2021年四川省成都市新都区九年级一诊(上学期期末)数学试题
2020-2021成都市初三数学上期末一模试题及答案
A． B． 或 C．2或 D．2或 或
12．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论．
【详解】
解：设抛物线y=2（x-3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1，
∴k=2，
故选A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．
（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；
（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝1D．不存在实数根
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤ =b2-4ac<0中，成立的式子有( )
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷(附答案详解)
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作()A. −13℃B. −10℃C. −7℃D. +7℃3.下列计算正确的是()A. a2⋅a4=a8B. a−2=−a2C. (a2)4=a8D. a4÷a4=a4.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE//BC交AC于点E，AD=3，BD=2，则AE与EC的比是()A. 9：4B. 3：5C. 9：16D. 3：25.如图所示，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABO=20°，∠ACO=30°，则∠BOC=()A. 100°B. 110°C. 125°D. 130°6.如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是()A.B.C.D.7.习近平总书记提出了五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11600000人，将数据11600000用科学记数法表示为()A. 1.16×106B. 1.16×107C. 1.16×108D. 11.6×1068.一个足球队23名队员的年龄统计结果如下表所示，这个足球队队员年龄的众数，中位数分别是()年龄/岁1213141516人数/人24575A. 14，15B. 14，14C. 15，13D. 15，159.若点A(m,y1)，点B(m+a2+1,y2)都在一次函数y=5x+4的图象上，则()A. y1<y2B. y1=−y2C. y1>y2D. y1=y210.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论：①a<0；②2a+b=0；⑧b2−4ac<0；④4a+2b+c<0.其中正确的有()A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个11.计算：(2021−π)0=______ ．12.将点P(−3,1)向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为______ ．13.如图，在平行四边形ABCD中，AB//CD，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，MNAD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q，若∠D=110°，则∠AQD的度数为______ ．14. 若关于x 的方程x+m x−4+3m 4−x =3的解为正数，则m 的取值范围是______ ．15. (1)计算：3tan30°−√12−√2sin45°+3√13． (2)解不等式组：{3(x −2)≤4①x +1>2x−15②．16. 如图，从楼层底部B 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是53°，从楼层顶部A 处测得旗杆CD 的顶端D 处的仰角是45°，已知楼层AB 的楼高为3米.求旗杆CD 的高度约为多少米？(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43.)17. 先化简，再求值：(1+m m 2−m )÷m 2−1m 2−2m+1，其中m 从−1、0、1、2这四个数中选取．18.某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生做为样本进行调查．根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图，并求D类所对应扇形的圆心角的大小；(2)已知D类中有2名女生，从D类中随机抽取2名同学，求抽到“一男一女”的概率．(x>0)的图象分别交于点19.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kxA(m,3)和点B(6,1)，与y轴交于点C．(1)求m的值；(2)求直线AB的解析式；(3)若线段OC的垂直平分线交双曲线于点M，交直线AB于点N，求线段MN的长．20.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°.以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D，连接BD.点E为⊙O上一点，且CE=CB，连接EO并延长交CB的延长线于点F．(1)求证：△ADB∽△ABC；(2)求证：CE是⊙O的切线；(3)若AD⋅AC=36，BF=4，求AC的长．21.若二次根式√x+2有意义，则x的取值范围为______．22.设α、β是方程x2+2x−2021=0的两根，则α2+3α+β的值为______ ．23.如图，有A、B、C三类长方形(或正方形)卡片(a>b)，其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是______．24.如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若AB=4，则PC长的最小值为______ ．25.平面直角坐标系xOy中，矩形ABOC的顶点A(4,3)，点B在x轴上，双曲线y=kx−1(k>0)分别交两边AC，AB于E、F两点(E、F不与A重合)，沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合.若折叠后，△ABD是等腰三角形，则此时点D的坐标为______ ．26.某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，若每箱销售80元，每星期可卖200箱.为了促销，该水果店决定降价促销.市场调查反映：若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱.设该苹果每箱售价x元(50≤x≤80)，每星期的销售量为y 箱．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？27.如图，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF．(1)当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？(直接写出答案)(2)若矩形ABCD的周长为20，求四边形AEDF的面积的最大值；(3)若AB=m，且存在点E，使四边形AEDF能成为一个矩形，求BC的取值范围．28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使∠CMN=90°，且△CMN与△BOC相似，若存在，请直接写出点M的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】B【解析】解：若气温升高3℃时，气温变化记作+3℃，那么气温下降10℃时，气温变化记作−10℃．故选：B．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．本题主要考查了理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量，比较简单．3.【答案】C【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故本选项不合题意；B、a−2=1，故本选项不合题意；a2C、(a2)4=a8，故本选项符合题意；D、a4÷a4=1，故本选项不合题意；故选：C．分别根据同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题主要考查了负整数指数幂，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，AD=3，BD=2，∴AEEC =ADDB=32，故选：D．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×20°=40°，同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=100°．故选：A．过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC=2∠ABO+2∠ACO．本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．6.【答案】D【解析】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，故选：D．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7.【答案】B【解析】解：11600000=1.16×107．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.【答案】D【解析】解：这组数据中出现次数最多的是15，所以这组数据的众数是15，这组数据中第12个数据是15，所以这组数据的中位数是15，故选：D．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．9.【答案】A【解析】解：∵a2≥0，∴a2+1>0，∴m<m+a2+1．∵k=5>0，∴y随x的增大而增大，∴y1<y2．故选：A．由偶次方的非负性可得出a2≥0，进而可得出m+a2+1>m，由k=5>0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出y1<y2．本题考查了偶次方的非负性以及一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：①由图可得，∵抛物线开口向下，∴a<0，故①正确；=1，②∵该抛物线的对称轴x=−b2a∴2a+b=0，故②正确；③∵抛物线与x轴的交点有2个，∴△=b2−4ac>0，故③不正确；④由图可得，当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故④不正确；综上所述，正确的个数是2个，故选：C．根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点即可求解．本题考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点，解题的关键是判断出a、c的正负性．11.【答案】1【解析】解：(2021−π)0=1．故答案为：1．直接利用零指数幂的性质计算得出答案．此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．12.【答案】(−3,3)【解析】解：将点P(−3,1)向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为(−3,1+2)，即(−3,3)，故答案为：(−3,3)．根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加可得结论．本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．13.【答案】35°【解析】解：由作图可知，AQ平分∠DAB，∴∠DAQ=∠QAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，∴∠QAB=∠AQD，∴∠DAQ=∠AQD，∵∠D=110°，∴∠AQD−∠DAQ=12(180°−110°)=35°，故答案为35°．证明∠DAQ=∠AQD即可解决问题．本题考查作图−基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.【答案】m>−16且m≠4【解析】解：x+mx−4+3m4−x=3，去分母得，x+m−(x−4)=3(x−4)，整理得，3x=m+16，解得，x=m+163，∵分式方程的解为正数，∴m+163>0且m+163≠4，∴m>−16且m≠4．故答案为：m>−16且m≠4．先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．15.【答案】解：(1)原式=3×√33−2√3−√2×√22+3×√33=√3−2√3−1+√3=1；(2)解不等式①，得：x≤103，解不等式②，得：x>−2，则不等式组的解集为−2<x≤103．【解析】(1)先代入三角函数值、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.【答案】解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：则BC=AE，∠AED=90°，由题意得：∠DAE=45°，∠DBC=53°，AB=3米，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE，设BC=AE=DE=x米，则CD=(x+3)米，∵tan∠DBC=CDBC =tan53°≈43，∴x+3x ≈43，解得：x≈9，∴CD=9+3=12(米)，答：旗杆CD的高度约为12米．【解析】过A作AE⊥CD于E，则BC=AE，∠AED=90°，先证△ADE是等腰直角三角形，得AE=DE，设BC=AE=DE=x米，则CD=(x+3)米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17.