2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷无答案
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试卷(理科)
A ．逆命题与否命题均为真命题
B ．逆命题为假命题 ，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题 ，逆否命题为真命题
D ．否命题为假命题，道否命题为真命题
8．（ 5 分）下列函数中，最小周期为π 且为偶函数的是（
）
A ．f（x）＝ sin|2x|
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B ． f（ x）＝ tan（ x﹣） C． f（ x）＝ |cos2x| D ．f（x）＝
故将函数 g（ x）＝ cos2x 的图象向右平移
个单位，可得 f（ x）的图象，
故选： D ．
【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数
y＝Asin（ω x+φ ）的图象变换规律，统一
这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
2﹣3x+ a≥ 0 恒成立，则a 的取值范围是（
）
10．（5 分）当 x∈（0， +∞ ）时， ax
）
A ．3
B．6
【分析】 根据等差数列的求和公式可得
【解答】 解：∵ S3+S6＝ 27，
C． 9 a1+2d＝ 3，即可求出．
D． 12
∴ 3a1+
d+6a1+
d＝ 27，
即 9a1+18d＝ 27， ∴ a1+2d＝ 3， ∴ a2+a4＝2（ a1+2d）＝ 6， 故选： B． 【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
A ．10
B ．12
） C． 16
D． 20
6．（ 5 分）已知数列 { an}满足 a1＝ 2， an+1＝
，则an＝（
）
A ．2n
B ．n+1
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试文科数学试题(解析版)
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试文科数学一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，且，则集合B可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2.已知命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3.已知，均为单位向量，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.已知等差数列的前n项和为，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【详解】解：，，即，，，故选：B．根据等差数列的求和公式可得，即可求出．本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．5.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据图象求周期，再求，代入可求得【详解】解：由图可得，，，，，．故选：A．【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.6.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A. 逆命题与否命题均为真命题B. 逆命题为假命题，否命题为真命题C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题D. 否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知命题：，；：，，则在命题：，：，：和：中，真命题是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【详解】解：根据题意得，：真；：假：假；：真；：假；：真故选：B．利用函数判断命题的真假；用真值表判断复合命题的真假．本题考查简单命题的真假判断；真值表的用法；函数的零点和单调性．8.下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9.在中，D是AB的中点，H是CD的中点，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：为AB中点，H为CD中点，，，．故选：B．用，表示出，由平面向量基本定义可得出，的值即可得出答案．本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．10.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．11.当时，恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合正弦可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理，可求得，再利用均值不等式与同角基本关系可求的范围．【详解】解：，由正弦定理可得，，由余弦定理可得，，则即最大值，故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角基本关系的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积，求解向量的夹角即可．【详解】解：向量，，则的夹角余弦值．．故答案为：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．14.已知等比数列的前n项和为，，则______．【答案】3【解析】【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出．【详解】解：设等比数列的公比为q，由，可得，解得，，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题，属于基础题．15.已知向量，，且，则___．【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由，，且，得，即．，．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．16.已知数列的前n和为，，，则的值为______．【答案】5151【解析】【分析】利用数列的递推关系式求出数列相邻两项的和的关系，然后求解数列的和即可．【详解】解：数列的前n和为，，，，两式相减可得．．故答案为：5151．【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；证明．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】由已知递推式，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．【详解】解：证明：数列满足，，可得，即有数列是首项为1，公差为1的等差数列，可得，即；证明：，则．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C；若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求C的值；由及三角形面积公式可求，由余弦定理可求的值，即可解得的周长．【详解】解：，由正弦定理可得：，可得：，，解得：，，，由及已知可得：的面积为，解得，由余弦定理可得：，可得：，解得：，的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.已知x，y满足约束条件．若取得最小值的最优解有无数多个，求m的值；求的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】利用约束条件画出可行域，利用目标函数的最优解求解即可；利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】解：作出约束条件的可行域如图：由图形可知：，，；取得最小值的最优解有无数多个，若，则；若，则，故；所以或．的几何意义是可行域内的点与的距离的平方，由图可得：；．．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．20.在平面直角坐标系xOy中，角满足，，．求的值；若角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，B是其终边上一动点，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和诱导公式的运算求出结果；利用向量的线性运算和垂直的关系求出结果．【详解】解：角满足，，所以：．．则：．由于：，所以：当时，此时．即：最小值为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式的应用，向量的相关的运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.已知数列的前n项和为，，等差数列满足，．求数列，的通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】由数列的递推式：时，，时，，化简计算可得；再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到；由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】解：，可得时，，可得；时，，即有，可得；等差数列的公差设为d，，，即有，，解得，，可得；，，相减可得，化简可得．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．22.设函数求的单调递减区间及其图象的对称轴方程；若在区间上的值域为，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，，对称轴方程为；（2）【解析】【分析】利用恒等变换公式将化为，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；利用正弦函数的图象可得实数a的取值范围．【详解】解：，令，则，．的单调递减区间为，．由得．图象的对称轴方程为．，结合正弦函数图象可知：，解得，实数a的取值范围是【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.。
2018-2019学年三湘教育联盟下学期高二期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年三湘教育联盟下学期高二期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6 B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2．设x ∈R ，则“02x <<”是“2230x x --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解一元二次不等式223013x x x --<⇒-<<，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由2230x x --<，则13x -<<，可知“02x <<”是“2230x x --<”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -==所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.4．已知向量a r ＝(1，0)，b r＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( )A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅r r r ，∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D【解析】根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为r ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则r ==所以圆柱的体积为2126V ππ=⋅⨯=， 又球的体积为32432233V =π⨯=π所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6．以下四个命题：①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；②由函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，即可判断； ③由若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可判断出正误； ④由p ⌝的定义即可判断出正误； 【详解】对于①，由于原命题“若x y =，则22x y =”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；对于②，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”为真命题，但“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，故②对；对于③，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可，故③错；对于④， 对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，由p ⌝的定义可知p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥，故④对；故选：C 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ）A ．672B ．673C ．1346D ．2019【答案】C【解析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得{}n a 是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果. 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...， 所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C. 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.8．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,4【答案】B【解析】将20x =的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当20x =时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误； 对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确.故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1 【答案】C【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确; ∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=，即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C. 【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．已知命题p ：“0x R ∃∈，200250x tx t +++<”，命题q ：“关于x 的方程20x t -=有正实数解”.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[]1,10 B ．()(],21,10-∞-U C ．[]2,10- D ．()(],20,10-∞-U【答案】B【解析】根据“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，进行分了讨论，由此求得实数t 的取值范围. 【详解】当p 真时，()()()224258202100t t t t t t ∆=-+=--=+->，解得2t <-或10t >.当q 真时，0x >时，20x >，所以关于x 的方程20x t -=有正实数解，可得21x t =>. 由于“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以,p q 一真一假. 当p 真q 假时， “2t <-或10t >”且“1t ≤”，所以2t <-. 当p 假q 真时，“210t -≤≤”且“1t >”，所以110t <≤. 综上所述，实数t 的取值范围是()(],21,10-∞-U . 故选：B. 【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑联结词的命题的真假性求参数的取值范围，属于基础题.11．已知1a >，1b >，且11111a b +=--.若不等式24416a b x x m +-++-…对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】首先根据不等式24416a b x x m +-++-…恒成立求得4a b m ++的取值范围.然后结合“1”代换的方法以及基本不等式，求得实数m 的取值范围. 