习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
2019高考数学考点突破——圆锥曲线：曲线与方程 含解析
曲线与方程【考点梳理】1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2．求动点的轨迹方程的基本步骤【考点突破】考点一、直接法求轨迹方程【例1】已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________.[答案] (1) A (2) (2，2)[解析] 设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0， ∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0). 【类题通法】直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为________________．[答案] x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)[解析] 因为点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1)． 设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)，故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．考点二、相关点(代入)法求轨迹方程【例2】设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵PM ―→⊥PF ―→，PM ―→＝(x 0，－y 0)，PF ―→＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， ∴x 0＋y 20＝0.由MN ―→＝2MP ―→，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 【类题通法】代入法求轨迹方程的四个步骤 (1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻找所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系．(3)建立P ，Q 两坐标间的关系，并表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解． 【对点训练】如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN ―→＝λNM ―→. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解析] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， ∴PN ―→＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM ―→＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN ―→＝λNM ―→得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1， ∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程．(2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．考点三、定义法求轨迹方程【例3】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.[解析] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2).【变式1】将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，求圆心P的轨迹方程.[解析]由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).【变式2】把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心P的轨迹方程.[解析]由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－y28＝1(x>1).【变式3】在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，求圆心P 的轨迹方程.[解析]由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.【类题通法】应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【对点训练】设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．[解析](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c3＝3.所以点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．故曲线方程的离心率e＝ca＝1 2.。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《曲线与方程》含答案
第八节曲线与方程知识点一曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．1．判断正误(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)2．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是(C)解析：由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．知识点二 直接法求动点的轨迹方程的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标．2．写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}．3．用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0.4．化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．(必修2P135习题4.1B 组第1题改编)等腰三角形ABC ，若一腰的两个端点坐标分别是A (4,2)，B (－2,0)，A 是顶点，则另一个点C 的轨迹方程为( B )A ．x 2＋y 2－8x －4y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠4，x ≠－2)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠4，x≠－2)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠4，x≠－2)解析：设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠4，x≠－2.整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠4，x≠－2)．故选B.4．(2019·大连模拟)在△ABC中，BC＝4，A点为动点，满足sin C＋sin B ＝2sin A，若以BC为x轴，BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，则A点的轨迹方程为x216＋y212＝1(y≠0)．解析：由正弦定理得：|AB|＋|AC|＝2|BC|，即|AB|＋|AC|＝8>4.故A点的轨迹为椭圆，则椭圆方程为x216＋y212＝1，又因为A，B，C三点不能共线，所以A点的轨迹方程为x216＋y212＝1(y≠0)．1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．考向一 直接法求轨迹方程【例1】 (1)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．(2)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________．【解析】 (1)设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．(2)若动圆在y 轴右侧，设与y 轴相切，且与圆x 2＋y 2－6x ＝0外切的圆的圆心为P (x ，y )(x >0)，则半径长为|x |，因为圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心为(3,0)，所以(x －3)2＋y 2＝|x |＋3，则y 2＝12x (x >0)，若动圆在y 轴左侧，则y ＝0，即圆心的轨迹方程为y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0)．【答案】 (1)(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0)(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点—列式—化简—检验，求动点的轨迹方程时要注意检验，即扣除多余的点，补上遗漏的点.(2)如果是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；如果是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形.已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F (1,0)为定点，且满足PN →＋12NM →＝0，PM →·PF →＝0.(1)求动点N 的轨迹E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立，请说明理由．解：(1)设N (x ，y )，则由PN →＋12NM →＝0，得P 为MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x ，0)，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2，∴PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x ，∴动点N 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4k y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.假设存在点C (m,0)满足条件，则CA →＝(x 1－m ，y 1)，CB →＝(x 2－m ，y 2)，∴CA →·CB →＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224＋m 2－4＝－m 4[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋m 2－3＝m 2－m 4k 2＋2－3.∵Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22＋12>0， ∴关于m 的方程m 2－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2－3＝0有解，∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得|CA |2＋|CB |2＝|AB |2成立．考向二 定义法求轨迹方程【例2】 (1)(2019·北京模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是_________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为____________．【分析】 (1)根据题设条件，寻找动点C 与两定点A ，B 距离的差满足的等量关系|CA |－|CB |＝6，由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程．(2)可依据两圆的位置关系，得出圆心距与两圆半径的和、差的绝对值之间的关系，进而得出轨迹方程．【解析】 (1)如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．(2)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．【答案】 (1)x 29－y 216＝1(x >3) (2)x 24＋y 23＝1(x ≠－2)1．若本例(2)中的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，则圆心P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2)．解析：因为圆M 与圆N 相内切，设其切点为A ，又因为动圆P 与圆M 、圆N 都外切，所以动圆P 的圆心在MN 的连线上，且经过点A ，因此动点P 的轨迹是射线AM 的反向延长线(不含切点A )，其方程为：y ＝0(x <－2)．2．若本例(2)中的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都内切”，则圆心P 的轨迹方程为y ＝0(x ∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．解析：由两圆方程知圆M 与圆N 相内切，设切点为A ，若圆P 与圆M 、圆N 都内切，则切点必为A 点，且动圆P 的圆心在x 轴上．①若圆P 在圆M 和圆N 的内部与两圆内切，则点P 在线段AM (不含端点)上；②若圆P 在圆M 外部及圆N 内部与两圆内切，则点P 在线段MN (不含端点)上；③若圆P 在圆M 和圆N 的外部与两圆内切，则点P 在射线Nx (不含点N )上，所以动点P 的轨迹方程为y ＝0(x ∈(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞))．定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义．(2)关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A.4x 221－4y 225＝1B.4x 221＋4y 225＝1C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1解析：因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.考向三 相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】 (2019·合肥第二次质检)如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C (y 212，y 1)，D (y 222，y 2)，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k (x －y 212)，代入y 2＝2x 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0解得k＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，即x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧ x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－8x ，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]， ∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．(1)动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x ′，y ′表示为x ，y 相关的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得点P 的轨迹方程，此法称为代入法，也称相关点法.(2)用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x ′＝f (x ，y )，y ′＝g (x ，y )，然后代入已知曲线.求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)，NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )．∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1，故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程．(2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14， 解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．。
2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点29 曲线方程及抛物线(含答案解析)
