工程力学1期中大作业参考答案_787005448

球 M 按规律 q A1M = s = 3π t 运动。试求当 t = 2s 时，小球 M 的速度与加速度大小。
O1
ϕ
A
A1 θ O r
M
O2 B
解： （1）速度分析 如图 1： θ =
AM 1 π s q = 1 = π t 2 ，t=2s 时， θ = ϕ = 。 r r 8 2
选 M 为动点，AB 为动系，则牵连运动为平动，M 点相对运动为圆周运动，由点的复合 运动有：
ae arn art
2 s = 3π ， arn = = 6π 2 ， art = s = 6π ，M点加速度大小为： 其中， ae = lϕ r
2 2
2 a M = (ae + arn ) 2 + art = 90.8cm/s 2
v M = 0 ， a M = 90.8cm/s 2
∴ P = 4.53kN
所以顶起立柱所需 P 为 4.53kN。
3.（5 分）大圆轮半径为 R，以 θ = θ (t ) 在地面上作纯滚动，OP 为垂线；小圆轮半径为 r，
轮心为 A，相对大圆轮作纯滚动，OA 与 OP 夹角 ϕ = ϕ (t ) ，如图所示。则小圆轮的绝对角 速度为（ ） 。
解法 1： 求导法 设初始时刻大圆上 B 点与小圆上 D 点重合，且 B 处于最低点 P 处。设在任意时刻，AC 与垂线的夹角为 ϕ ， AD 与垂线的夹角为β，如图所示。根据纯滚动条件有
ω=
v A⊥ − vC ⊥ , AC
ω=
利用 cos ϕ + 2sin (ϕ / 2) = 1 ，得
2
ω=
+ Rθ ( R − r )ϕ r
解法 4： 复合运动法 在大圆轮上建立平动系 Oxy，见图。根据角速度合成公式，相对平动坐标系的角速度等 于绝对角速度。
。大圆轮也作定轴转动，角速度为 θ 2 。 在动系中看，OA 连线作定轴转动，角速度为 ϕ
xA = v ，
由几何关系，有
⋅
(4)
x A tan θ = h
x A tan θ + x A sec 2 θ θ = 0
⋅⋅ ⎛⋅⎞ x A tan θ + 2 x A sec θ θ + 2 x A sec θ tan θ ⎜ θ ⎟ + x A sec 2 θ θ = 0 ⎝ ⎠ ⋅⋅ ⋅ 2 ⋅ 2 2
杆自重，销钉 A，B 穿透各构件。试求杆 BC 所受力及杆 AB 所受力。
解：
首先取整体，其受力图如图(a)所示，由
∑F
得
x
=0
FAx = 0
∑M
得
E
=0
F ⋅ ( b − x ) − FAy ⋅ b = 0
b−x F b
FAy =
取销钉 A，其受力如图(b)所示，由
∑F
x
=0
FAx + FADCx = 0
p = DC p BC R (θ + ϕ ) = r (ϕ + β )
β=
对上式求导得
R (θ + ϕ ) − ϕ r
= ω=β
+ Rθ R ( R − r )ϕ ) −ϕ = (θ + ϕ r r
解法 2： 复合运动法 设动系与 OA 连线固连。在动系中看，两轮都作定轴转动。按实际转动方向画出角速度 方向，如图所示。容易看出： 牵连角速度为
工程力学 I 期中大作业参考答案
二．填空题（共 3 题，20 分） 1.（10 分：4+1+4+1）细杆 AB 靠在高为 h 的墙角上，杆的下端 A 沿地面以匀速 v 做直线运
动，求杆上 AM = l (l = 2h) 的点 M 在通过墙角 C 时杆的角速度大小为（ 为（ ） ，角加速度大小为（ ） ，转向为（ ） 。 ） ，转向
1 vc = PC ⋅ θ = 2 R sin( ϕ )θ 2
对小轮而言，已知 A、C 两点的速度，可以利用基点法求出角速度
(vr + ve ⋅ cos ϕ ) − (−vc ⋅ sin(ϕ / 2)) r cos ϕ + 2 Rθ ⋅ sin 2 (ϕ / 2) + Rθ ( R − r )ϕ ω= r
答案： 解 取坐标 Oxy,点 M 的矢径
r ( t ) = ( xA − l cos θ ) i + l sin θ j
式（1）对时间求导得到点 M 的速度
⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ v = r = ⎜ x A + l sin θ θ ⎟ i + l cos θ θ j ⎝ ⎠
(1)
(2)
又，由题意知
铅垂方向：
Q
F1
P
F
N cos 50 − F sin 50 − Q = 0 Q ∴N = 0 cos 5 − f sin 50
水平方向： P − F1 − F cos 5 − N sin 5 = 0
0 0
N
N
F
F1
Q
P
P − F1 − F cos 50 − N sin 50 = 0 P = 2 + N (0.4 cos 5 + sin 5) 2 cos 5 + 5sin 5 P = 2+ cos 5 − 0.4sin 5 20 cos 5 + 21sin 5 P= 5cos 5 − 2sin 5
