复变函数1.2 复数的种表示

(1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 复
数
|z| x2y2;
与
复
变
函
数
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y
y |z|
zxyi
argz
O
x
x
§1.2 复数的几种表示
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第 一、复数的几何表示
一 章
3. 相互转换关系
(1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 复
y
y |z|
zxyi
数 与
(2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 O
两个复数的商的 模等于它们的模的商；
幅角等于它们幅角的差。
§1.2 复数的几种表示
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第 例 计算 i .
zxyi
与 复
对应关系(复数零对应零向量)。
O
x 实轴
变 函
引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。
数
比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
§1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角 P5
将复数和向量对应之后，除了利用
复
数
实部与虚部来给定一个复数以外，
复
设 z1r1ei1, z2r2ei2,
y
z1 z 2
数 与 复
除法
z1 z2

r1 eiθ1 r2 eiθ2
e r1 i(θ1-θ2) .
r2
变
函 数
即 z1 | z1 | , z2 | z2 |
z2
z1
2 1
z1
x
z2
Ar (zzg 1 2)Ar z1g -Ar z2g . (在集合意义下)
argz x
x
复
x|z|cos(az)rg|z|coA s(zr);g
变
函
y|z|sin(az)r g|z|siA n(zr).g
数
由此引出复数的三角表示式。
§1.2 复数的几种表示
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第 二、复数的三角表示和指数表示
一 章
1. 复数的三角表示
P9
y
复
如图，由 xrco,syrsin, y
注 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
§1.2 复数的几种表示
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第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z0, 设有满足：
复 数
Arzg且 -ππ,
与 复
则称 为复数 z 的主辐角，记作 arzg.
变
函
由此就有如下关系：
数
A z r ag z r 2 k g π ,k 0 , 1 , 2 , .
复
数
表示复数 zxiy,从而将全体复数和平面上的全部点
与 复
一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者
变
z 平面。此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
函
数
§1.2 复数的几种表示
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第 一、复数的几何表示
一 章
1. 复平面
虚轴
在复平面上，从原点到点 zxiy y
复
数
所引的向量与该复数 z 也构成一一
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第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角
两点说明
复
数
(1) 辐角是多值的，相互之间可相差 2kπ, 其中 k 为整数。
与 复
(2) 辐角的符号约定为：
z
y
变
逆时针取正号，顺时针取负号。

函
数 例如 对于复数 z-1i,则有 |z| 2,
-
x
Arzg3π2kπ, k 0 , 1 , 2 , . 4
zxyi
数
有 zrc o isrsin
r
与 复
r(c oiss i)n .

O
x
x
变
函 定义 设复数 z0, r 是 z 的模，是 z 的任意一个辐角，
数
称 z r(c o iss i)n 为复数 z 的三角表示式。
§1.2 复数的几种表示
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第 二、复数的三角表示和指数表示
y
z1 z 2
z2
z1
2 1
x
A ( z 1 r z 2 ) g A z 1 r A g z 2 .r (在集g 合意义下?)
(集合意义)
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积；
幅角等于它们幅角的和。
§1.2 复数的几种表示
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第 二、复数的三角表示和指数表示
一 章
3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算
与
还可以借助向量的长度与方向来给
复
变
定一个复数。
函
数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
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y
y r

O
zxyi
x
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z | .
(2) 向量 z 的“方向角” 称为复数 z 的辐角，记为Argz.
(?)
§1.2 复数的几种表示
§1.2 复数的几种表示
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第
一 章 解 |z|1 244,
复
arzgarct(an 2 )π
数
- 12
与 复
-arctan1 π
- 12
变
3
函 数
- π π 5 π .
6
6
y
2 π
x
复数 z的三角表示式为 z4(co5π sisi5 n π).
6
6
5π i
复数 z的指数表示式为 z 4e 6 .
§1.2 复数的几种表示
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第 二、复数的三角表示和指数表示
一 章
3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 P10 、补
复
设 z1r1ei1, z2r2ei2,
数
与 乘法 z1z2 r 1e iθ 1r2e iθ 2
复
变 函
e r1r2 i(θ1θ2).
数
即 |z 1 z 2 | |z 1 ||z 2 |,
一 章
2. 复数的指数表示
补
(欧拉公式)
复
利用欧拉公式 eic o s isin 得
数 与
z r(c o iss i)n rei .
复
变 定义 设复数 z0, r 是 z 的模，是 z 的任意一个辐角，
函 数
称 z rei 为复数 z 的指数表示式。
注 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的， 但习惯上一般取为主辐角。
§1.2 复数的几种表示
第
一
章
复
解
z 2i 2(1-i) -3-i. 1-i i
数
与 复
-3
|z|(- 3)2(- 1)21,0
变 函
arzgarct(- a1n)-π
数
-3
arctan1 -π. 3
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y
π
-π
x
-1
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第 一、复数的几何表示
一 章
3. 相互转换关系 P7
§1.2 Biblioteka Baidu数的几种表示
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第 一
§1.2
复数的几种表示
章 一、复数的几何表示
复 数
二、复数的三角表示和指数表示
与 复
三、复数的乘幂与方根
变 四、几个关系
函
数
§1.2 复数的几种表示
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第 一、复数的几何表示
一 章
1. 复平面
P4
定义 在平面上建立一个直角坐标系，用坐标为 (x, y)的点来