概率论与数理统计复习题
《概率论与数理统计（本科）》复习题
《概率论与数理统计（本科）》复习题《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题⼀、选择题1、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 全不发⽣的事件可以表⽰为( ). (A)ABC (B) A B C ?? (C) A B C ?? (D) A B C2、设A 和B 是任意两个事件，且A B ?，()0P B >，则下列结论必成⽴的是（）（A ）()()P A P A B < （B ）()()P A P A B >（C ）()()P A P A B ≤ （D ）()()P A P A B ≥3、设A 和B 相互独⽴，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.54、设A,B 为两随机事件，且B A ?，则下列式⼦正确的是（）（A ）()()P A B P A ?=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B - 5、以A 表⽰甲种产品畅销，⼄种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，⼄种产品畅销 (B) 甲、⼄产品均畅销 (C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或⼄产品畅销 6、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B ?=，则()P A B =（）。
(A) 0.2 (B) 0.45 (C) 0.6 (D) 0.75 7、设A B ?，则下⾯正确的等式是( )。
(A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=- (C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =8、设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -= 9、设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB =( ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 10、对于任意两个事件,A B ，下列式⼦成⽴的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- (B) ()()()()P A B P A P B P AB -=-+ (C) ()()()P A B P A P AB -=- (D) ()()()P A B P A P AB -=+ 11、已知,()0.2,()0.3A B P A P B ?==，则()P BA =( ).(A) 0.3 (B) 0.2 (C) 0.1 (D) 0.4 12、设B A ,满⾜1)(=B A P ，则有（）。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( )。
(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）.（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ） ()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件（C ）A B φ⋂=(空集) （D ）)()(B P A P ≥ 12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率论与数理统计复习题 带答案
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =（ 0.2 ）17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论与数理统计复习题
1
x1
8
1
x2
8
1
p j
6
1
5
[ 答案：
Y
X
y1 y2 y3 pi
1111 x1 24 8 12 4
1 31 3
x2
]
8844
111
p j
1 623
六、协差矩阵
记住以下公式： D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)
D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)
cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)
；
³ ³ （3）P (X ,Y ) D
1
dx
33x
4 12e3x4 ydy
1 4e3
0
0
五、二维离散型随机向量
设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合
分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值
填入表中的空白处。
Y
X
y1 y2 y3 pi
2y
7
七、最大似然估计
例：设总体 X 的概率密度为 f (x) ®(T 1)xT , 0 x 1
¯ 0 , 其他
其中未知参数T ! 1， X1, X 2 ," X n 是取自总体的简单随机样本，用极大似然估 计法求T 的估计量。
n
解：设似然函数 L(T )
(T 1)xiT ( 0 xi 1; i 1,2,", n)
练习：设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出
概率论与数理统计习题含解答,答案)
概率论与数理统计复习题（1）一．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题一、选择题（１）设0)(,0)(>>B P A P ，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 。
（ａ）A 与B 互不相容；（ｂ）A 与B 相互独立； （ｃ）A 与B 互不独立；（ｄ）A 与B 互不相容（２）１０个球中有３个红球，７个白球，随机地分给１０个人，每人一球，则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。
（ａ）)103(13C ；（ｂ）2)107)(103(；（ｃ）213)107)(103(C ；（ｄ）3102713C C C （３）设X ~)1,1(N ，概率密度为)(x f ，则有 。
（ａ）5.0)0()0(=≥=≤X P X p ；（ｂ）),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ； （ｃ）5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；（ｄ）),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F （４）若随机变量X ，Y 的)(),(Y D X D 均存在，且0)(,0)(≠≠Y D X D ，)()()(Y E X E XY E =，则有 。
