四年级奥数题组合图形的计数习题及答案(A)
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
2019四年级下数学奥数练习-排列组合综合应用练习题附答案
排列组合综合应用练习题一．夯实基础：1. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．⑴ 四位偶数有多少个？⑵ 四位奇数有多少个？⑶ 四位偶数有多少个？2. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．⑴整数有多少个？⑵是 5 的倍数的三位数有多少个？3. 由 0，2，5，6，7，8 组成无重复数字的数．⑴是 25 的倍数的四位数有多少个？⑵大于 5860 的四位数有多少个？4.一个小组共 10 名学生，其中 4 女生，6 男生.现从中选出 3 名代表，其中至少有一名女生共有多少种选法？二．拓展提高：5.正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有多少个？6.从10 件产品中有4 件次品，现抽取3 件检查，（1）恰好有一件次品的取法有种；（2）既有正品又有次品的取法有种.7.圆周上有十个点，任两点之间连一条弦，这些弦在圆内共有多少个交点？8.用 2，4，6 三个数字来构造六位数，但是不允许有两个连着的 2 出现在六位数中（例如626442 是允许的，但226426 就不允许），问这样的六位数有多少个？三. 超常挑战9.有5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错 3 个标签的可能情况有多少种？10.由 1447，1005，1231 这三个数字有许多相同之处：它们都是四位数，最高位都是 1，都恰有两个相同数字，一共有多少个这样的数？11.某旅社有导游9 人，其中3 人只会英语，2 人只会日语，其余4 个既会英语又会日语．现要从中选6 人，其中3 人做英语导游，另外3 人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?ADB12. 在10 名学生中，有5 人会装电脑，有3 人会安装音响设备，其余2 人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6 人组成的安装小组，组内安装电脑要3 人，安装音响设备要3 人，共有多少种不同的选人方案?13. 在四位数中，各位数字之和是 4 的四位数有多少？四．杯赛演练：14. （迎春杯初赛）6 个人传球，每两人之间至多传 1 次，那么至多共进行几次传球？15. （华杯赛冬令营培训题）如图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有几种？C5 2 4 45 46 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 54 43 34 3 35 46 4 6 4 10 6 10 67 4 6 4 6 4 6 答案：1. （1）注意 0 不能做首位， 5A 3 = 300 个．（2） 个位为特殊位置，只能从 5，7 中选一个；0 是特殊元素，它不能放在千位；综上，四位奇数有C 1C 1 A 2 = 96 个． （3） 位只能在 0，2，6，8 中选择，进一步分成两种情况：若个位为 0，则共有 A 3= 60种；若个位不是 0，则个位从 2，6，8 中选一个，有 3 种方法，然后选择千位，有 4 种方法，最后再选剩余的两位，有 A 2 = 12 种，所以四位偶数有 60 + 3⨯ 4⨯12 = 204 个．2. ⑴包括一位数、二位数、三位数、…、六位数，共有A 1 + A 1A 1 + A 1A 2 + A 1A 3 + A 1A 3 + A 1A 4 + A 1A 5 = 1631个．⑵5 的倍数，则个位为 0 或 5，分两种情况：若个位为 0，则有 A 2 = 20 个；若个位为 5， 则有 A 1 A 1 = 16 个，所以共有 36 个是 5 的倍数的三位数．3. ⑴25 的倍数，在本题的条件下，末两位只可能是 25，50 或 75. 若末两位为 25，则这样的四位数有 A 1A 1 = 9 个；若末两位为 50，则这样的四位数有 A 2 = 12 个；若末两位为 75，则这样的四位数有 A 1A 1 = 9 个，因此能被 25 整除的四位数共有 30 个． ⑵千位如果为 5，则前三位为 586，第四位有 2 或 7 两种选择；前三位若为 587，则四位有 0，2，6 三种选择，所以，千位为 5 总共有 5 个数； 千位如果为 6、7、8，则均有 A 3 = 60 个数，因此，大于 5860 的四位数有5 + 3⨯ 60 =185 个．4. “至少有一名女生”意味着存在女生，也就是说不能都是男生.所以，理解这句话的意思至关重要！我们可以从直接与间接两种方法解这道题，同学们可以比较一下.方法一：直接法.由于共有 4 个候选女生，因此至少有一名女生，包括如下几种情况：⑴1 名女生，2 名男生： C 1C 2= 60 种选法；⑵2 名女生，1 名男生： C 2C 1 = 36 种选法；⑶3 名女生， C 3 = 4 种选法.所以，共有60 + 36 + 4 =100 种选法. 方法二：间接法.先从 10 名学生中任意选出 3 名学生，有C 3 种选法；然后从中扣除没有女生的情况（ 即全是男生的情况）， 有 C 3 种选法. 所以， 至少有一名女生的选法数有C 3 - C 3 = 120 - 20 = 100 ．5. 7 个点中选出 3 个点的方法为C 3 = 35 种，其中三条对角线上的 3 点组合是共线的，不合 要求. 35 - 3 = 32 种．6. ⑴ C 1C 2= 60 种；⑵既有正品又有次品分为：1 件次品，2 件正品；2 件次品，1 件正品两类，即： C 1C 2 + C 2C 1= 60 + 36 = 96 种.10 6 5 4 5 9 1 9 4 4 4 4 5 57. 两条弦的交点与四边形的个数一一对应，因而有C 4 = 210 个交点．8. （1）若六位数中没有 2，则每一位只能从 4 或 6 中选一个，这时有26 = 64 个.（2） 若六位数中只有 1 个 2，则 2 有C 1= 6 种位置选择，其余 5 个位置从 4 或 6 中选取，则有6⨯ 25 =192 个. （3） 若六位数中有 2 个 2，这时有24 ⋅ C 2 =160个（插空法）. （4） 若六位数中有 3 个 2，这时有23⋅ C 3= 32 个；由题意，不可能在六位数中出现4 个4 个以上的2.于是共有64 +192 +160 + 32 = 448 个.9. 将瓶子命名为 1，2，3，4，5 号，如果是 1，2 号瓶贴对，则其余 3 个瓶子都贴错的， 简单枚举可发现有 2 种贴错的情况；而另选两个瓶子贴对，则剩余 3 个瓶子都贴错也是 2 种情况，因此共有C 2 ⨯ 2 = 20 种.10. 由于首位是 1，因此那两个相同数字应该以是否是 1 而分类：⑴若相同数字是 1：另一个 1 有 3 种位置可以选择，另两位数字不能是 1 且不能相同，故有 A 2 种不同排法，因而有m =3A 2= 216 个. ⑵若相同数字不是 1：这时相同数字有 9 种不同选法，这两个相同数字在后 3 位只 有 3 种不同排法，另一位数字既不是 1，又不能与相同数字相同，因此有 8 种不同取法．因而有m 2 = 9⨯ 3⨯8 = 216 个.综上，满足条件的四位数共有216 + 216 = 432 个．11. 此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：⑴只会日语的 2 人都出场，则还需1 个多面手做日语导游，有 4 种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6 人中选3 人做英语导游，有C 3 = 6 ⨯ 5⨯ 4= 20 种选择．由63⨯ 2 ⨯1乘法原理，有4⨯ 20 = 80 种选择．⑵只会日语的2 人中有1 人出场，有2 种选择．还需从多面手中选2 人做日语导游，有C 2 = 4 ⨯ 3= 6 种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5 人中选3 人做英语导游，42 ⨯1 有C3 = 5⨯4 ⨯ 3= 10 种选择．由乘法原理，有2⨯ 6⨯10 =120 种选择．53⨯ 2 ⨯1⑶只会日语的人不出场，需从多面手中选3 人做日语导游，有C 3 = C 1 = 4 种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4 人中选3 人做英语导游，有C 3 = C 1 = 4 种选择．由乘法原理， 有 4⨯ 4 =16 种选择． 根据加法原理， 不同的选择方法一共有 80 +120 +16 = 216 种．12. 按具有双项技术的学生分类：⑴两人都不选派，有C 3 =10 种选派方法；⑵两人中选派1 人，有2 种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，有C 2 = 10 种选法， 而另外会安装音响设备的3 人全选派上，只有1 种选法．由乘法原理，有10⨯1 =10 种选法；若此人安装音响设备，有C 2 = 3 种选法，需从5 人中选3 人安装电脑，有C 3 = 10 种35选法．由乘法原理，有3⨯10 = 30 种选法．根据加法原理，有10 + 30 = 40 种选法；综上 所述一共有2⨯ 40 = 80 种选派方法．⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：① 两人全安装电脑，有5⨯1 = 5 种选派方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备， 有C 2 ⨯ C 2 = 60 种选派方案；③两人全安装音响设备，有3⨯ C 3 = 30 种选派方案．根据加5356 法原理，共有5 + 60 + 30 = 95 种选派方案．综合以上所述，符合条件的方案一共有10 + 80 + 95 =185 种．13. 设原四位数为 ABCD ，按照题意，我们有 A + B + C + D = 4 ，但是对 A 、 B 、C 、 D 要求不同，因为这是一个四位数，所以应当有 A ≠ 0 ，而其他三个字母都可以等于 0，这样就不能使用我们之前的插板法了，因此我们考虑将 B 、C 、 D 都加上 1，这样 B 、C 、 D 都至少是 1，而且这个时候它们的和为4 + 3 = 7 ，即问题变成如下表达：一个各位数字不为 0 的四位数，它的各位数字之和为 7，这样的四位数有多少个？采用插板法，共有 6 个间隔，要插入 3 个板，可知这样的四位数有C 3= 20 个，对应着原 四位数也应该有 20 个.14. 6 个点间进行连线，共可以连成15 条，但是由题意知这是个一笔画问题，若把这些线全连上，则图形中有 6 个奇点，不能一笔画，因此至少要去掉 2 条线（以去掉 4 个奇点），所以至多共进行15 - 2 =13 次传球.15. 本题考察对应与转化思想.可以这样考虑：先把四个点间所有能连的线都连起来，共有C 2 = 6 种方法，然后从这 6 条线中选择 3 条将其去掉，有C 3 = 20 种选法，但是连在同46一个点上的三条线不能同时去掉，所以必须再去掉 4 种情况，所以共有 16 种.。
精选四年级排列组合奥数题及答案
精选四年级排列组合奥数题及答案奥数的世界更是魅力无穷 ,它会激发学生对数学的好奇心 ,拓宽学生的思路。
下面是为大家收集到的四年级排列组合奥数题及答案 ,供大家参考。
1.排列、组合等问题从6幅国画 ,4幅油画 ,2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室 ,问有几种选法?解答：6×4=24种6×2=12种4×2=8种24+12+8=44种【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况 ,即可分三类 ,自然考虑到加法原理。
当从国画、油画各选一幅有多少种选法时 ,利用的乘法原理。
由此可知这是一道利用两个原理的综合题。
关键是正确把握原理。
符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅 ,可以想像成 ,第一步先在6张国画中选1张 ,第二步再在4张油画中选1张。
由乘法原理有6×4=24种选法。
第二类为：国画、水彩画各一幅 ,由乘法原理有6×2=12种选法。
第三类为：油画、水彩画各一幅 ,由乘法原理有4×2=8种选法。
这三类是各自独立发生互不相干进行的。
因此 ,依加法原理 ,选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 24+12+8=44种。
2.排列组合从1到100的所有自然数中 ,不含有数字4的自然数有多少个?解答：从1到100的所有自然数可分为三大类 ,即一位数 ,两位数 ,三位数.一位数中 ,不含4的有8个 ,它们是1、2、3、5、6、7、8、9;两位数中 ,不含4的可以这样考虑：十位上 ,不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况.个位上 ,不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况 ,要确定一个两位数 ,可以先取十位数 ,再取个位数 ,应用乘法原理 ,这时共有8×9=72 个数不含4.三位数只有100.所以一共有8+8×9+1=81 个不含4的自然数.以上是查字典数学网为大家准备的四年级排列组合奥数题及答案 ,希望对大家有所帮助。