【答案】解：原式=m2−m+mm(m−1)⋅(m−1)2 (m+1)(m−1)=m2m(m−1)⋅(m−1)2(m+1)(m−1)=mm+1，当m=−1，0，1时，原式没有意义；当m=2时，原式=23．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：抽查的人数为：20×40%=50(人)，∴C类的人数为50−15−20−5=10(人)，D类所对应扇形的圆心角的度数为：360°×550=36°，补全条形统计图如下：(2)画树状图如图：共有20个等可能的结果，抽到“一男一女”的结果有12个，∴抽到“一男一女”的概率为1220=35．【解析】(1)先求出调查人数，再求出C类的人数，即可求解；(2)画树状图，共有20个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．19.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)的图象过点B(6,1)，∴k =6×1=6，∴反比例函数的解析式为y =6x ．又∵点A(m,3)在反比例函数y =6x 的图象上，∴m =63=2．(2)将点A(2,3)，B(6,1)代入y =ax +b 得：{2a +b =36a +b =1， 解得：{a =−12b =4， ∴直线AB 的解析式为y =−12x +4．(3)当x =0时，y =−12×0+4=4，∴点C 的坐标为(0,4)，∴线段OC 的垂直平分线为y =2．当y =2时，6x =2，解得：x =3，∴点M 的坐标为(3,2)；当y =2时，−12x +4=2，解得：x =4，∴点N 的坐标为(4,2)，∴MN =4−3=1．【解析】(1)由点B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m 的值；(2)由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式；(3)利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出点M ，N 的坐标，进而可求出线段MN 的长．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出反比例函数解析式；(2)根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB 的解析式；(3)利用反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征，分别求出点M ，N 的坐标． 20.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠ABC =90°，∴∠ADB=∠ABC，又∵∠BAD=∠CAB，∴△ADB∽△ABC；(2)证明：在△OBC和△OEC中，{OB=OE OC=OC BC=CE，∴△OBC≌△OEC(SSS)，∴∠OBC=∠OEC=90°，∴OE⊥EC，∴CE是⊙O的切线；(3)解：∵△ADB∽△ABC，∴ABAC =ADAB，∴AB2=AD⋅AC，∵AD⋅AC=36，∴AB=6，∴OB=3，∴OF=√OB2+BF2=√32+42=5，设CE=BC=x，在Rt△CEF中，CE2+EF2=CF2，∴x2+82=(x+4)2，∴x=6，∴BC=6，∴AC=√AB2+BC2=√62+62=6√2．【解析】(1)由圆周角定理可得出∠ADB=∠ABC，根据相似三角形的判定方法可得出结论；(2)证明△OBC≌△OEC(SSS)，由全等三角形的性质得出∠OBC=∠OEC=90°，则可得出结论；(3)由相似三角形的性质得出AB2=AD⋅AC，求出AB=6，由勾股定理求出OF的长，求出BC=6，则可得出答案．本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】x≥−2【解析】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥−2．故答案为：x≥−2．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．22.【答案】2019【解析】解：根据题意知，α2+2α−2021=0，即α2+2α=2021．又∵α+β=−2．所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2021−2=2019．故答案是：2019．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系作答．本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．23.【答案】13【解析】解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：甲乙、甲丙、乙丙，∵a2+2ab+b2=(a+b)2，∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为(a+b)的正方形，∴能拼成一个正方形的概率为13，故答案为：13．依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为(a+b)的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为13．本题考查列表法与树状图法、完全平方公式的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.【答案】2√5−2【解析】解：由题意得：BM=CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM=∠BCN=90°，AB=BC=4，在△ABM和△BCN中，{AB=BC∠ABM=∠BCN BM=CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM=∠CBN，∵∠ABP+∠CBN=90°，∴∠ABP+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧BG⏜，是这个圆的14，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB=4，∴OP=OB=2，由勾股定理得：OC=√22+42=2√5，∴PC=OC−OP=2√5−2；故答案为：2√5−2．先证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，证出∠APB=90°，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧BG⏜，连接OC交圆O于P，此时PC最小，OP=OB=2，由勾股定理求出OC=2√5，得出PC=OC−OP=2√5−2即可．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．25.【答案】(238,32)或(115,35)【解析】解：过D点作DN⊥AB，①当BD=AD时，如图3，有∠AND=90°，AN=BN=12AB=32，∴∠DAN+∠ADN=90°，∵∠DAN+∠AFM=90°，∴∠ADN=∠AFM，∴tan∠ADN=tan∠AFM=AEAF =43，∴ANDN =43，∵AN=32，∴DN=98，∴D(4−98,32)，即D(238,32)；②当AB=AD=3时，如图4，在Rt△ADN中，sin∠ADN=sin∠AFM=AEAF =43，∴ANAD =45，∴AN=45AD=45×3=125，∴BN=3−AN=3−125=35，∵DN=34AN=34×125=95，∴D(4−95,35)，即D(115,35)；③当AB=BD时，△AEF≌△DEF，∴DF=AF，∴DF+BF=AF+BF，即DF+BF=AB，∴DF+BF=BD，此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，∴AB≠BD，综上所述，所求D点坐标为(238,32)或(115,35).分三种情况讨论：①AD=BD，②AD=AB，③AB=BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)依题意得：y=200+10(80−x)=1000−10x(50≤x≤80)，即y=1000−10x(50≤x≤80)；(2)依题意得：(x−50)(1000−10x)=6000，整理得：x2−150x+5600=0，解得：x1=70，x2=80．答：当每箱售价为70或80元时，每星期的销售利润达到6000元．【解析】(1)根据每星期的销售量=200+10×降低的价格，即可找出y与x之间的函数关系式；(2)根据每星期的利润=每箱的利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．27.【答案】解：(1)当点E运动到BC的中点时，四边形AEDF是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵E为BC中点，∴BE=CE，由勾股定理得：AE=DE，∵点O是边AD上的中点，OE=OF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF是菱形．(2)存在，∵点O是AD的中点，∴AO=DO，∵OE=OF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴S四边形AEDF =2S△AED=S矩形ABCD，设AB=x，则BC=10−x，四边形AEDF的面积为y，y=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25，当x=5时，四边形AEDF的面积最大为25．(3)当BC≥2m时，四边形AEDF能成为一个矩形，理由是：设BC=n，BE=z，则CE=n−z，当四边形AEDF是矩形时，∠AED=90°，∵∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠DEC=90°，∴∠BAE=∠DEC，∴△BAE∽△CED，∴ABCE =BECD，∴mn−z =zm，∴z2−nz+m2=0，当判别式△=(−n)2−4m2≥0时，方程有根，即四边形AEDF是矩形，解得：n≥2m，∴当BC≥2m时，四边形AEDF能成为一个矩形．【解析】(1)根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出四边形是平行四边形，根据勾股定理求出AE=DE，即可得出答案．(2)求出S四边形AEDF=2S△AED=S矩形ABCD，设AB=x，则BC=10−x，四边形AEDF的面积为y ，求出y =x(10−x)，求出二次函数的最大值即可．(3)根据矩形能推出△BAE∽△CED ，得出比例式，代入得出方程，求出方程的判别式，即可得出答案．本题考查了矩形的性质，菱形的判定，二次函数的最值，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．28.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{a −b +3=09a +3b +3=0，解得{a =−2b =4， 故抛物线的表达式为y =−2x 2+4x +6；(2)由抛物线的表达式知，点C(0,6)，由B 、C 的表达式得，直线BC 的表达式为y =−2x +6，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，则△PDH∽△ODC ，则PD ：OD =PH ：OC ，设点P 的坐标为(x,−2x 2+4x +6)，则点H(x,−2x +6)，则PH =(−2x 2+4x +6)−(−2x +6)，=−2x 2+6x ，OC =6，∴PD ：OD =PH ：OC =16(−2x 2+6x)，∵−2×16<0，故PD ：OD 存在最大值，此时x =32， 故点P 的坐标为(32,152)；(3)存在，理由：过点M 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点G ，交过点N 与x 轴的平行线于点H ，在Rt △BOC 中，OB =3，OC =6，则当△CMN与△BOC时，两个三角形的相似比为2或12，即MN：CM=OB：OC=1：2或MN：CM=OB：OC=2：1，设点M的坐标为(x,−2x2+4x+6)，设点N的坐标为(0,t)，∵∠CMG+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，∴∠CMG=∠HNM，∵∠MHN=∠CGM=90°，∴△MHN∽△CGM，∴MHCG =HNGH=MNCM=2或12，即−2x2+4x+6−tx =x6+2x2−4x−6=2或12，解得x=0(舍去)或3(舍去)或94，故点M的坐标为(94,39 8).【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)证明△PDH∽△ODC，则PD：OD=PH：OC，进而求解；(3)证明△MHN∽△CGM，则MHCG =HNGH=MNCM=2或12，进而求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷(解析版)