（ａ）X ，Y 一定独立；（ｂ）X ，Y 一定不相关；（ｃ）)()()(Y D X D XY D =；（ｄ）)()()(Y D X D Y X D -=-（５）样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，已知μ=)(X E ，但)(X D 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是 。
（ａ）∑==4141i i X X ；（ｂ）μ241-+X X ；（ｃ）∑=-=4122)(1i i X X K σ；（ｄ）∑=-=4122)(31i i X X S（６）假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ，且)(X E ，)(X D 均存在。
另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值，则有 。
（ａ）X ~)(x f ；（ｂ）X ni ≤≤1min ~)(x f ；（ｃ）X ni ≤≤1max ~)(x f ；（ｄ）（n X X ,,1 ）~∏=ni x f 1)(（７）每次试验成功率为)10(<<p p ，进行重复独立试验，直到第１０次试验才取得４次成功的概率为 。
概率论与数理统计期末复习参考试题
<概率论与数理统计>期末复习参考试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件 1〕A 、B 、C 至少有一个发生 2〕A 、B 、C 中恰有一个发生 3〕A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。
那么P(B )A ＝3．假设事件A 和事件B 互相独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(AB)=0.7,那么α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅那么A=______________7. 随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,那么a =________b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,那么{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目的独立地进展四次射击，假设至少命中一次的概率为8081，那么该射手的命中率为_________10.假设随机变量ξ在〔1，6〕上服从均匀分布，那么方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，那么{max{,}0}P X Y ≥= 12.用〔,X Y 〕的结合分布函数F 〔x,y 〕表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用〔,X Y 〕的结合分布函数F 〔x,y 〕表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，那么〔x,y 〕关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 15.)4.0,2(~2-N X ，那么2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 互相独立，那么(3)D X Y -=17.设X的概率密度为2()x f x -=，那么()D X ＝18.设随机变量X 1，X 2，X 3互相独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N 〔0，22〕，X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，那么D 〔Y 〕=19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，那么()D X Y +=20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或～ 。
概率论与数理统计练习册（内附答案）
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。
2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。
3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。
p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。
25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。
36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。
7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。
8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。
339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。
611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。
5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。
12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。
319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。
24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。
15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。
0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
概率论及数理统计
概率论与数理统计综合复习题一、填空题1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个〔无放回〕，那么：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，那么敌机被击中的概率。
3、随机变量X N Y N ~()~()-1131，，，且X 与Y 相互独立，设随机变量52+-=Y X Z ，那么=EX ；=DX 。
4、随机变量X 的分布列为X -1 0 2P k 0.4 0.2 p那么：EX = ；DX = 。
5、设X 与Y 独立同分布，且)2,2(~2N X ，那么D (32X Y -)=。
6、设对于事件A 、B C 、有P A ()=P B P C ()()==14，121)(=ABC P ，81)()()(===AC P BC P AB P ，那么A 、B C 、都不发生的概率为。
