数字电子技术--第01章 逻辑代数基础 常用逻辑、公式和定理
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A ( B C ) ( A B) C
A ( BC) ( A B)( A C )
A( B C ) AB AC
AB A B
A B A B
A AB A
A( A B) A
吸收律
A( A B) AB
A A
A AB A B
入 B 0 1 0 1
输出 L 0 1 1 1
或逻辑表达式： L＝A+B
或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个
或一个以上条件具备，这件事情就发生。
3．非运算
R A
A
闭合
灯L
不亮 亮
V
L
不闭合
A
1
非逻辑真值表
L=A
A
0 1
L
1 0
非逻辑表达式：
AL
非逻辑——条件具备时事情不发生；条件不具备时事情 才发生。
名 称 公式1 一、逻辑代数的基本公式 0—1律 互补律 重叠律 交换律 结合律 分配律 摩根定理 公式2
A 1 A A0 0
A0 A
A 1 1
AA 0 A A A A B B A
A( BC) ( AB)C
A A 1
A A A A B B A
A B
（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例3.1.2 用真值表证明摩根定理
AB A B
A B
0 0
0 1 1 0
AB
1 1 1
A B
1 1 1
1 1
0
0
二、逻辑代数的基本规则
1 .代入规则
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式 两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在摩根定理中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
3 .反演规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →·； 0 → 1， 1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数，用
L 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数
例3.1.3 求函数 L AC B D 的反函数：
解： L ( A C) ( B D)
不闭合 不闭合 闭合 闭合
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
L
0 0 0 1
L A B
件事情才会发生。
与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这
2．或运算
A B
A
不闭合 不闭合
B
不闭合 闭合 不闭合 闭合 或逻辑真值表
灯L
不亮 亮 亮 亮
V
L
闭合 闭合
A B
≥1
L =A+B
输 A 0 0 1 1
1.1 基本概念、公式和定理
• 基本和常用逻辑
• 公式和定理
1.1.1
一、基本逻辑运算
1．与运算
设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0”
基本逻辑运算
A B
A & L =A· B B
V
L
A B 不闭合 闭合 不闭合 闭合 灯L 不亮 不亮 不亮 亮
与逻辑真值表 输 入 输出
灯亮，L=1
灯不亮，L=0 与逻辑表达式：
非运算组合 而成。
3．异或
异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时， 逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。 异或的逻辑表达式为： L A B
“异或”真值 表 输 入 输出 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 0 1 1 0
A B
=1
L=A + B
基 本 公 式 1.1.2 公式和定理
二、其他常用逻辑运算
1．与非 —— 由与运算 和 非运算组合而 成。
“与非”真值 表 输 入 输出
A
0 0 1 1
B
0 1 0源自文库1
L
1 1 1 0
A B
&
L=A· B
2．或非 ——
“或非”真值 表 输 入 输出 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 0 0 0
A B ≥1 L=A+B
由或运算和
ABC A BC A B C
2 .对偶规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1， 1 → 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 L 表示。
'
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等， 那么它们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶 式。
还原律
重要公式：
AB+ A C +BC= AB+ A C
公式的证明方法：
（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。
例3.1.1 证明吸收律 A AB A B 证：A AB A( B B) AB AB AB AB AB AB AB AB
A( B B) B( A A)
A ( BC) ( A B)( A C )
A( B C ) AB AC
AB A B
A B A B
A AB A
A( A B) A
吸收律
A( A B) AB
A A
A AB A B
入 B 0 1 0 1
输出 L 0 1 1 1
或逻辑表达式： L＝A+B
或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个
或一个以上条件具备，这件事情就发生。
3．非运算
R A
A
闭合
灯L
不亮 亮
V
L
不闭合
A
1
非逻辑真值表
L=A
A
0 1
L
1 0
非逻辑表达式：
AL
非逻辑——条件具备时事情不发生；条件不具备时事情 才发生。
名 称 公式1 一、逻辑代数的基本公式 0—1律 互补律 重叠律 交换律 结合律 分配律 摩根定理 公式2
A 1 A A0 0
A0 A
A 1 1
AA 0 A A A A B B A
A( BC) ( AB)C
A A 1
A A A A B B A
A B
（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。 例3.1.2 用真值表证明摩根定理
AB A B
A B
0 0
0 1 1 0
AB
1 1 1
A B
1 1 1
1 1
0
0
二、逻辑代数的基本规则
1 .代入规则
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式 两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在摩根定理中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
3 .反演规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →·； 0 → 1， 1 → 0 ； 原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数，用
L 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数
例3.1.3 求函数 L AC B D 的反函数：
解： L ( A C) ( B D)
不闭合 不闭合 闭合 闭合
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
L
0 0 0 1
L A B
件事情才会发生。
与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这
2．或运算
A B
A
不闭合 不闭合
B
不闭合 闭合 不闭合 闭合 或逻辑真值表
灯L
不亮 亮 亮 亮
V
L
闭合 闭合
A B
≥1
L =A+B
输 A 0 0 1 1
1.1 基本概念、公式和定理
• 基本和常用逻辑
• 公式和定理
1.1.1
一、基本逻辑运算
1．与运算
设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0”
基本逻辑运算
A B
A & L =A· B B
V
L
A B 不闭合 闭合 不闭合 闭合 灯L 不亮 不亮 不亮 亮
与逻辑真值表 输 入 输出
灯亮，L=1
灯不亮，L=0 与逻辑表达式：
非运算组合 而成。
3．异或
异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时， 逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。 异或的逻辑表达式为： L A B
“异或”真值 表 输 入 输出 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 0 1 1 0
A B
=1
L=A + B
基 本 公 式 1.1.2 公式和定理
二、其他常用逻辑运算
1．与非 —— 由与运算 和 非运算组合而 成。
“与非”真值 表 输 入 输出
A
0 0 1 1
B
0 1 0源自文库1
L
1 1 1 0
A B
&
L=A· B
2．或非 ——
“或非”真值 表 输 入 输出 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 0 0 0
A B ≥1 L=A+B
由或运算和
ABC A BC A B C
2 .对偶规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1， 1 → 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 L 表示。
'
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等， 那么它们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶 式。
还原律
重要公式：
AB+ A C +BC= AB+ A C
公式的证明方法：
（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。
例3.1.1 证明吸收律 A AB A B 证：A AB A( B B) AB AB AB AB AB AB AB AB
A( B B) B( A A)