第 17 章 光的衍射

第3章 光的衍射【例题3－1】已知单缝夫琅禾费衍射所用波长λ = 500 nm 的光，单缝宽度a = 0.5 mm ，在焦距为f = 1 m 的透镜的焦平面上观察衍射条纹，求中央明纹和一级明纹的宽度。

解：由式（3-1），一级、二级暗纹中心对应的衍射角分别为339110105.010500sin ---=⨯⨯==a λθ； 321022sin -⨯==a λθ 由于sin θ 很小，可以认为sin θ ≈θ ≈ tan θ ，因此一级、二级暗纹中心到原点O 的距离分别为)m (101sin tan 3111-⨯=≈=θθf f x)m (102sin tan 3222-⨯=≈=θθf f x中央明纹宽度即等于正负一级暗纹之间的距离，即)m (1022310-⨯==∆x x一级明纹的宽度为一级暗纹中心到二级暗纹中心的距离)m (1013121-⨯=-=∆x x x可见一级明纹的宽度只是中央明纹宽度的一半。

【例题3－2】用单色平行可见光垂直照射到缝宽为a = 0.5 mm ，在缝后放一焦距 f = 1.0 m 的透镜，在位于的焦平面的观察屏上形成衍射条纹。

已知屏上离中央明纹中心为1.5mm 处的P 点为明纹，求：（1）入射光的波长；（2）P 点的明纹级次，以及对应的衍射角和单缝波面分成的半波带数。

解：（1）对于P 点，33105.10.1105.1tan --⨯=⨯==f x θ 由P 点为明纹的条件式（3-1）可知12tan 212sin 2+≈+=k k θθλa a 当k = 1时，λ = 500 nm当k = 2时，λ = 300 nm在可见光范围内，入射光波长为λ = 500 nm 。

（2）因为P 点为第一级明纹，k = 13105.123sin -⨯==≈a λθθ(rad) 半波带数目为：2 k +1=3【例题3－3】一单缝用波长λ 1、λ 2的光照射，若λ 1的第一级极小与λ2的第二级极小重合，问：(1)波长关系如何？(2)所形成的衍射图样中，是否具有其他的极小重合？ 解：(1)产生光强极小的条件为λθk ±=sin a 依题意有⎩⎨⎧==212sin sin λθλθa a 即212λλ=(2)设衍射角为θ '时，λ1的第k 1级极小与λ2的第k 2级极小重合，则有⎩⎨⎧='='2211sin sin λθλθk k a a 因为λ 1= 2λ2，所以有 212k k =即当2k 1= k 2时，它们的衍射极小重合。

(如果入射光为可见光，不会出现这种情况)【例题3－4】在夫琅禾费单缝衍射装置中，当一束平行光束斜入射时，原来的中央明纹移到何处？零级明纹为何没有色散？解：当一束平行光正入射时，中央明纹就是零级明纹，即所有衍射光线在零级明纹处是等光程的，也就是几何光学中的物像之间所有成像光线的等光程性，这样所有衍射光线都是干涉相长。

由此可以得出：零级明纹出现在符合几何光学规律的位置（方向）上。

所以，按照几何光学规律，斜入射的平行光束在屏幕上的会聚点就是零级明纹中心。

零级明纹处的等光程性是对所有波长都成立，因此零级明纹没有色散。

§3-3 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领【例题3－5】人眼瞳孔的直径为3mm ，对波长为550nm 的黄绿光最敏感。

试求：(1)人眼的最小分辨角；(2) 在明视距离(25cm)处，相距多远的两点恰能被人眼分辨？ 解 (1) 最小分辨角 rad 103.21031055022.122.14390---⨯=⨯⨯⨯==d λθ(2) 恰能被分辨意味着两物点对瞳孔的张角为最小分辨角θ 0=2.3⨯10-4rad ，而明视距离l 0=25cm ，此时两物点间的距离∆x 为 cm 0058.0103.225tan 40000=⨯⨯=≈=∆-θθl l xfL 图3-6 夫琅禾费圆孔衍射§3-4 光栅衍射【例题3－6】用白光垂直照射在每厘米6000条刻线的透射光栅上，求第一级谱线的张角。

解：由已知可得光栅常数62107.16000100.1--⨯≈⨯=d (m) 第一级谱线的张角即为紫光(λ1=400nm)的第一级主最大的衍射角与红光(λ2=760nm) 的第一级主最大的衍射角之差。

由光栅方程λθk ±=sin d ，k = 1，2，3，…取k = 1，得︒=⨯⨯==--9.13107.110400arcsin arcsin 6911d λθ ︒=⨯⨯==--1.27107.110760arcsin arcsin 6922d λθ 因此第一级谱线的张角︒=-=∆2.1312θθθ【例题3－7】 用含有两种波长λ = 600 nm 和λ' = 500 nm 的复色光垂直入射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f = 50cm 的凸透镜，在透镜焦平面处的屏幕上，求：(1) 两种波长的第一级谱线的间距∆ x 。

(2) 如果在屏幕上开一个l = 0.5mm 宽的细缝，细缝内侧边缘离中央明纹中心的距离x = 5.0cm ，求通过细缝的可见光的波长范围。

解：(1) 根据光栅方程λθk ±=sin d ，k = 1，2，3，…第一级谱线的角位置 d λθ=1sin在屏幕上的位置 11tan θf x =中央区域的条纹对透镜的张角可视为很小，sin θ ≈tan θ ，所以x 1 = f tan θ1 ≈ f sin θ1 = f λ /d 两种波长的第一级谱线间距mm 1010)500600(2001050)tan -(tan 611=⨯-⨯⨯⨯='-='=∆-df f x λλθθ 两种波长的第一级谱线的间距为10mm 。