7、设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2p k 0.1 0.2 0.3 p那么：=EX ；DX = ；Y X =-21的概率分布为 。
8、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，那么取到的是二等品的概率为。
9、随机变量X 的分布列为X 0 1 2P k 0.3 0.5 0.2那么：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。
10、设Y X 、的概率分布分别为⎩⎨⎧≤≤=其它，，0514/1)(x x ϕ；ϕ()y e y y y =>≤⎧⎨⎩-40004，，那么：)2(Y X E += ；)4(2Y XE -= 。
二、选择题1、设X 和Y 相互独立，且分别服从)2,1(2N 和)1,1(N ，那么 。
A ．2/1}1{=≤+Y X PB ．2/1}0{=≤+Y X PC ．2/1}0{=≤-Y X PD ．2/1}1{=≤-Y X P2、4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，5.0)|(=A B P ，那么=)(B A P 。
概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题（一）判断题第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间（1） 一枚硬币掷三次，观察硬币字面朝上的次数，样本空间为S={}0,123，，. √ （2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}S = . ╳2. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）A B +=（取到1、1、2、3、3、5号球）；╳ （2）\A B E ≠（取到2号球）； ╳ （3）CD = （取到1、2、3、4、5号球）； ╳ （4）\C D = （取到3号球）； √ （5）A D +=（取到1、2、3、4、5号球）； √ （6）AD =（取到1、2、3、4、5号球）. ╳ 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设A ，B 分别为甲、乙命中目标，用A 、B 事件的关系式表示下列事件，则（1）（甲没命中目标）AB = ； ╳ （2）（甲没命中目标）A = ； √ （3）（甲、乙均命中目标）A B =+； ╳ （4）（甲、乙均命中目标）AB = . √ 4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设i A =（5件中恰有i 件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件，则（1）0A =（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）；√（2）0A =（5件中恰有1件次品）； ╳（3）0A =（5件中至少有1件次品）； √ （4）3A =（5件中最多有2件次品）； ╳ （5）23A A + =（5件中至少有3件次品）； ╳ （6）23A A + =（5件中至少有2件次品）. √ 5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立（1）B A A B A +≠+；╳（2）A B AB AB AB +=++ ；√（3）AB A B A -=-；√（4）A B AB -≠；╳ （5）ABC A B C =；╳ （6）ABC A B C =++ . √6. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）3()5P A =； √ （2）4()()()5P B E P B P E +=+= ； √ （3）4()()()5P A E P A P E +=+= ；╳ （4）3()()5P A E P A +== ； √（5） ()()()P A B P A P B +=+； ╳ （6）4()5P A B += . √7.（1）设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ， )(B P = ，则 5.0)(=+B A P . √ （2） 设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ，5.0)(=+B A P 则)(B P = . ╳（3） 设()0.5P A =，()0.4P B =，()0.7P A B +=， 则()0.2P AB = . √ 8. 设事件,()0.5,A B P A ⊃=()0.2P B = ，则（1）(\)()()0.3P A B P A P B =-= ；√ （2）()()()0.7P A B P A P B +=+= ； ╳ （3）()()0.5P A B P A +== ；√ （4）()0.5P AB = ； ╳ （5）()0.2P AB =； √（6）(\)()()0.3P B A P B P A =-= . √9. 箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则 （1）恰取出2件次品的概率为251C ；√ （2）恰取出2件次品的概率为251A ； ╳ （3）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C C ； √ （4）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C A . ╳10.上中下三本一套的书随机放在书架上，则 （1）恰好按上中下顺序放好的概率为3311321A =⨯⨯；√ （2）恰好按上中下顺序放好的概率为13； ╳ （3）上下两本放在一起的概率为3322A ⨯ ； √（4）上下两本放在一起的概率为332A . ╳ 11. 若111(),(),()234P A P B P AB === 则 （1） 1()2P B A = √ （2） 2()3P B A = ╳（3） 3()4P A B = √ （4） ()()P A B P A = ╳12. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）(P 第一次取到正品8)10= √ （2）(P 第一次取到次品12110)C C = ╳（3）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C A = ； √ （4）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C C = ； ╳ （5）(P 第一次取到正品，第二次取到次品82)109=⨯ ； √ （6）(P 一次取到正品，一次取到次品82)109=⨯. ╳13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则（1）两次都取到红球的概率为⨯681011；√ （2）两次都取到红球的概率为⨯671010； ╳ （3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为710 ； ╳（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为⨯371011. ╳14.