2021年四川省成都市中考数学一诊试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．的绝对值为（）A．6B．C．D．﹣62．如图，所示几何体的主视图为（）A．B．C．D．3．截至2020年2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，其中中央财政安排252.9亿元，为疫情防控提供了有力保障．其中数据252.9亿用科学记数法可表示为（）A．252.9×108B．2.529×109C．0.2529×1010D．2.529×10104．下列等式一定成立的是（）A．2m+3n＝5mn B．（x2）4＝x8C．m2•m3＝m6D．（m﹣n）2＝m2﹣n25．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（）A．32°B．38°C．52°D．66°6．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（5，4）B．（﹣5，4）C．（﹣5，﹣4）D．（5，﹣4）7．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠0 8．如图，分别以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画弧形成一个弧线封闭图形，将这个封闭图形称为“凸轮”．若正三角形的边长为2，则“凸轮”的周长等于（）A．2πB．4πC．πD．π9．有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1﹣＝0的根为2；③方程＝的最简公分母为2x（2x﹣4）；④x+＝1+是分式方程．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0，其中结论正确的是（）A．①B．②C．③D．④二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）11．分解因式：2a3﹣8a＝．12．函数y＝+的自变量x的取值范围是．13．如图，将一副三角板△ABC和△BCD拼在一起，E为AC的中点，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，连接DE，若BC＝6，则DE＝．14．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于30，那么△FEC的面积等于．三、解答题15．（12分）（1）计算（）﹣2+|﹣2|﹣（3﹣π）0﹣3tan30°．（2）解不等式组，写出它的正整数解．16．（6分）先化简，再求值：，其中x＝1．17．（8分）最近，学校掀起了志愿服务的热潮，教育处也号召各班学生积极参与，为了解甲、乙两班学生一周服务情况，从这两个班级中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）进行收集、整理、分析，给出了部分信息：a．甲班40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成6组）：A.20≤x＜40，B.40≤x＜60，C.60≤x＜80，D.80≤x＜100，E.100≤x＜120，F.120≤x＜140）；b．甲班40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组的是：60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 78 78c．甲、乙两班各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲75m90乙757685根据以上信息，回答下列问题：（1）上面图表中的m＝，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为度；（2）根据上面的统计结果，你认为班学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是；（3）小江和小北两位同学都参加了水井坊街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．18．（8分）高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A，C，D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝8km，∠ABD＝105°，求BD长．（结果精确到十分位≈1.732，≈1.414）19．如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，n）．过A作AC⊥x轴于C，交OB于E，且EB＝2EO．（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）当x为何值时，﹣x+b≥；（3）若点P是线段AB的中点，求△POB的面积．20．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B两点，连接CD，过C作⊙O的切线交AB延长线于点F．直线DB⊥CF于点E．（1）求证：∠ABD＝2∠BAC；（2）连接BC，求证：BC2＝2BE•BO；（3）当BD＝，sin∠F＝时，求CD的长．一、填空题（每小题4分，共20分）21．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是．22．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式有解的概率为．23．如图，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点C在x 轴上运动，连接AC，点Q为AC中点，若点C运动过程中，OQ的最小值为2，则k ＝．24．如图，小新同学是一位数学爱好者，想利用所学知识研究一个五边形面积．他先在矩形点阵中放入了一个矩形ABCD，A、B、C、D四个顶点刚好在格点上，接着又放入了一条线段EF，点E、F也恰好在格点上并与AD、CD分别交于点M、N．若点阵图中，单位格点正方形边长为1，则五边形ABCNM的面积为．25．正方形ABCD的边长为4，F是AD上的动点，将△FCD沿着CF折叠，当△AEF是等腰三角形（EF是腰），DF＝．二、解答题26．（8分）龙泉驿区五星枇杷品质优果形大，有枇杷之王之誉．近日五星枇杷陆续上市，起初售价为每斤30元，从第一周开始每周降价4元，从第六周开始，保持每斤10元的稳定价格销售，直到12周结束，该五星枇杷不再销售．（1）请写出五星枇杷销售价格y与周次x之间的函数关系式；（2）若该五星枇杷进货当周售完且每斤进价z与周次x的关系为z＝（x﹣8）2+5（1≤x≤12），且x为整数，那么该五星枇杷在第几周售出后，每斤获得利润最大？最大利润为多少？27．如图，正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，（1）如图1，若点F在线段BC上移动，且不与B、C两点重合，连接AF、AE、DE，点M、K、L分别为AF、AE、DE中点．①求证：ML＜（a+b）；②求线段ML与线段ED的关系；（2）若点F从点C出发，沿边CB→BA向终点A运动，整个运动过程中，求点E所经过的路径长（用含a的代数式表示）．28．（12分）如图，二次函数y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，顶点D的横坐标为1．（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；（2）如图2，过B、C两点作直线BC，连接AC，点P为直线BC上方的抛物线上一点，PF∥y轴交线段BC于F点，过点F作FE⊥AC于E点．设m＝PF+FE，求m的最大值及此时P点坐标；（3）将原抛物线x轴的上方部分沿x轴翻折到x轴的下方得到新的图象G，当直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点时，求k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案填涂到答题卡上）1．解：||＝，故选：C．2．解：正面看，底层是一个较大的矩形，上层是一个较小的矩形．故选：A．3．解：252.9亿＝25290000000＝2.529×1010．故选：D．4．解：A、2m与3n不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、（x2）4＝x8，故本选项符合题意；C、m2•m3＝m5，故本选项不合题意；D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故本选项不合题意；故选：B．5．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝52°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝38°；∴∠BCD＝∠A＝38°．故选：B．6．解：由题意，P与P′关于原点对称，∵P（﹣5，4），∴P′（5，﹣4），故选：D．7．解：∵方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4﹣12k＞0，解得：k＜．故选：A．8．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∴“凸轮”的周长是3×＝2π，故选：A．9．解：①解分式方程不一定会产生增根，所以①不正确；②1﹣＝0，去分母得：x+2﹣4＝0，x＝2，经检验：x＝2是方程1﹣＝0的根，所以②正确；③方程＝的最简公分母为2x（x﹣2），所以③不正确；④x+＝1+是分式方程，所以④正确；所以①③不正确，②④正确．故选：B．10．解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＝1，c＞0，∴b＝﹣2a＞0，∴2a+b＝0，abc＜0，结论①错误，④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，且1﹣（﹣）＝，﹣1＝，∴y1＝y2，结论②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴另一个交点坐标是（3，0），∴当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，结论③错误；综上所述：正确的结论是④，故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）11．解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），故答案为：2a（a+2）（a﹣2）12．解：由题意，得3﹣x＞0且x﹣2≠0，解得x≤3且x≠2，故答案为：x≤3且x≠2．13．解：设A'E与BC相交于点F，由题意知∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠A'＝60°，∵E为AC的中点，∴AE＝BE＝CE，∴△ABE和△A'BE为等边三角形，∴∠AEB＝∠A'EB＝60°，∴∠CEF＝60°，∴EF⊥BC，又∵△BDC为等腰直角三角形，∴DF⊥BC，∴D，E，F三点共线，∵BC＝6，∴CF＝3，∴EF ＝3，DF ＝3， ∴DE ＝DF ﹣EF ＝3﹣3． 故答案为：3﹣3．14．解：∵CE ＝2BE ，∴设BE ＝x ，则CE ＝2x ，BC ＝3x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝3x ，∴△ADF ∽△CEF ，∴＝，∵△ABC 的面积等于30，∴S △CFD ＝×S △ACD ＝＝12，∴S △EFC ＝＝8， 故答案为8．三、解答题15．解：（1）原式＝4+2﹣﹣1﹣3× ＝4+2﹣﹣1﹣ ＝5﹣2； （2）， 解①得x ≥﹣1，解②得x ＜3，不等式组的解集为﹣1≤x ＜3，不等式组的正整数解为1，2．16．解：原式＝﹣• ＝﹣ ＝， 当x ＝1时，原式＝．17．解：（1）由题意得：A的人数为：40×5%＝2（人），B的人数为：40×15%＝6（人），C的人数为14人，∴甲班的中位数为＝77，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为：360°×＝126°，故答案为：77，126；（2）根据上面的统计结果，甲班学生志愿服务工作做得好，理由如下：①甲、乙两班的平均数相等，甲班的中位数比乙班的中位数大；②甲班的众数比乙班的众数大；故答案为：甲，①甲、乙两班的平均数相等，甲班的中位数比乙班的中位数大；②甲班的众数比乙班的众数大；（3）街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9个等可能的结果，小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的结果有3个，∴小江、小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为＝．18．解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝8km，∴∠ABE＝60°，BE＝4km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB ＝45°，∴BE ＝DE ＝4km ，∴BD ＝≈5.7（km ），即BD 的长是5.7km ．19．解：（1）∵EB ＝2EO ，∴OE ：OB ＝1：3，∵B 点横坐标为3，∴A 点的横坐标为1，即m ＝1，∵点A （1，3）在直线y ＝﹣x +b 及y ＝上，∴3＝﹣1+b ，3＝，解得b ＝4，k ＝3，∴一次函数为y ＝﹣x +4，反比例函数为y ＝；（2）由图象可知，当1≤x ≤3时，﹣x +b ≥；（3）连接OA ，作BD ⊥x 轴于D ，∵B （3，n ）在直线y ＝﹣x +4上，∴n ＝﹣3+4＝1，∴B （3，1），∴S △AOB ＝S △AOC +S 梯形ACDB ﹣S △BOD ＝S 梯形ACDB ＝（3+1）（3﹣1）＝4，∵点P 是线段AB 的中点，∴S △POB ＝S △AOB ＝2．20．（1）证明：连接OC，如图，∵OC⊥CF，DB⊥CF，∴CO∥BD，∴∠ABD＝∠COB，∵∠COB＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠BAC．（2）证明：连接BC，如上图，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥DB，∴∠CEB＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC⊥CF，∴∠BCE+∠OCB＝90°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠CAB＝∠BCE，∴△CBE∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BE，∵AB＝2OB，∴BC2＝2BE•BO．（3）解：如图，连接AD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴CF∥AD，∴∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝，∴AB＝BD＝＝12，∴OB＝OC＝AB＝6，∵OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴sin F＝，∴OF＝10，由勾股定理，得，CF＝＝8，∵OC∥DB，∴，即，∴CE＝，∴EF＝，∵BF＝OF﹣OB＝10﹣6＝4，∴BE＝，∴DE＝BD+BE＝＝，∴CD＝＝．一、填空题（每小题4分，共20分）21．解：∵a﹣b＝3，∴a＝b+3，∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．