8分，共计40分）。
31、已知A=（-1，-1）、B=（1,3）、C=（2,5），试判断A、B、C三点之间的位置关系。
32、已知向量 , ,点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标。

第5章平面向量(单元测试)(解析版)

第五章平面向量单元测试【满分：100分时间：90分钟】一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．（北京市昌平区2019届二模）设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=v v ”是“a b a b+=+r r r r”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得a b λ=v v ，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r 同向时，a b a b +=+r r r r 成立，当,a b r r 反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r同向，存在实数λ，使得a b λ=v v 成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得a b λ=v v ”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件，故选B 。

2．（湖北省武汉市2019届调研）已知向量a r ，b r 满足4a =r ，b r 在ar 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10CD ．2 【答案】B【解析】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r r rb >rQcos ,0a b ∴<><rr 又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min2b∴=r2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin310a b∴-==r r，故选B 。

3．（河北省唐山市2019届模拟）已知是两个单位向量，时，的最小值为，则（） A ．1 B ． C ．1或 D ．2 【答案】C【解析】，，即当有最小值，此时，而，，即为，，即为1，故选C 。

选修2-1空间向量单元测试题(一)

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为( )A.AB → B ．2BD → C ．0D ．2DE→ 解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE →＝DF →.∵12BC →＝BF →，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD →＝AF →＋FD→－AD →＝AD →－AD →＝0. 答案：C2．在以下命题中，不．正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝ 2OA→－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．已知A 、B 、C 、D 为四个不同点，且AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则( )A ．A 、B 、C 、D 四点必共面B ．A 、B 、C 、D 四点构成一个空间四边形 C ．A 、B 、C 、D 四点必共线D ．A 、B 、C 、D 四点的位置无法确定解析：共线、共面和构成一个空间四边形三种情况都可能出现，故选D.答案：D4．如图，在四面体ABCD 中，已知AB→＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE→＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13c C ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c解析：DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝DA →＋AB →＋13(AC →－AB →)＝－a ＋23b ＋13c ，故选A.答案：A5．已知向量a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)，a ·b >0，则函数y ＝x 2＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．(－4，＋∞)D ．(－∞，－4)解析：由a ·b >0，得2＋x －1>0，解得x >－1.而函数y ＝x 2＋4x －1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y >(－1)2＋4×(－1)－1，即y >－4.答案：C6．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±6解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(－1，－5，－2)·(x,2，x ＋2)＝－x －10－2x －4＝－3x －14＝0，∴x ＝－143，故选B.答案：B7．已知点A (－3,4,3)，O 为坐标原点，则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( )A.34B.35C.53D ．1解析：A 点在面yOz 上射影为B (0,4,3)且|OB |＝5，所以OA 与平面yOz 所成角θ满足tan θ＝|AB ||OB |＝35.答案：B8．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：A9．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，QP →＝(0，－1,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2.答案：D10．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：∵A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)， ∴AB→＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝2＋1＋33·14＝427，∴sin 〈AB →，AC →〉＝77， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝12×3×14×77＝62，故选D. 答案：D11．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22 C.23D.55解析：∵A 1B 1∥EF ，点G 在A 1B 1上，∴点G 到平面D 1EF 的距离即为点A 1到平面D 1EF 的距离，即是点A 1到D 1E 的距离．∵D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55，故选D.答案：D12．如图，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33D.23 3解析：如图，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ·OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与a ＋b 同方向的单位向量是________．解析：∵a ＋b ＝(0,1,2)，∴|a ＋b |＝5，∴与a ＋b 同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，25，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.解析：∵A 1E →＝A 1A →＋AE →＝A 1A →＋12AC → ＝A 1A →＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→，∴x ＝y ＝12. 答案：12 1215．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.解析：设c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧(0，0，1)·(x ，y ，z )＝z ＝0，(3，1，5)·(x ，y ，z )＝3x ＋y ＋5z ＝9，(1，2，－3)·(x ，y ，z )＝x ＋2y －3z ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝225，y ＝－215，z ＝0，所以c ＝(225，－215，0)．答案：(225，－215，0)16．如图所示，已知正四面体A —BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成的角的余弦值为________．解析：ED →＝EA →＋AD →＝14BA →＋AD →， BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋14CD →， cos 〈ED →，BF →〉＝ED →·BF →|ED →|·|BF →|＝(14BA →＋AD →)·(BC →＋14CD →)(14BA →＋AD →)2·(BC →＋14CD →)2＝413.答案：413三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在DB 、D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3，2a 3，故EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3.又AB →＝(0，a,0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF→ ＝(0，a,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3＝0， ∴AB→⊥EF →. 又∵E ∉平面BB 1C 1C ，∴EF ∥平面BB 1C 1C .18．(12分)如图，已知点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1. 在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH→＝(m ，m,1)(m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DH →·DA →＝|DA →||DH →|cos 〈DA →，DH →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)． (1)因为cos 〈DH →，CC 1→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC 1→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19．(课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)可知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0.即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.20．(12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0,0,1)， BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 21．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥平面P AC.(2)设AC∩BD＝O，∵∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，∴BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，∴PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0,23，0)．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64.(3)由(2)，知BC→＝(－1，3，0)．设P (0，－3，t )(t >0)，则BP→＝(－1，－3，t )．设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧BC →·m ＝0，BP→·m ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .∴平面PBC 的法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3，6t .同理，平面PDC 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t .∵平面PBC ⊥平面PDC ， ∴m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0，解得t ＝6，∴P A ＝ 6. 故P A 的长为 6.22．(12分)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1—DN —M 的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM 的长； (2)当cos θ＝66时，求CM 的长．。