2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点29 曲线方程及抛物线【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2016镇江期末）已知A 为曲线C ：4x 2－y ＋1＝0上的动点，定点M (－2,0)，若AT →＝2TM →，求动点T 的轨迹方程．规范解答 设T (x ，y )，A (x 0，y 0)，则4x 20－y 0＋1＝0. ① (2分)又M (－2,0)，由AT →＝2TM →得(x －x 0，y －y 0)＝2(－2－x,0－y )， (5分)所以x 0＝3x ＋4，y 0＝3y ，(7分)代入①式得4(3x ＋4)2－3y ＋1＝0，即为所求轨迹方程．(10分)2、(2017无锡期末） 如图，抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (2,1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1) 求抛物线的方程；(2) 若∠APB 的平分线垂直于y 轴，证明：直线AB 的斜率为定值．规范解答 (1) 由已知条件，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)． 因为点P (2,1)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.(3分)故所求抛物线的方程是x2＝4y.(4分)(2) 由题知k AP＋k BP＝0，所以y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝0.(6分)所以x214－1x1－2＋x224－1x2－2＝0，所以x1＋24＋x2＋24＝0，所以x1＋x2＝－4.(8分)所以k AB＝y1－y2x1－x2＝x214－x224x1－x2＝x1＋x24＝－1.所以直线AB的斜率为定值．(10分)3、(2017苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x ＝－14，过点M(0，－2)作抛物线的切线MA，切点为A(异于点O)．直线l过点M，与抛物线交于B，C两点，与直线OA交于点N.(1) 求抛物线的方程；(2) 试问：MNMB＋MNMC的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．规范解答(1) 由题意得－p2＝－14，解得p＝12，所以抛物线的方程为y2＝x.(2分)(2) 因为函数y＝－x的导函数y′＝－12x，设切点A(x0，－x0)，所以y′x＝x0＝－12x0，则直线MA的方程为y＋x0＝－12x0(x－x0)，(4分)即y＝－12x0·x－x02，因为点M(0，－2)在直线MA上，所以－2＝－x02，x0＝16，所以点A(16，－4)，(5分)所以直线OA 的方程为y ＝－14x .(6分)设直线BC 的方程为y ＝kx －2(k 存在且不等于0)． 由⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝kx －2得k 2x 2－(4k ＋1)x ＋4＝0， 所以x B ＋x C ＝4k ＋1k 2，x B x C ＝4k 2.(7分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝kx －2得x N ＝84k ＋1.(8分) 所以MN MB ＋MN MC ＝x N x B ＋x N x C ＝x N (x B ＋x C )x B x C＝84k ＋1·4k ＋1k 24k 2＝2，故MN MB ＋MNMC 为定值2.(10分)4、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (8，－4)，P (2，t )(t <0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上．(1) 求p ，t 的值；(2) 过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若P A ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1＋k 2＝2k 3，求点C 的坐标．规范解答 (1) 将点A (8，－4)代入y 2＝2px ，得p ＝1.(2分) 将点P (2，t )代入y 2＝2x ，得t ＝±2. 因为t <0，所以t ＝－2.(4分) (2) 依题意，点M 的坐标为(2,0)， 直线AM 的方程为y ＝－23x ＋43.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－23x ＋43，y 2＝2x ，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(6分)所以k 1＝－13，k 2＝－2，代入k 1＋k 2＝2k 3，得k 3＝－76，(8分) 从而直线PC 的方程为y ＝－76x ＋13， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－23x ＋43，y ＝－76x ＋13，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，83.(10分)【问题探究，变式训练】 题型一 轨迹问题知识点拨：求轨迹问题常见的有两种方法：一是定义法；二是轨迹法，轨迹法的步骤是：1、设点(x ，y)，2、根据条件列关系；3、化简，整理。
高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)
典型例题一例 1 假如命题“坐标知足方程 f x， y 0 的点都在曲线 C 上”不正确，那么以下正确的命题是（ A）曲线C上的点的坐标都知足方程 f x， y0 ．（ B）坐标知足方程 f x， y 0 的点有些在C上，有些不在 C 上．（ C）坐标知足方程 f x， y 0 的点都不在曲线 C 上．（ D）必定有不在曲线 C 上的点，其坐标知足方程 f x， y0 ．剖析：原命题是错误的，即坐标知足方程 f x， y0 的点不必定都在曲线 C 上，易知答案为 D．典型例题二例 2 说明过点P(5 ,1) 且平行于 x 轴的直线l和方程y 1所代表的曲线之间的关系．剖析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好构成两个会合相等的充要条件，二者缺一不行．此中“曲线上的点的坐标都是方程 f ( x , y)0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，即齐备性．这是我们判断方程是否是指定曲线的方程，曲线是否是所给方程的曲线的准则．解：以下列图所示，过点 P 且平行于x轴的直线 l 的方程为y 1 ，因此在直线l上的点的坐标都知足y 1 ，所以直线 l 上的点都在方程y 1 表示的曲线上．可是以y 1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，所以方程y 1 不是直线 l 的方程，直线 l 不过方程y 1 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都知足方程，即知足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不知足齐备性．典型例题三例 3说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程y x 所表示的直线之间的关系．剖析：该题应当抓住“纯粹性”和“齐备性”来进行剖析．解：方程 y x 所表示的曲线上每一个点都知足到坐标轴距离相等．可是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都知足方程y x ，比如点( 3 , 3)到两坐标轴的距离均为3，但它不知足方程y x ．所以不可以说方程y x 就是全部到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不可以说是方程y x 所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上” ，即知足齐备性，而“轨迹上的点的坐标不都知足方程” ，即不知足纯粹性．只有二者全切合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线x2( y 1) 2 4 与直线 y k (x2)4 有两个不一样的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？剖析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程构成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的对于x 的一元二次方程的判别式分别知足0、0 、0 ．解：由y k( x 2) 4,x2( y1) 2 4.得 (1k 2 )x22k(3 2)x(3 2)2 4 0k k∴4k 2 (32k )24(1 k 2 )[( 3 2k)24] 4(4k 212k5)4(2k 1)(2k 5)∴当0 即( 2k1)( 2k5)0，即1k5时，直线与曲线有两个不一样的交点．22当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线有一个交点．2当0即 (2k1)( 2k5)0 ，即k 1或 k52时，直线与曲线没有公共点．2说明：在判断直线与曲线的交点个数时，因为直线与曲线的方程构成的方程组解的个数与由双方程联立所整理出的对于x (或y)的一元方程解的个数相同，所以假如上述一元方程是二次的，即可经过鉴别式来判断直线与曲线的交点个数，但假如是两个二次曲线相遇，两曲线的方程构成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不必定相同，所以碰到此类问题时，不要盲目套用上例方法，必定要做到详细问题详细剖析．典型例题五例 5 若曲线y a x 与y x a(a 0) 有两个公共点，务实数 a 的取值范围．剖析：将“曲线有两个公共点”转变为“方程有两个不一样的解” ，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大概形状现出来，或允许能获得一些启迪．y a x 解法一：由y 得： y a y ax a∵ y 0 ，∴y2a2 ( y a) 2，即 (a21) y22a3 y a40 ．要使上述方程有两个相异的非负实根．4a64a4 (a21)02a3则有：0a21a4a210又∵ a0∴解之得： a 1 ．∴所务实数 a 的范围是 (1,) ．解法二：y a x 的曲线是对于y 轴对称且极点在原点的折线，而y x a 表示斜率为 1 且过点(0 , a)的直线，由下列图可知，当a 1时，折线的右支与直线不订交．所以两曲线只有一个交点，当 a 1 时，直线与折线的两支都订交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这种题较好的解法是解法二，即利用数形联合的方法来探究．若题设条件中“ a 0”改为 a R 呢，请自己探究．典型例题六例 6 已知AOB ，此中A(6 , 0)，O(0 , 0)，B(0 , 3)，则角 AOB均分线的方程是y x (以下列图)，对吗？剖析：本题主要观察曲线方程看法掌握和理解的程度，重点是理解三角形内角均分线是一条线段．解：不对，因为AOB 内角均分线是一条线段OC ，而方程y x 的图形是一条直线．如点 P(8,8)坐标合适方程y x ，但点P 不在AOB 内角AOB 的均分线上．综合上述内角AOB 均分线为：y x(0x2) ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，重要扣定义，两个条件缺一不行，重点是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例 7判断方程y x22x 1 所表示的曲线．剖析：依据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，所以必需先将方程进行等价变形．解：由原方程22 1 可得：y x xy x 1 ，即 yx 1 ( x1), x 1 ( x1),∴方程 y x22x1的曲线是两条射线，以下图：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程 x 1y 2等价于 ( x 1)2y 2 且x 1，即 y ( x 1)22( x 1) ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例 8 以下图，已知 A 、 B 是两个定点，且 AB 2 ，动点 M 到定点 A 的距离是4，线段 MB 的垂直均分线 l交线段 MA 于点 P ，求动点 P 的轨迹方程．剖析：本题第一要成立合适直角坐标系，动点P知足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中剖析找出等量关系．连接PB，则 PM PB ，由此PA PB PA PM AM 4 ，即动点 P 到两定点 A ， B 距离之和为常数．解：过 A ， B 两点的直线为x 轴，A，B两点的中点O为坐标原点，成立直角坐标系∵ AB 2，∴ A， B 两点坐标分别为( 1, 0)， (1, 0)．连接 PB ．∵ l 垂直均分线段BM ，∴PM PB，PA PB PA PM AM 4．设点 P( x , y) ，由两点距离公式得(x 1) 2y2( x 1)2y2 4 ，化简方程，移项两边平方得(移项 )2 ( x 1) 2y2 4 x ．两边再平方移项得：x2y21 ，即为所求点P 轨迹方程．43说明：经过剖析题意利用几何图形的相关性质，找出P 点与两定点 A ， B 距离之和为常数 4 ，是解本题的重点．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过P2，4点作两条相互垂直的直线l1， l 2，若 l1交 l1轴于A， l2交 y 轴于 B ，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．解：连接 PM ，设M x，y，则 A 2x，0，yB 0，2 y ．BP ∵l1l 2∴PAB为直角三角形．M由直角三角形性质知O A x1ABPM2图２即x 2 2y 4 214x2 4 y 2化简得 M 的轨迹方程为2x 2 y 5 0说明：本题也能够用勾股定理求解，还能够用斜率关系求解，所以本题可有三种解法．用斜率求解的过程要麻烦一些．典型例题十例 10222（ k 是常数）的动点P 的轨迹方程．求与两定点 A 、 B 知足 PA PB k剖析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点 A 和 B 的连线为x轴，过 AB 的中点且与 AB 垂直的直线为 y 轴成立坐标系．2( x a)2y22a)2y2设 A( a , 0) ， B(a , 0) ， P( x , y) ，则：PA， PB ( x．据题意，222，有 ( x a)2y2( x a) 2y2k 2得 4ax k 2．PA PB k因为 k 是常数，且 a0 ，所以x k2P 的轨迹是一条平为动点的轨迹方程，即动点4a行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取 A 与B 两点连线为x 轴，过 A 点且与AB 垂直的直线为y 轴成立坐标系．设 A(0,0) ， B( a , 0)， P(x , y) ，则：2x22(x a)2y 2．PA y 2， PB据题意，22k 2，有x2y 2( x a) 2y2k2，PA PBa2k 2a2k2，它是平行于y 轴的一条直线．得 x2a，即动点 P 的轨迹方程为x2a解法三：如图丙成立坐标系，设 A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， P( x , y) ，则2(x x1 ) 22( x x2 )( y y2 ) 2．PA( y y1 )2， PB2据题意， PA 2PB2k 2，有( x x1) 2( y y1 ) 2(x x2 ) 2( y y2 ) 2k2，整理后获得点P 的轨迹方程为：2( x2x1 ) x2( y2y1) y x12y12x22y22k20 ，它是一条直线．说明：由上边介绍的三种解法，能够看到对于同一条直线，在不一样的坐标系中，方程不同，合适成立坐标系如解法一、解法二，获得的方程形式简单、特征明显，一看便知是直线．而解法三获得的方程烦杂、冗长，若以此为基础研究其余问题，会惹起不用要的麻烦．所以，在求曲线方程时，依据详细状况适入选用坐标系十分重要．此外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应重申曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例 11 两直线分别绕着定点 A 和 B ( AB2a )在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．剖析：成立合适的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所知足的等式．解：取直线 AB 为x轴，取线段AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0) ， B(a , 0) ，P属于会合 C P22AB2PA PB．设 P(x , y) ，则 ( x a)2y2( x a) 2y2( 2a) 2，化简得 x2y2a2．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现以下解答错误：取直线 AB 为x轴，取线段 AB 的中点 O 为原点成立直角坐标系，则：A( a , 0)， B(a , 0) ，交点P属于会合C P PA PB P k PA k PB1 ．设 P(x , y) ，则k PAy( x a) ，k PBy( x a) ，x a x ay y 故a 1，即x2y2 a 2(x a )．