【详解】由于不等式24416a b x x m +-++-…对任意实数x 恒成立，即24416a b m x x ++≥-++恒成立，而()2241622020x x x -++=--+≤，所以420a b m ++≥①.由于10,10a b ->->，()41415a b a b +=-+-+()()11141511a b a b ⎛⎫=-+-++⎡⎤⎪⎣⎦--⎝⎭()()414111101021111b b a a a b a b ----=++≥+⋅----10414=+=.所以1420m +≥，解得6m ≥.故选D. 【点睛】本小题主要考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查利用“1”的代换的方法和基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=o ，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=o ，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（ ）A ．31B ．312C 21D ．212【答案】A【解析】由15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，可得30ABE ∠=o ，在ABE ∆中，由正弦定理得20BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 1BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o可得结果.【详解】因为15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，所以30ABE ∠=o .在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=o o，解得20BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠o，所以202sin 120BDE ∠==.又90ACD ∠=o ，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o，所以cos 1DAC ∠=. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()()21f f -=_______.【答案】2【解析】由函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩求出(2)4f =，(1)112f =+=，由此能求出()()21f f -的值.【详解】Q 函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，∴(2)4f =，(1)112f =+=，()()21422f f ∴-=-=故答案为：2 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．已知tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，则()tan αβ+=_______. 【答案】37-【解析】根据根与系数之间的关系得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值，利用两角和的正切公式进行计算即可. 【详解】Q tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，3tan tan 2αβ∴+=-，5tan tan 2αβ=-，由()3tan tan 25tan t 3tan 17a 21n ααβαββ+===--⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-，故答案为：37- 【点睛】本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式. 15．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为_____________. 【答案】14【解析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44O x y -+=，动点P在直线0x b +-=上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】20(,4)3-. 【解析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即可求得实数b 的取值范围. 【详解】由题意O (0,0),O 1(4,0).设P (x ,y )，则 ∵PB =2P A ，=∴(x −4)2+y 2=4(x 2+y 2)， ∴x 2+y 2+81633x -=0， 圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径为83，∵动点P在直线x −b =0上，满足PB =2P A 的点P 有且只有两个， ∴直线与圆x 2+y 2+81633x -=0相交， ∴圆心到直线的距离83d =<， ∴4164163333b --<<-+， 即实数b 的取值范围是20,43⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n na -=（2）21n nT n =+ 【解析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a =+∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去），∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭L 11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.【答案】（1）频率为0.08，全班人数为25.（2）73.8；（3）35【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数÷频率即得出全班人数.（2）根据频率分布图平均数=每个小矩形底边中点横坐标⨯小矩形的面积，代入数据即可求解.（3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】（1）频率为0.08，频数=2，所以全班人数为20.08=25. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4⨯+⨯+⨯+850.16950.0873.8⨯+⨯=. （3）由已知得[)80,100的人数为：（0.16+0.08）0.160.0825+⨯=（）426+=. 设分数在[)80,90的试卷为A ，B ，C ，D ，分数在[]90,100的试卷为a ，b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目. 19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝3c 2，求sin C 的值． 【答案】（1）56π；（2）7【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝3c 2得到b ＝3c ，再利用余弦定理得到a ＝7c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】(1)因为asin B ＝－bsin )3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，即sin A ＝－12sin A －3cos A ，化简得tan A ＝－3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝56π. (2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S ＝3c 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b ＝3c ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a ＝7c ，由正弦定理得sin C ＝sin 7c A a =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA ，AC 、11A C 、1BB ，的中点，且5AB BC ==，23AC =，115AA =.（1）证明：AF P 平面1BEC ；（2）证明：AC FG ⊥；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）31414【解析】（1）根据题意由1FC AE P ，1FC AE =，证出1AF EC P 即可证出AF P 平面1BEC ；（2）先证出AC ⊥平面BEF ，再有FG ⊂平面BEF 即可证出AC FG ⊥； （3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ，可证出DBO ∠就是所求的角，在三角形中求解即可； 【详解】（1）连接AF ，Q E ，F 分别为AC ，11A C 的中点且11AC AC P ，11AC A C =∴1FC AE P ，1FC AE =∴四边形1AEC F 是平行四边形，∴1AF EC P又AF ⊄平面1BEC ，1EC ⊂平面1BEC ，∴AF P 平面1BEC .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，Q 1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC EF ⊥．Q AB BC =．∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF ．又G 是1BB 中点，1BB EF P ，∴G 在平面BEF 内 ，∴AC FG ⊥.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ， 易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC 从而DBO ∠就是所求的角.由平面几何知识计算得，BD =，sin DO DBO =⇒∠=14DO BD =.∴直线BD 与平面1BEC 【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体几何的综合性题目.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，函数()f x 对任意的x ∈R 都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，对于任意n *∈N ，不等式()29264n n k n n T nc -+>，恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2nn a =.12n n b +=；（2）存在，()2,+∞ 【解析】（1）由n S 求n a ，根据220n n S a -+=得22n n S a =-，再有1122n n n n S S a a ---=-得12n n a a -=即可求出n a 的通项公式；由()()11f x f x +-=，根据倒序相加法可求n b .（2）用分离参数法，根据（1）由()29264n n k n n T nc -+>得()221926n k n n +>-+，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+求出()max2g n =即可.【详解】解：（1）Q 220n n S a -+=即22n n S a =- 当1n =时，1122S a =-，∴12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，∴1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=∴{}n a 是等比数列，首项为12a =，公比为2，∴2n n a =.Q ()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Q ()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴①+②，得21n b n =+， ∴12n n b +=（2）Q n n n c a b =⋅，∴()112n n c n -=+⋅∴012223242n T =⋅+⋅+⋅+…()112n n -++⋅. ①1232223242n T =⋅+⋅+⋅+…()1212n n n n -+⋅++⋅ ②①－②得12222n T -=+++…()1212n n n -+-+⋅即2nn T n =⋅.要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，Q ()29260n n n T -+>恒成立∴()24926nnnc k nn T >-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()221111136n g n n n +==+-++()()22361111n n ≤=+-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n =. 故k 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查由n S 求n a 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.22．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()cos g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数()13x f x -=在定义域[],m n （0n m >>）上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数()()243h x x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”.若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式()()24h x t s t x -+-+…恒成立，求实数s的最大值.【答案】（1）不是“依赖函数”，见解析；（2）()0,1mn ∈（3）实数s 的最大值为4112. 【解析】（1）利用13x π=时，2cos 2x =不可能成立，判断出()g x 不是“依赖函数”.（2）结合指数型函数的单调性，利用“依赖函数”的定义，求得2n m =-，由此将mn 转化为()2m m -，然后结合二次函数的单调性，求得mn 的取值范围.（3）根据a 与区间4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质以及“依赖函数”的定义，求得a 的值.由此化简不等式()()24h x t s t x -+-+…为以t 为主变量的形式.利用判别式得到265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，结合存在性问题，由53239x x+的最大值，求得s 的取值范围，从而求得s 的最大值.【详解】（1）对于函数()cos g x x =的定义域R 内存在13x π=，则()22cos 2g x x ==，无解，故()cos g x x =不是“依赖函数”. （2）因为()13x f x -=在[],m n 递增，故()()1f m f n =，即11331m n --=，2m n +=由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，（3）①若443a ≤<，故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a ≥故()()2h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()4413h h ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =. ∴存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤， 综上，故实数s 的最大值为4112. 【点睛】本小题主要考查新定义函数概念的理解和运用，考查余弦函数函数值的特点，考查指数型函数的单调性，考查存在性与恒成立结合而成的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
三湘教育联盟2018-2019学年下学期高二期中考试数学试题
（3）已知函数 在定义域 上为“依赖函数”.若存在实数 ，使得对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求 ，再求 ．
【详解】
由已知得 ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
④由 的定义即可判断出正误；
【详解】
对于①，由于原命题“若 ，则 ”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；
对于②，“ ”是“函数 在区间 上为增函数”为真命题，但“函数 在区间 上为增函数”，则 ，故②对；
对于③，若 为假命题，则 ， 至少有一个为假命题即可，故③错；
对于④，对于命题 ： ， ，由 的定义可知 ： ， ，故④对；
【详解】
因为 ， ，所以 .
在 中，由正弦定理得 ，解得 .
在 中，由正弦定理得 ，
所以 .
又 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题.
13．
【解析】
【分析】
由函数 求出 ， ，由此能求出 的值.