四年级奥数题：图形的计数
四年级奥数题：图形的计数2(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--四奥线段与长方形的计数训练一、填空题:1.数一数下图共有( )条线段.( )条. ( )条.2.数一数下图共有( )条线段.( )条. ( )条.3.下列图中各有几个三角形:4.下图中各有（）个三角形.5.下图中有( )个长方形.③6.数一数下图有（ ）个长方形.7.下图共有（ ）个长方形.8.数一数图中长方形的个数.9.数一数下面各图有多少个长方形.10.下图中一共有几个长方形?二、解答题:1.数一数下面各图有多少个正方形？2.下图有多少个正方形多少个长方形3.下图有多少个长方形?———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 16; 30.2. 36; 27.3. ①18; ②27; ③20.4. ①33; ②24.a b5. 10个.图中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关,每一条线段对应一个长方形,所以长方形的个数等于AB边上线段的条数,即长方形个数为:4+3+2+1=10(个).6. 30个.图中AB边上共有线段4+3+2+1=10条.BC边上共有线段: 2+1=3(条),把AB上的每一条线段作为长, BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为:(4+3+2+1)⨯(2+1)=10⨯3=30(个).7. 60个.图中,依据计算上图中长方形个数的方法:可得长方形个数为:(4+3+2+1)⨯(3+2+1)=60(个).一般情况下,如果有类似图中的任一个长方形一边上有1n个分点(不包括-这条边的两个端点),另一边上有1m个分点(不包括这条边的两个端点),通过-这些点分别作对边的平行线且与另一边相交,这两组平行线将长方形分为许多长方形,这时长方形的总数为:(1+2+3+……+m)⨯（1+2+3+……n）.8. 共有90个.AB边上分成的线段有:5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有: 3+2+1=6.所以共有长方形: (5+4+3+2+1)⨯(3+2+1)=15⨯6=90(个).9. 15个; 45个.10. (3+2+1)⨯(5+4+3+2+1)=6⨯15=90(个).二、解答题:1. a: 4⨯4+3⨯3+2⨯2+1⨯1=30(个)b: 6⨯6+5⨯5+4⨯4+3⨯3+2⨯2+1=91(个)2. 32个正方形.126个长方形.3. a: 10个. b: 15个.4. 15 个.。
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第2讲：图形计数(教师版)
第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。
二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。
例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
4年级奥数几何计数问题例题
例1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?[分析与解]把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．所以，总共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【巩固提高】1．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.2.右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.3.数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.例2．如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?[分析与解]横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【巩固与提高】1．如图下图是一个4×328的长方形，每个小正方形的边长为1厘米，请你计算这个图形中所有线段的长度之和是多少？例3．图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?[分析与解]把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．或直接数出有121个．例4．如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？[分析与解]如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．【巩固提高】如图一个正六边形，每条边上均与分布着998个点（不包括两个端点），分别连接不相邻的两条边上相互对应的两点，这样就把这个六边形分割成多个等边三角形，请问可以分割出多少个等边三角形？例5．如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．[分析与解]确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．于是横向线段有(1+2+3+4)＝10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．例6．如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?[分析与解]我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*”．【巩固提高】1.下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2．如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?[分析与解]图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．例7．图19-7是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?[分析与解]每个4×4正方形中有：边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．例8．图19-8中共有多少个三角形?[分析与解]边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．例9．图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?[分析与解]设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．【巩固提高】1.图形中有_____个三角形.2．下图中共有_____个正方形.例10．在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?[分析与解]下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．【巩固提高】在下图中有多少条线段，有多少个三角形？例11．如图19-12，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?[分析与解]按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．【巩固提高】1.如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.3．如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?[分析与解]我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．例12．如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?[分析与解]我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA 均是同一个图形．所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．【巩固提高】1.下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?例13．如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?[分析与解]如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7×6×5×4)÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．那么需要排除的情况有4×3＝12种．所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．【巩固提高】如下图，在三角形AFJ的边界上有A，B，C，……J，K，L共12个点，以这12个点中的3个点位顶点的三角形共有多少个？。
【免费下载】石头老师四年级奥数竞赛班图形计数专题
( )条
2、一条直线上共有 50 个点,可以数出( )条线段. 3、数一数下图共有( )条线段.
( )条. 4、下图中各有（ ）个三角形.
5、数一数下图有（ ）个长方形.
D
A
6、右图一共有( )个长方形?
7、右图一共有( )个正方形？ 8、下图共有( )个平行四边形.
C
B
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(完整版)四年级奥数第一讲_图形的计数问题
第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右图中总合有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），因此∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：图中总合有10 个角。
方法 2：用公式计算：边数×（边数—1）÷ 25 ×（ 5-1 ）÷ 2=10练一练：数一数右图中总合有多少个角？例（ 2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看 BC、MN、 GH 这 3 条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ ABC中，被 GH和 MN分红了三层，每一层的三角形同样多，因此只需算出一层三角形个数就能够了。
(5 ×4÷2)×3=30(个)答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。
练一练：图中共有多少个三角形？例（ 3）数一数图中长方形的个数解析：长边线段有：6× 5÷ 2=15宽边线段有： 4 ×3÷2=6共有长方形： 15×6 = 90（个）答：共有长方形90 个。
四年级奥数题：数阵图习题及答案(A)
四、数阵图(A卷)
_____年级_____班姓名_____ 得分_____
1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.
2. 把1~8.
3. 把1~9.
4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.
5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.
6. 把1~
7.
7. 把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等,两个八边形上8个数的和也相等.
8. 把4~9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18.
9. 把1~8这8个数填入下图,使每边上的加、减、乘、除成立.
10. 把0~9填入10个小三角形中,使每4个小三角形组成的大三角形的和相等.
11. 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等.
12. 把1~8,填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等.
13. 把1~9,填入下图中,使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等.
14. 把17,23,25,31,46,53,58,66,72,88,94,100十二个数填入下图,使任意三个相邻的数相加的和除以7的余数相等.
———————————————答 案——————————————————————
1. a . b . c .
d .
e .
f .
2. 3.
b
4.
5.
6. a. b. c.
8.
9.
10.