某人打靶，命中率为，则下列事件的概率为（1）第一枪没打中的概率为；√ （2）第二枪没打中的概率为； √ （3）第二枪没打中的概率为 ；╳（4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.4+= . ╳ （5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.04⨯= √ （6）第三枪第一次打中的概率为20.80.2⨯. √15 .几点概率思想（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标；√ （2）随机现象是没有规律的现象； ╳（3）随机现象的确定性指的是频率稳定性，也称统计规律性；√（4）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数；√ （5）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生；√ （6）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生. ╳第二章 随机变量及其分布16.随机变量X 的分布律为1231133p ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则（1）13p = ；√ （2）23p = ╳17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回，再取下一只，设X 为5次中取出的次品数，则（1）第3次取到次品的概率为0. ╳ （2）第3次取到次品的概率为13. √ （3）5次中恰取到2只次品的概率{}2522512233P X C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（4）5次中恰取到2只次品的概率{}25212233P X -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳（5）最少取到1只次品的概率{}0505121133P X C ⎛⎫⎛⎫≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（6）最少取到1只次品的概率{}141512133P X C ⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳ 18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为3的泊松分布(3)P ，则（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率{}31P X ==. ╳（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率{}23322!e P X -==. √（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率{}13311!e P X -==. ╳（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为{}{}031333010!1!e e P X P X --=+==+. √19. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令1X =，取到白球令0X =，则 （1）称X 为服从01-分布. √ （2）X 为连续型随机变量. ╳（3）X 的分布律为103255⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. ╳ （4）X 的分布律为102355⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. √ 20. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧=1310）（x F 1100≥<≤<x x x ，则 （1）X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛323110. √ （2）X 的分布律为012133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ ╳ （3）{0.5}0P X ≤= ╳ （4）1{0.5}3P X ≤=√ （5）{0.5}0P X ==√ （6）1{0.5}3P X == ╳（7）2{0.5 1.5}3P X <≤= √ （8）{0.5 1.5}1P X <≤= ╳21.设随机变量X 的概率密度01()0Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ， 则（1）常数A =2 . √ （2）常数A =1 . ╳ （3）由积分21Ax dx =⎰可以计算常数A. ╳ （4）由积分1Ax dx +∞-∞=⎰可以计算常数A. ╳(5) 由积分11Axdx =⎰可以计算常数A. √22.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧=02)(x x f 其它10≤≤x ， 则 （1）1{01}2P X xdx <<=⎰√ （2） 10.5{0.51}2P X xdx <<=⎰ √（3）2{02}2P X xdx <<=⎰╳ （4） 0.5{0.5}2P X xdx +∞>=⎰ ╳23.设随机变量X 的分布函数200()0111x F x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则X 的概率密度 （1）201()0xx f x <<⎧=⎨⎩其它 √ （2）201()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它╳（3）()2f x x x R =∈ ╳ （4）00()20111x f x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩╳ 24.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为12；√ （2）乘客候车时间超过5分钟的概率为12√ （3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为310；√（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为310. ╳25. 随机变量~(0,1)X N 则 (1){}102P X ≥=√ （2） {}102P X ≤= √ （3） {}{}00P X P X ≥=≤ √ （4）{}{}00P X P X ≥≠≤ ╳ 26. 随机变量)2,3(~2N X 则(1){}52≤<X P =)2/1()1(Φ+Φ ╳ (2) {}104≤<-X P =2)5.3(Φ–1 √ 27. 设01~0.40.6X ⎛⎫⎪⎝⎭，则（1）2Y X =的分布律为020.