整数规划及分支定界法课件
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数据、模型与决策 第四章 整数规划ppt课件
性规划，也称为全整数线性规划。 • 混合整数线性规划 • 决策变量中的一部分必需取整数值，
而其他的可以不取整数值的整数线性规 划。 • ０－１型整数线性规划 • 决策变量只能取０或１的整数线性规
4.1.3 建立整数规划模型
• 实例分析： • 一家电子厂消费两种产品Ａ１和Ａ２，
需经过三道工序加工：Ｂ１，Ｂ２，Ｂ ３。单件加工利润以及各工时每周限额 如表所示。应该如何安排消费才干获得 最大利润？
• 最后求得最优解为 A＝４，B＝１， 目的函数为１４。
问题二上 界14.5下界
13
松弛问
题上界 14.75下 界13
问题三上界 13.5下界13
问题四 A=3B=2Z=13
问题五 A=4B=1Z=14
• 利用分枝定界法求解整数规划问题的步 骤:
• 第一步：求解相应的线性规划问题，并 确定目的函数值的上下界。
4.4.2 0-1规划的解题过程
• 实例分析： • ＡＫ公司预备开发几种新产品，该公司的四个
工程小组分别都提出了各自的方案，但是由于 公司的投资金额有限，不能对一切工程进展投 资，必需在其中作出选择。表４－５列出了各 个工程对于资金、任务人员以及将会产生的净 现值的情况。总的投资额为１１００万元，可 以调用的任务人员一共有２２人。关于投资的 工程，还有一个附加条件，即工程１和工程４ 由于某些缘由不得同时投资。应该如何挑选投 资工程？
工程
产品
A
〔件〕
1
A 产品 〔件〕 2
工时限额 〔小时/周〕
工序B1 0.4 0.5 200
工序B2 0.4 0.3 180
工序B3 0.3 0.2 120
利润〔元/件〕 30 28 --
解题过程：
而其他的可以不取整数值的整数线性规 划。 • ０－１型整数线性规划 • 决策变量只能取０或１的整数线性规
4.1.3 建立整数规划模型
• 实例分析： • 一家电子厂消费两种产品Ａ１和Ａ２，
需经过三道工序加工：Ｂ１，Ｂ２，Ｂ ３。单件加工利润以及各工时每周限额 如表所示。应该如何安排消费才干获得 最大利润？
• 最后求得最优解为 A＝４，B＝１， 目的函数为１４。
问题二上 界14.5下界
13
松弛问
题上界 14.75下 界13
问题三上界 13.5下界13
问题四 A=3B=2Z=13
问题五 A=4B=1Z=14
• 利用分枝定界法求解整数规划问题的步 骤:
• 第一步：求解相应的线性规划问题，并 确定目的函数值的上下界。
4.4.2 0-1规划的解题过程
• 实例分析： • ＡＫ公司预备开发几种新产品，该公司的四个
工程小组分别都提出了各自的方案，但是由于 公司的投资金额有限，不能对一切工程进展投 资，必需在其中作出选择。表４－５列出了各 个工程对于资金、任务人员以及将会产生的净 现值的情况。总的投资额为１１００万元，可 以调用的任务人员一共有２２人。关于投资的 工程，还有一个附加条件，即工程１和工程４ 由于某些缘由不得同时投资。应该如何挑选投 资工程？
工程
产品
A
〔件〕
1
A 产品 〔件〕 2
工时限额 〔小时/周〕
工序B1 0.4 0.5 200
工序B2 0.4 0.3 180
工序B3 0.3 0.2 120
利润〔元/件〕 30 28 --
解题过程：
整数规划及分支定界法42页PPT
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
整数规划及分支定界法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 孔子
整数规划解法-优质课件
1 2 0 0
0 2 0 3
1 2 4 0 2 0 3 0
1 2 0 0 0 2 0 3 0 2 4 0 2 2 3 1
19
若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两 部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等 于位于不同行、不同列的“0”元素的最 大个数。
交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长不同，他们 完成翻译不同文字所需的时间(h)如表所示。问：如何分 配任务使效率最高（所需总时间最短）？
从人的 角度看
工作
人甲
乙
丙丁
译成英文
2
10
9
7
从任务 角度看
译成日文
15
4
14 8
译成德文
13
14
16 11
译成俄文
4
15 13 9
12Βιβλιοθήκη 指派问题的一般模型 假设： [aij]表示指派问题的效率矩阵 xij表示决策变量，决策变量的取值：