选修2-1空间向量单元测试

空间向量单元测试（一）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 z y x ++=．其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是（）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （）A ．n m //B ．n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（）A ．627B ．637C ．647D ．6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CC ===1,,，则1A B = （）A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝19，则向量与之间的夹角><,为（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则b a =⋅是a 与b 共线的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 9．已知与则35,2,23+-=-+= （）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－110．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（） A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝xAB yAC zAS++，则x＋y＋z＝．13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝．14．设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则<a,b>＝．三、解答题（本大题满分76分）15．(12分) 如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．16．（12分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．17．（12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、 PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：EF ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．18．（12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是 1BB ，ＣＤ的中点，（1）求证：⊥F D 1平面ADE ；（219．（14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ；（2）证明⊥PB 平面EFD ；（3）求二面角D -PB -C 的大小．20．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦；（2）求点A 1到平面AED 的距离.空间向量单元测验（二）本卷满分150分，时间120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知向量a = (2, 4, 5) , b = (3, x, y) , 若 a ∥b ，则（）A. x = 6, y = 15B. x = 3, y = 15/2C. x = 3, y = 15D. x = 6, y = 15/2 2、已知向量a = (-3, 2, 5) , b = (1, x, -1) , 且 a ·b =2，则x 的值为A. 3B. 4C. 5D. 6 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R ∈+=,(,、则)0≠μ （） A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（）NB1A1BAA ．B ．C ．D ．或 5．对空间任意两个向量//),(,≠的充要条件是（）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°7、3．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，且垂直于AB 。

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第五章向量单元检测试题
单元检测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知单位向量i 、j 的夹角为60o ，则2j －i 与i 的关系为 ( )
A 、相等
B 、垂直
C 、平行
D 、共线
2．已知点A （x ，5）关于点C （1，y ）的对称点是B （－2，－3），则点P （x ，y ）到原点O 的距离是（）
A 、4
B 、13
C 、15
D 、17
3．已知向量i 、j ，i=(1，0)，j=(0，1)，与2i+j 垂直的向量为（）
A 、2i －j
B 、i －2j
C 、2i+j
D 、i+2j
4．已知b a a •2=2，b a b •2=2，则与的夹角为（）
A 、0o
B 、30o
C 、60o
D 、180o
5．已知a =（1，2），b =（x ，1）若b a 2+与b a -2平行，则x 为（）
A 、1
B 、21
C 、2
D 、－2
1 6．若=（－4，3），b =（5，6），则•4 -||32等于（）
A 、23
B 、57
C 、63
D 、83
7．点A （－4，5）按a =（－3，2）平移后的对应点的坐标为（）
A 、（－1，3）
B 、（－7，7）
C 、（1，－3）
D 、（－1，－3）
8．把一个函数的图象按)2 ,4(=πa 平移后，所得图象的函数解析式为2+)4
+sin(=πx y ，那么原函数的解析式为（）
A 、y=sinx
B 、y=cosx
C 、y=sinx+2
D 、y=cosx+4
9．已知三点A 、B 、C 在同一直线上，A （3，－6），B （－5，2），若点C 的横坐标为6，则它的纵坐标为（）
A 、－13
B 、9
C 、13
D 、－9
10．已知M （－1，0），N （5，6），P （3，4）在一条直线上，P 分MN 的比为λ，则λ的值为（）
A 、31
B 、2
1 C 、
2 D 、
3 11．向量b c a a c b )•( - )•(与向量c （）
A 、平行但不相等
B 、垂直
C 、平行且相等
D 、无法确定
12．已知三角形的顶点A （1，1），B （4，1），D （4，5），则cosA 的值为（）
A 、51
B 、52
C 、53 B 、5
4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上）
13．已知非零向量a 、b ，则（a －b ）⊥（a －b ）的充要条件是______________.
14．把函数y ＝log 3x+4的图象F 按a ＝（1，－2）平移后得到F ’,则F ’的解析式为__________.
15．若向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ），c ＝（2，y ），且a//b ，a ⊥c ，则b •c ＝_________.
16．下面几个有关向量数量积的关系式：
① 0=0•0②b a b a •≤• ③22=a a ；④a
b a b a =)
•(2；⑤222•=)•(b a b a ； ⑥(a －b)2=a 2－2a •b+b 2.其中是真命题的有_____________(把正确命题的序号都填上)
二、解答题（本大题共3小题，共36分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）设两非零向量e 1、e 2，
（1）试确定实数k ，使得ke 1+e 2和e 1+ke 2共线；
（2）若|e 1|=2,|e 2|=3,e 1与e 2的夹角为60o ，试确定k ，使ke 1+e 2和e 1+ke 2垂直。

18.（本小题满分14分）已知A （0，8），B （－4，0），C （5，－3），D 点分的比为1：3，E 在BC 上，且使∆BDE 的面积是∆ABC 的面积的一半，求E 点的坐标。

19.（本小题满分10分）已知三个点A （4，2），B （6，4），C （－2，8）
（1）求证:AD AB ⊥;
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求出矩形ABCD 两对角线所夹的锐角。

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