故答案为：9．22．解：解得：2≤x＜，∵关于x的不等式组有解，∴＞2，解得：a＞3.5，∴使关于x的不等式组有解的概率为：＝．故答案为：．23．解：连接BC，∵点A、B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵Q为AC中点，∴OQ是△ABC的中位线，∴OQ＝BC，故当BC最小时，OQ也最小，当BC⊥x轴时，BC最小，此时BC＝2OQ＝4，即点B的纵坐标为﹣4，将点B的纵坐标代入y＝6x得：﹣4＝6x，解得：x＝﹣，故点B的坐标为（﹣，﹣4），∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴k＝﹣×（﹣4）＝，故答案为：．24．解：建立如图坐标系，设A（1，4），E（0，4），N（y，1），M（1，x），∴AM＝4﹣x，∴S△EAM ＝S△EPF﹣S四边形AMEP＝＝﹣（4﹣x+4），2﹣＝12﹣20+x ，解得，x ＝， ∵S △AQF ＝S △EPF ﹣S 四边形EPQN ，∴（6﹣y +6）， 解得y ＝，∴S 剩＝S 矩形ABCD ﹣S △MDN ＝4×＝12﹣＝12﹣＝．故答案为：． 25．解：当△AEF 是等腰三角形（EF 是腰）时，此题有两种情况：①如图1，当AF ＝EF 时，由折叠得：EF ＝DF ，∴AF ＝DF ，又∵正方形ABCD 的边长为4，∴DF ＝AD ＝2；②如图2，当点E 在AC 上时，过点E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于点N ，∴AM ＝FM ，∠AEM ＝∠FEM∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC＝45°，∵∠AEF＝90°，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM＝EM，AE＝EF，设DF＝a，则FM＝AM＝EM＝（4﹣a），由折叠得EF＝DF＝a，在Rt△EFM中，由勾股定理得：EF2＝EM2+FM2，∴＝a2，解得：a1＝﹣4（不符题意，舍去），a2＝4﹣4，∵DF＝4﹣4；综上所述，DF＝2或4，故答案为：2或4．二、解答题26．解：（1）该种蔬菜销售价格y与天数x之间的函数关系式：y＝；（2）设利润为W，W＝y﹣z＝，W＝﹣x2+9，对称轴是直线x＝0，当x＞0时，W随x的增大而减小，＝8.75（元），∴当x＝1时，W最大W＝﹣（x﹣8）2+5，对称轴是直线x＝8，＝5（元），∴当x＝8时，W最大综上可知：在第1周进货并售出后，所获利润最大为8.75元．27．解：（1）如图1，连接MK，KL，∵M、K分别是AF，AE的中点，∴MK＝EF，∵K、L分别是AE、DE的中点，∴KL＝AD，∵MK+KL＞ML（三角形两边之和大于第三边），正方形ABCD边长为a，正方形CEFG 边长为b，∴ML＜（a+b）；（2）作LQ∥CE交CD于Q，∵KL为△ADE的中位线，∴KL＝AD，∵LQ∥CE，∴＝1，即DQ＝，∵AD＝CD，∴KL＝DQ，∵MK是△AEF的中位线，LQ是△DEC的中位线，∴MK＝，LQ＝，∴MK＝LQ，∵∠ECD＝∠LQD＝90°+45°＝135°，∠MKA＝∠FEA，∠APC＝∠AKC，∴∠FPE+∠FED＝∠MKL＝180°﹣45°＝135°＝∠ECD，在△MKL和△LQD中，，∴△MKL≌△LQD（SAS），∴ML＝DL＝ED；（2）在F运动过程中，点E的轨迹是C﹣P﹣B，△CPB为以P为顶点的等腰直角三角形，∴CP+PB＝BC＝a，①当点F在CB上时，如图中正方形F1E1CG1，∵四边形F1E1CG1为正方形，CF1为对角线，∴∠F1CE1＝45°，∵△BPC为等腰直角三角形，∴∠BCP＝45°，∴E1在CP上运动，当点F1到达点B时，E1与点P重合；②当点F在BA上时，如图中正方形F2E2CG2，连接E2P，由①得，∠F2CE2＝45°，∠BCP＝45°，∴∠F2CB＝∠E2CP，∵，∴△CF2B∽△CE2P，∴∠CPE2＝∠CBF2＝90°，∴E2在BP上，当F2到达A时，E2与B重合；综上所述，点E的轨迹在C﹣P﹣B上，轨迹长度为a．28．解：（1）y＝mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1顶点D的横坐标为1，∴＝1，解得m＝﹣1，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）过B作BH⊥AC于H，过F作FG⊥y轴于G，如图：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交点C（0，3），且A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，OC＝3，AC＝，BC＝3，＝AB•OC＝AC•BH，∵S△ABC∴BH＝，Rt△BHC中，sin∠HCB＝＝＝，Rt△EFC中，EF＝CF•sin∠HCB＝CF，∴FE＝•CF＝CF，设P（n，﹣n2+2n+3），由B（3，0），C（0，3）得BC解析式为y＝﹣x+3，∴△BCO是等腰直角三角形，F（n，﹣n+3），∴△GFC是等腰直角三角形，GF＝n，∴CF＝GF＝n，∴CF＝2n，即FE＝2n，∴m＝PF+FE＝PF+2n＝（﹣n2+2n+3）﹣（﹣n+3）+2n＝﹣n2+5n，∴当n＝＝时，m最大，最大为﹣（）2+5×＝，此时P（，）；（3）直线y＝kx+k﹣6总过（﹣1，﹣6），k＜0时，它和新图象G不可能有4个公共点，如图：k＞0时，若二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3刚好经过B（3，0），由（﹣1，﹣6），B（3，0）可得直线解析式为y＝x﹣，此时直线y＝x﹣与新图象G有3个交点，∴直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点，需满足k＜，而抛物线y＝﹣x2+2x+3关于x轴对称的抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，若直线y＝kx+k﹣6与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有两个交点，即是有两组解，∴x2﹣（2+k）x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即[﹣（2+k）]2﹣4（3﹣k）＞0，解得k＞﹣4+2或k＜﹣4﹣2（小于0，舍去），∴k＞﹣4+2，因此，直线y＝kx+k﹣6与新图象G有4个公共点，﹣4+2＜k＜．。
九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷（一诊）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）计算2sin60°的值为（）A．B．C．1D．2．（3分）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）已知，则的值为（）A．2.5B．C．D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．平分弦的直径垂直于弦C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D．对角线相等的四边形是矩形5．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m 的图象与x轴的交点情况为（）A．没有交点B．有一个交点C．有两个交点D．不能确定6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（）A．（4，2）B．（1，1）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）7．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（）A．88B．90C．92D．938．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（）A．B．C．﹣1D．9．（3分）如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，在上取一点E（点E不与D重合），连接EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＞4ac．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，则a＝．12．（4分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是．13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A（m，3），则当y＞3时，x的取值范围为．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|．（2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0．16．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是；（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．17．（8分）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，交DC的延长线于点G．（1）求证：△CFO≌△AEO；（2）若AD＝5，CD＝3，CG＝1，求CF的长．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别交x 轴，y轴于A（3，0），B（0，﹣3）两点，将直线AB向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点C，与y轴交于点D，连接AD，BC．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求点C的坐标及四边形ABCD的面积．20．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则ab+a+b 的值为．22．（4分）一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若＝，则点C的坐标是．25．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？27．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE∥AC，求AD的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点．i）点F在抛物线的对称轴上，且EF∥x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E的坐标；ii）点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由．2020-2021学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学试卷（一诊）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）计算2sin60°的值为（）A．B．C．1D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：2sin60°＝2×＝．故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．2．（3分）如图所示的几何体是由两个相同的正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看底层是一个小正方形，上层一个三角形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）已知，则的值为（）A．2.5B．C．D．【分析】利用比例的性质，由得到b＝a，然后把b＝a代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵，∴b＝a，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．4．（3分）下列说法正确的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．平分弦的直径垂直于弦C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定定理判断即可．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；C、两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形不一定相似，故不符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂径定理，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．5．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2+4x+4m 的图象与x轴的交点情况为（）A．没有交点B．有一个交点C．有两个交点D．不能确定【分析】根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+4m＝0有两个相等的实数根，∴二次函数y＝x2+4x+4m的图象与x轴的交点情况为：有一个交点，故选：B．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，则点A的对应点A'的坐标为（）A．（4，2）B．（1，1）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．【解答】解：∵△ABO的两个顶点分别为A（﹣8，4），B（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为，∴点A的对应点A'的坐标为：[﹣8×（﹣），4×（﹣）]即（4，﹣2）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．7．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（）A．88B．90C．