12.。
小升初小学数学几何图形应用题专题练习《组合图形的计数》答案详解
几何图形—专题01《组合图形的计数》一．选择题1．（2019秋•丰台区期末）如图中，一共有线段()条．A．5B．7C．8D．9【解答】解：(321)(21)++++=+63=（条)9答：一共有线段9条．故选：D．2．（2019秋•皇姑区期末）数一数，图形中有()个三角形．A．3B．4C．5D．6【解答】解：根据题干分析可得：3216++=（个)．答：图形中有6个三角形．故选：D．3．（2019秋•白云区期末）如图，以给出的点为端点，能画出()条线段．A．5B．6C．无数条++=（条)【解答】解：3216答：能画出6条线段．故选：B．4．（2019秋•迎江区期末）图中共有()条线段．A．8B．9C．10+++=（条)．【解答】解：根据线段的定义可得：图中的线段有：432110答：图中共有10条线段．故选：C．5．（2019•郑州）如图所示，已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的格点上，点C也在小方格的格点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则满足条件的C点的个数为()A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个∆的面积为1时，可分两种情况；当底边为2，高为1时，如图：【解答】解：由分析可知：ABC有6种情况；当底边为1，高为2时，没有符合的点使三角形的面积为1，所以符合条件的格点C共有6个．故选：D．6．（2018秋•长春期中）把6个完全相同的小正方体摆放在墙角，()摆法露在外面的面最多．A．B．C．D．++=（个)【解答】解：A、54312++=（个)B、54413C、54413++=（个)++=（个)D、55414<<121314故选：D．7．如图，每个小方格里最多放入一个“☆”，要想使得同一行、同一列或对角线上的三个小方格都不同时出现三个“☆”，那么这九个小方格里最多能放入()个．A．1B．5C．6D．7++=（个)，【解答】解：如图2226答：九个小方格里最多能放入“☆”6个．故选：C．8．如图是用三个大小相等的圆制作出的图案，这个图案可以分割出10个同样的扇形．照这样用五个大小相等的圆制作出的图案，可以分割出()个同样的扇形．A．12B．14C．16+-⨯【解答】解：6(51)268=+=（个)14答：可以分割出14个同样的扇形．故选：B．二．填空题9．（2019秋•濉溪县期末）如图中有7个梯形，个平行四边形，个三角形．++=（个)【解答】解：梯形有：3227平行四边形有4个三角形有4个．答：有7个梯形，4个平行四边形，4个三角形．故答案为：7；4；4．10．（2019秋•薛城区期末）观察图中数角．3个直角，个锐角，个钝角．【解答】解：观察图可知：3个直角，7个锐角，2个钝角．故答案为：3，7，2．11．（2019春•端州区月考）是由4个小三角形拼成的．【解答】解：根据分析可得，+=（个)134答：是由4个小三角形拼成的．故答案为：4．12．（2019•深圳）如图中共有27个等边三角形．【解答】解：单个的小三角形有16个，由4个小三角形组成的三角形有7个，9个小三角形组成的大三角形有3个，16个小三角形组成的大三角形有1个，+++=（个)1673127答：如图中共有27个等边三角形．故答案为：27．13．（2019•北京模拟）用同样大小的木块堆成了如图所示的形状，这里共用了50个木块．【解答】解：第1层木块的个数为16，第2层木块的个数为15，第3层木块的个数为12，第4层木块的个数为7，+++=（个)161512750答：这里共用了50个木块．故答案为：50．14．（2019•湘潭模拟）平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了85条线段．【解答】解：将15个点分为5组，每组分别有1，2，3，4，5个点，⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷(114213312411510)2=÷170285=（条)答：这15个红点间最多连了85条线段．故答案为：85．15．（2018秋•沧州期末）图中有10条线段．【解答】解：由图可知：以A、B、C、D、E为起点的线段各有4条；则图中线段的条数，剔除重复计算的线段后共有：⨯÷452202=÷=（条)．10答：图中有10条线段．故答案为：10．16．（2018秋•长阳县期末）图中有10条线段，条射线，条直线．【解答】解：由分析可知：图中有10条线段，10条射线，1条直线；故答案为：10，10，1．17．（2018春•青龙县期末）如图中一共有55个三角形．++⋯++++【解答】解：底边上线段一共有：1094321=⨯+÷10(101)2=（个)55所以一共有55个三角形．故答案为：55．三．判断题18．（2019秋•文水县期末）淘气数出如图中有16条线段．⨯（判断对错）【解答】解：根据题干分析可得：(54321)26++++⨯+1526=⨯+306=+36=（条)所以图中一共有36条线段，淘气的说法是错误的．故答案为：⨯．19．（2019•亳州模拟）在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成38条线段．⨯（判断对错）【解答】解：8765432136+++++++=（条)即，在一条线段上共有9个点，则这9个点可以构成36条线段．原题说法错误．故答案为：⨯．20．（2018秋•惠州期末）如图，一共有15条线段．⨯（判断对错）【解答】解：762⨯÷422=÷21=（条)答：一共有21条线段．故题干的说法是错误的．故答案为：⨯．21．（2018•上海）在一条线段中间另有6个点，则这8个点可以构成27条线段．⨯（判断对错）【解答】解：这条线段上有628+=个点故这条线段上的线段共有：(1)8(81)2822n n-⨯-==（条)．原题说法错误．故答案为：⨯．22．在一张纸上画3条直线，最多可以将纸分成7部分．√（判断对错）+++=（部分）【解答】解：11237答：最多可以将纸分成7部分．故题干的说法是正确的．故答案为：√．四．应用题23．如图中一共有几个角？⨯÷【解答】解：652=÷302=（个)15答：图中一共有15个角．24．观察下面的图，数一数，图中有多少个三角形？【解答】解：图中单个的三角形有16个；2个组合的三角形有16个；4个组合的三角形有8个；8个组合的三角形有4个．+++=（个)．所以共有三角形：16168444答：图中有44个三角形．25．（2015•徐州）今有长度分别为1，2，⋯，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”由这一组线段恰好可以拼成一个正方形，请通过分析说明这样的“线段组”的组数总共有多少？【解答】解：不同的选法有9种：选用8条的3种：+=+=+=+（边长为11)，第1种（不用1):29384756+=+=+=+（边长为10)，第2种（不用5):19283746+=+=+=+（边长为9)，第3种（不用9):18273645选用7条的6种：+=+=+=（边长为9)，第4种（不用1和8):2736459+=+=+=（边长为9)，第5种（不用2和7):1836459+=+=+=（边长为9)，第6种（不用3和6):1827459+=+=+=（边长为9)，第7种（不用4和5):1827369+=+=+=（边长为8)，第8种（不用4和9):1726358+=+=+=（边长为7)，第9种（不用8和9):1625347=+=+，还剩3选用6条以下的除了最大的一条边，其余最多剩5条组成不了另三条相等的边如：61524没法组成6了．答：这样的“线段组”的组数总共有9种．26．一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？-=份，【解答】解：每相邻的两点之间的距离看作1个单位长度，最长的线段有21120(201)202+⨯÷=⨯2110=（个)210⨯÷+⨯÷+⨯÷+⋯+⨯÷+⨯÷2120220192191823222121=⨯⨯⨯÷(202122)321540=⨯=（厘米）415406160答：所有线段长度的总和是6160厘米．五．操作题27．（2017秋•瑞金市期中）数一数每个图形各有多少个小正方体．++=（个)【解答】解：（1）4318++=（个)（2）54110++=（个)（3）86317++=（个)（4）74213故答案为：8、10、17、13．28．（2017秋•瑞金市期中）数一数．图1一共10个角图2 一共有个三角形，个梯形，个平行四边形．-⨯÷【解答】解：（1）(51)52=÷202=（个)10答：一共10个角．+=（个)（2）三角形有112+++=（个)梯形有11114+=（个)平行四边形有213答：图中有2个三角形，4个梯形，3个平行四边形．故答案为：10；2，4，3．29．数一数、填一填．++=（个)【解答】解：（1）3216答：一共有6个角．++=（个)（2）94114答：一共有14个角．故答案为：．30．在“三子棋”中．棋盘为九宫格（如图），请问九宫格中可以三格相连的直线共有几条？并在图中画出来．【解答】解：如图答：九宫格中可以三格相连的直线共有8条．并在图中画出来如上图．31．（2016秋•七里河区校级期中）数一数15条线段．++++=（条)【解答】解：1234515答：有15条线段．故答案为：15．32．（2015秋•武汉期中）数数图中有多少条线段++++++【解答】解：(123)(1234)=+610=（条)16答：图中有16条线段．33．（2015春•江门校级期末）数一数，下面的图形有几个梯形？几个平行四边形？梯形有15个，平行四边形有个．【解答】解：由分析得出：++++++=（个)212133315平行四边形有3个答：梯形有15个，平行四边形有3个．故答案为：15，3．34．用四条直线分别画出交点数是1、3、5个的图形．（下图是交点数为4个的图形）．4条直线最多能有几个交点？【解答】解：如图：答：4条直线最多能有6个交点．35．（1）请画一个60度的角（2）请画一个比平角小45度的角．（3）下图中各有几个角？【解答】解：（1）（2）（3）六．解答题36．（2019秋•綦江区期末）图中直角有5个，锐角有个，钝角有个．【解答】解：观察图形可知，图中直角有5个，锐角有2个，钝角有1个．故答案为：5，2，1．37．（2019秋•会宁县期末）下图一共有10条线段．【解答】解：由题意可得，图形中的线段有：AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10条．故答案为：10．38．（2019春•黄冈期末）在原图中，分别添加1条、2条、3条竖线，每幅图中各包含多少个长方形？请将个数填入图形下方的括号里．【解答】解：由分析可得：故答案为：3；6；10．39．（2018秋•涿州市期末）数一数．【解答】解：角：4(41)62⨯-=（个)线段：5(51)102⨯-=（条)正方形：11⨯的正方形有6个，由22⨯个小方格构成的正方形有2个，628+=（个)如图所示：故答案为：6，10，8．40．（2018秋•高碑店市期末）观察如图所示的图形，第（1）个图形有3个三角形，第2个图形有8个三角形．（1）数一数，第（3）个图形中共有15个三角形；笫（4）个图形中共有个三角形．（2）根据你发现的规律判断：第(20)个图形共有个三角形．【解答】解：（1）(321)23++⨯+623=⨯+123=+15=（个)(4321)24+++⨯+1024=⨯+=+204=（个)24答：第（3）个图形中共有15个三角形；笫（4）个图形中共有24个三角形；（2）由（1）的计数方法可得：+⨯÷⨯+(120)202220=⨯÷⨯+21202220=+42020=（个)440答：第(20)个图形共有440个三角形．故答案为：15；24；440．41．（2016秋•七里河区校级期中）图中共有10个角．+++=（个)【解答】解：根据题干分析可得：432110答：一共有10个角．故答案为：10．。
2018四年级奥数.计数综合.组合(A级).学生版