选X1分枝
问题(2) (1) X1 4
问题(3) (1) X1 5
将[4,5]之间的非整数部分舍去
7
问题2 解为 X1 =4 Z=349.0
X2 =2.1
问题3
解为 X1 =5
Z=341.39
X2 =1.571
选(2)继续分枝
问题(4)
(2)
X2 2
问题(5)
(2)
X2 3
8
(1) 4.809 355.890 1.817
i+1
Xji*
X*
(B) (C)
Xj i+1
(B) (D)
Xj i
5
例： max Z=40X1 + 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70
第4章 整数规划(IP)PPT课件
4.2 整数规划建模举例
例[1]：固定费用问题
某工厂明年准备在甲、乙、丙三种产品中选址 两种产品投产，他们都需要经过A，B，C三道工 序加工。
有关参数如下表，且甲、乙、丙投产时，无论 产量多大，都需要固定费用，分别为1500，2000 ，1800。 问：如何安排生产计划，可以使工厂获 得最大利润？
——例2：求解下述（AIP）： min f = -2x1-5x2 s.t. 2x1- x2+x3=9 2x1+8x2+x4=31 xj >=0,整数，j=1，2，3，4 SEE P147
4.4 一般整数规划的分支定界算法
一、算法思想 （一）引例
例1：求解下述（AIP） min z = -40x1-90x2
X’3*=(4.00,2.00)T X’4*=(1.42,3.00)T
Z3 * =Z4 * =-
x2
见“枚举
4
树”
3 (K4 ’)
2
（4.81，1.82）
(K6’) =
1
(K3
0
’)
12
34
(K5 5 ’)6
x1 7
(K5’) : 308 (K6’) :
X’5*=(5.44,1.00)T K’6=
x2 3
引例[1]
2
6 x1
0
4
（1）可行域：KLP/KIP； （2）最优解：X*LP/X*IP。
问：如何求解上述整数规划问题？ （1）四舍五入法——可能不可行； （2）完全枚举法——可能不实际；
——需要研究整数规划问题 的专用算法！
二、 整数规划问题的模型建立
5X1 + 4X2 <=24+（1-y)M； 7X1 + 5X2 <=32+ yM；
4-1整数规划1-概念、分支定界法
图解法分析：
z 340 z 340
4
x2 1.57 z 2 341
x2 1
x2 2
3
B5 : x1 5.44 B : 6 x2 1.00 无可行解 z5 308
2
1
B5
0 1 2 3 4 5 6 7
分支定界的全过程：
B : x1 4.81 x2 1.82 z 0 356
从图上分析：
A1
P
A2
整数规划 最优解
A3
A
A4
*
B
0 1 2 3 4 5 6 7
C 8
注 释
最优解不一定在顶点上达到 最优解不一定是放松问题最优解的邻近整 数解 整数可行解域过大，枚举法不可取
解的特点
整数线性规划及其松弛问题比较，前者的最 优解的目标函数值不会优于后者。
分支定界法
z 0, z 356
x1 4
x2 2
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z1 349
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
x1 5
z0 z 349
x2 3
B4 : x1 1.42 x2 3.00 z 4 327
整数规划问题A
max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x1 20 x2 70 x1 , x2 0 且为整数
松弛问题B
max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x1 20 x2 70 x1 , x2 0
定界的含义：
整数规划是在相应的线性规划的基础上增加变量
运筹学分支定界法 0-1整数规划课件
x1, x2 0,且为整数
松弛问题的最优解X=(2.75,2.25)T
运筹学教程
Cj
21000
CB XB b
X1 X2 X3 X4 X5
1 X2 2.25 0 1 1.5 0 -0.25
0 X4 0.5 0 0 -2 1 0.5
2 X1 2.75 1 0 -0.5 0 0.25
Cj-zj
0 0 -0.5 0 -0.25
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
运筹学教程
B2：解 （1，7/3 ）
Z21 = 17/3
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
3x1 7x2 x3 x4 1
st.