x a x要知道，当 PA x 轴且另向来线与x 轴重合时，仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 A ．相同 PB x 轴重合时，且另向来线与x 轴仍有两直线相互垂直，此时两直线交点为 B ．因此，A( a , 0) 与 B(a , 0) 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或 PB 的斜率不存在时，即x a 时，A(a , 0)和 B( a , 0) 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是x2y2 a 2．求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，既要剔除不合适的部分，也不要遗漏知足条件的部分．典型例题十二例12如图， Rt ABC 的两条直角边长分别为 a 和b( a b) ，A与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角极点 C 的轨迹方程．剖析： 由已知ACB 是直角， A 和 B 两点在座标轴上滑动时， AOB 也是直角，由平面几何知识， A 、 C 、 B 、 O 四点共圆，则有 ABC AOC ，这就是点 C 知足的几 何条件．由此列出极点 C 的坐标合适的方程．解：设点 C 的坐标为 ( x , y) ，连接 CO ，由ACB AOB 90 ，所以 A 、O 、B 、C 四点共圆．b，tan AOCy ，有 y b ，即 ybx ．从而 AOCABC ．由 tan ABCax x aa注意到方程表示的是过原点、斜率为b的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴bC a点的轨迹不会是一条直线， 而是直线的一部分． 我的正半轴上滑动， 因为 a 、 为常数， 故们可观察 A 与 B 两点在座标轴上的极端地点，确立C 点坐标的范围．以下列图，当点A 与原点重合时，SABC1AB x1 a2 b 2 x ，所以 xab ．22a 2b 2以下列图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标 x BD ．由射影定理， BC2BD AB ，即 a 2xa 2b 2 ，有 xa 2 ．由已知 ab ，ab a2．所以b2a2a2b2故 C 点的轨迹方程为：y bx （ab x a 2）．a a2b2 a 2b2说明：求出曲线上的点所合适的方程后，不过形式上的曲线方程，还一定对以方程的解为坐标的点作观察，剔除不合适的部分．典型例题十三例 13 过点P(3 , 2)作两条相互垂直的直线l1、l2，若 l1交 x 轴于A， l2交y轴于B，M 在线段 AB 上，且 AM : BM1: 3，求 M 点的轨迹方程．剖析：如图，设 M ( x , y) ，题中几何条件是 l1l 2，在分析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M的轨迹方程即x 、y之间的关系，第一要把 l 1、l 2的斜率用 x 、y表示出来，而表示斜率的重点是用x 、y表示A、B两点的坐标，由题可知 M 是 A 、 B 的定比分点，由定比分点坐标公式即可找出 A 、 B 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 、 B 两点的坐标，并求出 M 点的轨迹方程．解：设 M (x , y) ， A(a , 0) ， B(0 , b)∵ M 在线段 AB 上，且 AM : BM 1:3．∴ M 分AB所成的比是 1 ，3xa1143a x ，由1，得3bb4y y3113∴ A(4x , 0) 、 B(0 , 4 y) 3又∵ P(3 , 2) ， ∴ l 1 的斜率 k 12， l 2 的斜率 k 24 y2 4 ．3 x3324 y 2∵ l 11．l 2 ，∴34x33化简得： 4x 8y 130 ．说明： 本题的上述解题过程其实不严实，因为 k 1 需在 x9x9时才能成立，而当时，44 A(3 , 0) ， l 1 的方程为 x 3 ．所以 l 2 的方程是 y2．故 B(0, 2)，可求得 M (9 1 , ) ，而( 9 , 1) 也知足方程 4x4 28 y 13 0 ．故所求轨迹的方程是4x 8 y 13 0 ．这种题在解4 2答时应注意考虑齐备性和纯粹性．典型例题十四例14如图，已知两点 P( 2 , 2) ，Q(0 , 2)以及向来线l ：yx，设长为2 的线段AB在直线l 上挪动．求直线PA 和 QB 的交点M 的轨迹方程．剖析 1：设 M ( x , y) ，题中的几何条件是 AB2 ，所以只要用 ( x , y) 表示出 A 、 B两点的坐标，即可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出 A 、 M 两点坐标的关系，明显 P 、 A 、 M 三点共线． 这样即可找出 A 、 M 坐标之间的关系，从而表示出 A 的坐标， 同理即可表示出 B 的坐标，问题便能够水到渠成．解法一： 设 M ( x , y) 、 A( a , a) 、 B(b , b) (b a) ．由 P 、 A 、M 三点共线可得：a2 y2（利用 PA 与 MP 斜率相等获得）a2 x 22x 2 y∴ a．x y 4由 Q 、B、M三点共线可得b2 y 2 ．b x2x∴ b．x y 2又由 AB 2 得2(a b)2 2 ．∴ b a 1，∴2x2x 2 y 1 ．y2x y4x化简和所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．剖析 2：本题也能够先用P 、 A 、 M 三点共线表示出 A 点坐标，再依据 AB 2 表示出 B 点坐标，而后利用Q 、B、M三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设 M ( x , y) ， A( a , a)由 AB 2 且 B 在直线 y x 上且 B 在 A 的上方可得：B( a 1 , a 1)由解法一知2x 2 y ay，x4∴B(3x y 4 , 3x y 4 )x y 4 x y 4又由 Q 、B、M三点共线可得：3x y4 x y 2y 24．3x y4xx y4化简得所求轨迹方程为：x2y2 2 x 2 y 8 0 ．解法三：因为 AB 2 且 AB 在直线 y x 上所以可设 A(a , a)， B(a 1 , a1) ．则直线 AP 的方程为：(a2)( y 2) (a 2)( x 2)直线 BQ 的方程为： (a 1)( y 2) (a 1)xx21 a由上述两式解得a( a0)2y1aa( x1) 2a244∴a 2422( y1)a a24∴ ( x 1)2( y 1)28 ，即 x 2y 22x 2 y8 0 ．而当 a0 时，直线 AP 与BQ平行，没有交点．∴所求轨迹方程为x2y 22x 2 y 8 0 ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，尔后一种方法，事实上它波及到参数的思想 ( a为参数 )，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为对于参数的坐标，而后消去参数，这也反应出运动的看法．。
高考数学大一轮复习9.9曲线与方程教师用书理苏教版【含答案】
§9.9曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( ×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ×)1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是下列中的________(填序号)．答案 ③解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是________． 答案 2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是____________． 答案 椭圆或线段 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时PF 1＋PF 2＝F 1F 2，P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3时，PF 1＋PF 2>F 1F 2. 由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝4，则动点P 的轨迹是____________． 答案 射线解析 ∵MN ＝4，∴PM －PN ＝MN . ∴P 点的轨迹是射线.题型一 定义法求轨迹方程例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 思维点拨 利用两圆相切的几何性质得出M 的等量关系，结合圆锥曲线定义求方程． 解 如图所示，以O1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．如图所示，已知C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P 是圆上的动点，点Q 在直线CP 上，且MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →，∴MQ ⊥AP ，点M 是线段AP 的中点，即MQ 是AP 的垂直平分线，连结AQ ， 则AQ ＝QP ，∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2，又AC ＝22>2，根据双曲线的定义，知点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c ＝2，a ＝1，得b 2＝1，因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1. 题型二 相关点法求轨迹方程例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．思维点拨 利用重心G 的坐标与点C 的坐标的关系，代入抛物线方程．解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )(x ≠(6±25)a )．思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f x ，y ，y 1＝gx ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维点拨 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝x －2＋y 2，∴x －2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k2，① x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0.③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →. (1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 解 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n ) ＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y ) (x >0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1 (x >0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．利用参数法求轨迹方程典例：(14分)(2013·福建)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．思维点拨 (1)设A i 的坐标为(i,0)，则B i 的坐标为(10，i )，可用i 表示点P 的坐标，得出P 的参数方程．(2)设直线l 的斜率为k ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，寻找M ，N两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k 的值． 规范解答方法一 解 (1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .[10分] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1·x 2＝－100， ②因为S △OCM ∶S △OCN ＝4∶1，所以S △OCM ＝4S △OCN ， 所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③把③代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.[12分]所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[14分]方法二 解 (1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )， 所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .[2分]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为(i ，i 210)，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .[6分] (2)同方法一：温馨提醒 参数法求轨迹方程的步骤： (1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标．(2)得出动点M 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝fk ，y ＝gk(3)消去参数k ，得m 的轨迹方程． (4)由k 的范围确定x ，y 的范围.方法与技巧 求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程． (4)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． 失误与防范1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应法则．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．平面上动点P 到定点F 与定直线l 的距离相等，且点F 与直线l 的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1，则他的建系方式是下列中的________(填序号)．答案 ③解析 因为点P 的轨迹方程为x 2＝2y －1， 即所求的抛物线方程为y ＝12x 2＋12，抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.所以该同学建系方式是③.2．已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )．则点M (x ，y )的轨迹C 的方程为________． 答案x 23＋y 2＝1解析 因为(a ＋3b )⊥(a －3b )，所以(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 所以a 2－3b 2＝0， 所以x 2＋3y 2－3＝0，即点M (x ，y )的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且PA ＝1，则P 点的轨迹方程为________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2， ∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________________________________________________________________． 答案x 29－y 216＝1 (x >3)解析 如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1 (x >3)．5．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为________． 答案 双曲线解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， 由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝PF ＝x －a 2＋y 2，∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．6．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________． 答案 椭圆解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是AM ＝PM ，又由于10＝OP ＝OM ＋MP ＝OM ＋MA ，即OM ＋MA ＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) 解析 设A (x ，y )，则D (x 2，y2)，∴CD ＝x2－2＋y 24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36， 由于A 、B 、C 三点构成三角形， ∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.8．