考试要求1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识结构一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅．组合因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ m m n nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n nC C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：（1）m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．（2）m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．（3）m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．四、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．重难点（1）组合数公式（2）插板法例题精讲一、组合之计算问题【例1】计算：26C ，46C 欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】计算：27C ，57C ．【例2】计算：⑴198200C ；⑵5556C ；⑶981001001002C C -．【巩固】计算：⑴312C ；⑵9981000C ；⑶2288P C -．二、组合之基本应用【例3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【例1】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【例2】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？【例3】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？【巩固】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？三、组合之插板法【例4】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【例5】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。
20181122小学奥数练习卷(知识点：组合图形的计数)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：组合图形的计数）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．在8×8网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个8×8网格中共有（）枚黑色棋子．A．42B．32C．22D．122．小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（）张．A．571B．572C．573D．5743．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色围棋子．A．18B．14C．12D．104．在如图中，一共能数出（）个含有“☆”的长方形．A．8B．10C．12D．145．如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出（）个正三角形．A．6B．10C．13D．15第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共34小题）6．如图，三角形中一共有个梯形．7．用长短相同的火柴棍摆成5×1997的方格网，每一个小方格的边长为一根火柴棍长（如图），共需用根火柴棍．8．在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可被分成部分．9．如图是一些等腰直角三角形组成的图形，图中一共有个三角形．10．如图中有个正方形．11．如图是一个左右对称的美丽图形，图中总共有个三角形．12．图中有个小正方体．13．数一数，图中共有个三角形．14．如图是历史上著名的5个柏拉图立体，它们的顶点数数分别为15．圆上的50个点A1，A2，A3，…，A50将该圆分为50段等弧，以这50个点中的某些点为顶点，一共可以得到个不同的正多边形．16．图中共有个长方形．17．如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有个．18．有8个表面涂满绿漆的正方体，其棱长分别为7，9，11，…，21，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，在这些小正方体中，有个至少是一面有漆．19．图中有个三角形，有条线段．20．如图，我们可以用13根木棍搭出图1中的两层图形，用26根小棍搭出图2中的三层图形，用43根小棍搭出图3中的四层图形，为了搭出一个五层图形，需要根小棍21．如图，在这个图形中共有个平四边形22．数一数，图中共有个三角形23．如图中，共有个锐角．24．如图中，一共有个三角形．25．图中，一共有个三角形．26．将四边形的任意一边延长，四边形其余两个顶点总在同一侧的四边形称为凸四边形，如图中共有个凸四边形．27．今天是4月4日，图4.4中共有个三角形．28．如图中有个三角形．29．数一数，图中共有个正方形．30．由35个边长为1的小正方形拼成一个7*5的长方形，其中有一格含有“☆”．图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个．31．如图是上幼儿园的小毛球写的“中国”两个字，图中一共能数出个长方形．32．如图，图中3个大三角形都是等边三角形，则图中共有个三角形．33．在平面上用长度为6厘米的牙签棒摆正方形，摆出一个长为6厘米的正方形需要4根牙签棒，摆出5个这样的正方形至少需要根牙签棒．34．图中有个长方形．35．下图“七角星”中共有个三角形．36．图中一共能数出正方形．37．图中，A、B、C、D、E是正五边形各边的中点，那么，图中共有个梯形．38．图中，A、B、C、D、E是正五边形各边的中点，那么，图中共有个梯形．39．如图由5个大小相同的正方形构成．以图中12个点为顶点的三角形共有个．三．解答题（共11小题）40．数一数，图中有多少个三角形？41．数一数，图中包含“☆”的长方形（包含正方形）有多少个？42．从图中任意选择四个点，可组成多少个不同的正方形？（不同的点组成的正方形视为不同的正方形）43．数一数，图中有多少个长方形（包含正方形）？44．数一数，图中有多少个三角形？45．如图中共有个平行四边形．46．数一数下面的图形．个长方形．47．长方形内有2017个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2021个点，任意3个点都不在同一条直线上，以这2021个点中的某三点为顶点，可作出个互不重叠的三角形．48．平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？49．平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？50．如图，一个边长为3的正六边形被3组平行于其边的直线分割成边长为1的54个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．在8×8网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个8×8网格中共有（）枚黑色棋子．A．42B．32C．22D．12【分析】结合题意，我们知道：每列白棋数目相等，说明白棋的数量是8的倍数；每行不相等，说明白棋每行从0、1、2、3、4、5、6、7、8中选8个数；最终组合中总数是8的倍数的只有0、1、2、3、5、6、7、8．这样便可求得白棋枚数是0+1+2+3+5+6+7+8=32枚，则黑棋的枚数就是总枚数8×8减去白棋的枚数32．【解答】解：由分析得0+1+2+3+5+6+7+8=32（枚）8×8﹣32=32（枚）故选：B．【点评】解答此题的关键是理解“每列白棋数目相等，说明白棋的数量是8的倍数；每行不相等，说明白棋每行从0、1、2、3、4、5、6、7、8中选8个数”即可．2．小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（）张．A．571B．572C．573D．574【分析】先找规律，第一次放1张纸片；后面每一次增加3（n﹣1）个三角形，所以第二次放1+3张纸片；第三次放1+3+6张纸片；第四次放1+3+6+9张纸片；据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，第20次摆放后，该图形共用：1+3+6+9+…+3×（20﹣1）=1+3+6+9+…+57=（3+57）×（20﹣1）÷2+1=570+1=571（个）答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张．故选：A．【点评】本题考查了图形的计算，要几何图形的排列规律，得出后面每一次增加3（n﹣1）个三角形．3．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色围棋子．A．18B．14C．12D．10【分析】根据题意可知，每行的数目可以为0、1、2、3、4、5、6个，又由于每列都相等，所以总和一定是6的倍数，然后从这7个数中去掉一个数，是剩下的6个数的和是6的倍数即可解决问题，如下图（剩下的位置放黑色围棋子）．【解答】解：每行的数目可以为0～6个，每列都相等，所以一定是6的倍数，0+1+2+3+4+5+6=21，如果去掉3，那么剩下的数：21﹣3=18正好是6的倍数，所以，白棋子有18个，则，黑色围棋子有：6×6﹣18=18（个）故选：A．【点评】本题解答的难点是确定，每列都相等，且总和一定是6的倍数．4．在如图中，一共能数出（）个含有“☆”的长方形．A．8B．10C．12D．14【分析】下面一行中，含有五角星的有6个；加上上一行（即两行），也有6个，共有6+6=12（个）；据此即可解答．【解答】解：根据分析可得，共有：6+6=12（个）；答：图中，一共能数出12个含有“☆”的长方形．故选：C．【点评】要注意分类计数，做到不重不漏．5．如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出（）个正三角形．A．6B．10C．13D．15【分析】连线如上图，分单个的三角形，4个三角形组成的大三角形，和最外面的最大的三角形，三类计数即可；【解答】解：单个的三角形有9个，4个三角形组成的大三角形3个，最外面的最大的三角形1个，共有：9+3+1=13（个）答：用橡皮筋可套出13个正三角形．故选：C．【点评】此题考查了组合图形的计数，应注意分类计数，以免重复，防止遗漏．对于此类题目一定要有序地查找．二．填空题（共34小题）6．如图，三角形中一共有28个梯形．【分析】根据梯形的定义，分上、下底水平的梯形和上、下底竖直的梯形分类计数，然后再相加即可求解．【解答】解：首先考虑上、下底水平的梯形的个数．（1）高为1的梯形有6+3+1=10个；（2）高为2的梯形有2+1=3个；（3）高为3的梯形有1个．因此，上、下底水平的梯形共有10+3+1=14个；同理，上、下底竖直的梯形也有14个，故图中共有梯形：2×14=28（个）．故答案为：28．【点评】此题考查组合图形的计数，解决此题的关键是根据定义数清组合的梯形，注意按照一定的顺序计数，以免重复和遗漏．7．用长短相同的火柴棍摆成5×1997的方格网，每一个小方格的边长为一根火柴棍长（如图），共需用21972根火柴棍．【分析】火柴棍共有6行和1998列，分别算出多少根即可．【解答】解：（1997+1）×5+（5+1）×1997=21972故填21972．【点评】此题重在分析火柴棍的列数和行数．8．在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可被分成15部分．【分析】在一个长方形内画三个圆，要使这个长方形被分成的部分最多，就要使圆与圆，圆与长方形之间的交点尽量多，据此画图即可．【解答】解：画图如下：所以，这个长方形最多可被分成15部分．故答案为：15．【点评】本题考查了图形的划分，关键是明确如何使交点尽量多．9．如图是一些等腰直角三角形组成的图形，图中一共有23个三角形．【分析】由该图是一个轴对称图形可先数一侧的三角形，而上边单个三角形有6个、由2个、3个、4个、5个、6个三角形组合而成的三角形各1个，知左侧共有11个三角形，补上最大的三角形可得出图中总共有三角形11×2+1=23个．【解答】解：由于该图形是轴对称图形，所以可先数一侧的三角形，再补上最大的三角形即可，即图中共有三角形11×2+1=23个，故答案为：23．【点评】本题主要考查组合图形的计数，掌握组合图形的计数实质上就是分类数图形是关键，解决方法是：（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏．