马尔柯夫链在市场预测与决策中的应用探讨

马尔柯夫链在市场预测与决策中的应用探讨

分析了产品市场占有率的变化，阐述马尔柯夫分析法用于预测和决策的全过程，建立转移概率矩阵预测企业产品在市场上的竞争力，并通过实例对厂商市场占有率进行预测。

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马尔柯夫链；市场占有率；随机过程；状态分布

1 在市场预测中引入马尔柯夫链的原因

企业是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素随时间的推移而不断地随机变化，产品市场占有率就是其中一个变量，因其变化过程的随机性，用一般的预测方法来预测很难得到准确的结果，马尔柯夫链预测法是一种应用于随机过程预测的科学有效的方法，运用马尔柯夫链的基本原理和方法对数据资料进行运算得出预测结果，因此，很适于对产品市场占有率的预测。

2 马尔柯夫理论概要

2.1 马尔柯夫性

独立随机试验模型最直接的推广就是马尔柯夫链模型，它于1906年由对其进行研究的俄国数学家马尔柯夫而得名。它描述的是这样一类随机过程：

{X n,n=0,1}，对任何一列状态i 2.2 转移概率矩阵

当给定的马尔柯夫链X n在状态i时X n+1处于状态j的条件概率p{X n+1=jX n-i}称作是马尔柯夫链的一步转移概率，记作p n n+1i,j 。马尔柯夫链描述了随机过程进行中状态与状态之间的固定概率的随机游走。

其一步转移矩阵为：P=

P11P12P13┄

P21P22P23┄

P31P32P33┄

┄┄┄┄

转移概率矩阵的行表示某一期随机变量处于各种可能的状态

i1,i2,i3,……;列表示后一期随即变量去向的可能状态j1,j2,j3,……；矩阵的任何一个元素P ij表示某时期变量处于状态i，下一期转到状态j的

概率。由于概率是非负的，而且过程总要转移到某一状态去（过程留在原地也看成是一种转移），所以很自然的，对任何i，j ≥0，有

P ij>0且∞j-0P ij=1。

接着，其N步转移概率矩阵就是，过程最初在状态i，经过n步后转移到状态j的概率，记作，P n ij

即P（n）ij=p{X n+m=jX m=i}……m,n,i,j>0。N步概率转

移矩阵为一步转移概率矩阵的n次幂，它以一个矩阵的形式反映出多步随机转移过程的概率。

2.3 马尔柯夫链模型的建立

设事物有n个互不相容的状态，初始状态为S（0）=［S（0）1S （0）2…… S（0），式子里的S（0）t表示处于状态t的初始状态概率，若经过k步转移后处于阶段i的状态的概率为S（k）i，由Chapman-Kolmogorov方程可知，S（k+1）i=S（K）i·P ij，用矩阵形式表示为：

［S（k+1）1S（k+1）2……S（k+1）3］=［S（k）1 S（k）2……

S（k）n］

也就是说，任何一期的状态都可以由初始状态和一步状态转移概率所决定。

2.4 马尔柯夫链理论在现实生活中的应用

（1）马尔柯夫链在现实中应用的满足条件。

①系统达到每一状态的概率，仅与刚出现过的状态有关。市场占有率随机过程必须满足将来时刻的市场占有率只依赖于当期市场占有率的分布，与过去时刻的市场占有率的转移状态无关。

②在较长时间下，假如变化过程是平稳的话，它将逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。在现实经济活动中指商品价格，市场条件，以及消费者消费水平和偏好等都没有发生变化。

由上述条件可知，马尔柯夫理论的适用范围就是“无后效性”和“平稳性”，所以可以应用马尔科夫模型进行预测。

（2）模型与现实的联系。

任何一期的市场占有率之和都恒等于1。转移概率矩阵P中的元素表示在某一期消费者选择i商品，而在下一期转移到j商品的概率，所以他也同样具有如下性质：

P ij≥0，nj-0P ij=1。

N步转移矩阵就是一步转移矩阵的n次幂。

（3）预测方法。

所以，可以这样理解，未来一期的市场占有率预测值就是以初期市场占有率为条件的各商品市场占有率的条件期望。

②未来n期的市场占有率预测。

3 马尔柯夫链在啤酒市场预测中的应用

3.1 转移概率矩阵的建立

假设本市市场上销售的啤酒主要有三种，由于服务质量、产品质量、广告宣传等因素，客户随时都在发生变化。经过市场调研，我们对1000个消费这三种啤酒的客户进行跟踪调查，收集到初期、期末数据如下，客户变化见表1，同时我们获取了另外两方面的数据：一是初期产品的原客户留失情况见表2；二是从初期到期末产品的客户流动情况见表3。

称为转移概率矩阵，为第步转移概率矩阵，

其中k=1，2┄

现在我们可以根据产品客户转移变化情况建立转移概率矩阵：

它们是转移概率矩阵的主对角元素。

当i≠j时，P ij表示i行啤酒客户失于j列啤酒的概率，也就是j列啤酒得到来自i行啤酒客户的概率，总称为转移概率。

3.2 运用转移概率进行初步市场预测及平衡状态分析

初期A，B，C三种啤酒在市场上的客户数分别为300，320，380，由此建立初期状态的市场占有率：

S（0）=（S（0）1S（0）2┄S（0）n）=（0.3 0.32 0.38）

如果A，B，C三种啤酒的市场占有率转移概率矩阵基本上保持稳定或不变，那么根据马尔柯夫过程分析可以预测到各期的状态向量S（k）=S（0）·P k。

第一期A，B，C三种啤酒的市场占有率为S（1），则S（1）=S（0）·P=（0.319 0.36 0.321）。

同样可以预测出第二期A，B，C三种啤酒的市场占有率：

S（2）=S（0）·P（2）=S（1）·P（0.32555 0.38 0.29445 ）。

这样可以继续预测出第三期，第四期，产品的市场占有率。由预测可以看到A，B两种啤酒的市场占有率逐期上升，而C种啤酒的市场占有率不断下降，但随着时间的推移，三种啤酒的市场占有率会趋于一个平衡状态，我们可以通过马尔柯夫过程分析原理计算得出这一平衡状态。

个结果说明，如果转移概率矩阵保持不变，那么A ，B ，C三种啤酒的市场占有率将分别趋于327%、40%、273%，并保持相对稳定。同时，我们可以通过逐期计算得到，在k=3以后，即第3期以后A，B，C三种啤酒的市场占有率