【详解】
函数 ，
， ，
故答案为：
12．如图， 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔 ，若某科研小组在坝底 点测得 ，沿着坡面前进40米到达 点，测得 ，则大坝的坡角（ ）的余弦值为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
三湘名校教育联盟·2019年上学期高二期末考试 理科数学命题： 审题：本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}1xB x e =>，则A B =I （ ）A. ()0,1B. ()0,4C. ()1,4D. ()4,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出集合A 、B ，再利用交集运算即可. 【详解】()(){}{}14014A x x x x x =+-<=-<<Q ，{}{}10x B x e x x =>=>， ()0,4A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查了不等式的解法以及交集运算，属于容易题. 2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，756S =，则7a =（ ） A. 10 B. 12C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及通项公式即可求出. 【详解】()177477562a a S a +===Q ， 48a ∴=，34a =Q ，434d a a ∴=-=， 73420a a d ∴=+=故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题. 4.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上为减函数的是（ ） A. 1y x =-B. 1ln y x=C. 22xxy -=-D. 222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩【答案】B 【解析】 【分析】通过对每一个选项进行判断得出答案.【详解】对于A 选项：函数1y x =-在()0,∞+既不是偶函数也不是减函数，故排除； 对于B 选项：函数1lny x=既是偶函数，又在()0,∞+是减函数； 对于C 选项：函数22x x y -=-在()0,∞+是奇函数且增函数，故排除；对于D 选项：函数222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩在()0,∞+是偶函数且增函数，故排除；故选：B【点睛】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.5.已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案．【详解】当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．6.已知向量(3,1),(1,),0=-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rAC AB t AB BC ，若0t <，则t =（ ）A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的线性运算求出向量BC u u u r，再利用平面向量数量积的坐标表示列出方程，即可求出t 的值．【详解】因为(3,1)AC =-u u u r ，(1,)AB t =u u u r，所以(3,1)(1,)(2,1)BC AC AB t t =-=--=--u u u r u u u r u u u r，因为0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以12(1)0t t ⨯+⨯--=，即220t t +-=， 解得2t =-或1t =，又0t <，所以2t =-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量数量积的坐标表示，属于基础题． 7.设 1.141lg5,log 2,()2===a b c ，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据1lg52a =>=，41log 22b ==， 1.111()22<，即可得到,,a bc 的大小关系．【详解】因为函数lg y x =在(0,)+∞是单调增函数，又5=>1lg52a =>=； 因为函数1()2xy =是R 的单调减函数，又1.11>，所以 1.111()22c =<； 又41log 22b ==，所以a bc >>． 故选：A ．【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的单调性的应用及对数的运算，属于基础题． 8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（ ）A. ()28i S x x S +-=B. ()2(1)8i i S x x S -+-=C. ()2i S x x S i+-=D. ()2(1)i i S x x S i-+-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x L 的方差，由方差公式可得. 【详解】由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x L 的方差， 所用方法是求得每个数与x 的差的平方，再求这8个数的平均值， 则图中空白框应填入的内容为：()2(1)i i S x x S i-+-=故选：D【点睛】本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.9.将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ） A. 3-B. 3-C. 3D. 3【答案】B 【解析】【分析】运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性，可得,3k k Z πϕπ=-∈，计算可得所求值.【详解】函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的图像向左平移6π个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为所得函数图像关于2x π=对称，所以cos 1412ππϕ⎛⎫++=± ⎪⎝⎭， 即412k ππϕπ++=，解得：,3k k Z πϕπ=-∈，所以：tan tan 3ϕπ=-=故选： B【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.10.过双曲线22221(>0:0,>)x y a a C b b-=的一个焦点F 向其一条渐近线1:2l y x =作垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若OEF V 的面积为1，则C 的焦距为（ ）A. B. 3C. D. 5【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离可求得||EF ，进而可由勾股定理求出||OE ，再由1OEF S =△解方程即可求出结果． 【详解】不妨设(c,0)F ，则其到渐近线:20l x y -=的距离||EF ==在直角OEF V 中，||OE ===，所以2111||||122555OEF S EF OE c c =⋅⋅=⨯⨯==△，所以c =所以椭圆C 的焦距为 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，同时考查方程的思想，属于基础题．11.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A.4B.4C.10D. 10-【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =，所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===， 所以1tan 2α=，所以5sin α=，所以515sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅=⨯=παπααααα． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．12.已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（ ） A. 2 B. 83C. 4D.163【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】如图：抛物线28x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点， 由抛物线的定义可得PF PB =,圆()2221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =，可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，由221PM PM PQ PF ≥+， 可令()11PF t t +=>，则12p PF t PB y =-==+，即()23,83p p y t x t =-=-，可得：()22224625256641p p x y PM t t t PF tt t +--+===+-≥=+，当且仅当5t =时等号成立，即2241PM PM PQ PF ≥≥+， 所以2PM PQ的最小值为4故选：C【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线y x z =-+，找到z 的最大值．【详解】x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由033y x y =⎧⎨+=⎩，解得()3,0A ，所以z x y =+的最大值为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键．14.63x x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为______. 【答案】-160 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令3r =，即可得2x 的系数.【详解】二项式的展开式的通项为()466316632rr r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝， 令3r =，得2x 的系数为()3362160C -⋅=-故答案为：160-【点睛】本题考查了二项式的展开式以及组合数的计算，属于较易题. 15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S a λ+=，66316S =，则λ=______. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知条件可判断出数列{}n a 为等比数列，再由66316S =可求出首项，再令1n =即可求出λ的值. 【详解】n n S a λ+=Q ，且11n n S a λ--+=，()1111120n n n n n n n n n n S a S a S S a a a a -----∴+-+=-+-=-=，即112n n aa -=，则数列{}n a 为等比数列且公比为12， 611611263631321612a a S ⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-Q ， 12a ∴=，在n n S a λ+=中令1n =得：124a λ== 故答案为：4【点睛】本题考查了已知,n n S a 的关系求数列通项，以及等比数列前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．【答案】25π 【解析】 【分析】连结AC ，BD 交于O ，可得OA OB OC OD OE OF =====，即可确定点O 为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【详解】如图，连结OE ，OF ，连结AC ，BD 交于O ，可得52OA OB OC OD ====，由已知可得22352()22OE OF ==+=，所以点O 为刍甍的外接球的球心，该球的半径为52， 所以该刍甍的外接球的表面积为254()252ππ⨯=． 故答案为：25π【点睛】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C 的对边，1cos 2a Bbc +=. （1）求A ； （2）若7a =ABC V 33，求ABC V 的周长. 【答案】（1）60A =︒；（2）57. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角A ；(2)利用三角形面积公式可得到6bc =，再由余弦定理可求出ABC V 的周长； 【详解】(1)由正弦定理知1sin cos sin sin 2A B B C +=， ∴1sin sin()sin cos sin cos 2B A B A B B A =+-=， ∴1cos 2A =，60A =︒.（或用余弦定理将cosB 换掉求解）(2)由(1)及已知可得1333222bc ⨯=，解得6bc =， 由余弦定理知22227()3a b c bc b c bc ==+-=+-，∴5b c +=，∴ABC V 的周长为57+.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，AC BC ⊥，E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点.（1）证明：平面BCE ⊥平面1BDC ；（2）若2AC BC =，求二面角1C BD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】(1)由题意可得BC ⊥平面11ACC A 即可得1BC C D ⊥，再利用1ACE CC D ≅△△可以得到1CE C D ⊥，由线面垂直判断定理可得1C D ⊥平面BCE ，然后根据面面垂直判断定理可得结论；(2)先以C 点为原点建立空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，写出相关点的坐标，再求出平面1BDC 的法向量和平面CBD 的法向量，由数量积公式求出二面角1C BD C --的余弦值. 【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ， ∴1BC C D ⊥，∵E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点，∴1ACE CC D ≅△△， ∴1CE C D ⊥， ∵BC CE C =I ， ∴1C D ⊥平面BCE ， ∵1C D ⊂平面1BDC ， ∴平面BCE ⊥平面1BDC .（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，如图：设1BC =，则()1,0,0D ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()1,1,0DB =-u u u r ，()11,0,2DC =-u u u u r，设平面1BDC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则1·0·0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r uu u u r r 即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令2x =得()2,2,1m =u r，又平面CBD 的法向量()0,0,1n =r， ∴1cos ,34411m n m n m n→→→→===++⋅⋅u r r g ， 即二面角1C BD C --的余弦值为13. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明，向量法求二面角的余弦值，考查了学生的逻辑推理以及计算能力，属于一般题.19.已知椭圆1C ：()222210x y a a b+=>与抛物线()220y px p =>有公共的焦点F ，且公共弦长为6（1）求a ，p 的值.（2）过F 的直线l 交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，且AM BN =u u u u r u u u r，求AB . 