10．如图中有17个正方形．【分析】先确定如图所示基本图形中小正方形的个数，由原图中有4个这样的基本图形，且前后两个基本图形有1个重叠的小正方形可得答案．【解答】解：如图，有正方形ABOH、正方形BCDO、正方形DEFO、正方形FGHO 和正方形ACEG这5个，原图中有4个这样的基本图形，且前后两个基本图形有1个重叠的小正方形，所以原图中正方形有5×4﹣3=17个，故答案为：17．【点评】本题主要考查组合图形的计数，组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法是（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏．11．如图是一个左右对称的美丽图形，图中总共有23个三角形．【分析】由该图是一个轴对称图形可先数一侧的三角形，而左侧单个三角形有6个、由2个、3个、4个、5个、6个三角形组合而成的三角形各1个，知左侧共有11个三角形，即可得出图中总共有三角形11×2+1=23个．【解答】解：由于该图是一个轴对称图形，所以可以先数一侧的三角形，所以图中总共有三角形11×2+1=23个，故答案为：23．【点评】本题主要考查组合图形的计数，掌握组合图形的计数实质上就是分类数图形是关键，解决方法是：（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏．12．图中有18个小正方体．【分析】从正面看有3层，第一层（最上层）有1个，第二层有7个，第三层有10个，然后把这三层的个数相加即可．【解答】解：1+7+10=18（个）；答：图中有18个小正方体；故答案为：18．【点评】本题要结合图形的正面观测，把每一层的个数相加即可．13．数一数，图中共有15个三角形．【分析】中间横斜线上面三角形有4+3+2+1=10个，下面有2个，中间竖着的长斜线又分成了3个三角形，据此解答即可．【解答】解：（4+3+2+1）+2+3=10+2+3=15（个）答：图中共有15个三角形．故答案为：15．【点评】此题主要考查了图形计数方法的应用，根据数线段（数角）的方法进行分析解答即可．14．如图是历史上著名的5个柏拉图立体，它们的顶点数数分别为4，8，6，20，12【分析】柏拉图多面体也就是正多面体，共有图中的5个，分别是：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．【解答】解：正四面体的顶点数：4，正六面体（正方体）的顶点数：8，正八面体、的顶点数：6，正十二面体的顶点数：20，正二十面体的顶点数：12，故答案为：4，8，6，20，12．【点评】正多面体只有这5个，它们的性质要了解清楚．15．圆上的50个点A1，A2，A3，…，A50将该圆分为50段等弧，以这50个点中的某些点为顶点，一共可以得到18个不同的正多边形．【分析】由于题目要求是正多边形，因此正多边形的边数必须是50的约数，根据50的约数情况进行分情况加和即可．【解答】解：50=2×5×5，因此大于3的50的约数有5、10、25、50．当多边形为五边形时，可以得到50÷5=10个；当多边形为正十边形时，可以得到50÷10=5个；当多边形为正二十五边形时，可以得到50÷25=2个；当多边形为正五十边形时，可以得到50÷50=1个．共10+5+2+1=18个．故答案为：18．【点评】本题的突破口在于能想到正多边形的边数必须为50的约数，难度中等．16．图中共有7个长方形．【分析】此题采用分类的方法解答．（1）由1个图形构成的有4个；（2）由2个图形构成的有1个；（3）由3个图形构成的有1个；（4）由4个图形构成的有1个；【解答】解：（1）由1个图形构成的有4个；（2）由2个图形构成的有1个；（3）由3个图形构成的有1个；（4）由4个图形构成的有1个；答：图中共有7个长方形．故答案为：7．【点评】本题考查了对平面图形的认识，在数长方形的个数时，要有规律地进行分类．17．如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个．【分析】12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线，所以共有=15个矩形，据此解答即可．【解答】解：12个等分点是6条直径的端点，共有：==15（个）答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个．故答案为：15．【点评】本题考查了图形的计数和排列组合知识的综合应用，关键是确定以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线．18．有8个表面涂满绿漆的正方体，其棱长分别为7，9，11，…，21，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，在这些小正方体中，有9136个至少是一面有漆．【分析】分别找到棱长为7，9，11，…，21所分成的棱长为1的小正方体至少是一面有漆的小正方体的个数，相加即可求解．【解答】解：边长为7的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有7×7×2+7×5×2+5×5×2=218（个）；边长为9的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有9×9×2+9×7×2+7×7×2=386（个）；边长为11的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有11×11×2+11×9×2+9×9×2=602（个）；边长为13的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有13×13×2+13×11×2+11×11×2=866（个）；边长为15的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有15×15×2+15×13×2+13×13×2=1178（个）；边长为17的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有17×17×2+17×15×2+15×15×2=1538（个）；边长为19的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有19×19×2+19×17×2+17×17×2=1946（个）；边长为21的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有21×21×2+21×19×2+19×19×2=2402（个）．则在这些小正方体中，有218+386+602+866+1178+1538+1946+2402=9136个至少是一面有漆．故答案为：9136．【点评】考查了组合图形的计数，本题注意不同棱长的正方体至少是一面有漆的个数为棱长×棱长×2+棱长×（棱长﹣2）×2+（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×2．19．图中有3个三角形，有6条线段．【分析】（1）图中有3个三角形，两个小三角形和由两个小三角形组成的大三角形，共3个三角形；（2）根据线段的特点：有2个端点，有限长，进行数出即可．【解答】解：三角形：2+1=3（个）；线段：（1+2）+3=6（条）．答：图中有3个三角形，有6条线段．故答案为：3，6．【点评】解答此题应根据角、线段和三角形的含义进行解答．要注意按顺序计数，防止遗漏．20．如图，我们可以用13根木棍搭出图1中的两层图形，用26根小棍搭出图2中的三层图形，用43根小棍搭出图3中的四层图形，为了搭出一个五层图形，需要64根小棍【分析】比较图1和图2，多了下面5个正方形，就多了2×5+3=13根小棒；比较图2与图3，多了7个小正方形，多了2×7+3=17根小棒；照这个规律去推算．【解答】解：图4比图3多了9个小正方形，多用2×9+3=21根小棒，变成43+21=64根小棒．故填64【点评】此题的关键是找出相邻两个图形之间的变化规律，然后利用规律解题．21．如图，在这个图形中共有15个平四边形【分析】观察大正三角形的每条边上有6个平行四边形，共有6×3=18个，再去掉重复计算的3个即可．【解答】解：6×3﹣3=18﹣3=15（个）答：在这个图形中共有15个平行四边形．故答案为：15．【点评】此题主要考查图形计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．22．数一数，图中共有16个三角形【分析】观察图形可知，单三角形一共有8个，两个小三角形组成的大三角形有4个；四个小三角形组成的三角形有4个，由此即可解答．【解答】解：根据分析可得，8+4+4=16（个）答：图中共有16个三角形．故答案为：16．【点评】本题关键是要按顺序计数，防止遗漏．23．如图中，共有10个锐角．【分析】图中每两条射线都可以组成锐角，如果有n条射线，则有n（n﹣1）÷2 个角，本题有5条射线，由此代入数值，进行解答即可．【解答】解：5×（5﹣1）÷2=20÷2=10（个）；答：图中一共有10个锐角故答案为：10．【点评】本题考查了如何数角，结合图形可以看作握手问题，即每两条射线“握手”一次，注意数形结合的思想．24．如图中，一共有32个三角形．【分析】先把外面大正方形分成四部分，每部分有5个小三角形，共有5×4=20个，加上以正方形边长为直角边的4个，共有20+4=24个；四部分中，每相邻的两部分又交叉有2个三角形（红、蓝），共有2×4=8个；然后把上述两种情况的个数相加即可．【解答】解：根据分析可得，5×4+4+2×4=24+8=32（个）答：一共有32个三角形．故答案为：32．【点评】此题主要考查了分类计数问题，应注意先拆分再分类计数，以免重复，防止遗漏．25．图中，一共有32个三角形．【分析】先把外面大正方形分成四部分，每部分有5个小三角形，共有5×4=20个，加上以正方形边长为直角边的4个，共有20+4=24个；四部分中，每相邻的两部分又交叉有2个三角形（红、蓝），共有2×4=8个；然后把上述两种情况的个数相加即可．【解答】解：根据分析可得，5×4+4+2×4=24+8=32（个）答：一共有32个三角形．故答案为：32．【点评】此题主要考查了分类计数问题，应注意先拆分再分类计数，以免重复，防止遗漏．26．将四边形的任意一边延长，四边形其余两个顶点总在同一侧的四边形称为凸四边形，如图中共有20个凸四边形．【分析】首先在图中标注10个基本图形，再利用定义分类讨论，即可得出结论．【解答】解：首先在图中标注10个基本图形，由一个基本图形构成的凸四边形有（1）（2）（3），共3个；由两个基本图形构成的凸四边形有（1，4）（2，4）（2，5）（3，5）（6，7）（6，8），共6个；由三个基本图形构成的凸四边形有（6，7，9）（6，8，10），共2个；由四个基本图形构成的凸四边形有（1，2，4，8）（2，3，5，7）（1，8，6，9），（3，7，6，10），共4个；由五个或五个以上基本图形构成的凸四边形有ABFD，AFCD，ADCE，ABGD，ABCD，共5个，综上所述，一共有3+6+2+4+5=20个凸四边形．故答案为20．【点评】本题考查组合图形的计数问题，考查分类讨论的数学思想，正确理解题意，分类讨论是关键．27．今天是4月4日，图4.4中共有60个三角形．【分析】根据图形的特征，分两类分别计数即可．【解答】解：形如“△”的小三角形有54个；形如“”的小三角形有6个；所以，一共有54+6=60个三角形；答：图4.4中共有60个三角形．故答案为：60．【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，做到不重复，不遗漏，有序计数．28．如图中有76个三角形．【分析】分三类计数，先研究一个：①以大三角形的顶点（蓝色）为顶点构成的小三角形；②交叉部分（红色）构成的小三角形；③最大的三角形4个；据此解答即可．【解答】解：①以大三角形的顶点为顶点构成的小三角形有：3×12=36（个）；②交叉部分构成的小三角形有：3×12=36（个）；③最大的三角形有4个；共有：36+36+4=76（个）答：图中有76个三角形．故答案为：76．【点评】此题主要考查分类计数方法的应用，要做到不重复，不遗漏，有序计数．29．数一数，图中共有23个正方形．【分析】根据方类数图形的计数原理和方法，正着放的正方形中有：较小的正方形有10个，由4个小正方形组成的是4个，同理斜着放的正方形中有：较小的正方形有7个，由4个小正方形组成的是2个，相加即可求解．【解答】解：正着放的正方形中有：10+4=14（个）斜着放的正方形中有：7+2=9（个）一共有：14+10=23（个）答：图中共有23个正方形．