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是__________________．答案 焦点在y 轴上的椭圆 解析 ∵π2<2<2π3，∴sin 2>0，cos 2<0，sin 2＋cos 2>0，cos 2－sin 2<0， ∴方程x 2sin 2＋cos 2－y 2cos 2－sin 2＝1， 即x 2sin 2＋cos 2＋y 2sin 2－cos 2＝1，故方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆． 9．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (33，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程． 解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (33，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)．由于MB →＝－2MA →，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．∴x 0＝32，y 0＝－1，即A (32，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1，a 322＋b －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.10．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意， 则点D 的坐标为D (x 0,0)， ∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y .∵P 在圆O 上，故x 2＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49， ∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0. ∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4x (x ≠0)解析 设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为零)，由EP →∥OA →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x，即F (－1，－y x)．由AE →⊥AF →⇒y 2＝4x (x ≠0)．2．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．3．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点， 则由PF 1·PF 2＝a 2，得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝a 2.把(0,0)代入方程可得1＝a 2，与a >1矛盾，故①不正确．当M (x ，y )在曲线C 上时，点M 关于原点的对称点M ′(－x ，－y )也满足方程， 故曲线C 关于原点对称，故②正确．12F PF S＝12PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2 ＝12a 2sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)解析 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．5.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是____________． 答案 y 2＝23x －19解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连结PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由PH 2－PM 2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.6.如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2，①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A 、B 的坐标分别为(－32，1)，(32，1)， 此时AB ＝3，当t ＝－1时，同理可得AB ＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1， 所以AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k24k 2t2＋k22－t 2－4＋k2]＝43|t |t 2＋3. 因为AB ＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |，且当t ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S 的最大值为12×2×1＝1，此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3).。
高考数学曲线与方程选择题
高考数学曲线与方程选择题1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的导数。
2. 设a、b是实数，且a^2 + b^2 = 1，求a^3 + b^3的最小值。
3. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(0) = 0，求f(x)的导数。
4. 设函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的导数。
5. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的极值点。
6. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(0) = 0，求f(x)的极值点。
7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的极值点。
8. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的单调递增区间。
9. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(0) = 0，求f(x)的单调递增区间。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的单调递增区间。
11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的单调递减区间。
12. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(0) = 0，求f(x)的单调递减区间。
13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的单调递减区间。
14. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的零点。
15. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(0) = 0，求f(x)的零点。
16. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的零点。
17. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的图像与x轴的交点。
18. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且f(0) = 0，求f(x)的图像与x轴的交点。
高考数学真题专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程答案部分1．【解析】(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)44364(48)20x x y y y x =--+-=-=∆． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+2．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =． 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r ，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r，由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 3．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m Pm m >（， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m 于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t 时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为1()24P ． 4．【解析】（Ⅰ）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-， 可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ， 整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ．解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B ． 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=．设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k ． 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y ． 5．【解析】（I ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）由题意知3,0,(t k A >>，则直线AM的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM =+=由题意MA NA ⊥，所以AN的方程为1()y x t k=-+， 同理可得26(1)||k t k AN +=由2AM AN =,得22233ktk k t=++，即3(2)3(21)k t k k -=- 当32k =时上式成立，因此23632k kt k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<- 即3202k k -<-，解得322k <<． 6．【解析】（Ⅰ）设点(,0)D t (||2)t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即00222t x x ty y -=-⎧⎨=-⎩，且0(2)0t t x -=．由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221164x y +=．（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ ，消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-．② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．7．【解析】（1）由题意，得2c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当AB ⊥x轴时，AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k +-+-=，则1,2x=C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k AB k+===+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()2223112k PC k k +=+．因为2PC AB =，所以(())222223111212k k k k k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 8．【解析】（1）由已知，点在椭圆E 上．因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2a =，b =所以椭圆的方程为22142x y +=． （2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y ．当直线l 与x轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点．则M ，(0,N ， 由||||||||QM PM QNPN ==，解得01y =或02y =． 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q ． 下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=． 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++． 因此121212112x x k x x x x ++==． 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-．又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线． 所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='．故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 9．【解析】（Ⅰ）由题意得2221,,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a =2．故椭圆C 的方程为2212x y +=． 设M (N x ，0)．因为0m ≠，所以11n -<<．直线PA 的方程为11n y x m--=， 所以M x =1m n -，即(,0)1mM n-．（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -， 设(,0)N N x ，则N x =1m n+． “存在点(0,)Q Q y 使得OQM ∠=ONQ ∠等价”，“存在点(0,)Q Q y 使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2Q M N y x x =．因为1M m x n =-，1N mx n=+，2212m n +=， 所以22221Q MN m y x x n===-． 所以Q y或Q y =．故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ∠=ONQ ∠． 点Q的坐标为或(0,．10．【解析】（Ⅰ）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22112y x b m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=．因为直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以224Δ220b m=-++>，① 设M 为AB 的中点，则2222(,)22mb m bM m m ++， 代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-．②由①②得m <或m >．（Ⅱ）令1(t m =∈U ，则2||2AB t =+，且O 到直线AB的距离21t d +=． 设ΔAOB 的面积为()S t ，所以1()||22S t AB d =⋅=， 当且仅当212t =时，等号成立． 故ΔAOB面积的最大值为2． 11．【解析】（Ⅰ）可知c =c a =3a ∴=，2224b a c =-=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=； （Ⅱ）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=，得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，2200364[()4]0k y kx ∴-+--=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根，同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，1()k k ∴⋅-=202049y x --，得220013x y +=，其中03x ≠±， 所以点P 的轨迹方程为2213x y +=（3x ≠±），因为(3,2)P ±±满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=． 12．