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭ √ （2）21Y X =+的分布律为130.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 28.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=02)(xx f 其它10<<x ,则X e Y =的概率密度为（1）⎩⎨⎧<<=其它01ln )(e y y y f Y ╳ （2）2ln 1()0Y yy e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它√第三章多维随机变量及其分布29.设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F x y (,)，则（1）{}2,1≤≤Y X P = F （1,2） √ （2）{}1123131213P X Y F F F -<≤<≤=---,(,)(,)(,) ╳ 30. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为（1）Y 的边缘分布律为012020404...⎛⎫⎪⎝⎭╳ （2）X ，Y 不独立 ╳（3）（X ，Y ）的分布函数在116(,.)点的值1610(.,)F = ╳（4）20016{,}.P X Y === √ （5）概率1012{}.P X Y +== ╳（6）Z X Y =-的分布律为101201203204016....-⎛⎫⎪⎝⎭√（7）072().E XY = √ （8）相关系数0XY ρ≠ ╳ 31. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则 （1）{}Y X M ,max =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛167163166210 √（2）{}Y X N ,min =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--167163166012√第四章 随机变量的数字特征32.设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41212116121610311 则（1）)(X E =31 √（2）)(2X E = 4/55/]21)2/1(0)1[(22222=++++- ╳ （3）X 的方差D （X ）=7297 √33.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x则（1） )(X E =1 √ （2）)(X E =⎰⎰-+211)2(dx x dx x ╳（3）)()(22X E X E -=61 √ （4）X 的方差61)(≠X D ╳34.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%。
概率论与数理统计复习
概率统计综合复习一一、填空：1．已知()0.3,()0.5,(/)0.2P A P B P A B ===,则()P A B ⋃= _ ___。
2．设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，则任取一件产品是一等品的概率是 。
3．设1231()()()3P A P A P A ===，且三事件123,,A A A 相互独立，则三事件中至少发生一个的概率为 ，三事件中恰好发生一个的概率为 。
4．袋中装有1个黑球和2个白球，从中任取2个，则取得的黑球数X 的分布函数()F x = ，()E X = 。
5．设X (4,0.5),b Y 在区间[0,2] 上服从均匀分布，已知X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= _ _。
6．设2(2,)X N σ ，且{0}0.2P X ≤=,那么{24}P X <<= _ ___。
7．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：{24}P X -≥≤ 。
8．设一批产品的某一指标2(,)X N μσ ，从中随机抽取容量为25的样本，测得样本方差的观测值2100s =，则总体方差2σ的95%的置信区间为 。
二、单项选择：1．甲、乙二人射击，A 、B 分别表示甲、乙击中目标，则AB 表示（ ）。
A.两人都没击中B.至少一人没击中C.两人都击中D.至少一人击中2．设,A B 为两个随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）A.()()P A B P A ⋃=B.()()P AB P A =C.(/)()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=- 3．设123,(,4)X X X N μμ,是来自总体的样本，未知参数的下列无偏估计量中最有效的是 （ ）.A.123111424X X X ++ B. 131122X X + C. 123122555X X X ++ D. 123111333X X X ++ 4．设某种电子管的寿命X ，方差为()D X a =，则10个电子管的平均寿命X 的方差()D X 是（ ） A ．a B. 10a C. 0.1a D. 0.2a5．在假设检验问题中，犯第一类错误是指（ ）A ．原假设0H 成立，经检验接受0HB ．原假设0H 成立，经检验拒绝0HC ．原假设0H 不成立，经检验接受0HD ．原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 三、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占60%、20%、15%、5%，，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求：1．这批麦种的发芽率；2．若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？四、已知随机变量X 的概率密度函数为,01()0,cx x f x ⎧≤<=⎨⎩其它，求：1．常数c ； 2．{0.40.7}P X <≤； 3．方差()D X五、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数(2)2,0,0(,)0x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩，其它 ，1．求,X Y 的边缘密度函数；2．判断,X Y 是否相互独立、是否不相关；3．求概率{1}P X Y +≤六、设总体X 的密度函数为(1),01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中0θ>是未知参数，12,,,n X X X 是从该总体中抽取的一个样本，12,,,n x x x 是其样本观测值，试求参数θ 的最大似然估计量。
概率论数理统计复习测验题