ω = 2 rad/s ，角加速度 ε = 1rad/s 2 ，OM = b = 1 m。试求图示位置时 O1 A 的角速度和角加
速度。
O1
A
45D
O
ε
B M
ω
O2
C
解 （1）选 M 点为动点，动系与 OC 滑道固连，则 M 点速度矢量图如图（2） ，有点的速度合 成定理
M
45D 45D
vr ve
ω 2 a = ω 2 r − ωe =
解法 3： 基点法(见图)
首先可以求出 O 点速度：
v0 = Rθ
以 O 为基点，将 OA 连线看成刚性杆，则 A 点的速度为
v A = ve + v r
, v = ( R − r )ϕ 其中 ve = Rθ r
P 点为大轮的瞬心，可求出 C 点速度为
x
aτ e
aen
n aa
45D
ar
aa
(3)
τ
ak
其中
n 2 aa = lωO 1 =
16 m/s 2 3
aen = 4 m/s 2
τ ae = 1m/s 2
ak = 2vrω = 8 m/s 2
加速度向图示 x 方向投影有
n D τ aa cos 45D − aτ a cos 45 = ae − ak
因此
v Ar = ( R − r )ϕ v = Rθ
Cr
由于这两个速度都垂直于 AC 连线，因此在动系中得角速度为
ω=
+ Rθ v Ar − (−vCr ) ( R − r )ϕ = r r
三．计算题（20 分）
已知：尺寸 a, b, 作用在 BC 杆上的铅直力 F 距 B 点距离为 x，C，E 处为光滑接触，不计各
⋅ ⋅
(5) (6) (7)
当点 M 通过墙角 C 时， l sin θ = h ， x A = l cos θ ，代入式（6）和式（7）得
θ M = − vh l 2 = −
⋅
v 2l
(8)
θM
所以杆角速度： ω =
⋅⋅
2v 2 h 2 3 v2 2 l −h = = 4 l 2 l2
(9)
v 3 v2 ，转向为逆时针。杆角加速度： ε = ，转向为顺时针。 2l 2 l2
ωe = ϕ
大轮的绝对角速度为
ω1a = θ
对大轮有
ω1a = ω1r − ωe
+ϕ ω1r = θ
利用传动比关系有
ω2 r R = ω1r r ω2 r =
对小轮有
R R ) ω1r = (θ + ϕ r r
+ Rθ R ( R − r )ϕ ) − ϕ = (θ + ϕ r r
2.（5 分）两块顶角为 50 的尖劈是用来调整立柱的位置，立柱上作用有 5 kN 的垂直荷载，
已知各滑动接触面间的静摩擦系数为 0.40（不考虑立柱与墙面间的滚动摩擦） ，则向上顶动 立柱所需的力 P 至少应为（ ） 。
5 kN
P
50
50
P
解：因对称受力，所以二尖劈同时滑动，分析其受力：
F1 = fQ = 2 kN F = fN
va
(2)
v a = ve + vr
其中
ve = bω = 2 m/s vr = ve = 2 m/s
而
ve = va cos 45D
va = ωO1l
所以
ωO1 =
ωb
l cos 45D
= 1.89 rad/s
（2）M 加速度矢量图如图（3） ，由点的加速度合成定理
aa = aen + aτ e + ar + ak
v M = ve + vr ，
ve
x
vr
t=2s 瞬时关系如图 2。其中， ve
= 12π = lϕ
，方向竖直向上， vr
= 6π t = 12π ， =s
方向竖直向下。M 点加速度大小为：
vM = ve − vr = 0
（2）加速度分析
a M = ae + a r + ac
动系平动，科氏加速度为零。加速度关系参见图 2：
所以
ε O1 = 10.2 rad/s 2
五．计算题（20 分）
平行四边形铰链机构如图所示， O1O2 = AB , O1 A = O2 B = l = 48 cm ，在机构平面内杆 AB 中间固连一半径 r = 24 cm 的圆形细管。假设曲柄 O1 A 绕轴 O1 按规律 ϕ =
2
π
4
t 转动，管内小
∑M
得
D
=0
′ = FADCy
最后对图(b)，由
x F b
∑F
由
y
=0
FAB + FAy + FADCy = 0
FAB +
得
b−x x F+ F =0 b b
FAB = − F
即 AB 杆受压力，其大小为 F，且与位置 x 无关。
四．计算题（20 分）
已 知 O1 A = O2 B = l = 1.5 m ， 且 O1 A 平 行 于 O2 B ， 图 示 位 置 ， 滑 道 OC 的 角 速 度
得
FADCx = 0
取 BC 杆，其受力图如图(d)所示，由
∑M
得
BLeabharlann =0FC′ ⋅ b − F ⋅ x = 0 FC ′ = x F b
由主向量为零易得：
FBx = 0,
取 ADC 杆，其受力图如图(c)所示，由
x FBy = F (1 − ) b b b ′ ⋅ − FC ⋅ = 0 FADCy 2 2