(2) 设细缝内、外边缘对应的衍射角分别为θ '和θ "，根据光栅方程，有f x d ≈='11sin λθk ，f l x d +≈=''22sin λθk 因此nm 50050100.50.5311=⨯⨯==d f x λk ； nm 50550100.5)05.00.5(322=⨯⨯+=+=d f l x λk 显然，在可见光范围内，k 1和k 2都只能取1。

所以，通过细缝的可见光的波长范围是nm 505nm 500≤≤λ这个例题实际上提供了选择和获得准单色光的一种方法。

【例题3－8】波长 600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，相邻的两条明纹分别出现在 sin θ = 0.20 与 sin θ = 0.30 处，第4级缺级。

求：（1）光栅上相邻两缝的间距有多大?（2）光栅上狭缝的最小宽度有多大?（3）按上述选定的 d 、a 值，举出光屏上实际呈现的全部级数。

解：（1）设sin θ k = 0.20，sin θ k +1 = 0.30，根据光栅方程，得⎩⎨⎧+====+λθλθ)1(30.0sin 20.0sin 1k k k k d d d d 解得k = 26-9-10620.0106006sin 2⨯=⨯⨯==k θλd (m) 光栅上相邻两缝的间距，即光栅常数为6⨯10-6m 。

(2) 由光栅的缺级条件k = k 'd / a ，缺级k = 4时，k '可能是1、2、3。

根据题意，第一次缺级发生在k = 4，这时k'可以取1或3，又因为求狭缝的最小宽度，所以，k ' = 1，则 6105.14-×==d a (m) 即，光栅狭缝的最小宽度为1.5⨯10-6 m 。

(3) 由于谱线的最大级数k max < d /λ， 101060010696max =⨯⨯<--k 实际上，第10级谱线是观察不到的，由此时的缺级条件k = 4k '，缺级发生在 ±4，±8。

这样，光屏上可以呈现的全部级数为：k = 0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9，共15条明纹。

*§3-5 X 射线的衍射第三章 练习作业一、填空题1、惠更斯引人 的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用 的思想补充了惠更斯原理，发展成为惠更斯-菲涅耳原理。

2、以波长为660nm的单色平行光垂直照射到宽度a= 0.20 mm的单缝上，设某级衍射暗纹出现在θ =arcsin0.0165的方向上，则单缝处的波阵面对该方向而言可分成个半波带，该暗纹的级次为。

3、在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度a=5λ的单缝上，对应于衍射角θ的方向上，若单缝处的波面恰好可分成5个半波带，则衍射角θ =_______。

4、用波长为550 nm的单色平行光垂直照射在每厘米刻有5000条刻痕的平面光栅上，则此光栅的光栅常数为nm；能观察到的完整谱线的最大级次为级。

5、若光栅常数为d，缝宽为a，则满足条件时会出现缺级现象，要使3n （n=1，2，3，…）倍数级缺级，则必须d/a= 。

二、思考题1、在日常生活中，为什么声波的衍射比光波的衍射更加显著？2、衍射的本质是什么？干涉和衍射有什么区别和联系？3、在单缝的夫琅禾费衍射中，改变下列条件，衍射条纹有何变化？(1) 单缝沿透镜光轴的方向平移；(2) 单缝垂直于光轴的方向平移；(3) 单缝变窄；(4) 入射光波长变长；(5) 入射平行光与光轴有一夹角。

4、若光栅常数是狭缝宽度的2倍，光栅衍射条纹中哪些级数的条纹消失？5、孔径相同的微波望远镜比光学望远镜的分辨率小的原因是什么？6、按半波带法的思想，夫琅禾费单缝衍射的中央明纹与其他明纹的亮度是否不同？7、在杨氏双缝实验装置中，单色光照射狭缝形成缝光源。

若考虑缝光源的衍射，会产生什么影响？是否会出现双缝刚好分别在单缝衍射的±1级暗纹中心处？8、用单缝衍射和多光束干涉说明光栅光谱的形成过程。

三、选择题1、根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某一时刻的波阵面为S，则S的前方某点P 的光强度决定于波阵面S上所有面积元发出的子波各自到达P点的（）A、振动振幅之和；B、光强之和；C、振动振幅之和的平方；D、振动的相干叠加。

2、一束波长为λ的单色平行光垂直照射到宽为a的单缝上，若屏上的某点为第三级明纹中心，则单缝两边缘处光线之间的光程差为（）A、3λ；B、3λ/2；C、6λ；D、7λ/2。

3、波长为λ的单色平行光垂直照射到单缝上，若对应于某一衍射角θ最大光程差δ= 2/λ，则屏上相应的P点是（）A、一级明纹中心；B、一级暗纹中心；C、在中央明纹内；D、一级明纹中心与一级暗纹中心的中点。

4、在单缝的夫琅禾费衍射实验中，把单缝沿垂直入射光方向稍稍向上平移，衍射图样将（）A、向上平移；B、向下平移；C、不动；D、不平移但条纹间距变大。