模拟试卷一、单项选择题：(每题2分，共14分)1.同时掷两颗骰子，消失的点数之和为10的概率为( )a 1 n 1 「5 c 7A. -B.—C∙— D.—4 12 12 122,设A,3为相互独立的随机大事，则下列正确的是( )A.P(B | A)=尸(A | B) B, P(B∣ A)=尸(A)C. P(A∖ B) = P(B)D. P(AS) = P(A)P(B)3.一个随机变量的数学期望和方差都是2,那么这个随机变量不行能听从()A.二项分布B.泊松分布C.指数分布D.正态分布4.设X听从正态分布N(2,4),Y听从参数为2的泊松分布，且X与丫相互独立，则D(2X-Y) =.A.14B.16C.18D.205.设x与y是任意两个连续型随机变量，它们的概率密度分别为力和心(χ),则.A.∕1 (x) + f2(x)必为某一随机变量的概率密度B.3(/。
) +力。
))必为某一随机变量的概率密度C./；(工)-力*)必为某一随机变量的概率密度D.力。
)力(幻必为某一随机变量的概率密度6.设X,,X2√-,Xπ是总体X的简洁随机样本，O(X) = ,,记1 n 1 //x=-Yx if s2 =——y(X,.-X)2，则下列正确的是建 /=1 "1 /=1A. S是。
的无偏估量量B. S是。
的极大似然估量量c.S2是，的无偏估量量 D.S与又独立7.假设检验时，当样本容量肯定时,若缩小犯第一类错误的概率,则犯其次类错误的概率( ).A.变小B.变大C.不变D.不确定1O2,在三次独立试验中，大事A消失的概率相等,若已知A至少消失一次的概率等于则27大事A在一次试验中消失的概率为3,若X〜N(l,4), y~N(L3)且X与y独立，则X — y〜4.设x和y是两个相互独立且听从同一分布的连续型随机变量，则P｛X>Y｝=.5.设随机变量X的分布未知，E(X) = μ , D(X) = σ29则采用切比雪夫不等式可估量P(∖X~μ∖< 2。
概率论和数理统计期末考试复习题库
概率论和数理统计期末考试复习题库数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生；（2),,A B C 不都发生；(3）,,A B C 至少有一个发生；(4）,,A B C 至多有一个发生。
解：（1） ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ，6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。
解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球，6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
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概率论与数理统计复习题一：全概率公式和贝叶斯公式例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
解：设A 1，A 2，A 3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B 表示产品不合格，则A 1，A 2，A 3为一个完备事件组。
P(A 1)=1/2, P(A 2)=1/3, P(A 3)=1/6, P(B | A 1)＝0.08，P(B | A 2)＝0.09，P(B | A 3)＝0.12。
由全概率公式P(B) = P(A 1)P(B | A 1)+ P(A 2)P(B | A 2)+ P(A 3)P(B | A 3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A 1| B)＝P(A 1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％ 。
若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？ 【 0.4 】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求： （1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。
解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一等品} （1）P(1B )=P(1A )P(1B |1A )+P(2A )P(1B |2A )=52301821501021=+ （2）P(1B 2B )=194.02121230218250210=+C C C C ,则P(2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485 二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1<X<3}；（4）X 的分布函数F(x) 解：(1)由⎰⎰==∞+∞-21)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2(2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P(4)当x<0时，⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xx x tdt dx dt t f x F 0241210)()( 当x ≥2时，F （x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E(X)=7/12。
求：（1）a , b ；（2）X 的分布函数F(x)练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=othersx x x f 0102)(求：（1）X 的分布函数F(x) ；（2）P{0.3<X<2}三、离散型随机变量和分布函数 例：设X 的分布函数F (x)为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31318.0114.010)(x x x x x F , 则X 的概率分布为（ ）。
分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x 是离散型的随机变量[答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.]练习：设随机变量X 的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。
[答案：当x ＜1时，F(x)=0; 当1≤x ＜2时，F(x )=0.2; 当2≤x ＜3时，F(x)=0.5;当3≤x 时，F(x )=1 四、二维连续型随机向量例：设X 与Y 相互独立，且X 服从3=λ的指数分布，Y 服从4=λ的指数分布，试求： （1）),(Y X 联合概率密度与联合分布函数；（2）)1,1(<<Y X P ； （3）),(Y X 在{}343,0,0),(<+>>=y x y x y x D 取值的概率。