x1
2x2 5x1
6x3 3x2
4x4 x4 5
8
x1, x2, x3, x4 1or0
运算30次
运筹学教程
练习1:使用分支定界法求解整数规划
max z 2x1 x2
x1 x2 5
st.
x1 x2 0 6x1 2x2 21
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥3
X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
整数规划ppt课件
可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定
仍为可行解）。
2021精选ppt
第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整
数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划
问题的最优解呢？
2021精选ppt
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解：
不一定是整数线性规划问题的最优解。
θi
CB XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
6 x2 88/23 0 1 4/23 -3/23 0 0
5 x1 72/23 1 0 -3/23 8/23 0 0
-M x6 4 1 0 0 0 -1 1
c j– z j
2021精选ppt
第43页
将 x1 的系数列向量变为单位向量，并计算检验数
cj
5
CB XB
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max( 或 min) z c j x j j1
n
a ij x j ( 或 ， )b i , i 1 ,..., m
j1 x j 0 , j 1 ,..., n
x
1
,...,
x n中部分或全部取整数
n
max( 或 min) z c j x j j1
甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
2021精选ppt
第15页
例：
mz a 2 xx 0 1 1x 0 2
5 x 1 4 x 2 24
2 x
x
1
1
,
x2
5x
2
0
13
x 1 , x 2 整 数
整数规划 PPT课件
设xj为列车上装载pj的数量，则xj必为非负整数，根据该n货a船jx j最大b 可承载b吨货
物可知所有集装箱的重量之和必须b，故有约束条件：
j1 n
f
cjxj
j1
由对每个j种货物收费为cj，可知载货的总收入为：
n
该例的目标即使得目标函数f最m大ax化。f 综合i 1上cj述x j 分析可得如下整数规划问题：
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求解整数规划的理论基础
• 利用分解技术求解整数规划中的几个概念
• 分解
对于整数规划问题P，令F (P)表示P的m 可行域。对问题 P的子问题 P1, …, Pm，若满足下述条件： i 1 F(Pi ) F(P)
F(Pi ) F(Pj )
(1 i m,1 j m, i j)
则称P问题被分解成为子问题P1, …, Pm之和，最常用的方法就是两分法，例如若xj是P的0-1变量， 则问题P可以按照条件xj=0和xj=1分解成两个问题之和。
• 求解思路 • 由上述分析可知，舍入法一般是不可取的，当然如果对应线性规划的最优解恰好满足整数要求，则该 解也是整数规划的最优解，那么何时才能满足此要求呢？我们直接给出一个结论： 假设由整数规划问题除去整数要求之后得到的线性规划标准型中，等式约束个数等于决策变量个 数(m=n)，则此时的等式约束构成一个线性方程组Ax=b，如果det(A) = 1或-1，则解x一定是整数 向量，当然这种情况在解决实际问题的过程中一般还是比较少见的。 • 对于整数规划问题的解法，一般有利用分解技术的算法和不利用分解技术的算法 • 利用分解技术的算法有分枝定界法和针对0-1规划的隐枚举法 • 不利用分解技术的算法为割平面法和群论方法 • 针对特定的问题还有特定的简化方法，例如求解分派问题的匈牙利方法，等等。
整数规划-割平面法-分枝定界法18页PPT
在求解实际问题中，割平面法经常会遇到收敛很慢的情
况，但若和其它方法，如分枝定界法，联合使用，一般能收 到比较好的效果。
§3 分枝定界法
分枝定界法是求解整数规划的常用算法，既可用来解全部变量 取值都要求为整数的纯整数规划，又可用以求解混合整数规划。
该算法的基本思路是：先不考虑整数限制，求出相应的线性规 划的最优解，若此解不符合整数要求，则去掉不包含整数解的部分 可行域，将可行域D分成D1、D2两部分（分枝） ，然后分别求解这 两部分可行域对应的线性规划，如果它们的解仍不是整数解，则继 续去掉不包含整数解的部分可行域，将可行域D1或D2分成D3与D4两 部分，再求解D3与D4对应的线性规划，……，在计算中若已得到一 个整数可行解X0，则以该解的目标函数值Z0作为分枝的界限，如果 某一线性规划的目标值Z≤ Z0 ，就没有必要继续分枝，因为分枝（ 增加约束）的结果所得的最优解只能比Z0 更差。反之若Z＞ Z0 ，则 该线性规划分枝后，有可能产生比Z0 更好的整数解，一旦真的产生 了一个更好的整数解，则以这个更好的整数解目标值作为新的界限 ，继续进行分枝，直至产生不出更好的整数解为止。
所以有
x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4
因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4
即
3x3+x4 ≥3
引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3
将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