【答案】（1）3a =，2p =；（2）112. 【解析】 【分析】(1)由椭圆以及抛物线的对称性可得到交点的纵坐标，代入1C ，2C 可得到交点的横坐标，再由有公共的焦点F ，即可得到a ，p 的值；(2)先设l ：()1y k x =-，再由直线l 交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，根据根与系数的关系可得横坐标之间的关系，再由已知条件AM BN =u u u u r u u u r 可得283k =，从而可求出AB .【详解】（1）∵1C ，2C 均关于x 轴对称，∴公共弦也关于x 轴对称，∵公共弦长为y =代入1C ，2C 中解得2ax =与3x p =，∴32a p=，6ap =. ∵1C ，2C 有公共的焦点，∴2282p a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3a =，2p =. （2）()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， ∵AM BN =u u u u r u u u r，∴()()31314242,,x x y y x x y y --=--，即1234x x x x -=-，()()221212343444x x x x x x x x +-=+-.当l 的斜率不存在时，显然不成立，∴设l ：()1y k x =-， 将l 方程代入1C 整理得()222289189720kx k x k +-+-=，21221889k x x k+=+，212297289k x x k -=+. 将l 方程代入2C 整理得()2222240k x k x k -++=，∴234224k x x k ++=，341x x =.代入()()221212343444x x x x x x x x +-=+-中解得283k =，∵AM BN =u u u u r u u u r ，∴341122x A N x B M ++===. 【点睛】本题考查了椭圆以及抛物线的对称性，以及直线与椭圆和抛物线的关系，抛物线定义求弦长，考查了学生的计算能力，属于较难题. 20.设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π；(2),2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1) 当1a =时，()sin cos f x x x x =--，求导()104f x x ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭π，可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出()f x 的值域；(2)根据已知可得sin cos a x x x ≥-，对x 分类讨论：当0x =时，不等式恒成立；当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x ，只需max ()a h x ≥即可，求导可得2sin 1cos ()sin x x x h x x +-'=，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，即可得()0h x '>，从而可得()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，从而可得2a π≥．【详解】(1)当1a =时，()sin cos f x x x x =--，所以()1cos sin 104f x x x x ⎛⎫'=-+=+-≥ ⎪⎝⎭π 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值为(0)1f =-，最大值为122⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ππ， 所以()f x 的值域为1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π．(2)由()0f x ≤，得sin cos a x x x ≥-， ①当0x =时，不等式恒成立，此时a R ∈； ②当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x，则22(1sin )sin (cos )cos sin 1cos ()sin sin '+--+-==x x x x x x x xh x x x，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>， 所以()g x 在[0,]2π上单调递增，所以()(0)1g x g >=，所以()0h x '>，所以()h x 在[0,]2π上单调递增，所以()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，所以2a π≥ 综上可得实数a 的取值范围,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题． 21.某疾病控制中心为了研究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放人含40个小白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，已知小白鼠对这种病毒产生抗体的概率为15.现对40个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按n （140n <<，且n 是40的约数）个小白鼠平均分组，并将抽到的同组的n 个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若发现该病毒抗体，则对该组的n 个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记X 为某组中含有抗体的小白鼠的个数.（1）若5n =，求X 的分布列和数学期望. （2）为减少化验次数的期望值，试确定n 的大小.（参考数据：440.415⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，840.175⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.0125⎛⎫≈ ⎪⎝⎭） 【答案】（1）分布列见解析，1；（2）4 【解析】 【分析】(1)由题意可得，随机变量X 的分布满足二项分布，所以直接利用二项分布公式即可得X 的分布列和数学期望；(2)根据平均分组得到n 的可能取值，再根据二项分布可得出化验次数的期望值进行比较大小，从而可得出此时n 的值.【详解】（1）当5n =时，15,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，5514()55r rr P X r C -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =. 其分布列为1515EX np ==⨯=.（2）根据题意2,4,5,8,10,20n =，当{}2,4,5,8,10,20n ∈时，1,5X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，对于某组n 个小白鼠，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，4(1)5n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，4(1)15nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴4441(1)11555n n n EY n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴40个小白鼠化验总次数的期望为40414()140155nn f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()234.4f =，()433.6f =，()534.8f =，()838.2f =，()1039.6f =，()2041.5f =，∴按4个小白鼠一组化验可使化验次数的期望值最小.【点睛】本题考查了二项分布求分布列以及期望，考查了计算能力，属于一般题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，将单位圆221x y +=上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的参数方程；(2)设M 为曲线C 上一点，N 点的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求MN 的最大值及此时点M 的坐标． 【答案】(1)2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ参数)；(2)，此时23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M．【解析】 【分析】(1) 根据坐标变换可得曲线C 的方程，根据平方关系可求出其参数方程；(2) 求出N 的直角坐标，再由两点间的距离公式可求出||MN ，结合三角函数即可求出最值．【详解】(1) 依题意可得曲线 C 的直角坐标方程为2214x y +=，所以其参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (2)(0,2)N ，设(2cos ,sin )M θθ，则||MN ===所以当2sin 3θ=-时，||MM ，此时23⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭M ． 【点睛】本题主要考查曲线的伸缩变换，参数方程与普通方程的互化，极坐标化为直角坐标，同时考查三角函数最值的求法，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()211f x x x =-++的最小值为m . （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，22212a b c m ++=，求ab bc +的取值范围. 【答案】（1）32m =；（2）33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)由题意可把含两个绝对值的函数()211f x x x =-++进行对去绝对值得到一个分段函数，再由分段函数可得到函数的最小值；(2)利用基本不等式和三角不等式即可求出ab bc +的取值范围.【详解】（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，显然当12x =时，()f x 取得最小值32m =.（2）∵2222311244a b b c ≥=+++ab bc ab bc =+≥+， ∴33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数，基本不等式以及三角不等式求最值，属于一般题.。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷参考答案
或 sinx＝－1，即 x＝π或 x＝7π.当 x∈（0，π）时，f′（x）<0；当 x∈（π，7π）时，f′（x）>0；
2
6
6
当 x∈（7π，3π]时，f′（x）<0，∴x0＝π，∴tan（2x0－π）＝ 3 .
62
3
16．64 解析：由已知可得球的半径 r=3，设球心到四棱锥底面的距离为 x，棱锥的高为 h＝3＋x， 3
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A
D
B
A
A
D
C
B
B
D
C
B
1.A 解析：A＝[－1，1]，∴A∩B＝[0，1]．
2
2
2．D 解析：∵y＝ln|x|－1x2 是偶函数，∴图像关于 y 轴对称．又 x>0 时，f′(x)＝1－x＝1－x2，∴f(x) f(1)
4 有一个极值点为零点，只能是 x＝a 处，∴f (a)＝0，解得 a＝2，∴f (x)在 x＝0 处取得极大值为 .又
3
f (3)＝4，∴f (x)在[-3,3]上的最大值为4，故选 C．
3
3
第 1页（共 4页）
12.B 解析：由已知可得点 F 在以 AB 为直径的圆上， AF BF , AB 2MF 4, AF 2 BF 2 16,
a＋b＝－2.
9.B 解析：EX＝6×2＝4，DX＝6×2×（1－2）＝4，EY＝3×4－3＝3，DY＝（3）2×4＝3，∴EY
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．511．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d ＝．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82816．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i解：由（z﹣i）（1﹣i）＝2i，得z﹣i＝，则z＝﹣1+2i．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x＜1}＝{x|x＞}，∴∁R B＝{x|x}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x}＝（﹣1，]．故选：C．3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%解：根据全国人均消费支出的结构饼图，可知2019年内人均食品，研究消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%．故选：B．4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．解：∵向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，∴•（λ+）＝λ+＝λ（﹣2﹣2）+5＝0，则λ＝，故选：A．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）解：由双曲线﹣＝1的离心率为2，可得＝2，即，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝x，由选项可知，（1，﹣）在双曲线的渐近线上．故选：A．6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣解：α为锐角，且sin（）＝＜，所以＜+α＜π，所以cos（+α）＝﹣＝﹣＝﹣，所以cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣×+×＝﹣．故选：C．7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．解：△ABC中，tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，所以tan（B+C）＝＝1，A+B+C＝π，tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣1，所以A＝，所以sin A＝，又bc＝2，所以S△ABC＝bc sin A＝×2×＝．故选：D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．解：由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，∴7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率为：p＝．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为120解：令x＝1，则展开式所有项的系数和为（12﹣2）6＝1，故A正确，展开式二项式的系数和为26＝64，故B错误，展开式的通项公式T k+1＝C（x2）6﹣k（﹣）k＝C（﹣2）k x12﹣3k，由12﹣3k＝3得k＝3，即展开式中含x3项，故C错误，当12﹣3k＝0得k＝4，即展开式的常数为C（﹣2）4＝240，故D错误，故错误的是BCD，故选：BCD．10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．5解：设P（x，y），由|PA|＝2|PO|，得（x﹣3）2+y2＝4x2+4y2，整理得（x+1）2+y2＝4，又点P是圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆（x+1）2+y2＝4的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r+2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r﹣2|＝3，得r＝5．