专题训练-常见数列的求和

专题训练－常见数列的求和

德阳二中 谢超强 在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。下面介绍既非等差数列又

非等比数列的某些数列前n 项和的求法。 一、分组求和法

某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。

例1：求数列3

11，912

，2713，…，)3

1n n +（，…的前n 项和。 解：n S ＝311＋912＋271

3＋…＋)3

1n n +（

＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)3

1

2719131(n ++++

=

3

11)

311(312

)1(--++n n n =)3

1

1(21)1(21n n n -++

二、聚合法

有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。 例2：求数列 ,2

221,,221,21,11

2

2

-+++++++n 的前n 项和。

解：∵122

1212

22112

-=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321

=)12()12()12()12(3

2

1

-++-+-+-n

=n n

-++++)2222(3

2

1

=

222

1)

21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法

这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。 例3．求数列

,)

1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯⨯n n 的前n 项和。

解：∵)1

1

1(6)1(6+-=+=

n n n n a n

∴n n a a a a S ++++= 321

＝)1

11(

6)4131(6)31

21(6)2111(6+-++-+-+-n n ＝1

6)111(6+=

+-n n

n 四、倒序法

等差数列前n 项公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而求得等差数列的前n 项和，这种方法就是倒序法。 例4．已知函数f(x)满足对一切实数x ，有21)1()(=

-+x f x f ，记++=)1

()0(n

f f a n )()1()2(n

n

f n n f n f +-++ ，求n a 。 解：∵++=)1()0(n f f a n )()1()2(n n

f n n f n f +-++

∴)0()1

()2()1()(f n

f n n f n n f n n f a n +++-+-+=

上两式相加，得

)]0()([)]1()1([)]1()1([)]()0([2f n n

f n f n n f n n f n f n n f f a n +++-++-+++=

＝

2

1

12

12121个

++++n

＝21

+n ∴4

1

+=n a n

五、错位相减法

已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，则数列}{n n b a •的前n 项和一般采用错位相减法求。其操作过程如下：

∵n n n b a b a b a b a S ++++= 332211

＝1

112

111111])1([)2()(--+++++++n q

b d n a q b d a q b d a b a

∴n

n q b d n a q b d a q b d a q b a qS 1131121111])1([)2()(-+++++++=

上两式相减，得：

n n n q b d n a q db q db q db b a S q 111121111])1([)1(-+-++++=--

＝n n q b d n a q

q q q db b a 112

2111])1([)1(-+-++++-

＝n n q b d n a q

q q db b a 111

111])1([11-+---⨯

+- ∴q q b d n a q q q db q b a S n

n n --+-

--+-=-1])1([)1()1(1112

1111 例5．求数列 ,)12(,,5,3,11

2

--n a

n a a 的前n 项和)1(≠a S n 。

解：1

2)12(531--++++=n n a n a a S ① ∴n

n a n a a a aS )12(5332-++++= ② ①＋②，得n

n n a n a a a S a )12(2221)1(12--++++=--

＝n n a n a

a a )12(1)1(21

2---++++-

＝n n

a n a

a )12(1112-----⨯

∴a a n a a S n n n -+----=11

)12()

1()1(22

练习题：

一、基础训练 1．

=+-++⨯+⨯+⨯)

12)(12(1751531311n n （ C ） (A)

122+n n (B)122-n n (C)12+n n (D)12-n n

2．n +++++

++++++ 3211

32112111＝（ B ） （A ）1+n n （B ）12+n n (C)n n )1(2- (D)1

2-n n

3．数列}{n a 中，)34()1(1

--=+n a n n ，其前n 项和为n S ，则1122S S -等于（C ）

(A) -85 (B) 85 (C) -65 (D)65 4．数列,,21)

12(,,815,413,211 n

n -前n 项和是n n 2112

-+。

5．数列9，99，999，…， 个

n 9999，…的前n 项和是n n

--)110(9

10 。