由于x1，x2的值已是整数，所以该题经一次切割已得最优解： x1=1，x2=1，最优值：Z※=2
46
10
x1
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
运筹学课件--第四章 整数规划
上述分枝过程可用下图表示
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7
x1≤3 x1≥4
LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8
x2≤6
LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5
x2≥7 无可行解 x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35
OR:SM OR:SM
LP3:X=(4.33,6) Z3=35.33
10
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
【例3.5 】用分枝定界法求解例3.1
max Z 4 x 1 3 x 2 1 . 2 x 1 0 . 8 x 2 10 2 x 1 2 . 5 x 2 25 x 1 , x 2 0 , 且均取整数
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：
7
OR:SM OR:SM
第二节 整数规划求解
一、舍入化整法
为了满足整数解的要求，自然想到“舍入”或“截尾”处理，以得到 与最优解相近的整数解。 这样做除少数情况外，一般不可行，因为化整后的解有可能超出 了可行域，成为非可行解；或者虽是可行解，却不是最优解。
不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题 对于例1的数学模型，不考虑整数约束的最优解：
6
LP1 LP3
LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33
C o
14
3
4
10
x1
OR:SM OR:SM
x2 ① ②
10 A
由于 Z 3 Z 1，选择 LP 3 进行分枝，增加约束 x 1 4 及 x 1 5，到线性规划 LP 4 及 LP 5：
max Z 4x1 3x2 LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8 1.2x1 0.8x2 10 2x1 2.5x2 25 LP4 : LP4:X=(4,6),Z4=34 x1 4，x2 6，x1 4 x1 , x2 0 即x1 4, 可行域是一条线段 max Z 4x1 3x2
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X (0) (b1,b2 ,,br,,bm ,0,,0)T 目标函数最优值为Z(0).其中bi(i 1,2,, m)不全为整数
19
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上
界，记为 Z ＝ Z(0) 。再用观察法找一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′，
可能得到以下情况之一：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止
计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：
x1＝3/2, x2 = 10/3
x2
⑴
且有Z = 29/6
3
现求整数解（最优解）：
如用“舍入取整法”可得
到4个点即(1，3) (2，
3)(1，4)(2，4)。显然，它
们都不可能是整数规划的
最优解。
⑵
(3/2,10/3)
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
也可以令Z＝－∞，则有： Z ≤ Z* ≤
Z
3、分枝：
在( LP )的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件
的变量，例如xr=br（ 不为整数），以 b表r 示不超过
b的r 最大整数。构造两个约束条件
xr≤
和brxr≥ ＋1br
20
将这两个约束条件分别加入问题( IP ) ，形成两个子 问题( IP1)和( IP2 ) ，再解这两个问题的松弛问题( LP1) 和( LP2) 。
19
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上
界，记为 Z ＝ Z(0) 。再用观察法找一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′，
可能得到以下情况之一：
⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止
计算。
⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。
⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：
x1＝3/2, x2 = 10/3
x2
⑴
且有Z = 29/6
3
现求整数解（最优解）：
如用“舍入取整法”可得
到4个点即(1，3) (2，
3)(1，4)(2，4)。显然，它
们都不可能是整数规划的
最优解。
⑵
(3/2,10/3)
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
也可以令Z＝－∞，则有： Z ≤ Z* ≤
Z
3、分枝：
在( LP )的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件
的变量，例如xr=br（ 不为整数），以 b表r 示不超过