故选：AD．11．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减解：由函数f（x）＝cos（ωx+φ）的图象与y轴交于点（0，），所以cosφ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，A正确；由f（x）的图象与x轴的一个交点为（1，0），即y＝f（1）＝0，所以ω+＝2kπ+，k∈Z；又1＜＜2，解得＜ω＜，所以ω＝；所以f（x）＝cos（x+），求得f（x）的最小正周期为T＝6，B正确；f（）＝cos（×+）＝﹣1，所以x＝是f（x）的一条对称轴，C正确；令2kπ≤x+≤2kπ+π，k∈Z，解得6k﹣≤x≤6k+，k∈Z；所以函数f（x）在[6k﹣，6k+]，k∈Z上单调递减，D错误；综上知，正确的命题是ABC．故选：ABC．12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0解：因为函数f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，又f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数关于直线x＝12对称，当x∈[0，12]时，函数f（x）无轴对称性，又f（x+24）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为x＝0是函数的对称轴，且f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数图象关于直线x＝12k（k∈Z）对称，故B正确；当x∈[0，12]时，结合f（x）＝的单调性和图象可知，当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上只有唯一解，故C正确；当m＝0时，总能找到两两关于y轴对称的四个零点，使得|x1+x2+x3+x4|＝0，若4个零点不关于y轴对称时，|x1+x2+x3+x4|＞0，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．解：求导得：y′＝，把x＝0代入得：k＝1，则线y＝在点（0，0）处的切线方程为y＝x，即x﹣y＝0，故答案为：x﹣y＝014．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d＝．解：法一：由题意可得，S20﹣S14﹣S6＝14×6d＝126﹣36＝90，∴d＝．法二：因为S20﹣S14+S6＝a15+a16+a17+a18+a19+a20+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝6（a1+a20）＝162，所以a1+a20＝27，所以S20＝10（a1+a20）＝270，因为S6＝36，所以，解可得d＝，故答案为：．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，有（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：由题填写2×2列联表如下，乐观不乐观总计国内代表6040100国外代表4060100总计100100200 K2＝＝8＞7.879，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．故答案为：有．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．解：依题意，D1Q∥平面PBD时，点Q是平面BB1C1C内的动点，可得D1点与点Q的轨迹构成的平面与平面PBD平行，如图所示，∵P是AA1的中点，取CC1的中点Q0，∴Q点的轨迹即为线段B1Q0．∵正方体的棱长为2，∴．把三棱锥D1﹣B1C1Q补形为长方体，可得球O的直径就是A1Q0，长为3．故球O的体积为．故答案为：；．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：选择①：因为sin B＝sin C＝sin A，由正弦定理可得a＝b＝c，即b＝c＝a，由余弦定理可得cos A＝＝﹣，在三角形中可得A＝π，所以B＝C＝，又因为BD为角平分线，所以∠ABD＝，在△ABD中，∠ADB＝π﹣π﹣＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝BC＝×4＝2．选择②：因为＝＝，可得b＝c，a＝b，又a＝4，所以可得b＝c＝4，由余弦定理cos A＝＝＝﹣，A∈（0，π），所以A＝，则B＝C＝，下面解法同①；选择③：因为b＝c＝a，而a＝4，所以b＝c＝4，下面解法同②；综上所述：BD的长为2．18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，整理得．（2）由（1）得＝．故b n＝n（S n+2+n）＝n•2n+1，所以①，②，①﹣②得，整理得，解得．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．解：（1）证明：取PC中点G，连结DG、FG，点E、F分别为AD、BP的中点，又AD＝2，AP＝2，∴PD＝2，∴△PCD是等腰三角形，∴EFGD是平行四边形，∴EF∥GD，∵平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为矩形，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥DG，∴PC⊥DG，又BC∩BC＝C，∴DG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC．（2）如图，以D为原点，DC为x轴，在平面PDC内，过点D作DC的垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，2），P（﹣1，，0），＝（2，0，2），＝（﹣1，，0），平面PDC的法向量＝（0，0，1），设平面PDB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（，1，﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图知二面角B﹣PD﹣C的平面角为锐角，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．解：（1）由题意可得b2＝1，所以b＝1，又e＝，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理，得（2+t2）y2+ty﹣＝0，所以△＝t2+（2+t2）＞0恒成立，y1+y2＝，y1y2＝，所以+＝+＝＝＝＝×＝3，所以+为定值3．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者组进入决赛并最终夺冠，也可能由失败者组进入决赛最终夺冠，∴甲获得冠军的概率为：p＝（）4+（）3×（）2+（）2×（）4+×（）5＝．（2）依题意X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝（）2＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝（）3+＝，当X＝5时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②前两场一胜一败，则第5场必败，∴P（X＝5）＝（）4+＝，当X＝6时，前5场只能失败一次，且只可能是第一场失败或第二场失败，∴P（X＝6）＝（）5＝，∴X的分布列为：X23456PE（X）＝+＝3.5．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）证明：因为f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R），所以，当a⩽0 时恒成立，f（x）在上单调递增．（2）解法1：由题意，对恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，又设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，则m′（x）＝e x sin x+e x cos x+e x cos x﹣e x sin x＝2e x cos x⩾0，因此m（x）在单调递增，所以m（x）＞m（0）＝1﹣k，①当k⩽1 时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在单调递增，故有h（x）＞h（0）＝0，即k⩽1 适合题意．②当k＞1 时，若，则取时，m（x）＜0，若，则在上m（x）存在唯一零点，记为x0，当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，总之，存在使x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）单调递减，h（x）＜h（0）＝0，故k＞1 时，存在x∈（0，x0）使h（x）＜0 不合适题意．综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．解法2：，设g（x）＝e x sin x﹣x，则，∴g（x）＝e x sin x﹣x在区间上递增，即g（x）＝e x sin x﹣x＞g（0）＝0，∴，而而，因此函数的下确界为1，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．。
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，且，则集合B可以是A．B．C．D．【答案】B【解析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2．已知命题p：，，则为A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3．已知，均为单位向量，，则A．B．C．D．【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4．已知等差数列的前n项和为，，则A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】利用椭圆的定义即可得到结果．椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6．已知数列满足，，则A．2n B．C．D．【答案】D【解析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10．当时，恒成立，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A．B．C．D．【答案】C【解析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．在中，若，则角A的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A 的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二、填空题13．已知等比数列的前n项和为，，则______．【答案】3【解析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出．【详解】解：设等比数列的公比为q，由，可得，解得，，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题，属于基础题．14．已知向量，，且，则___．【答案】【解析】由已知求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由，，且，得，即．，．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．15．在中，，，过点A作AB的垂线交BC于点D，，则______．【答案】【解析】由题意，可得出，由向量三角形法则可得出，再结合，根据平面向量基本定理，得出x，y的值，即可得出答案．【详解】在中，，，过点A作AB的垂线交BC于点D如图，，且，所以，，又，，．故答案为【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为______．【答案】【解析】设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x和的值，再计算以及、和的值，从而求得的面积．【详解】如图所示，设，，则，由余弦定理得，，解得，；；，，，，即的面积为．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．三、解答题17．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C；若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）20【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求C的值；由及三角形面积公式可求，由余弦定理可求的值，即可解得的周长．【详解】解：，由正弦定理可得：，可得：，，解得：，，，由及已知可得：的面积为，解得，由余弦定理可得：，可得：，解得：，的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．记为数列的前n项和，已知，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由与之间的关系求出通项公式；（2）求出，再用裂项相消法求出前n项和。
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题
对称，曲线
的值为（ ）
在点
B．
C．
处的切线过点
，设曲线
D．
在
处
二、填空题
13. 设x，y满足约束条件
，则
的最大值为________．
14. 在区间
上随机取一个实数 ，则
的概率为______________．
15. 已知椭圆
，直线
与圆
相切，则椭圆 的离心率为_____________．
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题
21. 在直角坐标系 (1)求 的值；
中，抛物线
与圆C:
交于
(2)设直线 与抛物线交于 ， 两点，点 位于第一象限，若直线
三点，且 的斜率之和为
将圆 三等分． ，证明直线 过定点，并求出定点坐标．
22. 在直角坐标系 中，将单位圆
轴，建立极坐标系．
(1)求曲线 的参数方程；
(2)设 为曲线 上一点， 点的极坐标为
方丈．
三、解答题
17. 已知等比数列 的各项均为正数，且
．
(1)求数列 (2)设
的通项公式；
，数列 的前 项和为 ，求 的最大值．
18. 某手机生产企业为了解消费者对某款手机的认同情况，通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者，并发出问卷调查(满分50分），该 问卷只有20份给予回复，这20份的评分如下：
0.025 5.024
0.01 6.635
19. 如图，直三棱柱
中，侧面
为正方形，
， 是 的中点， 是 的中点．
(1)证明：平面 (2)若
平面
．
，求 到平面
的距离．
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期5月联考数学试题解析
解：
当 时，若 且 ，则推不出 ，故必要性不成立；
当 时，可过直线 作平面 与平面 交于 ，
根据线面平行的性质定理可得 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，故充分性成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
令 可得展开式的所有项的系数和为 ．
（2） ，其中 ，故展开式共8项，
当 为有理项，共3项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率 ．
点评：
本题考查二项展开式中指定项的系数的计算以及古典概型的概率计算，后者可利用插空法来计数，本题属于中档题.
20．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，可见部分如下，据此解答下列问题：
， ， ， ．
∴ 的分布列为
0
1
2
3
．
点评：
此题考查了茎叶图与频率分布直方图和离散型随机变量的分布列问题，属于中档题.
21．已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 是 的垂心（三边垂线的交点），求取直线 的方程．
∴另一个极值点 必为零点，
，解得 ，
所以 .
