第五组分支限界法(0-1背包问题)

实训一

0-1背包问题的分支限界法与实现

一、设计目的

1）掌握0-1背包问题的分支限界法；

2）进一步掌握分支限界法的基本思想和算法设计方法；

二、设计内容

1．任务描述

1）算法简介

分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解，

而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使

某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。

由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。

分支限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点(分支)，然后再从当前的

活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活

结点处，计算一个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作

为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。这种方

式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。

2）0-1背包问题简介

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。

3）设计任务简介

对于分支限界类似的问题。首先，要能理解该问题运用到的分支限界的概念；其次，根据分支限界相关的基本思想，找出相应的数学公式；最后，进行程序的设计和编写。

利用分支限界的基本思想和计算步骤，有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。

4）问题分析

在解0-1背包问题的优先队列式分支限界法中，活结点优先队列中结点元素N的优先级由该结点的上界函数Bound计算出的值uprofit给出。子集树中以结点N为根的子树中任一结点的价值不超过

N.profit。可用一个最大堆来实现活结点优先队列。堆中元素类型为HeapNode，其私有成员有

uprofit,profit,weight和level。对于任意活结点N，N.weight是结点N所相应的重量；N.profit

是N所相应的价值；N.uprofit是结点N的价值上界，最大堆以这个值作为优先级。子集空间树中结

点类型为bbnode。

0-1背包问题的表示方案

2．递推过程的抽象描述

本设计采用前向或后向递推公式。用自然语言、伪程序设计语言或流程图等形式针对0-1背包问题的求解（抽象地）描述递推过程……

3．主要数据类型与变量

float weight;//物品重量

float value;//物品价值

int ceng;//

struct QNode *parent;//子结点

bool leftChild;//左儿子结点

4．算法或程序模块

void maxLoading(float w[],float v[],int c)

{

float wt=0;

float vt=0;

int i=1; //当前的扩展结点所在的层

float ew=0; //扩展节点所相应的当前载重量

float ev=0; //扩展结点所相应的价值

qnode e=NULL;

qnode t=NULL;

InitQueue(sq);

EnQueue(sq,t); //空标志进队列

while (!QueueEmpty(sq))

{

wt=ew+w[i];

vt=ev+v[i];

if (wt <= c)

{

if(vt>bestv)

bestv=vt;

EnQueue1(wt,vt,i,e,true); // 左儿子结点进队列

}

EnQueue1(ew,ev,i,e,false); //右儿子总是可行；

e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点

if (e == NULL)

{

if (QueueEmpty(sq)) break;

EnQueue(sq,NULL); // 同层结点尾部标志

e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点

i++;

}

ew=e->weight; //更新当前扩展结点的值

ev=e->value;

}

printf("最优价值为：%.0f\n\n",bestv);

printf("最优取法为：\n");

for( int j=n-1;j>0;j--) //构造最优解

{

bestx[j]=(bestE->leftChild?1:0);

bestE=bestE->parent;

}

for(int k=1;k<=n;k++)

{

if(bestx[k]==1)

printf("\n物品%d:重量：%.0f，价值：%.0f\n\n",k,w[k],v[k]);

}

}

三、测试

1．方案

描述测试方案、测试模块、测试数据实例（文字数据、图或表等形式）……

2．结果