【解析】（Ⅰ）设圆的半径为r ，P 点上下两段分别为,m n ，24r =，由射影定理得2r mn =，三角形的面积s ==≥=当2m n ==时，s取得最大，此时P∵222cc b a a==+，P 在双曲线上 ∴222321c b a ===，，，∴双曲线的方程为22-12y x = （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C的焦点为，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >，由P 在2C 上，得213b =，∴2C 的方程为22163x y +=， 显然，l 不是直线0y =，设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y ，由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)-30m y ++=，∴121222-3,22y y y y m m +==++①11220(PA PB x y x y =•=u u u r21212(1))m y y m y y =++++由①②得220m +=，解得12,22m m ==因此直线l的方程02x y -=或02x y -= 13．【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1．设点Q 的坐标为(x ，y )．(ⅰ)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭． (ⅱ)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2． 因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(1x ，k 1x ＋2)，(2x ，k 2x ＋2)， 则|AM |2＝(1＋k 2)21x ，|AN |2＝(1＋k 2)22x ． 又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)2x ． 由222211||||||AQ AM AN =+，得 22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)， 即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，12x x +＝2821k k -+，12x x ＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上， 所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪2⎛ ⎝⎭.又0,2⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x∈⎛ ⎝⎭. 由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y∈1,22⎛- ⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18， 其中x∈22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，y∈1,225⎛- ⎝⎦. 14．【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =．解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =．（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得 2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400[16]6400y y k k k k -+==.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400． 15．【解析】（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意，可得212||||,PF F F =2.c = 整理得22()10,1cc c aa a +-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e =（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c +=直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为8(,),(,),(,)5x y AM x c y BM x y =-=u u u u r u u u ur 则，由),.3y x c c x y =-=-得于是38(,),15555AM y x y x =--u u u u r().BM x =u u u u r 由2,AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r即38()()215555y x x y x -⋅+-=-，化简得218150.x --=将22105,0.316x y c x y c x +==-=>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>16．【解析】（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得21128y x x =-+，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M的轨迹方程为21128y x x =-+（4541<<-x ）． （2）曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=，即圆E ：2549)2()(22=-+-y a x ，其圆心坐标为)2,(a E ，半径57=r ，设圆G 与直线l ：20x y -+=相切于点(,)T T T x y ，75=，即5a =±．过点(,2)N a 与直线l 垂直的直线l '的方程是21()y x a -=-⨯-，即20x y +-=．由2020x y x y a -+=⎧⎨+--=⎩，解得2T a x =，22T ay =+．当5a =-时，1210T x -<<-<． ∵1,2-分别是D 上的点的最小和最大横坐标，∴切点T D ∈，故min 5a =-．。
高中数学 专题2.1 曲线与方程(2)练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
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曲线与方程（2）一、选择题1．已知两定点A（－2，0），B（1,0），如果动点P满足|PA｜＝2|PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π[答案］B［解析] 设P(x，y),则（x＋2）2＋y2＝4[(x－1）2＋y2]，∴(x－2）2＋y2＝4，可知圆面积为4π。
2．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( ）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段［答案] A3．点A（2,0)，点B在圆x2＋y2＝1上，点C是∠AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为（)A．(x－错误!）2＋y2＝错误!B．（x＋错误!）2＋y2＝错误!C．（x－错误!)2＋y2＝错误!D．（x＋错误!）2＋y2＝错误![答案] A[解析］设B（x0，y0）,C(x，y)，由错误!＝错误!＝2，得错误!＝2错误!，即（x－2，y)＝2（x0－x，y0－y),∴错误!因为点B(x0,y0）在圆x2＋y2＝1上，代入后化简得（x－错误!）2＋y2＝错误!，故选A。
【高考复习】届江苏高考复习曲线与方程专题练习(带答案)
【高考复习】届江苏高考复习曲线与方程专题练习（带答案）建立平面直角坐标系,用坐标来刻画点的位置,为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，以下是届江苏高考复习曲线与方程专题练习，请考生认真练习。
一、填空题1.(徐州调研)若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=________.[解析] 由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0，由题意得=[-4(k+2)]2-4k24=64(1+k)0解得k-1，且x1+x2==4解得k=-1或k=2，故k=2.[答案] 22.点P是圆(x-4)2+(y-1)2=4上的动点，O是坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程是________.[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)，则x=，y=，x0=2x，y0=2y，(x0，y0)是圆上的动点，(x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.[答案] (x-2)2+2=13.(宿迁质检)设抛物线的顶点在原点，其焦点F在x轴上，抛物线上的点P(2，k)与点F的距离为3，则抛物线方程为________.[解析] xP=20，设抛物线方程为y2=2px，则|PF|=2+=3，=1，p=2.[答案] y2=4x4.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是________.[解析] 设P(x，y)，则|x|+|y|=2.它的图形是一个以2为边长的正方形，故S=(2)2=8.[答案] 85.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.则求动圆圆心的轨迹C的方程为________.[解析] 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|=|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点.|O1M|=，又|O1A|=，= ，化简得y2=8x(x0).当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x，动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.[答案] y2=8x图836.(盐城调研)如图83所示，已知C为圆(x+)2+y2=4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且=0，=2.当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程为________.[解析] 圆(x+)2+y2=4的圆心为C(-，0)，半径r=2，=0，=2，MQAP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|=|QP|，||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2，又|AC|=22，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(-，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c=，a=1，得b2=1，因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.[答案] x2-y2=17.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，经过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.则点M的轨迹方程为________.[解析] 设M(x，y)，A，B，显然x1x2，由x2=4y，得y=x2，y=x，于是过A、B两点的切线方程分别为y-=(x-x1)，即y=x- ，y-=(x-x2)，即y=x- ，由解得，设直线l的方程为y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4 ，代入得，即M(2k，-1)，故点M的轨迹方程是y=-1.[答案] y=-18.(江苏泰州中学期末)若椭圆C1：+=1(a10)和C2：+=1(a20)是焦点相同且a1a2的两个椭圆，有以下几个命题：C1，C2一定没有公共点;a-a=b-b;a1-a2a2，所以b1b2，C1，C2一定没有公共点;因为a1a2，b1b2，所以不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)，因为a1+a2b1+b2，所以a1-a2b0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上的点(与O 不重合).若|MO|=2|OA|，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程;若M是l与椭圆C2的交点，求AMB面积的最小值.[解] (1)由题意得又a0，解得a2=8，b2=1，因此所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知||=2||，=0，即解得因为点A(m，n)在椭圆C2上，所以+n2=1.即+x2=1，亦即+=1，所以点M的轨迹方程为+=1.设M(x，y)，则A(y，-x)(R，0)，因为点A在椭圆C2上，所以2(y2+8x2)=8，即y2+8x2=，()又x2+8y2=8，()(?)+()得x2+y2=，所以SAMB=OMOA=||(x2+y2)=.当且仅当=1时，(SAMB)min=.届江苏高考复习曲线与方程专题练习及答案的所有内容就是这些，更多精彩内容请持续关注数学网。
江苏高考复习曲线与方程专题练习(带答案)
江苏高考复习曲线与方程专题练习（带答案）方程是指含有未知数的等式，以下是江苏2021届高考温习曲线与方程专题练习，请考生仔细练习。
一、填空题1.(2021苏州模拟)如图85，F1、F2区分是椭圆C：+=1(a0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，那么椭圆C的离心率为________.[解析] 由题意得OQ=b=PF1，那么PF2=2a-PF1=2a-2b，QF2=a-b，所以(a-b)2+b2=c2，解得2a=3b，那么4a2=9b2=9a2-9c2，得e=.[答案]2.(2021南师附中调研)抛物线y2=4x，点A(5,0).点O为坐标原点，倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，那么AMN的面积的最大值为________.[解析] 设直线l的方程为y=x+b(-5c，直线PR的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.圆(x-1)2+y2=1内切于PRN，那么圆心(1,0)到直线PR的距离为1.=1，留意到x02，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.b，c为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根.b+c=，bc=，(b-c)2=.又y=2x0，b-c=，S△PRN=(b-c)x0==(x0-2)++48，当且仅当x0=4时取等号，PRN面积的最小值为8.专题打破五高考解析几何效果的求解战略(见先生用书第187页)类型1 曲线方程与性质直线方程、圆方程、圆锥曲线的规范方程在课标高考中占有十分重要的位置，由条件求曲线方程或曲线方程研讨曲线性质是高考命题的重点和热点，求曲线方程最常用的方法是定义法与待定系数法，椭圆与双曲线的离心率是高考对圆锥曲线考察的又一重点，触及a，b，c三者之间的关系，另外抛物线的准线，双曲线的渐近线，圆的切线也是命题的热点. 【典例1】 (2021南京质检)椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x2=4y的焦点.(1)求椭圆方程;(2)假定直线y=x-1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程.[思绪点拨] (1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的规范方程.(2)联立方程求出圆心和半径.[规范解答] (1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上.设椭圆的方程为+=1(a0) ，由于抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，所以b=1.由离心率e==，a2=b2+c2=1+c2，从而得a=，椭圆的规范方程为+y2=1.(2)由解得所以点A(2,1).由于抛物线的准线方程为y=-1，所以圆的半径r=1-(-1)=2，所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【反思启迪】 1.待定系数法求曲线方程，关键是方程的联立求解，结合条件，求待定参数，表达了方程思想的运用.2.直线与圆相切，可转化为圆心到直线的距离等于半径，表达了转化的思想.【变式训练1】 (2021重庆高考)如图51，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|=4.图51(1)求该椭圆的规范方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其他点均在圆Q外.求PPQ 的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的规范方程. [解] (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上，那么+=1，从而e2+=1.