b的r 最大整数。构造两个约束条件
xr≤
和brxr≥ ＋1br
20
将这两个约束条件分别加入问题( IP ) ，形成两个子 问题( IP1)和( IP2 ) ，再解这两个问题的松弛问题( LP1) 和( LP2) 。
整数线性规划—整数线性规划问题的提出和分支定界解法
• 显然没有得到全部变量是整数的解。
• 因z1＞z2，故将 z 改为349，那么必存在最
优整数解，得到z*，并且0≤z*≤349
继续对问题B1和B2进行分解
• 因z1＞z2，故先分解B1为两支。增加条件 x2≤2者，称为问题B3；增加条件x2≥3者称 为问题B4。在图5-3中再舍去x2＞2与x3＜3 之间的可行域，
• 整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划， 它的变数取值仅限于0或1。本章最后讲到的 指派问题就是一个0-1规划问题。
• 现举例说明用前述单纯形法求得的解不能保证 是整数最优解。
• 例1：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 表5-1所示。问两种货物各托运多少箱，可使获 得利润为最大?
• 再进行第二次迭代。
继续对问题B2进行分解
解题的过程都
列在定界法求解 整数线性规划（最大化）问题的步骤为：
• 将要求解的整数线性规划问题称为问题A， • 将与它相应的线性规划问题称为问题B。 • (1)解问题B，可能得到以下情况： • ① B没有可行解，这时A没有可行解，停止。 • ② B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的
第2节 分支定界解法
• 在求解整数线性规划时，如果可行域是有界 的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所 有可行的整数组合，就像在图5-1中画出所有 “+”号的点那样，然后比较它们的目标函数 值以定出最优解。对于小型的问题，变量数 很少，可行的整数组合数也是很小时，这个 方法是可行的，也是有效的。
• 在例1中，变量只有x1和x2 • 由条件②，x1所能取的整数值为0、1、2、3、
• 表5-1
货物 甲 乙 托运限制
体积(米 3/箱) 5 4
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
整数规划及分支定界法
4x1+2x2 9 x1,x2 0 且为整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1 0
1
P2 2
3
4
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 ， x1 2 ，整数
用单纯形法可解得相应的（P2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
再对（P1）分枝：X1 1
x2 4 P4 3 2 1 0
（P3） x2 2
（P4） x2 3
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 3整数
用单纯形法可解得相应的（P4）的最优 解（0，3） Z=9
X1
2
P2:(2,1/2) Z=9(1/2)
P:(6/5,21/10) Z=111/10 X1 1 P1:(1,9/4) Z=10(3/4)
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1 0
1
P2 2
3
4
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 ， x1 2 ，整数
用单纯形法可解得相应的（P2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
再对（P1）分枝：X1 1
x2 4 P4 3 2 1 0
（P3） x2 2
（P4） x2 3
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 3整数
用单纯形法可解得相应的（P4）的最优 解（0，3） Z=9
X1
2
P2:(2,1/2) Z=9(1/2)
P:(6/5,21/10) Z=111/10 X1 1 P1:(1,9/4) Z=10(3/4)
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
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I(2,4)
B(9.2,2.4)
54321
O
1 2 3 4 5 6 整数规划及分支定界法 7A 8 9 10
x1
❖假如能求出可行域的“整点凸包”（包
含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则 可在此凸包上求线性规划的解，即为原问
题的解。但求“整点凸包”十分困难。
x2
54321
D
I(2,4)
J
I
H
O
11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值
整数规划及分支定界法
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最 优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最 优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个整点 (9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。
x2
D
第三章 整数规划
整数规划及分支定界法
3-1 整数规划问题 整数规划是一类要求变量取整数值 的数学规划，可分成线性和非线性 两类。
根据变量的取值性质，又可以分 为全整数规划，混合整数规划，01整数规划等。
整数规划及分支定界法