所以
∴ 在 上的最大值为 ，
故选：C．
点评：
本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知直线 与抛物线 交于 ， 两点， 的焦点 在曲线 上．若线段 的中点 到 的距离为2，则 到 的准线距离的最大值为（）
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数学试题
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含答案)
湖南省三湘名校教育联盟2018～2019学年高二下学期期末考试数学试题 理本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={0 <)4)1(−+x x x ,B= {1 >xxe }，则=B A A.(0,1) B. (0,4) C.(1,4) D.(4, +∞)2.复数iiz +−=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a A.10B.12C.16D.204.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是A. 1−=x yB. x y 1ln =C.xx y −−=22 D. ⎪⎩⎪⎨⎧−+=0<,20>,222x x x x x x y5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=−=t ，若0 <t ，则=t A.-4B.-3C.-2D.-17.设1.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则 A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为A. 8)(2x x S S i −+=B.8)()1(2x x S i S i −+−=C. i x x S S i 2)(−+=D. ix x S i S i 2)()1(−+−=9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关 于2π=x 对称，则=ϕtanA. 33−B. 3−C. 33± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12222b a b y a x =−的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF 的面积为1，则C 的焦距为 A. 5− B.3 C. 52 D. 511.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ−⋅+的值为A.105 B. 105− C. 426− D. 462− 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=−+y x 上运动，则PQPM 2的最小值为 A.2 B. 38 C.4 D. 316二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二上学期期中考试文科数学试题(含精品解析)
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试文科数学一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，且，则集合B可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合或，由得出B．【详解】解：或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2.已知命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3.已知，均为单位向量，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.已知等差数列的前n项和为，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5.函数的部分图象如图所示，则 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据图象求周期，再求，代入可求得【详解】解：由图可得，，，，，．故选：A．【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.6.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A. 逆命题与否命题均为真命题B. 逆命题为假命题，否命题为真命题C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题D. 否命题为假命题，逆否命题为真命题【答案】A【解析】【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.已知命题，；，，则在命题，，和中，真命题是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于命题，当时，命题成立；为真对于命题，当时，命题不成立.为假.所以，为真.故选B.8.下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9.在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若=λ+μ（x，μ∈R），则λ+μ=（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用，表示出，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案．【详解】∵D为AB中点，H为CD中点，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．11.当时，恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，不等式恒成立通过以及、a＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则的最大值为 A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理，可求得，再利用均值不等式与同角基本关系可求的范围．【详解】解：，由正弦定理可得，，由余弦定理可得，，则即最大值，故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角基本关系的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，则与的夹角为______．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积，求解向量的夹角即可．【详解】解：向量，，则的夹角余弦值．．故答案为：．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．14.已知等比数列的前n项和为，，则______．【答案】3【解析】【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出．【详解】解：设等比数列的公比为q，由，可得，解得，，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题，属于基础题．15.已知向量，，且，则___．【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由，，且，得，即．，．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．16.已知数列的前n和为，，，则的值为______．【答案】5151【解析】【分析】利用数列的递推关系式求出数列相邻两项的和的关系，然后求解数列的和即可．【详解】解：数列的前n和为，，，，两式相减可得．．故答案为：5151．【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；证明．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】由已知递推式，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式；求得，由裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．【详解】证明：数列满足，，可得，即有数列是首项为1，公差为1的等差数列，可得，即；证明：，则．【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．18.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C；若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）20【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求C的值；由及三角形面积公式可求，由余弦定理可求的值，即可解得的周长．【详解】，由正弦定理可得：，可得：，，解得：，，，由及已知可得：的面积为，解得，由余弦定理可得：，可得：，解得：，的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.已知x，y满足约束条件．若取得最小值的最优解有无数多个，求m的值；求的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】利用约束条件画出可行域，利用目标函数的最优解求解即可；利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：，，；取得最小值的最优解有无数多个，若，则；若，则，故；所以或．的几何意义是可行域内的点与的距离的平方，由图可得：；．．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．20.在平面直角坐标系xOy中，角满足，，．求的值；若角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，B是其终边上一动点，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和诱导公式的运算求出结果；利用向量的线性运算和垂直的关系求出结果．【详解】角满足，，所以：．．则：．由于：，所以：当时，此时．即：最小值为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式的应用，向量的相关的运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.已知数列的前n项和为，，等差数列满足，．求数列，的通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】由数列的递推式：时，，时，，化简计算可得；再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到；由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】，可得时，，可得；时，，即有，可得；等差数列的公差设为d，，，即有，，解得，，可得；，，相减可得，化简可得．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．22.设函数求的单调递减区间及其图象的对称轴方程；若在区间上的值域为，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，，对称轴方程为；（2）【解析】【分析】利用恒等变换公式将化为，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；利用正弦函数的图象可得实数a的取值范围．【详解】，令，则，．的单调递减区间为，．由得．图象的对称轴方程为．，结合正弦函数图象可知：，解得，实数a的取值范围是【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.。
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试题(附解析)
湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试理科数学一：选择题。
1.已知集合，且，则集合B可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2.已知命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3.已知，均为单位向量，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.已知等差数列的前n项和为，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A. 10B. 12C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6.已知数列满足，，则A. 2nB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A. 逆命题与否命题均为真命题B. 逆命题为假命题，否命题为真命题C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题D. 否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10.当时，恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.在中，若，则角A的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二：填空题。
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(含答案解析)
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知复数z满足，则（）A． B． C． D．【答案解析】 B方法一：因为，所以，所以.故选B.方法二：设，所以，因为，所以.故选B.2 已知集合，，则（）A．(－1,2) B． C． D．【答案解析】 C因为，，所以，故选C.3 消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%【答案解析】 B根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B.4 已知向量，，若与垂直，则（）A． B． C． D．【答案解析】 A依题意，，又与垂直，所以，即，所以.故选A.5 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A． B．(1,2) C．(－1,2) D．【答案解析】 A依题意，双曲线的离心率为2，所以，即渐近线方程为，结合选项可知，渐近线经过点，故选A.6 已知为锐角，，则（）A． B． C． D．【答案解析】 C方法一：因为为锐角，，所以，所以，故选C.方法二：提示也可以把展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.7 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【答案解析】 D因为，即，在中，所以，所以，所以.故选D.8 新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A． B． C． D．【答案解析】 A由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率.故选A.9 （多选题）关于二项式的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含项 D．常数项为120【答案解析】 BCD因为二项式，令可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为，展开式的通项为，当时，得常数项为240；当时，可得项，所以错误的应选BCD.10 （多选题）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案解析】 AD设，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得或.故选AD.11 （多选题）已知函数的部分图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为(1,0)，如图所示，则下列说法正确的是（）A． B．f(x)的最小正周期为6C．的图像关于直线对称 D．f(x)在单调递减【答案解析】 ABC因为函数经过，所以，所以，又因为时，函数值为0，所以，又，所以，所以，所以，可得的最小正周期为；当，即在，上单调递减，直线是的一条对称轴.故选ABC.12 （多选题）已知偶函数f(x)对任意都有，当时，，实数是关于x的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期是12B．图象的对称轴方程为，C．当时，关于x的方程在上有唯一解D．当时，存在，，，，使得的最小值为0【答案解析】 BCD因为函数是偶函数，且，当时，函数无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为是函数的对称轴，且，所以函数图象关于直线对称，故B正确；当时，结合的单调性和图像可知，当时，关于的方程在上只有唯一解，故C正确；当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，若4个零点不关于对称时，.其中正确的是BCD.13 曲线在点(0,0)处的切线方程为______.【答案解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为.14 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则数列{an}的公差______.【答案解析】方法一：由等差数列性质前项和为公式可知，，所以，所以，又，所以，所以.方法二：，所以.