由e=，得b2==8，从而a2==16.故该椭圆的规范方程为+=1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0).又设M(x，y)是椭圆上恣意一点，那么|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8=(x-2x0)2-x+8(x[-4,4]).设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式中当x=x1时取最小值.又由于x1(-4,4)，所以上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且|QP|2=8-x. 由对称性知P(x1，-y1)，故|PP|=|2y1|，所以S=|2y1||x1-x0|=2|x0|当x0=时，PPQ的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|==，因此，这样的圆有两个，其规范方程区分为(x+)2+y2=6，(x-)2+y2=6.类型2 解析几何中的存在性探求效果近年高考命题经常设计探求能否存在性的效果，考察先生的发散思想和创新才干，求解这类效果要注重数形的转化，擅长从特殊发现规律，并能正确推理与计算.【典例2】椭圆C1：+=1(a0)的离心率为e，且b，e，为等比数列，曲线y=8-x2恰恰过椭圆的焦点.(1)求椭圆C1的方程;(2)设双曲线C2：-=1的顶点和焦点区分是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B区分是C1和C2上的点，问能否存在A，B满足=.请说明理由.假定存在，央求出直线AB的方程.[思绪点拨] (1)转化，构建方程，求出a，b，c即可求出方程.(2)先求出C2的方程，假定结论成立，可得O，A，B三点共线，得直线AB的方程为y=kx，与C1，C2的方程联立求出交点的横坐标.应用共线失掉k的方程，看能否求出k的值，即可判别假定能否成立.[规范解答] (1)由y=8-x2=0，得x=2，所以椭圆的焦点坐标为(2，0)即c=2.又b，e，为等比数列，所以2=b.又a2=b2+c2，解得a=2，b=2，故椭圆C1的方程为+=1.(2)假定存在A，B满足=，那么可知O，A，B三点共线且A，B必不在y轴上.设A，B的坐标区分为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx.由(1)可知C2的方程为-=1.由得(1+3k2)x2=12，即x=，由得(1-2k2)x2=8，即x=，由=，得x=x，即=，解得k2=，即k=.所以存在A，B满足=，此时直线AB的方程为y=x.【反思启迪】 1.探求性效果通常采用一定顺推法，将不确定性效果阴暗化.其步骤为假定满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，假定方程组有实数解，且满足题意，那么元素(点、直线、曲线或参数)存在;否那么，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.2.反证法与验证法也是求解探求性效果常用的方法.【变式训练2】 (2021镇江模拟)如图52，椭圆E：+=1(a0)的离心率为，过左焦点F(-，0)且斜率为k的直线交椭圆E 于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点.图52(1)求椭圆E的方程;(2)求证：点M在直线l上;(3)能否存在实数k，使得BDM的面积是ACM面积的3倍?假定存在，求出k的值;假定不存在，说明理由.[解] (1)由题意可知e==，c=，于是a=2，b=1.所以椭圆E的规范方程为+y2=1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立直线AB的方程与椭圆方程，得即(4k2+1)x2+8k2x+12k2-4=0，所以x1+x2=，x0==，y0=k(x0+)=，于是M.由于+4k=0，所以M在直线l上.(3)当k=时，满足条件.由(2)知点A到直线CD的距离与点B 到直线CD的距离相等，假定BDM的面积是ACM面积的3倍，那么|DM|=3|CM|，由于|OD|=|OC|，于是M为OC的中点.设点C的坐标为(x3，y3)，那么y0=.由解得y3=，于是=，解得k2=(舍负)，所以k=.类型3 解析几何中的定点、定值效果江苏2021届高考温习曲线与方程专题练习及答案的一切内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解一、选择题1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9.2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π[答案] B[解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 24＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 23＋y 22＝1D.x 212＋y 210＝1 [答案] C[解析] 依题意得，|P A |＝|PF 2|， 又|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝23，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，点P 的轨迹为椭圆， 方程为x 23＋y 22＝1.5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.7．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 12＋9y 12＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得，y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )A ．a 1－c 1＝a 2－c 2B ．a 1＋c 1>a 2＋c 2C ．a 1c 2>a 2c 1D ．a 1c 2<a 2c 1[答案] C[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O 1，O 2，公共左顶点为A ，如图，则a 1－c 1＝|AO 1|－|FO 1|＝|AF |，a 2－c 2＝|AO 2|－|FO 2|＝|AF |，故A 对；又a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，故B 对；由图知e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴a 1c 2<a 2c 1，故D 对，C 错．二、填空题11．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．(2010·哈师大附中)已知曲线C 1的方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为________．[答案]33[解析] 设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)． 13．(2010·浙江杭州质检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9(位于圆x 2＋y 2＝16内的) [解析] ∵以AB 为直径的圆过点C ，∴AC ⊥BC ， ∵M 是AB 中点，∴|CM |＝12|AB |＝3，故点M 在以C (1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，∵M 为弦AB 的中点，∴M 在⊙O 内，故点M 轨迹为圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9位于圆x 2＋y 2＝16内的部分．14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.则动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为________．[答案] x 23＋y 2＝1[解析] 由已知得直线l 1⊥l 2， l 1：y ＝33x ，l 2：y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2得，(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4， 即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.三、解答题15．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )， 依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.[点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；(3)若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小值．[解析] (1)∵e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴2a 2＝3b 2.∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴b ＝2，b 2＝2，∴a 2＝3. ∴椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵|MP |＝|MF 2|，∴动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， ∴动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线． ∴点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .(3)当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则直线AC 的方程为y ＝k (x －1)．联立x 23＋y 22＝1及y ＝k (x －1)得，(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x2＝3k 2－62＋3k 2. |AC |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝48(k 2＋1)2＋3k 2.由于直线BD 的斜率为－1k ，用－1k 代换上式中的k 可得|BD |＝48(1＋k 2)2k 2＋3.因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝24(1＋k 2)2(2＋3k 2)(2k 2＋3)，由于(2＋3k 2)(2k 2＋3)≤[(2＋3k 2)＋(2k 2＋3)2]2＝[5(k 2＋1)2]2，所以S ≥9625，当2＋3k 2＝2k 2＋3，即k ＝±1时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积S ＝4. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625.16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p2 ②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为：x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上动点P 在点A 和B 之间运动时，求△ABP 面积的最大值． [解析] (1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得，x 2＋2pkx －4p ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． 因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .(2)根据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－x ，则－x 0＝2，解得x 0＝－2， 又y 0＝－12x 02＝－2，所以P (－2，－2)．此时，点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0.则x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－4， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410.故△ABP 面积的最大值为12|AB |·d ＝12×410×455＝8 2.17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝90°，|EF →|＝2，|EF →＋ED →|＝52，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点K 满足OK →＝13ED →，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且|MK →|＝|NK →|，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知E (－1,0)，F (1,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x D ＝－c 可得y D ＝b 2a，∵|EF →＋ED →|＝52，EF →⊥ED →，|EF →|＝2，∴|ED →|＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1b 2a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3∴椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)∵OK →＝13ED →，∴K ⎝⎛⎭⎫0，12，当l ⊥EF 时，不符合题意， 故可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k ≠0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0 ∵M 、N 存在，∴Δ>0即64k 2m 2－4(3＋4k 2)·(4m 2－12)>0， ∴4k 2＋3>m 2(※)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点H (x 0，y 0) ∴x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， ∵|MK →|＝|NK →|，∴|MK |＝|NK |，|MK |＝|NK |⇔MN ⊥KH ⇔y 0－12x 0＝－1k ⇔3m 3＋4k 2－12－4km 3＋4k 2＝－1k ⇔m ＝－3＋4k 22代入(※)式得4k 2＋3>⎝⎛⎭⎫－3＋4k 222∴4k 2＋3<4，又k ≠0，∴－12<k <12且k ≠0∴l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.。
高考数学试题汇编曲线与方程