【点评】此题考查目的是：按照一定的顺序去观察思考问题，学会通过观察思考探寻事物的规律，通过发现的规律解决有关问题．30．由35个边长为1的小正方形拼成一个7*5的长方形，其中有一格含有“☆”．图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有96个．【分析】显然含有五角星的长方形有几种情况，边长为1、2、3、4、5、6、7的长方形，根据五角星上下线的条数，和左右两边的线的数，计算出长方形的个数，然后把所有的长方形个数加起来即可．【解答】解：根据分析，五角星的上面有两条线，左面有两条线，下面有4条线，右边有6条线，所以含有☆的长方形共有：2×2×4×6=96个．故答案是：96．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：根据长方形是由上下两条线和左右两条线组合而成的，可以计算出长方形的个数．31．如图是上幼儿园的小毛球写的“中国”两个字，图中一共能数出25个长方形．【分析】可以向图中添加一个长方形，变成两个图，多了9个长方形，再添加一个长方形，变成第三个图，又多了3个长方形，最后添加一个长方形，变成第四个图，多了4个长方形，故不难求得长方形的个数．【解答】解：根据分析，如下图，左边第一个图中有9个长方形，添加一个长方形，变成两个图，多了9个长方形，再添加一个长方形，变成第三个图，又多了3个长方形，最后添加一个长方形，变成第四个图，多了4个长方形，故原图中共有9+9+3+4=25个长方形．故答案是：25．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：添加长方形法，计算出长方形的个数．32．如图，图中3个大三角形都是等边三角形，则图中共有30个三角形．【分析】观察图形，可以分为小三角形，含有两个小三角形的三角形，和大三角形，分别数出三角形的个数，再加起来．【解答】解：根据分析，小三角形的个数为：9个；含有两个小三角形的三角形的个数为：18个；大三角形的个数为：3个，故总的三角形的个数是：9+18+3=30个．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：分种类分别数出三角形的个数．33．在平面上用长度为6厘米的牙签棒摆正方形，摆出一个长为6厘米的正方形需要4根牙签棒，摆出5个这样的正方形至少需要15根牙签棒．【分析】要使摆出的5个正方形需要的牙签棒最少，就需要尽量多的共用邻边，据此解答即可．【解答】解：如下图排放牙签棒，需要的就最少，。
四年级奥数学习讲义 第17讲 数数图形 练习及答案
第17讲数数图形一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.线段上有n个端点，那么线段的条数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12.从一个顶点引n条射线，那么锐角的个数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+13. 由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
4. 如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。
练习1：数出下列图中有多少条线段。
（2）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。
【例题6】数一数下图中有多少个长方形？练习6：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题7】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习8：数一数下列各图中分别有多少个正方形。
【例题9】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？练习9：1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？【例题10】求下列图中线段长度的总和。
20181122小学奥数练习卷(知识点：组合图形的计数)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：组合图形的计数）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．在8×8网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个8×8网格中共有（）枚黑色棋子．A．42B．32C．22D．122．小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（）张．A．571B．572C．573D．5743．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色围棋子．A．18B．14C．12D．104．在如图中，一共能数出（）个含有“☆”的长方形．A．8B．10C．12D．145．如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出（）个正三角形．A．6B．10C．13D．15第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共34小题）6．如图，三角形中一共有个梯形．7．用长短相同的火柴棍摆成5×1997的方格网，每一个小方格的边长为一根火柴棍长（如图），共需用根火柴棍．8．在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可被分成部分．9．如图是一些等腰直角三角形组成的图形，图中一共有个三角形．10．如图中有个正方形．11．如图是一个左右对称的美丽图形，图中总共有个三角形．12．图中有个小正方体．13．数一数，图中共有个三角形．14．如图是历史上著名的5个柏拉图立体，它们的顶点数数分别为15．圆上的50个点A1，A2，A3，…，A50将该圆分为50段等弧，以这50个点中的某些点为顶点，一共可以得到个不同的正多边形．16．图中共有个长方形．17．如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有个．18．有8个表面涂满绿漆的正方体，其棱长分别为7，9，11，…，21，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，在这些小正方体中，有个至少是一面有漆．19．图中有个三角形，有条线段．20．如图，我们可以用13根木棍搭出图1中的两层图形，用26根小棍搭出图2中的三层图形，用43根小棍搭出图3中的四层图形，为了搭出一个五层图形，需要根小棍21．如图，在这个图形中共有个平四边形22．数一数，图中共有个三角形23．如图中，共有个锐角．24．如图中，一共有个三角形．25．图中，一共有个三角形．26．将四边形的任意一边延长，四边形其余两个顶点总在同一侧的四边形称为凸四边形，如图中共有个凸四边形．27．今天是4月4日，图4.4中共有个三角形．28．如图中有个三角形．29．数一数，图中共有个正方形．30．由35个边长为1的小正方形拼成一个7*5的长方形，其中有一格含有“☆”．图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有个．31．如图是上幼儿园的小毛球写的“中国”两个字，图中一共能数出个长方形．32．如图，图中3个大三角形都是等边三角形，则图中共有个三角形．33．在平面上用长度为6厘米的牙签棒摆正方形，摆出一个长为6厘米的正方形需要4根牙签棒，摆出5个这样的正方形至少需要根牙签棒．34．图中有个长方形．35．下图“七角星”中共有个三角形．36．图中一共能数出正方形．37．图中，A、B、C、D、E是正五边形各边的中点，那么，图中共有个梯形．38．图中，A、B、C、D、E是正五边形各边的中点，那么，图中共有个梯形．39．如图由5个大小相同的正方形构成．以图中12个点为顶点的三角形共有个．三．解答题（共11小题）40．数一数，图中有多少个三角形？41．数一数，图中包含“☆”的长方形（包含正方形）有多少个？42．从图中任意选择四个点，可组成多少个不同的正方形？（不同的点组成的正方形视为不同的正方形）43．数一数，图中有多少个长方形（包含正方形）？44．数一数，图中有多少个三角形？45．如图中共有个平行四边形．46．数一数下面的图形．个长方形．47．长方形内有2017个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2021个点，任意3个点都不在同一条直线上，以这2021个点中的某三点为顶点，可作出个互不重叠的三角形．48．平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？49．平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成m个交点，则m有多少个不同的数值？50．如图，一个边长为3的正六边形被3组平行于其边的直线分割成边长为1的54个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．在8×8网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个8×8网格中共有（）枚黑色棋子．A．42B．32C．22D．12【分析】结合题意，我们知道：每列白棋数目相等，说明白棋的数量是8的倍数；每行不相等，说明白棋每行从0、1、2、3、4、5、6、7、8中选8个数；最终组合中总数是8的倍数的只有0、1、2、3、5、6、7、8．这样便可求得白棋枚数是0+1+2+3+5+6+7+8=32枚，则黑棋的枚数就是总枚数8×8减去白棋的枚数32．【解答】解：由分析得0+1+2+3+5+6+7+8=32（枚）8×8﹣32=32（枚）故选：B．【点评】解答此题的关键是理解“每列白棋数目相等，说明白棋的数量是8的倍数；每行不相等，说明白棋每行从0、1、2、3、4、5、6、7、8中选8个数”即可．2．小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上．第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；…摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）．第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片（）张．A．571B．572C．573D．574【分析】先找规律，第一次放1张纸片；后面每一次增加3（n﹣1）个三角形，所以第二次放1+3张纸片；第三次放1+3+6张纸片；第四次放1+3+6+9张纸片；据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，第20次摆放后，该图形共用：1+3+6+9+…+3×（20﹣1）=1+3+6+9+…+57=（3+57）×（20﹣1）÷2+1=570+1=571（个）答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张．故选：A．【点评】本题考查了图形的计算，要几何图形的排列规律，得出后面每一次增加3（n﹣1）个三角形．3．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色围棋子．A．18B．14C．12D．10【分析】根据题意可知，每行的数目可以为0、1、2、3、4、5、6个，又由于每列都相等，所以总和一定是6的倍数，然后从这7个数中去掉一个数，是剩下的6个数的和是6的倍数即可解决问题，如下图（剩下的位置放黑色围棋子）．【解答】解：每行的数目可以为0～6个，每列都相等，所以一定是6的倍数，0+1+2+3+4+5+6=21，如果去掉3，那么剩下的数：21﹣3=18正好是6的倍数，所以，白棋子有18个，则，黑色围棋子有：6×6﹣18=18（个）故选：A．【点评】本题解答的难点是确定，每列都相等，且总和一定是6的倍数．4．在如图中，一共能数出（）个含有“☆”的长方形．A．8B．10C．12D．14【分析】下面一行中，含有五角星的有6个；加上上一行（即两行），也有6个，共有6+6=12（个）；据此即可解答．【解答】解：根据分析可得，共有：6+6=12（个）；答：图中，一共能数出12个含有“☆”的长方形．故选：C．