92D．93【分析】根据中位数的定义求解即可．【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．故选：C．【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为（）A．B．C．﹣1D．【分析】先由勾股定理求出AB＝，再由BD＝BC＝1，得AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵BD＝BC＝1，∴AE＝AD＝AB﹣BD＝﹣1，∴＝，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．9．（3分）如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，在上取一点E（点E不与D重合），连接EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】连接DO、CO，构造90°的圆周角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．【解答】解：如图，连接DO、CO，∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD＝90°，∴∠CED＝∠COD＝45°，故选：B．【点评】考查了正方形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，难度不大．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，有下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＞4ac．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向以及与y轴的交点情况，则可对①进行判断；利用抛物线的对称轴公式得到b＝﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性，可对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，且与x轴相交于A，B（3，0）两点，∴A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，则a＝﹣18．【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．【解答】解：∵点（3，a）在抛物线y＝﹣2x2上，∴a＝﹣2×32＝﹣18，故答案为﹣18．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．12．（4分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是8m．【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质即可求出CD．【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，即＝，解得：CD＝8．答：该古城墙CD的高度为8m．故答案为：8m．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．13．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过点A（m，3），则当y＞3时，x的取值范围为0＜x＜2．【分析】先令y＝3代入反比例函数求出m的值，然后根据图象即可求出x的范围【解答】解：由题意可知：m＝＝2，∴y＝＞3，由图象可知：0＜x＜2．故答案为：0＜x＜2．【点评】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝．【分析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA＝EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴EA＝CE＝BC﹣BE＝2﹣BE，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得EA2＝AB2+BE2，∴（2﹣BE）2＝12+BE2，解得BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣（3.14﹣π）0﹣2tan60°+|1﹣2|．（2）解方程：x（x﹣2）+2﹣x＝0．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算；（2）先变形为x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）原式＝4﹣1﹣2×﹣（1﹣2）＝4﹣1﹣2﹣1+2＝2；（2）x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．16．（6分）2021年世界大运会将在成都举办，现有三种大运会纪念卡片（如图所示），分别是印有会徽图案的A种纪念卡片和印有吉祥物“蓉宝”图案的B种、C种纪念卡片．小王将圆形转盘三等分并标上字母A，B，C，分别代表三种纪念卡片，随机转动转盘后，指针落在某个字母所在扇形部分就表示获得一张该种纪念卡片（当指针指在分界线上时重转）．（1）填空：小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是；（2）小王任意转动转盘两次，请用列表或画树状图的方法求他两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小王任意转动转盘一次，获得印有会徽图案的纪念卡片的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的结果有4个，∴小王两次都获得印有吉祥物“蓉宝”图案的纪念卡片的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．17．（8分）近年来，成都IFS商业大楼成了网红打卡地，楼上“翻墙”的大熊猫给游客留下了深刻的印象．小明使用测角仪测量熊猫C处距离地面AD的高度，他在甲楼底端A 处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角为45°，已知AB＝4.5米，求熊猫C处距离地面AD的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE＝AD，设CE＝x，则CD＝BC+BD ＝x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值．【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，由题意可知：∵∠CBE＝45°，∠CAD＝53°，AB＝4.5米，∵∠ABE＝∠BED＝∠ADE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD，DE＝AB＝4.5米，设CE＝x，则CD＝CE+DE＝x+4.5，在Rt△CEB中，BE＝＝＝x，在Rt△ADC中，CD＝AD•tan53°，即x+4.5＝x•tan53°，∴x≈13.64，∴CE＝13.64（米），∴CD＝CE+DE＝13.64+4.5＝18.14≈18.1（米）．答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．18．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，交DC的延长线于点G．（1）求证：△CFO≌△AEO；（2）若AD＝5，CD＝3，CG＝1，求CF的长．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，即可证明结论；（2）根据四边形ABCD是平行四边形，证明△CGF∽△DGE，结合（1）即可求出CF 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△COF和△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠GCF＝∠GDE，∵∠CGF＝∠DGE，∴△CGF∽△DGE，∴＝，∵△CFO≌△AEO，∴EA＝FC，∵CD＝3，AD＝5，∴ED＝AD﹣AE＝5﹣CF，∵CG＝1，∴＝，∴CF＝1．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别交x 轴，y轴于A（3，0），B（0，﹣3）两点，将直线AB向上平移7个单位长度后，刚好与反比例函数y＝（m≠0）的图象只有一个交点C，与y轴交于点D，连接AD，BC．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求点C的坐标及四边形ABCD的面积．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，由平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点，得到△＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，求得m的值，解析式联立，解方程组求得c的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+b过A（3，0），B（0，﹣3）两点，∴，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣3；（2）将直线AB向上平移7个单位长度后得直线表达式为：y＝x+4，由得x2+4x﹣m＝0，∵平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点，∴△＝42﹣4×1×（﹣m）＝0，∴m＝﹣4，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，由得x2+4x+4＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，∴y＝x+4＝﹣2+4＝2，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵直线CD的表达式为y＝x+4，令x＝0，则y＝4，∴D（0，4）∵A（3，0），B（0，﹣3），∴BD＝4﹣（﹣3）＝7，∴S四边形ABCD＝BD•|x A﹣x C|＝×7×|3﹣（﹣2）|＝．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．20．（10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．i）若⊙O的直径为，sin B＝，求AD的长；ii）若CD＝2CE，求cos B的值．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠D，∠D＝∠ACD，则∠B＝∠ACD，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，得出∠DCO＝90°，则可得出结论；（2）i）连接OC，由勾股定理求出BC＝3，证明△COB∽△DCB，由相似三角形的性质得出，求出BD的长，则可得出答案；ii）连接OC，设CE＝k，得出CD＝BC＝2k，DE＝3k，证明△DAE∽△COB和△COB∽△DCB，由相似三角形的性质可得出BC的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD＝BC，∴∠B＝∠D，∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD，∴∠B＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；解：（2）i）连接OC，∵∠ACB＝90°，AB＝，sin B＝，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin B，∴AC＝＝1，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵OB＝CO，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D，∵∠CBO＝∠DBC，∴△COB∽△DCB，∴，∴CB2＝OB•BD，∵AB＝，∴OA＝OB＝，∴BD＝32×＝，∴AD＝BD﹣AB＝；ii）连接CO，∵CD＝2CE，设CE＝k，∴CD＝BC＝2k，∴DE＝3k，∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，∴△DAE∽△COB，∴，设⊙O的半径为r，∴AD＝r，∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，∵△COB∽△DCB，∴，∴BC2＝OB•BD，∴（2k）2＝r×r，∴k＝r，∴BC＝2k＝r，∴cos B＝．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）已知a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则ab+a+b 的值为﹣2020．【分析】先由根与系数的关系得出a+b＝2，ab＝﹣2020，再代入ab+a+b计算可得．【解答】解：根据题意知a+b＝2，ab＝﹣2022，则ab+a+b＝ab+（a+b）＝﹣2022+2＝﹣2020故答案为：﹣2020．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．22．（4分）一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为．【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：12﹣4 1﹣﹣﹣（1，2）（1，﹣4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，﹣4）﹣4（﹣4，1）（﹣4，2）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中满足a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的情况有4种，则a，b的值使得抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴在y轴右侧的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，列出所有情况是解题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，根据折叠的性质得到AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，由全等三角形的性质得到CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，根据相似三角形的性质进而得到结论．