解:（1）依题知⎩⎨⎧>=-其他,00,3)(3x e x f x X ⎩⎨⎧>=-其他,00,4)(4y e y f y Y 所以),(Y X 联合概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他,00,0,12),(43y x e y x f y x 当0,0>>y x 时，有)1)(1(12),(43043y x x ys t e e ds e dt y x F ------==⎰⎰所以),(Y X 联合分布函数⎩⎨⎧>>--=--其他,0;0,0),1)(1(),(43y x e e y x F y x （2）)1)(1()1,1()1,1(43----==<<e e F Y X P ；（3）()314330434112),(-----==∈⎰⎰e dy e dx D Y X P x y x练习：设二元随机变量（X ，Y ）的联合密度是⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-others y x e y x f y x 00,025001),()(501求：（1）关于X 的边缘密度函数f X (x)；（2）P{X ≥50，Y ≥50}五、二维离散型随机向量设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。
161818121321ji p x x p y y y XY ⋅⋅[ 答案：131216143418381411218124121321ji p x x p y y y X Y ⋅⋅]六、协差矩阵例：已知随机向量（X,Y ）的协差矩阵V 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9664V计算随机向量（X ＋Y , X －Y ）的协差矩阵解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(X ＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV （X ＋Y, X －Y ）=DX-DY=-5 故（X ＋Y, X －Y ）的协差矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--15525练习：随机向量（X,Y ）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21μμμ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22212121σσσρσσρσV 计算随机向量（9X ＋Y , X －Y ）的协差矩阵 解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y ＝9μ1+μ2 E(X －Y)= EX －E Y ＝μ1－μ2D(9X ＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22 D(X －Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22COV （9X ＋Y, X －Y ）=9DX-DY －8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22 然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数例：设X ~U (0,2),则Y =2X 在(0,4)内的概率密度=)(y f Y （ ）。
[答案 填：y41]解：Q X ~U (0,2) 1,02()20,x f x others ⎧≤≤⎪∴=⎨⎪⎩，2(){}{}{()Y F y P Y y P X y P X f x dx =≤=≤=≤≤=，求导出=)(y fY (X X f f -=y41 （04y <<）练习：设随机变量X 在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=Xe 2的概率密度f(y)。
[答案：当42e y e ≤≤时，f(y)=y21，当y 在其他范围内取值时，f(y)=0.] 八、中心极限定理例：设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。
请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。
解：设X 表示400发炮弹的命中颗数，则X 服从B(400,0.2),EX=80，DX=64,由中心极限定理：X 服从正态分布N(80,64)P{60<X<100}=P{-2.5<(X-80)/8<2.5}=2φ(2.5)－1＝0.9876练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。
九、最大似然估计例：设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,010,)1()(x x x f θθ其中未知参数θ1->，n X X X Λ,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求θ的估计量。
解：设似然函数),,2,1;10()1()(1n i x x L i ni iΛ=<<+=∏=θθθ对此式取对数，即：∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ且∑=++=ni i x nd L d 1ln 1ln θθ令,0ln =θd L d 可得∑=--=ni ixn1ln 1ˆθ，此即θ的极大似然估计量。
例：设总体X 的概率密度为)0,0(,0,00,)(1>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--a x x e ax x f ax a λλλ据来自总体X 的简单随机样本),,,(21n X X X Λ，求未知参数λ的最大似然估计量。
解：由⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,)(~1x x e ax x f X ax a λλ得总体X 的样本),,,(21n X X X Λ的似然函数 ∑∑∑=-=-=--==ni a i n i ai nx ni a in x x a eaxx x x L ai 1111121]ex p[)(),,,,(λλλλλΛ再取对数得：∑∑==-+-=ni i ni a ix a xa n L 11)ln()1()ln(ln λλ再求L ln 对λ的导数：∑=-=n i ai x a an d L d 1ln λλ 令0ln 1=-=∑=n i ai x a an d L d λλ，得∑==ni a ixn1λ所以未知参数λ的最大似然估计量为∑=ni a ixn1。
练习：设总体X 的密度函数为)0(010),(1⎩⎨⎧><<=-ααααothersx x x fX 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一组样本，求参数α的最大似然估计十、区间估计总体X 服从正态分布N (μ,σ2), X 1,X 2,…,X n 为X 的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间3：求σ2置信度为1-α的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：43.18,67.1622==s x 。