方法三：依题意，，解得.15 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：，其中）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案解析】有依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以，而，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.16 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形B B1C1C 内的动点，当平面时，点Q的轨迹长度为______，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为______.【答案解析】；依题意，平面时，点是平面内的动点，所以可得点与点的轨迹构成的平面与平面平行，如图所示，因为是的中点，取中点，所以点轨迹即为线段，因为正方体棱长为2，所以.球的直径就是，长为3，故球体积为.17 在①，②，③，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，______，，角B的平分线交AC于点D，求BD的长.【答案解析】因为，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在中，因为，由余弦定理可得，，因为，所以；又是角的平分线，所以，所以，在中，由正弦定理可得，，即，所以.18 已知数列是首项为2，公比为2的等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn是数列{an}的前n项和，，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】（1）因为数列是首项为2，公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以①，由①×2可得，②由①－②可得，，所以19 在如图所示的多面体中，平面平面，ABCD为正方形，E，F分别为，的中点，且，，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明：取中点，连接，，点，分别为，的中点，又，，所以，所以是等腰三角形，所以为平行四边形，所以，因为平面平面，为矩形，所以平面，所以，所以，又，所以平面，所以平面.（2）空间向量法：如图所示，在平面内，作，分别以，，为，，轴，建立空间坐标系.所以，，，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，所以，即，所以，所以.所以二面角的余弦值为.立体几何法：如图，在平面内，作，垂足为，连接，即为二面角的平面角，再计算求余弦值即可思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角为，由平面得.20 已知椭圆C：的离心率为，直线l：与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：是定值.【答案解析】（1）依题意可知，，又，所以，所以椭圆的标准方程（2）设点、，联立，消去得，恒成立，由韦达定理得，，因此，.综上所述，.21 国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.【答案解析】（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以（2）依题意，的可能取值为2，3，4，5，6.，，，当时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.，当时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，，所以的分布列为23456所以的数学期望为.22 已知函数.（1）证明：当时，f(x)在上单调递增；（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围.【答案解析】解：（1）证明：因为，所以，，当时，恒成立，在上单调递增. （2）由题意，对，恒成立，设，又设，则，因此在单调递增，所以，①当时，，即，在单调递增，故有，即适合题意.②当时，，，若，则取，时，，若，则在上存在唯一零点，记为，当时，，总之，存在使时，，即，所以单调递减，，故时存在使不合适题意，综上，实数的取值范围是.第（2）题也可解答如下：.设，则，∴在区间上递增，即，∴.而，∴实数的取值范围是.。
湖南省三湘名校教育联盟2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题一、选择题1．已知复数z 满足()()12z i i i --=，则z =（ ） A ．1i -+B ．12i -+C ．2i +D ．2i -2．已知集合{}220A x x x =--<，12log 1B x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则() RAB =（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B ．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C ．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D ．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a =-，()2,1b =-，若b 与()a b R λλ+∈垂直，则λ=（ ） A ．54B ．54-C ．12-D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ）A ．(1,3-B ．()1,2C ．()1,2-D ．31,2⎛-⎝⎭6．已知α为锐角，3sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A．6362-B．6362+C．1626-D．6162-7．已知ABC△的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若tan tan1tan tanB C B C+=-⋅，且2bc=，则ABC△的面积为（）A．22B．2C．24D．228．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．325659A AAB．325659C AAC．325659C CCD．325659C CA二、多项选择题9．关于二项式622xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含3x项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k>且1k≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，()3,0A，圆C：()()22220x y r r-+=>上有且仅有一个点P满足2PA PO=，则r的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．511．已知函数()()()cos0,0f x xωϕωϕπ=+><<的部分图象与y轴交于点30,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，与x轴的一个交点为()1,0，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．6πϕ=B ．()f x 的最小正周期为6C ．()y f x =的图像关于直线52x =对称 D ．()f x 在50,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 12．已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()12120f x f x --+=，当[]0,12x ∈时，()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，实数i x 是关于x 的方程()()1,2,3,...f x m i ==的解，且i x 互不相等.则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期是12B ．()y f x =图象的对称轴方程为12x k =，k Z ∈C ．当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上有唯一解D ．当0m =时，存在1x ，2x ，3x ，4x ，使得1234x x x x +++的最小值为0 三、填空题 13．曲线sin xxy e =在点()0,0处的切线方程为______. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若636S =，2014126S S -=，则数列{}n a 的公差d =______. 15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()20P K k ≥0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82816．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是1AA 的中点，Q 是侧面正方形11BB C C 内的动点，当1D Q 平面PBD 时，点Q 的轨迹长度为______，若点Q 轨迹的两端点和点1C ，1D 在球O 的球面上，则球O 的体积为______.四、解答题17．在①3sin 3sin sin B C A ==，②23a ab b c==+，③33b c a ==，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______，43a =，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长.18．已知数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()2n n b n S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．在如图所示的多面体中，平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BP 的中点，且2AD =，22AP =，23PC =. （1）证明：EF ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PD C --的余弦值.20．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的离心率为22，直线l ：)6x ty t R =+∈与x 轴的交点为P ，与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：2211PMPN+是定值.21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X ，求随机变量X 的分布列和期望.22．已知函数()()ln sin f x x a x a R =-∈. （1）证明：当0a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； （2）当1a =时，不等式()ln x kx x f x e -≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，求实数k 的取值范围.三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1．B 【解析】方法一：因为()()12z i i i --=，所以()()()2121111i i i z i i i i i +-===-+--+，所以12z i =-+.故选B.方法二：设z a bi =+，所以()1z i a b i -=+-，因为()()12z i i i --=，所以12z i =-+.故选B. 2．C 【解析】因为{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，121log 12B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，所以() 112R AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 3．B 【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B. 4．A 【解析】依题意，()2,21a b λλλ+=--，又b 与()a b R λλ+∈垂直， 所以()()()2,212,10a b b λλλ+⋅=--⋅-=，即540λ-=，所以54λ=.故选A. 5．A 【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以ba=y =，结合选项可知，渐近线经过点(1,，故选A.6．C 【解析】方法一：因为α为锐角，sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以1cos cos cos cos sin sin 3333332ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.方法二：提示也可以把sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭展开，结合同角三角函数基本关系式来求解. 7．D 【解析】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC △中，所以tan 1A =-，所以sin 2A =，所以2ABC S =△.故选D. 8．A 【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选A. 二、多项选择题9．BCD 【解析】因为二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1x =可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为6264=，展开式的通项为()()2612316622rr r rrr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当4r =时，得常数项为240；当3r =时，可得3x 项，所以错误的应选BCD.10．AD 【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220x y rr -+=>上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得1r =或5r =.故选AD. 11．ABC 【解析】因为函数经过30,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以3cos ϕ=，所以6πϕ=，又因为1x =时，函数值为0，所以()262k k Z ππωπ+=+∈，又124T <<，所以42ππω<<，所以3πω=，所以()cos 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为6T =；当()2236k x k k Z πππππ≤+≤+∈，即在156,622k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈上单调递减，直线52x =是()f x 的一条对称轴.故选ABC. 12．BCD 【解析】因为函数是偶函数，且()()1212f x f x -=+，当[]0,12x ∈时，函数()f x 无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A 错误；因为0x =是函数的对称轴，且()()1212f x f x -=+，所以函数图象关于直线()12x x k Z =∈对称，故B 正确；当[]0,12x ∈时，结合()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的单调性和图像可知，当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上只有唯一解，故C 正确；当0m =时，总能找到两两关于y 对称的四个零点，使得12340x x x x +++=，若4个零点不关于y 对称时，12340x x x x +++>.其中正确的是BCD.三、填空题13．0x y -=【解析】因为()cos sin x x xe x xef x e-'=，所以()01f '=，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为0x y -=. 14．1514【解析】方法一：由等差数列性质前n 项和为公式可知， ()620141206162S S S a a +-=+=，所以12027a a +=，所以()12020202702a a S +==，又636S =，所以11251221927a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1514d =.方法二：2014614690S S S d --=⨯=，所以1514d =. 方法三：依题意，()()111165362614191262a a d a d a d ++⎧=⎪⎪⎨+++⎪=⎪⎩，解得1514d =.15．有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以()22200606040408100100100100K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，而87.879>，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关. 16．5；92π【解析】依题意，1D Q 平面PBD 时，点Q 是平面11BB C C 内的动点，所以可得1D 点与点Q 的轨迹构成的平面与平面PBD 平行，如图所示，因为P 是1AA 的中点，取1CC 中点0Q ，所以Q 点轨迹即为线段10B Q ，因为正方体棱长为2，所以105B Q =.球O 的直径就是10A Q ，长为3，故球O 体积为92π.四、解答题172333sin 33a a B C Abc a b b c ==⇔==⇔==+，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在ABC △中，因为3b c a ==，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为0A π<<，所以23A π=； 又BD 是角B 的平分线，所以12ABD π∠=，所以4ADB π∠=，在BDC △中，由正弦定理可得，sin sin CB BD BDC C =∠，即3sin sin 46BC BDππ=，所以BD =18．