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，∵将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，∴AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，∴∠CPM＝90°，∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝2，∴PM＝AM＝DM＝2，在Rt△CPM与Rt△CDM中，，∴Rt△CPM≌Rt△CDM（HL），∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，∴∠NMC＝∠NMP+∠CMP＝90°，∴CM＝＝＝，∵∠CMN＝∠CPM＝90°，∠MCP＝∠MCP，∴△CMP∽△CNM，∴＝，∴＝，∴CN＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝的图象上（点A在第一象限），且线段AB经过点O，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，线段AC交x轴于点D，若＝，则点C的坐标是（，﹣）．【分析】如图，连接BC，OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．设A （m，）．利用相似三角形的性质求出OF，CF，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程可得结论．【解答】解：如图，连接BC，OC，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F．设A（m，）．∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴CB＝CA，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴OC＝OA•tan60°＝OA，∵∠AEO＝∠OFC＝∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠OAE＝90°，∠AOE+∠COF＝90°，∴∠OAE＝∠FOC，∴△AOE∽△OCF，∴＝＝，∴CF＝m，OF＝，∵AD：AC＝1：3，∴AD：CD＝1：2，∵AE∥CF，∴＝＝，∴＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴OF＝，CF＝，∴C（，﹣）．故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．25．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D为直线AB上方一点，连接AD，BD，且∠ADB＝90°，过D作直线BC的垂线，垂足为E，则线段BE的长度的最大值为12．【分析】由勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，可证点C，点D在以AB为直径的圆上，取AB中点O，作OF⊥AC于H，交⊙O于点F，过点F作FE'⊥BC，交BC的延长线于E'，此时BE'最长，由垂径定理和三角形中位线的性质可求OH＝，可求FH＝E'C＝3，即可求解．【解答】解：∵BC＝9，AC＝12，AB＝15，∴BC2+AC2＝225，AB2＝225，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴点C，点D在以AB为直径的圆上，如图，取AB中点O，作OD'⊥AC于H，交⊙O于点F，过点F作FE'⊥BC，交BC的延长线于E'，此时BE'最长，∵OD'⊥AC，∴AH＝HC，又∵AO＝OB，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝BC＝，∴FH＝OF﹣OH＝＝3，∵OF⊥AC，FE'⊥BC，∠ACE'＝90°，∴四边形HCE'F是矩形，∴FH＝CE'＝3，∴BE'＝9+3＝12，故答案为12．【点评】本题考查了最短路线问题，勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质等知识，确定点E的位置是本题的关键．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）春节即将来临，某电商平台准备销售一批服装，已知购进时的单价是150元．调查发现：销售单价是200元时，月销售量是100件，而销售单价每降低1元，月销售量就增加10件．每件服装的售价不能低于进价，设该服装的销售单价在200元的基础上降低x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大的月销售利润是多少？【分析】（1）根据月销售利润＝（每件的实际售价﹣进价）×（原月销售量+10×每件降低的价格）可得函数解析式；（2）将以上所得函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）根据题意，得y＝（200﹣150﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+400x+5000；（2）y＝﹣10x2+400x+5000＝﹣10（x﹣20）2+9000，∵﹣10＜0，∴当x＝20时，y有最大值9000，销售单价为200﹣20＝180（元），答：该服装的销售单价为180元时，月销售利润最大，最大的月销售利润是9000元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质．27．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF．（1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF；（2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积；（3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DE∥AC，求AD的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；（3）过C作CN⊥AB于点N，过A作AM⊥DE于点M，根据相似三角形的性质和三角。
2021年四川中考一模测试《数学试题》含答案解析
四川中考数学仿真模拟测试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若21x -=，则x =( ) A. 12- B. 12 C. 2- D. 22.下列计算，正确的是( )A. 632a a a ÷=B. 339b b b ⋅=C. 2222x x x +=D. ()325m m =3.学校篮球队参加比赛，场上5名主力队员的身高(单位：cm )是：160164,168,170172,,．教练现用一名身高为166cm 的队员换下场上身高为172cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大 4.如图，//,115AD BC AC BC BAD =∠=︒,，则C ∠的度数是( )A . 55B. 50C. 45D. 405.如图，在66⨯的正方形网格中，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tanC 的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 436.关于x 的方程111a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是( ) A. 2a >- B. 2a >-，且1a ≠- C. 1a >- D. 1a >-，且2a ≠- 7.如图，在ABC 中，90,30A C PQ ∠=︒∠=︒,垂直平分BC ，与AC 交于点,P 下列结论正确的是( )A. 2PC PA <B. 2PC PA >C. 2AB PA <D. 2AB PA >8.已知函数()22(0),1,0x x y x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则当函数值6y =-时，自变量x 的值是( ) A. 2± B. 2或5- C. 2或5 D. 2-或59.在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()()3,11,1,,3,1()A B C ----，把ABC 绕着一点旋转180︒得到CDA ．则点D 的坐标为( )A. ()1,1B. ()1,1-C. ()3,1D. ()3,1-- 10.对于二次函数()22110()y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何非零实数，函数图象都经过同一个点，其中正确结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二、填空题(每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上)11.(02180.52---=___________________．12.一个多边形的每个内角都比每个外角大60，这个多边形的对角线条数为____________________． 13.如图，两个转盘分别等分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有数字．同时转动两个转盘，停止后，指针都落在奇数扇形的概率是____________________．14.若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________．15.若方程220()0 ax ax c a -+=≠有一个根为1,x =-那么抛物线22y ax ax c =-+与x 轴两交点间的距离为_____________________．16.如图，在Rt ABC 中，90,4,3,C AC cm BC cm ∠=︒==点P 和Q 分别在AB 和AC 上，且2.CQ BP CPQ =为等腰三角形时，BP 的长为___________________．三、解答题 (本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.先化简，再求值：22121244x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭+---+，其中6x =． 18.如图，点,,,A B C D 在同一直线上，AB CD CE =,与BF 交于点O E EOF F ∠=∠=∠,．求证.CE DF =19.学校准备开办“书画、器乐、戏曲、棋类”四个兴趣班．为了解学生对兴趣班的选择情况，随机抽取部分学生调查．每人单选一项，结果如下(尚未完善)．()1求本次调查的学生人数和扇形图中“器乐”对应圆心角的大小．()2若全校共有1200名学生，请估计选择“戏曲”的人数．()3学校将从四个兴趣班中任选取两个参加全区青少年才艺展示活动，求恰好抽到“器乐”和“戏曲”的概率．20.已知关于x 的一元二次方程()2220m x mx --+=有两个不相等的实数根12,x x ． ()1求m 的取值范围；()2若20x <且121x x >-，试求整数m 的值． 21.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点,A 与y 轴交于点B ，与双曲线a y x =其中一支交于1522C m m ⎛-⎪+⎫ ⎝⎭，，()2,4D -()1求直线和双曲线解析式． ()2有人说“OAC 与OBD 面积相等”，请判断是否正确并说明理由．22.如图，ABCD 中，45B ∠=︒． 以点A 为圆心，AB 为半径作A 恰好经过点C ．()1CD 是否为A 的切线？请证明你的结论．()2DEF 为割线，30ADF ∠=． 当2AB =时，求DF 的长． 23.受非洲猪瘟影响，2019 年肉价大幅．上涨．某养殖场与2018年相比，生猪出栏数减少500头．平均每头出栏价是2018年的2倍，销售总额比2018年增加60%．()1若养殖场2018年生猪销售额为500万元，求2019年平均每头生猪的出栏价格．()2一猪肉专营店在5月份经营中，售价为40元/,1kg 天可卖400kg ．6月份每千克上涨2元，则1天少卖40kg ．受产业链影响继续涨价，销量继续递减．若猪肉的成本折算为36元/,kg 专营店平均每天规划毛利约500元，求这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利．24.如图，正方形ABCD 的边长为26，点E 是AB 边的中点，点F 是AD 边上一动点(不含端点)，EG BF ⊥于H ，与直线CD 交于G ．()1求证：EG BF =．()2若,C ,AF x G y ==试写出y 与x 之间的函数关系式．()3求DH 的最小值．25.如图，抛物线()()112y x x n =-+-与x 轴交于A B ，两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点,C ABC 的面积为5．动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，过P 作PN x ⊥轴交BC 于M．交抛物线于N．()1求抛物线的解析式．()2当MN最大时，求运动的时间．()3经过多长时间，点N到点B、点C 的距离相等？答案与解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若21x -=，则x =( ) A. 12- B. 12 C. 2- D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意根据解一元一次方程的解法进行运算即可得出答案.【详解】解：21x -=化系数为1：12x =-. 故选：A.