【点评】要注意分类计数，做到不重不漏．5．如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出（）个正三角形．A．6B．10C．13D．15【分析】连线如上图，分单个的三角形，4个三角形组成的大三角形，和最外面的最大的三角形，三类计数即可；【解答】解：单个的三角形有9个，4个三角形组成的大三角形3个，最外面的最大的三角形1个，共有：9+3+1=13（个）答：用橡皮筋可套出13个正三角形．故选：C．【点评】此题考查了组合图形的计数，应注意分类计数，以免重复，防止遗漏．对于此类题目一定要有序地查找．二．填空题（共34小题）6．如图，三角形中一共有28个梯形．【分析】根据梯形的定义，分上、下底水平的梯形和上、下底竖直的梯形分类计数，然后再相加即可求解．【解答】解：首先考虑上、下底水平的梯形的个数．（1）高为1的梯形有6+3+1=10个；（2）高为2的梯形有2+1=3个；（3）高为3的梯形有1个．因此，上、下底水平的梯形共有10+3+1=14个；同理，上、下底竖直的梯形也有14个，故图中共有梯形：2×14=28（个）．故答案为：28．【点评】此题考查组合图形的计数，解决此题的关键是根据定义数清组合的梯形，注意按照一定的顺序计数，以免重复和遗漏．7．用长短相同的火柴棍摆成5×1997的方格网，每一个小方格的边长为一根火柴棍长（如图），共需用21972根火柴棍．【分析】火柴棍共有6行和1998列，分别算出多少根即可．【解答】解：（1997+1）×5+（5+1）×1997=21972故填21972．【点评】此题重在分析火柴棍的列数和行数．8．在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可被分成15部分．【分析】在一个长方形内画三个圆，要使这个长方形被分成的部分最多，就要使圆与圆，圆与长方形之间的交点尽量多，据此画图即可．【解答】解：画图如下：所以，这个长方形最多可被分成15部分．故答案为：15．【点评】本题考查了图形的划分，关键是明确如何使交点尽量多．9．如图是一些等腰直角三角形组成的图形，图中一共有23个三角形．【分析】由该图是一个轴对称图形可先数一侧的三角形，而上边单个三角形有6个、由2个、3个、4个、5个、6个三角形组合而成的三角形各1个，知左侧共有11个三角形，补上最大的三角形可得出图中总共有三角形11×2+1=23个．【解答】解：由于该图形是轴对称图形，所以可先数一侧的三角形，再补上最大的三角形即可，即图中共有三角形11×2+1=23个，故答案为：23．【点评】本题主要考查组合图形的计数，掌握组合图形的计数实质上就是分类数图形是关键，解决方法是：（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏．10．如图中有17个正方形．【分析】先确定如图所示基本图形中小正方形的个数，由原图中有4个这样的基本图形，且前后两个基本图形有1个重叠的小正方形可得答案．【解答】解：如图，有正方形ABOH、正方形BCDO、正方形DEFO、正方形FGHO 和正方形ACEG这5个，原图中有4个这样的基本图形，且前后两个基本图形有1个重叠的小正方形，所以原图中正方形有5×4﹣3=17个，故答案为：17．【点评】本题主要考查组合图形的计数，组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法是（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏．11．如图是一个左右对称的美丽图形，图中总共有23个三角形．【分析】由该图是一个轴对称图形可先数一侧的三角形，而左侧单个三角形有6个、由2个、3个、4个、5个、6个三角形组合而成的三角形各1个，知左侧共有11个三角形，即可得出图中总共有三角形11×2+1=23个．【解答】解：由于该图是一个轴对称图形，所以可以先数一侧的三角形，所以图中总共有三角形11×2+1=23个，故答案为：23．【点评】本题主要考查组合图形的计数，掌握组合图形的计数实质上就是分类数图形是关键，解决方法是：（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏．12．图中有18个小正方体．【分析】从正面看有3层，第一层（最上层）有1个，第二层有7个，第三层有10个，然后把这三层的个数相加即可．【解答】解：1+7+10=18（个）；答：图中有18个小正方体；故答案为：18．【点评】本题要结合图形的正面观测，把每一层的个数相加即可．13．数一数，图中共有15个三角形．【分析】中间横斜线上面三角形有4+3+2+1=10个，下面有2个，中间竖着的长斜线又分成了3个三角形，据此解答即可．【解答】解：（4+3+2+1）+2+3=10+2+3=15（个）答：图中共有15个三角形．故答案为：15．【点评】此题主要考查了图形计数方法的应用，根据数线段（数角）的方法进行分析解答即可．14．如图是历史上著名的5个柏拉图立体，它们的顶点数数分别为4，8，6，20，12【分析】柏拉图多面体也就是正多面体，共有图中的5个，分别是：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．【解答】解：正四面体的顶点数：4，正六面体（正方体）的顶点数：8，正八面体、的顶点数：6，正十二面体的顶点数：20，正二十面体的顶点数：12，故答案为：4，8，6，20，12．【点评】正多面体只有这5个，它们的性质要了解清楚．15．圆上的50个点A1，A2，A3，…，A50将该圆分为50段等弧，以这50个点中的某些点为顶点，一共可以得到18个不同的正多边形．【分析】由于题目要求是正多边形，因此正多边形的边数必须是50的约数，根据50的约数情况进行分情况加和即可．【解答】解：50=2×5×5，因此大于3的50的约数有5、10、25、50．当多边形为五边形时，可以得到50÷5=10个；当多边形为正十边形时，可以得到50÷10=5个；当多边形为正二十五边形时，可以得到50÷25=2个；当多边形为正五十边形时，可以得到50÷50=1个．共10+5+2+1=18个．故答案为：18．【点评】本题的突破口在于能想到正多边形的边数必须为50的约数，难度中等．16．图中共有7个长方形．【分析】此题采用分类的方法解答．（1）由1个图形构成的有4个；（2）由2个图形构成的有1个；（3）由3个图形构成的有1个；（4）由4个图形构成的有1个；【解答】解：（1）由1个图形构成的有4个；（2）由2个图形构成的有1个；（3）由3个图形构成的有1个；（4）由4个图形构成的有1个；答：图中共有7个长方形．故答案为：7．【点评】本题考查了对平面图形的认识，在数长方形的个数时，要有规律地进行分类．17．如图，圆周上有12个点，将圆周12等分．以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个．【分析】12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线，所以共有=15个矩形，据此解答即可．【解答】解：12个等分点是6条直径的端点，共有：==15（个）答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有15个．故答案为：15．【点评】本题考查了图形的计数和排列组合知识的综合应用，关键是确定以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对角线．18．有8个表面涂满绿漆的正方体，其棱长分别为7，9，11，…，21，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，在这些小正方体中，有9136个至少是一面有漆．【分析】分别找到棱长为7，9，11，…，21所分成的棱长为1的小正方体至少是一面有漆的小正方体的个数，相加即可求解．【解答】解：边长为7的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有7×7×2+7×5×2+5×5×2=218（个）；边长为9的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有9×9×2+9×7×2+7×7×2=386（个）；边长为11的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有11×11×2+11×9×2+9×9×2=602（个）；边长为13的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有13×13×2+13×11×2+11×11×2=866（个）；边长为15的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有15×15×2+15×13×2+13×13×2=1178（个）；边长为17的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有17×17×2+17×15×2+15×15×2=1538（个）；边长为19的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有19×19×2+19×17×2+17×17×2=1946（个）；边长为21的正方体，至少是一面有漆的棱长为1的小正方体有21×21×2+21×19×2+19×19×2=2402（个）．则在这些小正方体中，有218+386+602+866+1178+1538+1946+2402=9136个至少是一面有漆．故答案为：9136．【点评】考查了组合图形的计数，本题注意不同棱长的正方体至少是一面有漆的个数为棱长×棱长×2+棱长×（棱长﹣2）×2+（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×2．19．图中有3个三角形，有6条线段．【分析】（1）图中有3个三角形，两个小三角形和由两个小三角形组成的大三角形，共3个三角形；（2）根据线段的特点：有2个端点，有限长，进行数出即可．【解答】解：三角形：2+1=3（个）；线段：（1+2）+3=6（条）．答：图中有3个三角形，有6条线段．故答案为：3，6．【点评】解答此题应根据角、线段和三角形的含义进行解答．要注意按顺序计数，防止遗漏．20．如图，我们可以用13根木棍搭出图1中的两层图形，用26根小棍搭出图2中的三层图形，用43根小棍搭出图3中的四层图形，为了搭出一个五层图形，需要64根小棍【分析】比较图1和图2，多了下面5个正方形，就多了2×5+3=13根小棒；比较图2与图3，多了7个小正方形，多了2×7+3=17根小棒；照这个规律去推算．【解答】解：图4比图3多了9个小正方形，多用2×9+3=21根小棒，变成43+21=64根小棒．故填64【点评】此题的关键是找出相邻两个图形之间的变化规律，然后利用规律解题．21．如图，在这个图形中共有15个平四边形【分析】观察大正三角形的每条边上有6个平行四边形，共有6×3=18个，再去掉重复计算的3个即可．【解答】解：6×3﹣3=18﹣3=15（个）答：在这个图形中共有15个平行四边形．故答案为：15．【点评】此题主要考查图形计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．22．数一数，图中共有16个三角形【分析】观察图形可知，单三角形一共有8个，两个小三角形组成的大三角形有4个；四个小三角形组成的三角形有4个，由此即可解答．【解答】解：根据分析可得，8+4+4=16（个）答：图中共有16个三角形．故答案为：16．【点评】本题关键是要按顺序计数，防止遗漏．23．如图中，共有10个锐角．【分析】图中每两条射线都可以组成锐角，如果有n条射线，则有n（n﹣1）÷2 个角，本题有5条射线，由此代入数值，进行解答即可．【解答】解：5×（5﹣1）÷2=20÷2=10（个）；答：图中一共有10个锐角故答案为：10．【点评】本题考查了如何数角，结合图形可以看作握手问题，即每两条射线“握手”一次，注意数形结合的思想．24．如图中，一共有32个三角形．【分析】先把外面大正方形分成四部分，每部分有5个小三角形，共有5×4=20个，加上以正方形边长为直角边的4个，共有20+4=24个；四部分中，每相邻的两部分又交叉有2个三角形（红、蓝），共有2×4=8个；然后把上述两种情况的个数相加即可．【解答】解：根据分析可得，5×4+4+2×4=24+8=32（个）答：一共有32个三角形．故答案为：32．【点评】此题主要考查了分类计数问题，应注意先拆分再分类计数，以免重复，防止遗漏．25．图中，一共有32个三角形．