整数规划是数学规划中一 个较弱的分支，目前只能解 中等规模的线性整数规划问 题，而非线性整数规划问题， 还没有好的办法。
以上描述了目前解整数规划问题的 两种基本途径。
整数规划及分支定界法
分枝定界解法 （Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题：任何整数规划 （IP），凡放弃某些约束条件（如整数 要求）后，所得到的问题（P） 都称为 （IP）的松驰问题。
整数规划及分支定界法
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
整数规划及分支定界法
例3-1：一登山队员做登山准备， 他需要携带的物品有：食品，氧 气，冰镐，绳索，帐篷，照相机 和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员 可携带最大重量为25公斤。
整数规划及分支定界法
整数规划及分支定界法
解：如果令xi=1表示登山队员携 带物品i，xi=0表示登山队员不携 带物品i，则问题表示成0-1规划:
x2
D
I(2,4)
54321
B(9.2,2.4) P1
P2
P4
O
1 2 3 4 5 6 整数规划及分支定界法 7A 8 9 10
x1
X1 2
P1
X2 3
X1 6
P2
P P3
X2 4
X1 3
X2 2
P4
X1
P5
7
X2
3
整数规划及分支定界法
❖假如放弃整数要求后，用单纯形法 求得最优解，恰好满足整数性要求， 则此解也是原整数规划的最优解。
➢从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl
[xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加
进原问题中，形成两个互不相容的子问 题（两分法）。
整数规划及分支定界法
➢定界：把满足整数条件各分枝的最优目 标函数值作为上（max）（下(min)）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 ➢剪枝：把那些子问题的最优值与界值比 较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4
+8x5 +4x6 +10x7 s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0整数规划及分i支=定界1法 ,2,….7
例3-2 背包问题( Knapsack Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个数限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了 一个“价值”以表示其有用的程度,如果共 有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问 题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤 条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?
1
2 3 4 5 E6 整数规划及分支定界法
B(9.2,2.4) G F
7A 8 9 10 x1
❖假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃 整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解 (6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11)
整数规划及分支定界法
例5-6 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 且为整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
整数规划及分支定界法
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况：
➢若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
➢若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
整数规划及分支定界法
➢若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。
整数规划及分支定界法
➢先放弃变量的整数性要求，解一 个线性规划问题，然后用“四舍五 入”法取整数解，这种方法，只有 在变量的取值很大时，才有成功的 可能性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能成功。
整数规划及分支定界法
例3-3 求下列问题： Max Z=3x1+13x2 s.t.2x1+9x2 40
整数规划及分支定界法
解：如果令xj=1表示携带物品j， xj=0表示不携带物品j，则问题表 示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj b
xj=0 或1
整数规划及分支定界法
数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
xj 0且部分或全部是整数
整数规划及分支定界法
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时， 常会有如下两种初始想法：
➢因为可行方案数目有限，因此经过 一一比较后，总能求出最好方案， 例如，背包问题充其量有2n-1种方式； 连线问题充其量有n!种方式；实际 上这种方法是不可行。
整数规划及方式，那么要比 较完20!（大于2*1018）种 方式，大约需要800年。比 较完260种方式，大约需要 360世纪。