【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键. 2.下列计算，正确的是( )A. 632a a a ÷=B. 339b b b ⋅=C. 2222x x x +=D. ()325m m = 【答案】C【解析】【分析】由题意根据整式的运算法则依次对各选项进行运算即可得出答案.【详解】解：A. 633a a a ÷=，故此选项错误；B. 336b b b ⋅=，故此选项错误；C. 2222x x x +=，故此选项正确；D. ()326m m =，故此选项错误.故选：C.【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握幂的四则运算法则与整式的运算法则是解题的关键.3.学校篮球队参加比赛，场上5名主力队员的身高(单位：cm )是：160164,168,170172,,．教练现用一名身高为166cm 的队员换下场上身高为172cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )A. 平均数变小，方差变小B. 平均数变小，方差变大C. 平均数变大，方差变小D. 平均数变大，方差变大【答案】A【解析】【分析】 根据题意分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可. 【详解】解：原数据的平均数1(160164168170172)166.85⨯++++=，方差为： 222221(160166.8)(164166.8)(168166.8)(170166.8)(172166.8)18.565⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦， 新数据的平均数1(160164168170166)165.65⨯++++=，方差为： 222221(160165.6)(164165.6)(168165.6)(170165.6)(166165.6)11.845⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦. 由上可知平均数变小，方差变小.故选：A.【点睛】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的计算公式.4.如图，//,115AD BC AC BC BAD =∠=︒,，则C ∠的度数是( )A. 55B. 50C. 45D. 40【答案】B【解析】【分析】 由题意根据平行线的性质以及等腰三角形的性质进行分析计算即可.【详解】解：∵//115AD BC BAD ∠=︒,，∴18011565B ︒︒︒∠=-=，∵AC BC =，∴65,180(6565)50B BAC C ︒︒︒︒︒∠=∠=∠=-+=.故选：B.【点睛】本题考查几何图形角的运算，熟练掌握平行线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键.5.如图，在66⨯的正方形网格中，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tanC 的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 43【答案】D【解析】【分析】由题意直接根据三角函数进行分析运算即可. 【详解】解：4=3tanC =对边邻边. 故选：D.【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的求值方法是解题的关键.6.关于x 的方程111a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是( ) A. 2a >-B. 2a >-，且1a ≠-C. 1a >-D. 1a >-，且2a ≠-【答案】B【解析】【分析】由题意首先解关于x 的方程，利用a 表示出x 的值，然后根据分母不等于0，且解是正数求得a 的范围即可． 【详解】解：由111a x +=-可得11a x +=-，解得2x a =+， 因为关于x 的方程111a x +=-的解是正数即20x a =+>且1x ≠， 解得2a >-，且1a ≠-.故选：B.【点睛】本题考查分式方程，正确解出关于x 的方程以及注意分母不能为0是解题的关键.7.如图，在ABC 中，90,30A C PQ ∠=︒∠=︒,垂直平分BC ，与AC 交于点,P 下列结论正确的是( )A. 2PC PA <B. 2PC PA >C. 2AB PA <D. 2AB PA >【答案】C【解析】【分析】 由题意连接BP ，并根据垂直平分线的性质进行分析求解即可.【详解】解：连接BP则130C ∠∠︒＝＝．230∴∠︒＝2PC PB PA ∴＝＝．AB PB ＜，2AB PA ∴＜.故选：C.【点睛】本题考查垂直平分线相关，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键.8.已知函数()22(0),1,0x x y x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则当函数值6y =-时，自变量x 的值是( ) A. 2±B. 2或5-C. 2或5D. 2-或5 【答案】C【解析】【分析】根据题意分别把6y =-代入两个函数求出自变量x 的值即可.【详解】解：由226x －－＝－，得24x =，且0x ≤，故取2x ＝－，由16x －－＝－，得5x ＝． 故选：D.【点睛】本题考查求自变量的值，熟练掌握分段函数的性质进行分别代入是解题的关键.9.在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()()3,11,1,,3,1()A B C ----，把ABC 绕着一点旋转180︒得到CDA ．则点D 的坐标为( )A. ()1,1B. ()1,1-C. ()3,1D. ()3,1-- 【答案】A【解析】【分析】根据题意先求出旋转中心，进而利用图形旋转的特征进行分析求解即可.【详解】解：()31A －,与(31)C ,－关于原点对称，∴旋转中心是原点．()11B ∴－,－与D 关于原点对称()11D ∴,．故选：A.【点睛】本题考查中心对称，熟练掌握图形旋转180︒即中心对称的性质是解题的关键.10.对于二次函数()22110()y ax a x a a =--+-≠，有下列结论：①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何非零实数，函数图象都经过同一个点，其中正确结论个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由题意根据二次函数的性质以及图象性质依次对结论进行判断即可. 【详解】解：()1令0y ＝，则()22110ax a x a +-－－＝．解得1211,a x x a-==． ∴函数图象与x 轴的交点为()1,0，1,0a a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭． ∴①④正确．()2当0a <时，11a a->． ∴函数在1x >时，y 先随x 的增大而增大，然后再减小． ∴②错误．()3顶点横坐标211122a x a a -==-，纵坐标()()24121144a a a y a a ---==- 1122y x ∴=-． 即无论a 取何非零实数，抛物线的顶点始终在直线1122y x =-． ∴③正确．故选：C.【点睛】本题考查二次函数的性质以及图象性质，熟练掌握二次函数的性质以及图象性质是解题的关键.二、填空题(每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上)11.(01--=___________________．【答案】【解析】【分析】根据去绝对值和零指数幂运算以及二次根式的性质进行运算即可.(01--112=--22=--=故答案为：2-. 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握去绝对值和零指数幂运算以及二次根式的运算是解题的关键. 12.一个多边形的每个内角都比每个外角大60，这个多边形的对角线条数为____________________．【答案】9【解析】【分析】由题意根据内外角关系求出多边形的边数，再根据根据多边形的对角线公式()23n n -进行计算即可． 【详解】解：设外角为x 度，内角则为(x+60)度，由内外角关系可得60180x x ++=，解得60x =，即多边形的外角为60°， 所以多边形的边数为：360660︒︒=(条)， 多边形的对角线条数为：6(63)92(条).故答案为：9.【点睛】本题考查多边形的内角和外角关系以及求多边形的对角线，熟记相关计算公式是解题的关键． 13.如图，两个转盘分别等分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有数字．同时转动两个转盘，停止后，指针都落在奇数扇形的概率是____________________．【答案】13【解析】【分析】根据题意用列表法列举出所有情况，看转盘停止后，指针都落在奇数上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：列表得：1 2 3共有12种结果出现，指针都落在奇数的结果有4种，所以指针都落在奇数扇形的概率是：41123=. 故答案为：13. 【点睛】本题考查求概率，熟练掌握列表法以及求概率公式是解题的关键.14.若实数,a b 满足()()2211a b a b ++-=，则a b +=___________________．【答案】1或12-【解析】【分析】根据题意设a+b=x ，根据()()2211a b a b ++-=，得出x (2x-1)=1，解方程即可．【详解】解：设a+b=x ，则x (2x-1)=1，则有(x-1)(2x+1)=0，解得x=1或12-，即a b +=1或12-. 故答案为： 1或12-. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．15.若方程220()0 ax ax c a -+=≠有一个根为1,x =-那么抛物线22y ax ax c =-+与x 轴两交点间的距离为_____________________．【答案】4【解析】【分析】根据题意求出抛物线对称轴利用对称轴到与x 轴两交点间的距离相等进行分析即可求解.【详解】解：抛物线对称轴为212a x a=-=，由方程220()0 ax ax c a -+=≠有一个根为1,x =-∴另一根为3x ＝，则两交点间的距离为4．故答案为：4.【点睛】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握对称轴到与x 轴两交点间的距离相等这一性质是快速解答此题的关键.16.如图，在Rt ABC 中，90,4,3,C AC cm BC cm ∠=︒==点P 和Q 分别在AB 和AC 上，且2.CQ BP CPQ =为等腰三角形时，BP 的长为___________________．【答案】1511，或22135- 【解析】【分析】根据题意作PH CQ ⊥于,H PD BC ⊥于D ，进而设5PB x =，则3,4BD x PD x ==，利用勾股定理和等腰三角形性质建立等量关系，进行分析求解即可.【详解】解：因为90,4,3,C AC cm BC cm ∠=︒==由勾股定理可得5AB =．作PH CQ ⊥于,H PD BC ⊥于D ，则PHCD 是矩形，PBD ABC ．设5PB x =，则3,4BD x PD x ==4CH x ∴=．()1PQ PC =显然不成立，否则22CQ CH BP ==．即CH BP PD ==．()2当PQ CQ ＝时，210PQ CQ BP x ＝＝＝6QH x ∴＝8CD PH x ∴＝＝．113BC x ∴＝＝． 311x ∴＝ 1511BP ∴＝ ()3当PP CQ ＝时，210PC CQ BP x ＝＝＝CD PH ∴＝＝()33BC x ∴＝＝x ∴=35BP ∴=.故答案为：1511或35. 【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形性质，熟练运用勾股定理和等腰三角形性质以及作辅助线的技巧是解题的关键.三、解答题 (本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.先化简，再求值：22121244x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭+---+，其中x =【答案】3x -， 【解析】【分析】根据题意先利用分式的运算法则对式子进行化简，再代入x =进行计算即可.【详解】解：2212 1244x x xx x x⎛⎫÷⎪-⎝⎭+---+()()222122xx xx x x---=⋅---3x=-当6x=时，原式6=-6=-.【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键.18.如图，点,,,A B C D在同一直线上，AB CD CE=,与BF交于点O E EOF F∠=∠=∠,．求证.CE DF=【答案】详见解析【解析】【分析】根据题意利用平行线的判定定理和性质以及全等三角形的判定进行综合分析证明即可.【详解】解：证明：AB CD=，BC BC=,.AC BD∴=E EOF∠∠＝//AE BF∴,A FBD∴∠∠＝．,,,E F A FBD AC BD∠∠∠=∠=＝()ACE BDF AAS∴≌，CE DF∴＝.【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握并利用平行线的判定定理和性质以及全等三角形的判定是解题的关键.19.学校准备开办“书画、器乐、戏曲、棋类”四个兴趣班．为了解学生对兴趣班的选择情况，随机抽取部分学生调查．每人单选一项，结果如下(尚未完善)．()1求本次调查的学生人数和扇形图中“器乐”对应圆心角的大小．()2若全校共有1200名学生，请估计选择“戏曲”的人数．()3学校将从四个兴趣班中任选取两个参加全区青少年才艺展示活动，求恰好抽到“器乐”和“戏曲”的概率．【答案】(1)200，144°；(2)240；(3)1 6【解析】【分析】(1)根据题意用部分数除以部分所占比即可求出整体数，再利用“器乐”所占比求出对应圆心角的大小即可；(2)根据题意先求出选择“戏曲”的百分数，可以估计全校选择“戏曲”的人数；(3)由题意列举出所有结果，利用抽到“器乐”和“戏曲”的结果除以所有结果数即可.【详解】解：()1调查人数为3015%200÷＝(人)扇形图“器乐”对应圆心角为80360144 200⨯=.()2选择“器乐”的百分数为8040%200=选择“戏曲”的百分数为()125%15%40%20%-++=．可以估计全校选择“戏曲”的人数约为120020%240⨯＝(人).