【分析】先把外面大正方形分成四部分，每部分有5个小三角形，共有5×4=20个，加上以正方形边长为直角边的4个，共有20+4=24个；四部分中，每相邻的两部分又交叉有2个三角形（红、蓝），共有2×4=8个；然后把上述两种情况的个数相加即可．【解答】解：根据分析可得，5×4+4+2×4=24+8=32（个）答：一共有32个三角形．故答案为：32．【点评】此题主要考查了分类计数问题，应注意先拆分再分类计数，以免重复，防止遗漏．26．将四边形的任意一边延长，四边形其余两个顶点总在同一侧的四边形称为凸四边形，如图中共有20个凸四边形．【分析】首先在图中标注10个基本图形，再利用定义分类讨论，即可得出结论．【解答】解：首先在图中标注10个基本图形，由一个基本图形构成的凸四边形有（1）（2）（3），共3个；由两个基本图形构成的凸四边形有（1，4）（2，4）（2，5）（3，5）（6，7）（6，8），共6个；由三个基本图形构成的凸四边形有（6，7，9）（6，8，10），共2个；由四个基本图形构成的凸四边形有（1，2，4，8）（2，3，5，7）（1，8，6，9），（3，7，6，10），共4个；由五个或五个以上基本图形构成的凸四边形有ABFD，AFCD，ADCE，ABGD，ABCD，共5个，综上所述，一共有3+6+2+4+5=20个凸四边形．故答案为20．【点评】本题考查组合图形的计数问题，考查分类讨论的数学思想，正确理解题意，分类讨论是关键．27．今天是4月4日，图4.4中共有60个三角形．【分析】根据图形的特征，分两类分别计数即可．【解答】解：形如“△”的小三角形有54个；形如“”的小三角形有6个；所以，一共有54+6=60个三角形；答：图4.4中共有60个三角形．故答案为：60．【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，做到不重复，不遗漏，有序计数．28．如图中有76个三角形．【分析】分三类计数，先研究一个：①以大三角形的顶点（蓝色）为顶点构成的小三角形；②交叉部分（红色）构成的小三角形；③最大的三角形4个；据此解答即可．【解答】解：①以大三角形的顶点为顶点构成的小三角形有：3×12=36（个）；②交叉部分构成的小三角形有：3×12=36（个）；③最大的三角形有4个；共有：36+36+4=76（个）答：图中有76个三角形．故答案为：76．【点评】此题主要考查分类计数方法的应用，要做到不重复，不遗漏，有序计数．29．数一数，图中共有23个正方形．【分析】根据方类数图形的计数原理和方法，正着放的正方形中有：较小的正方形有10个，由4个小正方形组成的是4个，同理斜着放的正方形中有：较小的正方形有7个，由4个小正方形组成的是2个，相加即可求解．【解答】解：正着放的正方形中有：10+4=14（个）斜着放的正方形中有：7+2=9（个）一共有：14+10=23（个）答：图中共有23个正方形．【点评】此题考查目的是：按照一定的顺序去观察思考问题，学会通过观察思考探寻事物的规律，通过发现的规律解决有关问题．30．由35个边长为1的小正方形拼成一个7*5的长方形，其中有一格含有“☆”．图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有96个．【分析】显然含有五角星的长方形有几种情况，边长为1、2、3、4、5、6、7的长方形，根据五角星上下线的条数，和左右两边的线的数，计算出长方形的个数，然后把所有的长方形个数加起来即可．【解答】解：根据分析，五角星的上面有两条线，左面有两条线，下面有4条线，右边有6条线，所以含有☆的长方形共有：2×2×4×6=96个．故答案是：96．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：根据长方形是由上下两条线和左右两条线组合而成的，可以计算出长方形的个数．31．如图是上幼儿园的小毛球写的“中国”两个字，图中一共能数出25个长方形．【分析】可以向图中添加一个长方形，变成两个图，多了9个长方形，再添加一个长方形，变成第三个图，又多了3个长方形，最后添加一个长方形，变成第四个图，多了4个长方形，故不难求得长方形的个数．【解答】解：根据分析，如下图，左边第一个图中有9个长方形，添加一个长方形，变成两个图，多了9个长方形，再添加一个长方形，变成第三个图，又多了3个长方形，最后添加一个长方形，变成第四个图，多了4个长方形，故原图中共有9+9+3+4=25个长方形．故答案是：25．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：添加长方形法，计算出长方形的个数．32．如图，图中3个大三角形都是等边三角形，则图中共有30个三角形．【分析】观察图形，可以分为小三角形，含有两个小三角形的三角形，和大三角形，分别数出三角形的个数，再加起来．【解答】解：根据分析，小三角形的个数为：9个；含有两个小三角形的三角形的个数为：18个；大三角形的个数为：3个，故总的三角形的个数是：9+18+3=30个．【点评】本题考查了组合图形的计数，本题突破点是：分种类分别数出三角形的个数．33．在平面上用长度为6厘米的牙签棒摆正方形，摆出一个长为6厘米的正方形需要4根牙签棒，摆出5个这样的正方形至少需要15根牙签棒．【分析】要使摆出的5个正方形需要的牙签棒最少，就需要尽量多的共用邻边，据此解答即可．【解答】解：如下图排放牙签棒，需要的就最少，。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学四年级奥数排列组合练习
1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个
①三位数②没有重复数字的三位数
③没有重复数字的三位偶数④小于1000的自然数
2.从15名同学中选5人参加数学竞赛,求分别满足下列条件的选法各有多少种
①某两人必须入选；
②某两人中至少有一人入选；
③某三人中恰入选一人；
④某三人不能同时都入选.
3.如右图,两条相交直线上共有9个点,问：
一共可以组成多少个不同的三角形
4.如下图,计算
①下左图中有多少个梯形
②下右图中有多少个长方体
5.七个同学照相,分别求出在下列条件下有多少种站法①七个人排成一排；②七个人排成一排,某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排,某两人必须站在两头；④七个人排成一排,某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排,前排三人,后排四人,某两人不在同一排.
答案：
1.①100；②48；③30；④124.
2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；
③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.
3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.
4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.
5.①P77＝5040；②2P66＝1440；
③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；
⑤2×3×4×P55＝2880.。
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十一、组合图形的计数（A ）
年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____
一、填空题:
1.右图一共有( )个长方形?
2.右图一共有( )个长方形?
3.右图一共有( )个长方
形？
4.右图一共有( )个正方形？
5.右图一共有( )个长方形？
6.右图一共有( )个平行四边形?
7.右图一共有( )个梯形？
8.右图一共有( )个正方形？
9.右图一共有( )个正方形?
10.右图一共有( )个正方形?
二、解答题:
11.下图共有几个正方形?
12.下图共有几个正方形?
13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?
14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?
———————————————答案——————————————————————
一、填空题:
1. 一共有321个.
解: ①上横大长方形内有长方形:
(8+7+6+5+4+3+2+1)⨯(1+2)=108(个);
②下横大长方形内有长方形:
(7⨯6÷2)⨯(3⨯2÷2)=63(个);
③竖大长方形内有长方形:
(5⨯4÷2)⨯(7⨯6÷2)=210(个);
④中间重复的长方形共有:
(5⨯4÷2)⨯(3⨯2÷2)⨯2=60(个).
⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).
2. 一共有64个.
3. 一共有107个.
解: (1+2+3+4)⨯(1+2+3)=60(个);
(1+2+3)⨯(1+2+3)=36(个);
1+2=3(个);
(1+2)⨯4+2=14(个);
图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).
4. 一共有18个.
解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.
因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).
5. 一共有79个.
解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).
在小长方形中共有长方形: (3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).
在两个长方形中增加的长方形有:8(个).
在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.
所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).
6. 右图一共有(150)个平行四边形.
(5⨯4÷2)⨯(6⨯5÷2)=150(个).
点金术:与算平行四边形的方法一样.
7. 一共有(90)个.
(6⨯5÷2)⨯(4⨯3÷2)=90(个).
8. 一共有(55)个.
解:分类进行统计,得
边长为1的正方形有5⨯5=25(个);
边长为2的正方形有4⨯4=16(个);
边长为3的正方形有3⨯3=9(个);
边长为4的正方形有2⨯2=4(个);
边长为5的正方形有1⨯1=1(个).
图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).
9. 一共有60个.
解:分类进行统计,得
边长为1的正方形有4⨯7=28(个);
边长为2的正方形有3⨯6=18(个);
边长为3的正方形有2⨯5=10(个);
边长为4的正方形有1⨯4=4(个).
图中共有正方形: 4⨯7+3⨯6+2⨯5+1⨯4=60(个).
10. 右图一共有(110)个正方形.
解: 图中ABCD是一个4⨯10方格,其中正方形的个数是: 4⨯10+3⨯9+2⨯8+1⨯7=90(个);
图中CEPN是一个4⨯6方格,其中正方形的个数是: 4⨯6+3⨯5+2⨯4+1⨯3=50(个);
在上面的两项统计中,CDMN内的正方形被重复计算了一次,应
该扣除.因CDMN是4⨯4方格,其中正方形的个数是:
4⨯4+3⨯3+2⨯2+1⨯1=30(个).
所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).
二、解答题:
11. 一共有95个.
解: ①中间部分的正方形有:
52+42+32+22+12=55(个);
②上、下部分的正方形有:
(4+2+1)⨯2=14(个);
③左、右部分的正方形有:
(9+2+2)⨯2=26(个).
共有正方形: 55+14+26=95(个).
12. 共有46个.
解: ①正摆着的正方形有:
4⨯3+3⨯2+2⨯1=20(个);
②斜摆着的正方形有:
a.最小的正方形有17个;
b.由4个小正方形组成的正方形有8个,
c.由9个小正方形组成的正方形有1个.
③图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).
13. 至少有160个.
解: 因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形: 100+100-40=160(个).
14. 最多有7个.
解: 最多有7个正方形.摆法如右图.。