【高中数学选修2-2：第一章-导数及其应用-单元测试题

数学选修2-2第一章
单元测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1
x2在同
一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[1
2
，2]上的最大值是( )
A.13
4 B.54 C ．8
D ．4
3．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋2
3上移动，设点P 处的切线的倾斜角
为α，则α的取值范围是( )
A ．[0，π
2
]
B ．[0，π2]∪[3
4
π，π)
C ．[3
4π，π)
D ．[π2，34
π]
4．已知函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成
立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥3
2
B ．m ＞3
2
C ．m ≤3
2
D ．m ＜3
2
5．函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x
2
的一个单调增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，π2
C.⎝
⎛⎭⎪⎫
0，π3
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6
，π6
6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx→0 错误!＝1，则f ′(x 0)等于
( )
A ．1
B ．0
C ．3
D.13
7．经过原点且与曲线y ＝x ＋9
x ＋5相切的切线方程为( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x ＋25y ＝0
C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0
D ．以上皆非
8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数
D ．既不是增函数也不是减函数
9．若a >2，则方程1
3x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )
A ．0个根
B ．1个根
C ．2个根
D ．3个根
10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－
5
3t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )
A ．1 s 末
B ．0 s
C ．4 s 末
D ．0,1,4 s 末
11．设f (x )＝错误!则错误!f(x)d x 等于( ) A .3
4 B .4
5 C .56
D ．不存在
12．若函数f(x)＝
sinx x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sinx1
x1
，b ＝sinx2
x2
，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a>b B ．a<b
C ．a ＝b
D ．a 、b 的大小不能确定
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若f(x)＝13
x 3
－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.
14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2
，π2时，
f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．
15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且
⎠⎛0
1f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________．
16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．
(1)求a 的值；
(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A 关于直线
x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上．
19．(12分)设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．
(1)求常数a ，b ；
(2)试判断x ＝－2，x ＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．
20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．
21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．
(1)求f (x )的表达式；
(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．
22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x ，x ≥0，其中a >0.
(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；
(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．
参考答案 1.答案 A
解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．
2.答案 D
3.答案 B
4.答案 A
解析 因为函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m ，
所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27
2.不等式f (x )＋9≥0恒成
立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥3
2
.
5.答案 A
解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，
∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6.答案 D 7.答案 D 8.答案 A 9.答案 B
解析 设f (x )＝13
x 3
－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x
∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
83－4a ＋1＝11
3
－4a <0， f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B. 10.答案 D 11.答案 C
解析 数形结合，如图．
⎠⎜⎛02f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛1
2(2－x)d x ＝
⎪
⎪⎪
13x310错误!错误! ＝13＋(4－2－2＋12) ＝5
6，故选C . 12.答案 A
解析 f ′(x)＝xcosx －sinx
x2，
令g(x)＝x cos x －sin x ，则
g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.
∵0<x<1，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f ′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A .
13.答案 2
3
解析 f ′(x)＝x 2
－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝2
3
.
14.答案 c<a<b
解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，
故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2
，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－
2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.
15.答案 f(x)＝23x ＋8
3
解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.
∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01 (ax ＋4－2a)d x ＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10＝12a ＋4－2a ＝1. ∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.
16.答案 21
解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝1
2a k ，即数列{a k }
是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝1
2
，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3
＋a 5＝21.
17.解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2
)d x ＝
⎪⎪
⎪
⎝ ⎛⎭⎪⎫x22
－x331
0＝12－13＝16
. 又⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －x2，y ＝kx ，
由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的
横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S
2＝⎠⎛0
1-k (x －x 2－kx)d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2
x2－x331－k 0
＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3
＝12，∴k ＝1－3
42
.
18.解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，
∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0⇒a ＝4.
(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，
f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，
∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19.解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b.
(1)由极值点的必要条件可知：
f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
12－4a ＋b ＝0，
48＋8a ＋b ＝0，
解得a ＝－3，b ＝－24.
或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．
当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．
20.解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)， 由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：
f(x)在[0,2]上是减函数．
则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3， ∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)． 从而f(2)＝－16a ＋3＝－29， 得a ＝2.
(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值．
当x ＝2时，f(x)有最大值．
从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3，
得a ＝－2.
综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.
21.解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－13
x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13
x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2. 令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时， g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．
由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝
1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43
.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43
. 22.分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．
解析 (1)f ′(x )＝a ax ＋1
－错误!＝错误!， ∵f (x )在x ＝1处取得极值，
∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.
(2)f′(x)＝错误!，
∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.
①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．
②当0<a<2时，
由f′(x)>0，解得x> 2－a a
.
由f′(x)<0，解得x< 2－a a
.
∴f(x)的单调减区间为(0, 2－a
a
)，单调增区间为(
2－a
a
，＋
∞)．
(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1；
当0<a<2，由(2)②知，f(x)在x＝2－a
a
处取得最小值，且
f(
2－a
a
)<f(0)＝1.
综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．。