第四节 曲线与方程高考试题考点 曲线的轨迹方程1.(2011年广东卷,文8)设圆C 与圆x 2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C 的圆心轨迹是( )(A)抛物线 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)圆解析:设圆C 的半径为r,则圆心C 到直线y=0的距离为r,由两圆外切可得,圆心C 到点(0,3)的距离为r+1,也就是说,圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y=-1的距离相等,符合抛物线的特征,故点C 的轨迹为抛物线. 答案:A2.(2010年重庆卷,理10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )(A)直线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线解析:在边长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线,平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1,以D 为原点,分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设点P(x,y)在平面ABCD 内且到A 1D 1与DC 之间的距离相等,∴∴x 2-y 2=a 2,故选D.答案:D3.(2011年北京卷,理14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点;②曲线C 关于坐标原点对称;③若点P 在曲线C 上,则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中,所有正确结论的序号是 .解析:设曲线C 上任一点P(x,y),由|PF 1|·|PF 2|=a 2,=a 2(a>1),将原点(0,0)代入等式不成立,故①不正确;∵点P(x,y)在曲线C 上,点P 关于原点的对称点P ′(-x,-y),将P ′代入曲线C 的方程等式成立,故②正确;设∠F 1PF 2=θ,则12F PF S △=12|PF 1||PF 2|·sin θ=12a 2sin θ≤12a 2,故③正确. 答案:②③4.(2013年四川卷,理20)已知椭圆C: 22221x y a b+=(a>b>0)的两个焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),且椭圆C经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211AQAMAN=+,求点Q的轨迹方程. 解:(1)由椭圆定义知,2a=|PF 1|+|PF 2所以又由已知,c=1,所以椭圆C 的离心率e=ca . (2)由(1)知,椭圆C 的方程为22x +y 2=1.设点Q 的坐标为(x,y).①当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q 的坐标为 ②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y=kx+2.因为点M,N 在直线l 上,可设点M,N 的坐标分别为(x 1,kx 1+2),(x 2,kx 2+2),则|AM|2=(1+k 2) 21x ,|AN|2=(1+k 2) 22x .又|AQ|2=x 2+(y-2)2=(1+k 2)x 2.由222211AQAMAN=+,得()2221k x +=()22111k x ++()22211k x +, 即22x =221211x x +=()2121222122x x x xx x +-.①将y=kx+2代入22x +y 2=1中,得(2k 2+1)x 2+8kx+6=0.②由Δ=(8k)2-4×(2k 2+1)×6>0,得k 2>32. 由②可知,x 1+x 2=2821k k -+,x 1x 2=2621k +, 代入①中并化简,得x 2=218103k -.③ 因为点Q 在直线y=kx+2上, 所以k=2y x-,代入③中并化简,得 10(y-2)2-3x 2=18. 由③及k 2>32,可知0<x 2<32,即x ∈（,0）∪).又满足10(y-2)2-3x 2=18,故x ∈,). 由题意,Q(x,y)在椭圆C 内,所以-1≤y ≤1, 又由10(y-2)2=18+3x 2有(y-2)2∈[95,94)且-1≤y ≤1,则y ∈(12所以点Q 的轨迹方程为10(y-2)2-3x 2=18,其中x ∈),y ∈(125.(2012年湖北卷,理21)设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m ≠1).当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N,直线QN 交曲线C 于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ ⊥PH?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)如图(1),设M(x,y),A(x 0,y 0), 则由|DM|=m|DA|(m>0,且m ≠1), 可得x=x 0,|y|=m|y 0|, 所以x 0=x,|y 0|=1m|y|.① 因为A 点在单位圆上运动, 所以20x +20y =1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2+22y m=1(m>0,且m ≠1). 因为m ∈(0,1)∪(1,+∞),所以当0<m<1时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为 当m>1时,曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为 (2)如图(2)、(3),对任意k>0,设P(x 1,kx 1),H(x 2,y 2), 则Q(-x 1,-kx 1),N(0,kx 1) 直线QN 的方程为y=2kx+kx 1, 将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2+4k 2)x 2+4k 2x 1x+k 221x -m 2=0.依题意可知此方程的两根为-x 1,x 2,于是由根与系数的关系可得-x 1+x 2=-212244k x m k +,即x 2=21224m x m k +.因为点H 在直线QN 上,所以y 2-kx 1=2kx 2=212224km x m k +,于是PQ =(-2x 1,-2kx 1),PH =(x 2-x 1,y 2-kx 1)=(-212244k x m k +,212224km x m k +).而PQ ⊥PH 等价于PQ ·PH =()222122424m k x m k -+=0,即2-m 2=0,由m>0,得故存在使得在其对应的椭圆x 2+22y =1上,对任意的k>0,都有PQ ⊥PH.6.(2012年湖南卷,理21)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1上的点均在圆C 2:(x-5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M,M 到直线x=-2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. (1)求曲线C 1的方程;(2)设P(x 0,y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点,过P 作圆C 2的两条切线,分别与曲线C 1相交于点A,B 和C,D. 证明:当P 在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. (1)解:法一 设M 的坐标为(x,y),由已知得易知圆C 2上的点位于直线x=-2的右侧,于是x+2>0,=x+5.化简得曲线C 1的方程为y 2=20x.法二 由题设知,曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离.因此,曲线C 1是以(5,0)为焦点,直线x=-5为准线的抛物线.故其方程为y 2=20x.(2)证明:当点P 在直线x=-4上运动时,P 的坐标为(-4,y 0),又y 0≠±3,则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y-y 0=k(x+4),即kx-y+y 0+4k=0,于是=3.整理得72k 2+18y 0k+20y -9=0.①设过P 所作的两条切线PA,PC 的斜率分别为k 1,k 2, 则k 1,k 2是方程①的两个实根,故 k 1+k 2=-01872y =-04y.② 由101240,20k x y y k y x-++=⎧⎪⎨=⎪⎩得 k 1y 2-20y+20(y 0+4k 1)=0.③设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为y 1,y 2,y 3,y 4, 则y 1,y 2是方程③的两个实根, 所以y 1y 2=()011204y k k +.④同理可得y 3y 4=()022204y k k +⑤于是由②,④,⑤三式得 y 1y 2y 3y 4=()()01021240044y k y k k k ++=()201201212400416y k k y k k k k ⎡⎤+-+⎣⎦=()2200121240016y y k k k k -+=6400,∴当P 在直线x=-4上运动时,四点A,B,C,D 的纵坐标之积为定值6400.7.(2012年四川卷,理21)如图,动点M 与两定点A(-1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程;(2)设直线y=-2x+m 与y 轴相交于点P,与轨迹C 相交于点Q 、R,且|PQ|<|PR|,求PR PQ的取值范围.解:(1)设M 的坐标为(x,y),显然有x>0,且y ≠0. 当∠MBA=90°时,点M 的坐标为(2,±3). 当∠MBA ≠90°时,x ≠2, 由∠MBA=2∠MAB, 有tan ∠MBA=22tan 1tanMABMAB ∠-∠,即-2y x -=22111yx y x +⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 化简可得3x 2-y 2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x 2-y 2-3=0上,综上可知,轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0(x>1).(2)由222,330y x m x y =-+⎧⎪⎨--=⎪⎩消去y, 可得x 2-4mx+m 2+3=0.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内. 设f(x)=x 2-4mx+m 2+3,所以()()()222241,21143443m f m m m m -⎧-⎪⎪⎪=-++⎨⎪∆--+⎪⎪⎩＞＞0,=＞0.解得m>1,且m ≠2.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),由|PQ|<|PR|有x Rx Q所以PRPQ =R Q x x.由m>1,且m ≠2, 有,且7.所以PR PQ的取值范围是(1,7)∪8.(2011年新课标全国卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,-1),B 点在直线y=-3上,M 点满足MB ∥OA ,MA ·AB =MB ·BA ,M 点的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程;(2)P 为C 上的动点,l 为C 在P 点处的切线,求O 点到l 距离的最小值. 解:(1)设M(x,y).由已知得B(x,-3).又A(0,-1), 所以MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),AB =(x,-2).再由题意可知(MA +MB )·AB =0, 即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0, 所以曲线C 的方程为y=14x 2-2, (2)设P(x 0,y 0)为曲线C:y=14x 2-2上一点, 因为y ′=12x,所以l 的斜率为12x 0, 因此直线l 的方程为y-y 0=12x 0(x-x 0), 即x 0x-2y+2y 0-20x=0, 所以O 点到l 的距离.又y 0=1420x -2, 所以2014x +=12)≥2当x 0=0时取等号,所以O 点到l 距离的最小值为2.9.(2011年安徽卷,理21)设λ>0,点A 的坐标为(1,1),点B 在抛物线y=x 2上运动,点Q 满足BQ =λQA ,经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M,点P 满足QM =λMP ,求点P 的轨迹方程.解:由QM =λMP 知Q 、M 、P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y 0),M(x,x 2), 则x 2-y 0=λ(y-x 2),即y 0=(1+λ)x 2-λy,①再设B(x 1,y 1),由BQ =λQA , 即(x-x 1,y 0-y 1)=λ(1-x,1-y 0),解得()()1101,1.x x y y λλλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩②将①式代入②式,消去y 0, 得()()()12211,11.x x y x y λλλλλλ⎧=+-⎪⎨=+-+-⎪⎩③ 又点B 在抛物线y=x 2上,所以y 1=21x ,再将③式代入y 1=21x ,得(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2,(1+λ)2x 2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x 2-2λ(1+λ)x+λ2,2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因为λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0. 故所求点P 的轨迹方程为y=2x-1.模拟试题考点一 确定轨迹问题1.(2013北京市海淀区高三模拟)方程x 2+xy=x 的曲线是( )(A)一个点 (B)一条直线 (C)两条直线 (D)一个点和一条直线解析:由x 2+xy=x 得x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,为两条直线,选C.答案:C2.(2013山东省青岛一中高三调研)过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B 两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线( ) (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C)有无穷多条 (D)不存在解析:抛物线y 2=4x 的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.若直线AB 的斜率不存在,A 、B 到直线x=-2的距离之和等于6,不合题意.当直线AB 斜率存在时,|AB|>4,而点A 、B 到直线x=-1的距离之和等于|AB|,所以点A 、B 到直线x=-2的距离之和大于6,不合题意.选D. 答案:D考点二 轨迹方程的求法1.(2012天津和平一模)在△ABC 中,A 为动点,B,C 为定点,B （-2a ,0）,C （2a,0）(a>0),且满足条件 sin C-sin B=12sin A,则动点A 的轨迹方程是( ) (A)22221616115x y a a -= (y ≠0) (B) 2222161613y x a a -= (x ≠0)(C) 22221616115x y a a -=(x<-4a ) (D)2222161613x y a a -= (x>4a ) 解析:由正弦定理得|AB|-|AC|=12|BC|, 即|AB|-|AC|=2a,故点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(不包括x 轴上的点). 方程为2222161613x y a a -= (x>4a).答案:D2.(2012沈阳二模)在平行四边形ABCD 中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P 是平面ABCD 内一点,且满足:x AB +y AD +PA =0(x,y ∈R).则当点P 在以A 为圆心BD 为半径的圆上时,实数x,y 应满足关系式为( ) (A)4x 2+y 2+2xy=1 (B)4x 2+y 2-2xy=1(C)x 2+4y 2-2xy=1(D)x 2+4y 2+2xy=1解析:如图所示,以A 为原点建立平面直角坐标系,设AD=2.据题意,AB=1,∠ABD=90°.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、∴AB =(1,0), AD =(1, 3). 设点P 的坐标为(m,n),即AP =(m,n), 则由x AB +y AD +PA =0, 得: AP =xAB +y AD ,∴,.m x y n =+⎧⎪⎨⎪⎩据题意,m 2+n 2=1,∴x 2+4y 2+2xy=1.答案:D3.(2012山东枣庄一模)已知△ABC 的顶点B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点A 的轨迹方程为 .解析:设A(x,y),D(x 0,y 0),则x 0=2x ,y 0=2y.由|CD|=3, 即（2x -5）2+（2y ）2=9整理得(x-10)2+y 2=36(y ≠0) 答案:(x-10)2+y 2=36(y ≠0)4.(2013山东潍坊高三上学期期末)已知两定点E(-2,0),F(动点P 满足PE PF ⋅=0,由点P 向x 轴作垂线PQ,垂足为Q,点M 满足PM MQ ,点M 的轨迹为C. (1)求曲线C 的方程;(2)若线段AB 是曲线C 的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O 到动弦AB 距离的最大值. 解:(1)设P(x 0,y 0),则Q(x 0,0),M(x,y). ∴PE 0,-y 0), PF 0,-y 0) 由PE ·PF=0得20x -2+20y =0,即20x +20y =2.又PM =(x-x 0,y-y 0), MQ =(x 0-x,-y), 由PM MQ ,得)())()0001,1,x x x x y y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩整理得00,,x x y =⎧⎪⎨⎪⎩ ∴00,.x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又20x +20y =2,∴x2+2y 2=2.即曲线C 的方程为x 2+2y 2=2.(2)若动弦AB 与x 轴不垂直,设直线AB 的方程为y=kx+b,原点O 到动弦AB 的距离为h, 则.由22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得(1+2k 2)x 2+4kbx+2b 2-2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-2412kbk +,x 1x 2=()222112b k -+. 因为|AB|=2,·|x 2-x 1|=2,即(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=4,所以(1+k 2)·[(-2412kb k +)2-()228112b k -+\=4,整理,得211k+=2(1-b 2). 因为1+k 2≥1,所以0<211k+≤1,即0<2(1-b 2)≤1, 所以12≤b 2<1. 