直线的交点坐标与距离公式分享资料

2x y 1 0, x 2,
解析:解方程组
x
3y
11
0,
得
y
3.
∴l1 与 l2 的交点坐标为(2,3), 故选 B.
两点间的距离
2:在数轴上点 3 与点-2 的距离是多少? 平面上点 A(1,3)与点 B(2,1)的距离是多少?
(
它们之间的距离为 5.
|AB|= (2 1)2 (1 3)2 = 5 )
0, 0,
得
x y
7 5
,
13 5
,
得交点坐
标
7 5
,-
13 5
两条直线的交点
已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. 若两直线方程组成的方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0, B2 y C2 0
有惟一解
x y
x0 , y0
,
直线的交
点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
栏
课前预习
目
导
航
课堂探究
【课标要求】
1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相 交或重合的对应关系. 2.会用解方程组的方法求两条相交直线交 点的坐标. 3.掌握两点间距离公式并能灵活应用.
【实例】 观察下列各组直线,判断它们的位置 关系.
3
1
解得μ= 11 . 2
将μ= 11 代入上式,并整理, 2
得 15x+5y+16=0,即为所求.
解本题有两种方法: 一是采用 常规方法,先通过解 方程组求出两直线交点, 再根据平行关系求出 斜率,由点斜式写出直 线方程;二是采用过两直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程: A1x+B1y+C1+ λ(A2x+B2y+C2)=0,直接设出过 两 直线交点的方程,再 根据平行条件待定系数 求解.
法二 (待定系数法)设所求直线为 l, 因为直线 l 过已知两直线的交点, 因此直线 l 的方程为 2x-3y-3+μ (x+y+2)=0(其中μ为常数), 即(μ+2)x+( μ-3)y+2μ-3=0. 又直线 l 与直线 3x+y-1=0 平行,
2 2 2 3
所以-
=-3 且
≠
,
3
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则|P1P2|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地,P(x,y)与原点 O 的距离为
|OP|= x2 y2 .
【质疑探究 2】 当两点所在直线与 x 轴、y 轴平行时,距离是什么情况? (当直线 P1P2 平行于 x 轴时,|P1P2|=|x2-x1|; 当直线 P1P2 平行于 y 轴时,|P1P2|=|y2-y1|)
(1)2x+3y+5=0,3x+2y+1=0; (2)x+2y+1=0,2x+4y+7=0.
两条直线的交点坐标
1:这两组直线的位置关系怎样? 若平行说明理由;若相交你能求出交点吗?
第(1)组相交,第(2)组平行.因为斜率相
同,在 y 轴上截距不同.求第(1)组交点
2x 3x
3 2
y y
5 1
则两直线相交,交点坐标为(x0,y0).
【质疑探究 1】 (1)你能总结出方程组的解与
两直线的位置关系吗?
(方程组的解的组数 与两直线的位置关系
方程组的解 交点个数 直线的位置关系
无解
wk.baidu.com0个
有惟一解
1个
平行
)
相交
有无数组解
无数个
重合
(2)过两直线交点的直线方程如何表示? (①过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1 不同时为 0)与 l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为 0)交点的直 线系方程为 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其 中 m,n 为参数,且 m,n 不同时为 0). ②上面的直线系方程 可改写成
2:已知点 P1(5,1),P2(3,-1),则
|P1P2|=
.
解析:由平面内两点 间的距离公式得,
|P1P2|= (3 5)2 (11)2 = 8 =2 2 .
答案:2 2
直线的交点问题
【例 1】 求过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交
点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程. 名师导引:求解本题 的思路是什么?(先联立方程组 求得两直线的交点, 然后利用点斜式求得直线方程)
(A1x+B1y+C1 )+λ (A2x+B2y+C2)=0 (其 中λ为 参数) ,
但此方程不包括直线 l2,这个参数形式的方程 在解题中较为常用)
1:两条直线 l1:2x-y-1=0 与
l2:x+3y-11=0 的交点坐标为( B )
(A)(3,2)
(B)(2,3)
(C)(-2,-3) (D)(-3,-2)
又因为所求直线与 3x+y-1=0 垂直,
1
所以所求直线的斜率为 ,
3
所求直线方程为
y-
7 5
=
1 3
x
3 5
即 5x-15y-18=0,）
所以所求直线的方程为 5x-15y-18=0. 法二（设所求直线的方程为 2x-3y-3+λ (x+y+2)=0( 其中λ为常数) 即(λ+2)x+( λ-3)y+2λ-3=0, 又因为所求直线与直线 3x+y-1=0 垂直.
跟踪训练 1 1:将例 1 中“与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程”改为“与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程”.其他不变,如何求解.
2x 3y 3 0, 解:法一 （解方程组 x y 2 0,
得
x y
3 5 7 5
, ,
所以两直线的交点坐
标为
3 5
,
7 5
.
解:法一 (直接法)解方程组
2x 3y 3 0,
x
y
2
0,
得
x y
3 5 7
, ,
5
37
所以两直线的交点坐标为（- ,- ）.
55
又因为所求直线与直线 3x+y-1=0 平行,
所以所求直线的斜率 为-3,
7
3
则 y-（- ）=-3[x-（- ）],
5
5
故所求直线方程为 15x+5y+16=0.
所以- 2 = 1 ,解得λ=- 3 ,
3 3
4
将λ=- 3 代入 2x-3y-3+λ(x+y+2)=0, 4
化简得 5x-15y-18=0,
所以所求直线方程为 5x-15y-18=0.）
两点距离公式的应用
【例 2】 已知△ABC 的顶点坐标为 A(-1,5),
B(-2,-1),C(4,7),求 BC 边上的中线 AM 的长和 AM 所在直线的方程. 名师导引:(1)如何求中线 AM 的长?(先求 M 点的 坐标,然后利用两点间的距离公式求 AM 长度) (2)如何求 AM 所在直线的方程?(利用 A 点、M 点坐标,结合两点式求 AM 直线的方程)