【高考数学专题复习】专题7.3 复数的三角表示(原卷版)

专题7.3 复数的三角表示

运用一 代数式转为三角形式

12=-3i,z =1i 【例1】把复数z 表示成三角形式

【举一反三】

1.化下列复数为三角形式：

（1）2（sin π5 +icos π5 ）； （2）－２（－sin π5 ＋icos π5 ）； （3）－２（sin π5 －icos π

5 ）

运用二 三角式转代数式

【例2】把下列复数化成三角形式： （1）6（2）-5（3）2i （4）-i （5）-2+2i

【举一反三】

1.下面复数化为三角形式：（1）);5sin 5(cos 2ππ

i -（2）).5

sin 5cos (2π

πi +-

（3）)5sin 5(cos

2ππ

i +-；（4）)5

cos 5(sin 2π

πi +.

运用三 辅角主值

【例3】复数5

2sin

52cos 1π

πi ++-的辐角主值是多少.

【举一反三】

1、已知复数z 满足(z ＋1)(z ＋1)=|z|2

，且1

1

+-z z 是纯虚数. (1)求z ；(2)求z 的辐角主值.

2、满足z z 5+是实数,且z+3的辐角主值是4

3π的虚数z 是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,说明理由.

3、设虚数z1,z2满足2

1

z = z2.

(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2.

(2)若z1=1＋mi(m＞0,i为虚数单位)w=z2－2,w的辐角主值为θ,求θ的取值范围.

1．（2019·湖南高三（理））若θ为第二象限角．则复数cos sin

z i

θθ

=+（i为虚数单位）对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．（2019·上海师范大学附属外国语中学高二期末）若cos sin

z i

θθ

=+(R i

θ∈，是虚数单位),则22

z i

--的最小值是（）

A. C.1 D.1

3．（2019·湖南长沙一中高三月考）若,0

2

π

θ⎛⎫

∈-

⎪

⎝⎭

，则复数cos sin

z i

θθ

=+（i为虚数单位）对应的点在（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4．（2019·广东高二期末（理））在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）

A. B. C. D.

5、已知复数z满足等式

z

z1

-

＝

2

1

，且

6

arg

π

=

z，求z 。

6．（2019·上海格致中学高三）已知复数i

1i x y z +=

+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z 在第四象限，

且||z ≤

，那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于____

7．（2019·上海市建平中学高二期中）设复数12133z i z i =--=+，，若

)

2z i

R θθθ=++∈，，则12z z z z -+-的最小值为_________.

8．（2019·上海中学高三）已知复数z 的实部大于零，且满足)()cos sin z i R θθθ=+∈，2z 的虚部

为2．

（1）求复数z ；

（2）设22z z z z -、、在复平面上的对应点分别为,,A B C ，求AB AC ⋅uu u r uuu r

的值．

9．（2019·上海市建平中学高三）已知复数12sin z θ=，21(2cos )i z θ=+，i 为虚数单位，

[,]32

ππ

θ∈. （1）若12z z ⋅为实数，求θ的值；

（2）若复数1z 、2z 对应的向量分别是a r 、b r ，存在θ使等式()()0a b a b λλ-⋅-=r r r r

成立，求实数λ的取值范围.

10．（2018·上海交大附中高二期末）设1z +为关于x 的方程()2

0,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.

（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；

（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.

11、将下列复数代数式化为三角式：

（1）5

sin

5

cos

π

π

i +-； （2）θθcos sin i +.

（3）75cos 75sin π

πi -； （4）ααsin cos 1i ++ )2,0[πα∈.

12、把复数z 1与z 2对应的向量OA ,OB 分别按逆时针方向旋转4

π和35π

后,重合于向量OM 且模相等,已知

z 2=－1－3i,求复数z 1的代数式和它的辐角主值.