解：（1）因为数列{}1n a +是首项为2，公比2q =的等比数列，由等比数列的通项公式可得12nn a +=，所以21nn a =-（2）由（1）可知，()12122212n n n S n n +-=-=---所以122n n S n +++=，所以12n n b n +=⋅， 所以2311222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅①，由①×2可得，34221222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅② 由①－②可得，231222...22n n n T n ++-=+++-⋅，所以()2124n n T n +=-+19．解：（1）证明：取PC 中点G ，连接DG ，FG ，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，又2AD =，AP =2PD =，所以PCD △是等腰三角形，所以EFGD 为平行四边形，所以EF GD ，因为平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为矩形，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC DG ⊥， 所以PC DG ⊥，又BCPC C =，所以DG ⊥平面PBC ，所以EF ⊥平面PBC .（2）空间向量法：如图所示，在平面PDC 内，作DC Dy ⊥，分别以DC ，Dy ，DA 为x ，y ，z 轴，建立空间坐标系.所以()0,0,0D ，()2,0,0C ，()2,0,2B，()P -， 所以平面PDC 的法向量为()0,0,1m =，设平面PDB 的法向量为(),,n x y z =，()2,0,2DB =，()1,3,0DP =-，所以00DP nDB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22030x z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以()3,1,3n =，所以321cos ,77m n m n m n ⋅===⋅. 所以二面角B PD C --的余弦值为217. 立体几何法：如图，在平面PDC 内，作CM PD ⊥，垂足为M ，连接BM ，BMC ∠即为二面角B PD C --的平面角，再计算求余弦值即可 思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角B PD C --为θ，由BC ⊥平面PDC 得cos PBD PCD S S θ⋅=△△.20．解：（1）依题意可知，1b =， 又22e =，所以2a = 所以椭圆C 的标准方程2212x y += （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立22612x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得()222642033t t y y ++-=， ()22281632280333t t t =++=+>△恒成立，由韦达定理得()1222632t y y t +=-+，()122432y y t =-+，因此，()()()()()222121212222222222222121212211111111y y y y y y t y t y t y y t y y MP NP +-++=+==++++ ()()()()()()()()22222222222221618832323216931616316119292t t t t t t t t t +++++===⨯=+⋅+⋅++. 综上所述，22113MPNP+=.21．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以4322451111111812222222648P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）依题意，X 的可能取值为2，3，4，5，6.()211224P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2121113224P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33131115422216P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当5X =时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.()4511152228P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当6X =时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，()51162216P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为23456 3.54416816EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．解：（1）证明：因为()()ln sin f x x a x a R =-∈，所以()1cos f x a x x '=-，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当0a ≤时，()1cos 0f x a x x '=->恒成立，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增. （2）由题意，对0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，sin 0xe x kx -≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，()sin cos xxh x e x e x k '=+- 又设()sin cos xxm x e x e x k =+-，则()sin cos cos sin 2cos 0xxxxxm x e x e x e x e x e x '=++-=≥，因此()m x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增， 所以()()01m x m k >=-，①当1k ≤时，()0m x >，即()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，故有()()00h x h >=，即1k ≤适合题意.②当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ， 当()00,x x ∈时，()0m x <， 总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <， 即()0h x '<，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=， 故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意， 综上，实数k 的取值范围是(],1-∞. 第（2）题也可解答如下：()sin ln x x kx e x x f x k e x-≥⇔≤.设()sin xg x e x x =-，则()()sin cos 11104xx x g x ex x x e e π⎛⎫'=+-=+->-> ⎪⎝⎭，∴()sin xg x e x x =-在区间0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，即()()sin 00xg x e x x g =->=， ∴sin 1x e xx>. 而()()()000sin sin limlim lim sin cos 1x x x x x x e x e xe x x x x →→→'==+='， ∴实数k 的取值范围是(],1-∞.。
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二5月联考数学试题答案
高二数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ADBAADCBBDCB1.A 解析：A ＝[－1，12]，∴A ∩B ＝[0，12]．2．D解析：∵y ＝ln|x |－12x 2是偶函数，∴图像关于y 轴对称．又x >0时，f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，∴f (x )≤f (1)＝-12<0，故选D.3.B解析：z ＝4＋7i3＋2i＝2＋i ，故②③正确．4.A 解析：当l ∥α时可推出α⊥β；当α⊥β时，l 可能在α内，故选A.5.A解析：由已知c a ＝2b a ，∴c 2＝4b 2，a 2＝3b 2，e 2＝43，e ＝233．6.D 解析：含x 3的项为x C 25(－x )2×23＋(－1x )C 45(－x )4×2＝70x 3，故选D.7.C 解析：由已知及正弦定理得b a ＋c ＋c a ＋b ＝1，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°，∴AB →·AC →＝bc cos60°＝4，∴bc ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3.8.B 解析：y′＝(x ＋1)e x －a ，y ′|x ＝a ＝a ＋1＝3，a ＝2，y ＝x e x －2，将(2，2)代入切线方程得b ＝－4，∴a ＋b ＝－2.9.B 解析：EX ＝6×23＝4，DX ＝6×23×（1－23）＝43，EY ＝32×4－3＝3，DY ＝（32）2×43＝3，∴EY＋DY ＝6.10.D解析：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，若CA 同色，E 有4种颜色可选；若CB 同色，E 有4种颜色可选；若C 与A 、B 都不同色，则C 有2种颜色可选，此时E 有4种颜色可选，故共有5434=⨯⨯⨯⨯（4+4+2）960种.（当使用5种颜色时，有A 55＝120种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC ，BC ，AE ，BE ，CE ，共有5A 45＝600种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是AC 同色且BE 同色，AE 同色且BC 同色，ACE 同色，BCE 同色，共有4A 35＝240种涂色方法，∴共有120＋600＋240＝960种涂色方法）11.C解析：f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )＝0，x ＝0或x ＝a ，显然a ≠0，∵f (x )恰有两个零点，∴必有一个极值点为零点，只能是x ＝a 处，∴f (a )＝0，解得a ＝2，∴f (x )在x ＝0处取得极大值为43.又f (3)＝43，∴f (x )在[-3,3]上的最大值为43，故选C．12.B解析：由已知可得点F 在以AB 为直径的圆上，22,24,16,AF BF AB MF AF BF ∴⊥∴==+=2AF BF +∴≤，由抛物线的定义可得M 到C 的准线的距离为2AF BF +，故最大值为（或根据三角换元求最值）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2π314.352n15.16.64313．2π3解析：(a ＋2b )·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2＝16＋3a·b ＋8＝12，∴a ·b ＝－4，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－44×2＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3，即a 与b 的夹角为2π3.14．352n 解析：第7行从左到右数第4个数是15+20=35，第n 行的所有数字之和为（a+b ）n的展开式的所有项的二项式系数和2n ．15.解析：由f ′（x ）＝－2sin x ＋2cos2x －2＝－2sin x －4sin 2x ＝－4sin x （sin x ＋12）＝0得sin x ＝0或sin x ＝－12，即x ＝π或x ＝7π6.当x ∈（0，π）时，f ′（x ）<0；当x ∈（π，7π6）时，f ′（x ）>0；当x ∈（7π6，3π2]时，f ′（x ）<0，∴x 0＝π，∴tan （2x 0－π3）＝16．643解析：由已知可得球的半径r =3，设球心到四棱锥底面的距离为x ，棱锥的高为h ＝3＋x ，底面边长为2×32－x 2，P -ABCD 的体积)26)(3)(3(31)3)(9(2312x x x x x V -++=+-⨯⨯=≤313)(3)(62)64[]333x x x ++++-=（，当且仅当1=x 时等号成立.（或求导求最值）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解析：(1)当n ＝1时，a 21－2a 1－3＝0，∴a 1＝3；当n ＝2时，a 22－3a 2－10＝0，a 2＝5．由已知可得(a n ＋n )[a n －(2n ＋1)]＝0，∴a n ＝2n ＋1．（5分）（2）设b n ＝2a n，∴b n ＝22n ＋1，{b n }是公比为4的等比数列，S n ＝23＋25＋…＋22n ＋1＝8(1－4n )1－4＝83(4n－1)．（10分）18.解析：(1)连接AC ，交DM 于H ，连接NH ，∵M 是AB 的中点，∴AM :DC ＝AH :HC ＝1:2，∵PN :NC ＝1:2，∴PA ∥NH ，∵PA 平面MND ，NH ⊂平面MND ，∴PA ∥平面MND ．……5分（2）建立如图所示的空间坐标系，则P (0，0，6)，C (0，3，0)，N (0，1，263)，M (3，32，0)．→DM ＝(3，32，0)，→DN ＝N (0，1，263)，→CM ＝(3，－32，0)，→CN ＝(0，－2，263)，设平面DMN 的法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)x 0＋32y 0＝00＋263z 0＝0，令x 0＝1，则m ＝(1，－2，62)．设平面CMN 的法向量为n ＝(x，y ，z )x －32y ＝02y ＋263z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，2，6)，∴m •n ＝0，m ⊥n ，即二面角D －MN －C 的大小为90°．……12分19．解析：(1)由已知第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为C 1n 、C 2n 、C 3n ，∴2C 2n ＝C 1n ＋C 3n ，解得n ＝7或n ＝2(舍)，∴n ＝7．……4分令x=1可得展开式的所有项的系数和为73=3=2187n．……7分（2）展开式共8项，T r ＋1＝C r 7(3x )7－r(2x)r ＝2r C r 7x 7－4r3，当r ＝1，4，7为有理项，共3项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率P ＝A 55A 36A 88＝514.……12分20.解析：(1)由茎叶图可知分数在[50，60)的频数为4人，频率为0.01×10＝0.1，故全班人数有40.1＝40人，分数在[70，80)之间的人数为40－(4＋12＋8＋4)＝12人．(4分)(2)由已知可得抽取的分数在[70，80)的有3人，在[80，90)的有2人，在[90，100]的有1人，从中任取3人，共有C 36＝20种不同的结果，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝C 3320＝120，P(X ＝1)＝C 13C 2320＝920，P(X ＝2)＝C 23C 1320＝920，P(X ＝3)＝C 3320＝120.∴X 的分布列为X 0123P120920920120EX ＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(12分)BA PCD NMzxyH21．解析：(1)由已知可得2224,448b c a ===+=,∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．……4分（2）由已知可得k MF ＝－1，∴k ＝1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l ；y ＝x ＋m 代入C 方程得x 2＋2(x ＋m )2＝8，即3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，∴△＝2221612(2m 8)0,m 12m --><即，x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－83．∵AM ⊥BF ，∴k AM •k BF ＝－1，y 1－2x 1×y 2x 2－2＝－1，y 2(y 1－2)＋x 1(x 2－2)＝0，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝2m 2－83－4m 23＋m 2＝m 2－83，y 2＋x 1＝x 2＋m ＋x 1＝－m 3，∴m 2－83＋2×m 3＋2m 2－83＝0，解得m ＝－83或2(A 或B 与M 重合，舍)，∴l 的方程为y ＝x －83．…12分22.解析：(1)f′(x)＝2x ＋a －a x 22x ax a x+-=，x>0，令y=22x ax a +-,若△＝2a ＋8a ≤0，即－8≤a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )在(0，＋∞)递增；若a ＜－8，由f ′(x )＝0解得x ＝4a -±＞0，∴由f ′(x )＞0解得x ∈(0，4a --)∪(4a -+，＋∞)，此时f (x )的递增区间为(0，4a --)，(4a -，＋∞)，递减区间为(84a --，84a -+)；若a ＞0，由f ′(x )＝0解得x 1＝4a -<0，x 2＝4a -+>0，此时f (x )的递减区间为(0，4a -+)，递增区间为(4a -，＋∞)．（6分）(2)设g(x)＝f(x)－2x －1＝x 2＋ax －a ln x －2x －1，则g′(x)＝2x ＋a －ax －2＝2(x －1)＋a （x －1）x ＝（x －1）（2x ＋a ）x .当a ≤0时，g(1)＝a －2＜0，不成立；当a ＞0时，由g′(x)＝0得x ＝1，g(x)在x ＝1处取得最小值a －2＞0，∴a ＞2.(12分)。