由,知h22=2b 2(1-b 2)=-2b 4+2b 2=-2(b 2-12)2+12. 因为12≤b 2<1,所以当b 2=12时,h 2取得最大值,且最大值为12,即h .故坐标原点到动弦AB . 另解:h 2=2b 2(1-b 2)≤2·[()2212b b +-]2=12, 当且仅当b 2=1-b 2,即b 2=12时取等号. 综合检测1.(2012乌鲁木齐三模)双曲线x 2-23y =1左、右两支上各有一点A 、B,点B 在直线x=12上的射影是点B ′,若直线AB 过右焦点,则直线AB ′必过点( )(A)(1,0) (B) 5,04⎛⎫⎪⎝⎭(C) 2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭解析:设直线AB 的方程为y=k(x-2),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则B ′(12,y 2). 由()222,1,3y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得,(3-k 2)x 2+4k 2x-4k 2-3=0, ∴212221224,343.3k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩∴x 1x 2+1=54(x 1+x 2).① 直线AB ′的方程为y-y 1=21112y y x --(x-x 1),将y=0及y 1=k(x 1-2),y 2=k(x 2-2)代入得, -k(x 1-2)= ()()2112212k x k x x ---- (x-x 1), 化简得(x 2-x 1)x=x 1x 2-52x 1+1,② 由①知,x 1x 2+1-52x 1=54(x 2-x 1),代入②得,x=54, ∴直线AB ′过点5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 答案:B2.(2011贵港市教研室高三教学质量监测模拟)点P 是圆C:(x+2)2+y 2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q,则点Q 的轨迹方程是 .解析:依题意有|QP|=|QF|,∴||QC|-|QF||=|CP|=2,又|CF|=4>2,故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线,a=1,c=2,∴b 2=3, 所求轨迹方程为x 2-23y =1. 答案:x 2-23y =1 3.(2013江南十校模拟)在平面直角坐标系xOy 中,设点P(x,y),M(x,-4),以线段PM 为直径的圆经过原点O.(1)求动点P 的轨迹W 的方程;(2)过点E(0,-4)的直线l 与轨迹W 交于两点A,B,点A 关于y 轴的对称点为A ′,试判断直线A ′B 是否恒过一定点,并证明你的结论.解:(1)由题意可得OP ⊥OM,所以OP OM ⋅=0,即(x,y)·(x,-4)=0,即x 2-4y=0,即动点P 的轨迹W 的方程为x 2=4y. (2)设直线l 的方程为y=kx-4,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A ′(-x 1,y 1)由24,4.y kx x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩消y 整理得x 2-4kx+16=0, 则Δ=16k 2-64>0,即|k|>2. x 1+x 2=4k,x 1x 2=16.直线A ′B:y-y 2=2121y y x x -+(x-x 2). ∴y=2121y y x x -+(x-x 2)+y 2,∴y=()2221214x x x x -+ (x-x 2)+ 2214x , ∴y=214x x -x-22124x x x -+2214x , ∴y=214x x -x+124x x , 即y=214x x -x+4. 所以,直线A ′B 恒过定点(0,4).。
曲线和方程练习题
曲线和方程练习题一、选择题1、〔2014·高考文科·Ｔ3〕抛物线214yx 的准线方程是〔 〕 A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。
【解析】选A 。
22144yx x y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,那么AB = ( )B.6C.12D.【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04⎛⎫⎪⎝⎭.那么由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34n,解得m=32 ),n=32所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.应选C.3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积为( )C.6332D.94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二〞,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,那么由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=32 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB =1324⋅·(m+n)=94.应选D. 4. 〔2014·高考理科·Ｔ10〕F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是〔 〕A.2B.3C.8【解题提示】【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，那么直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=〞，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.5. 〔2014·高考文科·Ｔ10〕与〔2014·高考理科·Ｔ10〕一样F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=〔其中O 为坐标原点〕，那么ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是〔 〕 A.2B.3 【解题提示】【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，那么直线AB与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=〞，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.6. 〔2014·高考理科·Ｔ10〕点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,那么直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率 【解析】选Ｄ. 根据条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y ，由题意，在第一象限2822y x y x =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为02AB x x k y x ='==，而切线的斜率也可以为003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==． 即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 二、填空题1. 〔2014·高考理科·Ｔ15〕如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,b C F a=两点，则【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。
高考数学曲线与方程选择题
高考数学曲线与方程选择题1. 选择题：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)的反函数f^(-1)(x)。
2. 选择题：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的顶点坐标。
3. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像是开口向上的抛物线，求a的取值范围。
4. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像是开口向下的抛物线，求a的取值范围。
5. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相切，求a的取值范围。
6. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求c的值。
7. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求b的值。
8. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求a的值。
9. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求a的取值范围。
10. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求b的取值范围。
11. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求c的取值范围。
12. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像与x轴相交于两点，求a、b、c之间的关系。
13. 选择题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，若f(x)的图像过点(1, 2)，求a、b、c之间的关系。
高考数学复习、高中数学 曲线与方程附答案解析
第8节 曲线与方程基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1、方程表示的曲线是 （ ）0)1()(22=-+-xy y x 双曲线 双曲线左支 两个点双曲线右支 .A .B .C .D 2、已知直线及曲线，则( )03:=-+y x l 2)2()3(:22=-+-y x C )1,2(M A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上3、曲线与的交点坐标是( ) 241x y =522=+y x A ． B ．)1,2()1,2(±C ．或 D ．或)1,2()5,52()1,2(±)5,52(±4、方程表示的曲线是( )0|1|=-+y x5、已知两点，点P 为坐标平面内的动点，满足)0,2(),0,2(N M -+⋅||||MP MN，则动点的轨迹方程为( )0=⋅NP MN ),(y x P A ． B ． x y 82=x y 82-=C ．D ．x y 42=x y 42-=6、（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；C② 曲线C ③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.C 其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③二、多项选择题7、已知，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ))4,2(),0,1(B A -A ．01634=--y x B ．01634=+-y x C ．02434=--y x D ．02434=+-y x 8、曲线C 是平面内与两个定点的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨()()121,0,1,0F F -迹．给出下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 过坐标原点；B ．曲线C 关于坐标原点对称； C ．若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于． D ．以上都对 212a 三、填空题9、若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为1)2(22=+-y x 01=+x _____________．10、方程表示的图形为________．01284222=++-+y x y x 11、已知两点，点P 满足，则点P 的轨迹方程为)0,2(),0,2(N M -12=⋅____________．12、已知点，当点B 在曲线上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方)1,0(-A 122+=x y 程是________________．能力提升题组（建议用时：20分钟）13、设直线与抛物线，当为何值时，直线与抛物线1+=ax y x y 22=a （1）有且只有一个公共点；（2）有两个不同的公共点；（3）没有公共点？14、在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且，求动点P 的轨迹方程．4=⋅MN OP15、已知圆C 的方程为，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 422=+y x 与y 轴的交点为N ，若向量，求动点Q 的轨迹．+=16、在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=- ，求点M 的轨迹方程．第8节 曲线与方程1、.C 2、B 3、B 4、B 5、B 6、C ．7、B D ．【答案】由两点式，得直线AB 的方程是，即， 121040++=--x y 0434=+-y x 线段AB 的长度.54)12(||22=++=AB 设点C 的坐标为，),(y x 则， 105|434|521=+-⨯⨯y x即或.01634=--y x 02434=+-y x 8、 CB 可设，代入条件可得，可知正确 (,)P x y 44222242221x y x y x y a +-+++=B 又，可知C 也正确 2121211sin 22ABP S PF PF F PF a =⋅⋅≤9、 x y 82=10、方程表示的图形是一个点．)2,2(-11、设，则，．),(y x P ),2(y x ---=),2(y x --=于是，12)2)(2(2=+---=⋅y x x PN PM 化简得，此即为所求点P 的轨迹方程．1622=+y x 12、24x y =设，，则.),(y x M ),(00y x B 12200+=x y 又因为M 为AB 的中点， 所以即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,21,2000y y x x ⎩⎨⎧+==,12,200y y x x 将其代入得，，即.12200+=x y 1)2(2122+=+x y 24x y =13.注意分清楚直线与对称轴平行时，与抛物线也只有一个交点，故（1）；（2）；（3）； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃∞-21,00,⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2114、由已知得，则，),(),,0(y x N y M -)2,(y x -=故.222)2,(),(y x y x y x -=-⋅=⋅依题意知，4222=-y x 因此动点P 的轨迹方程为.4222=-y x 15、解 设点Q 的坐标为，点M 的坐标为，则点N 的坐标为),(y x )0)(,(000≠y y x ．),0(0y 因为，即，则ON OM OQ +=)2,(),0(),(,(00000y x y y x y x ==））. y y x x 21,00==又因为点M 在圆C 上，所以， 42020=+y x 即． )0(4422≠=+y y x 所以动点Q 的轨迹方程是． )0(116422≠=+y y x 16、解（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =2.c =整理得22(10,1cc c a a a+-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e = （II ）解：由（I）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c +=直线PF2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580.x cx -=解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为8(,),(,),(,)5x y AM x c y BM x y =--= 则，由),.y x c c x y =-=得于是38,),55AM y x y x =--().BM x = 由2,AM BM ⋅=-即38)()255y x x y x -⋅+-=-，化简得218150.x --=将2105,0.16x y c x y c x +===>得 所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>。
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专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。