()3选取结果不管顺序，结果为“书画、器乐”，“书画、戏曲”，“书画、棋类”， “器乐、戏曲”，“器乐、棋类”，“戏曲、棋类”．共6种等可能结果．“”“”16P ∴（抽到器乐和戏曲）＝. 【点睛】本题考查条形和扇形统计图相关，熟练掌握处理条形和扇形统计图的相关技巧是解题的关键. 20.已知关于x 的一元二次方程()2220m x mx --+=有两个不相等的实数根12,x x ． ()1求m 的取值范围；()2若20x <且121x x >-，试求整数m 的值． 【答案】(1)2m ≠，且4m ≠；(2)1m ＝．【解析】【分析】(1)由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0进行分析计算即可；(2)根据题意先求出关于x 的一元二次方程的解，进而代入20x <且121x x >-进行分析计算得出整数m 的值．【详解】解：()1判别式28(2)m m ∆＝－－ ()228164m m m +＝－＝－．由题意04m ∆∴≠＞，．同时，二次项系数20m ≠－．2m ∴≠． m ∴的取值范围是2m ≠，且4m ≠ .()2由()1，当2m ≠时，方程根()()422m m x m ±--＝ 12212x x m ∴-＝,＝ 110x ＝＞，2202xm ∴<-＝ 20m ∴－＜． 2m ∴＜又12212x m x -=>- 22m ∴－＞－0m ∴＞．02m ∴＜＜．∴取整数1m ＝．【点睛】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键. 21.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点,A 与y 轴交于点B ，与双曲线a y x=其中一支交于1522C m m ⎛-⎪+⎫ ⎝⎭，，()2,4D -()1求直线和双曲线的解析式．()2有人说“OAC 与OBD 面积相等”，请判断是否正确并说明理由．【答案】(1)8y x =-，152y x =+；(2)正确，理由详见解析 【解析】【分析】 (1)由题意代入点()2,4D -求出双曲线的解析式，进而得出C 的坐标利用待定系数法求出直线的解析式；(2)根据题意作CE x ⊥轴于E DF y ⊥,于F ，由1502y x =+=，得10x ＝－，由152y x =+，知()0,5B ，以此进行分析判断即可.【详解】解：()1双曲线a y x =经过点()2,4D - 248a ∴⨯＝－＝－．∴双曲线为8y x =- 将152,2C m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭代入，得()15282m m -+=- 252160m m ∴+－＝．解得82,5m m =-=(舍去) ()81C ∴－,81,2 4.k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩ 解得1,52k b == ∴直线为152y x =+. 2OAC （）与OBD 面积相等，正确．理由如下：作CE x ⊥轴于E DF y ⊥,于F ．()81C －,1CE ∴＝．()24D －,，2DF ∴＝由1502y x =+=，得10x ＝－ 10OA ∴＝．由152y x =+，知()0,5B 5OB ∴＝．5ACE DBF S S ∴＝＝．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数结合，熟练掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解题的关键. 22.如图，ABCD 中，45B ∠=︒． 以点A 为圆心，AB 为半径作A 恰好经过点C ．()1CD 是否为A 的切线？请证明你的结论．()2DEF 为割线，30ADF ∠=． 当2AB =时，求DF 的长． 【答案】(1)CD 是A 的切线，理由详见解析；(2)62DF +＝．【解析】【分析】 (1)根据题意连接AC ，利用平行四边形的判定与性质进行分析证明即可；(2)由题意作AH DF ⊥于H ，连接AF ，根据平行四边形的性质以及勾股定理进行分析求解.【详解】解：()1CD 是A 的切线．理由如下．连接AC ，如下图，AB AC ＝，145B ∴∠∠︒＝＝．290∴∠︒＝ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴．3290∴∠∠︒＝＝．CD AC ∴⊥CD ∴是A 的切线()2作AH DF ⊥于H ，连接AF ，如上图，由()1，BC ＝＝ABCD 是平行四边形AD BC ∴＝＝30ADF ∠︒＝， 12AH AD ∴＝DH ∴2AF ＝，FH ∴DF ∴ 【点睛】本题考查平行四边形和圆相关，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及圆的相关性质是解题的关键.23.受非洲猪瘟影响，2019 年肉价大幅．上涨．某养殖场与2018年相比，生猪出栏数减少500头．平均每头出栏价是2018年的2倍，销售总额比2018年增加60%．()1若养殖场2018年生猪销售额为500万元，求2019年平均每头生猪的出栏价格．()2一猪肉专营店在5月份经营中，售价为40元/,1kg 天可卖400kg ．6月份每千克上涨2元，则1天少卖40kg ．受产业链影响继续涨价，销量继续递减．若猪肉的成本折算为36元/,kg 专营店平均每天规划毛利约500元，求这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利．【答案】(1)平均每头猪的出栏价格是4000元；(2)这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利约为2380元．【解析】【分析】(1)根据题意设2018年平均每头猪的出栏价格为x 元，并由题干等量关系建立方程求解即可；(2)由题意设涨价a 元/kg ，则每天总利润()4036(40040)2aW a =+-⨯－，运用配方法求出最大值即可.【详解】解：()1设2018年平均每头猪的出栏价格为x 元．由题意，得 ()5000000160%50000005002x x+=+． 即1000080001x x=+ 20001x ∴= 2000x ∴=．经检验，x=2000是原方程的解且符合题意．2019∴年平均每头猪的出栏价格是4000元．()2设涨价a 元/kg ，则每天总利润()4036(40040)2a W a =+-⨯－ 即()204(20)W a a +-＝－ ()2220168020(8)2880a a a --+＝－＝－－．当8a =时，2880W =最大．28805002380-=(元)即这家专营店1天为养殖场赚的最大毛利约为2380元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并题干等量关系建立方程求解是解题的关键.本题还要注意配方法的运用.24.如图，正方形ABCD 的边长为26，点E 是AB 边的中点，点F 是AD 边上一动点(不含端点)，EG BF ⊥于H ，与直线CD 交于G ．()1求证：EG BF =．()2若,C ,AF x G y ==试写出y 与x 之间的函数关系式．()3求DH 的最小值．【答案】(1)详见解析；(2)当06x ≤＜时，y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝；当626x <<时，y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝；(3)26【解析】【分析】(1)根据题意作GK AB ⊥于K ，运用正方形和矩形的性质以及全等三角形的判定进行分析求证即可；(2)由()1可知KE AF x BK CG y ＝＝,＝＝，进而得出y 与x 之间的函数关系式，并作GP AB ⊥于P 同理进行分析即可求解； (3)根据题意取BE 的中点O ，连接.OH OD ,则DH OD OH ≥-，进而结合勾股定理进行分析求值即可. 【详解】解：()1证明：如图1，作GK AB ⊥于K ．ABCD 是正方形， BCGK ∴是矩形90AB BC A ABC ∠∠︒＝,＝＝．901290KG BC AB EKG ∴∠︒∠+∠︒＝＝,＝,＝．EG BF ⊥1390∴∠+∠︒＝32∴∠∠＝()KGE ABF AAS ∴≌．EG BF ∴＝()2解：如图1，由()1KE AF x BK CG y ＝＝,＝＝6x y BE ∴+＝＝∴当06x ≤＜y 与x 之间的函数关系式为6y x ＝如图2，作GP AB ⊥于P同理，BCGP 是矩形，PGE ABF ≌．PE AF x BP CG y ∴＝＝,＝＝6x y BE ∴－＝＝∴626x <<y 与x 之间的函数关系式为6y x -＝()3解：如图1，取BE 的中点O ，连接.OH OD ,则DH OD OH ≥-．EG CF ⊥，12OH BE OE ∴==． 6BE AE ＝＝6OH OE ∴＝＝362OA ∴＝ 26AD AB ＝＝222925646644OD OA AD ∴+⨯+⨯=⨯＝＝ 562OD ∴＝51662622DH ∴≥=DH ∴的最小值为6【点睛】本题考查正方形的综合问题，熟练掌握正方形和矩形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键. 25.如图，抛物线()()112y x x n =-+-与x 轴交于A B ，两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点,C ABC 的面积为5．动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，过P 作PN x ⊥轴交BC 于M ．交抛物线于N ．()1求抛物线的解析式．()2当MN 最大时，求运动的时间．()3经过多长时间，点N 到点B 、点C 的距离相等？【答案】(1)213222y x x ++＝－，；(2)经过3s ，MN 最大；(3)141+秒，点N 到点B 、点C 的距离相等【解析】【分析】(1)根据题意分别表示出A B ，两点以及点C ，并利用ABC 的面积为5进行分析计算即可得出答案；(2)由()1可知()()4,0,0,2B C ，根据题意设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 213,222N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭得出MN 的关系式进行配方即可；(3)根据题意作BC 的中垂线，与BC 交于点D ，与y 轴交于点E ，运用相似三角形的性质，并设直线DE 为3y kx ＝－运用方程思维进行分析求解.【详解】解：()1()()1 12y x x n +＝－－， ()110,0,0,,02()A B n C n n ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭-，, 112AB n OC n ∴+＝,＝ 由1·52ABC S AB OC ＝＝，得1(1)54n n += ()120n n ∴+＝ 取正根，4n ＝()()1 142y x x ∴+＝－－， 即213222y x x ++＝－， ()2由()1，()()4,0,0,2B C∴直线BC 为122y x =-+ 设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，213,222N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213122222MN x x m ⎛⎫⎛⎫∴=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－ ()()2221112422222m m m m m =+=--=--+ 当2m ＝时，MN 最大．2OP ∴＝3AP ∴＝即经过3s ，MN 最大.()3如图2，作BC 的中垂线，与BC 交于点D ，与y 轴交于点E ．可知C ∠为公共角，90COB CDE ︒∠=∠=，则CDE COB ∽．12CD CO DE OB ∴== 由()2，25BC ＝()2,1D225DE CD ∴＝＝5CE ∴＝3OE ∴＝()03E ∴,-设直线DE 为3y kx ＝－将()2,1D 代入，得231k －＝．2k ∴＝．∴直线DE 为23y x ＝－． 由21322322x x x ++=-－ 得2100.x x +-= 取正根141x -+= 141OM -+∴= 1412AM ∴=即经过12 秒，点N 到点B 、点C 的距离相等．【点睛】本题考查二次函数图象的动点问题，熟练掌握二次函数图象的性质以及运用方程思维和数形结合思维分析是解题的关键.。
新都初中一诊数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. 22. 已知a、b是实数，若a²+b²=1，则a²-b²的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 若m，n是方程x²-2x+m=0的两根，则m+n的值是（）A. 1B. 2C. -1D. 04. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知函数f(x)=2x-1，若f(x)=3，则x的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共20分）6. 若a、b是方程x²-2x+m=0的两根，则a²+b²的值是______。
7. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(-1)的值是______。
8. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则△ABC的面积是______。
9. 若m，n是方程x²-2x+m=0的两根，则m+n的值是______。
10. 已知函数f(x)=2x-1，若f(x)=3，则x的值是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知函数f(x)=x²-4x+3，求：（1）f(x)的对称轴；（2）f(x)在x=2时的值；（3）f(x)在x∈[1,3]时的最大值和最小值。
12. 已知等腰三角形ABC中，底边BC=8，腰AB=AC=10，求：（1）∠BAC的度数；（2）△ABC的面积。
13. 已知函数f(x)=x³-3x²+4x-12，求：（1）f(x)的零点；（2）f(x)在x∈[1,4]时的最大值和最小值。
四、附加题（每题15分，共30分）14. 已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），若f(1)=0，f(2)=5，f(3)=10，求a、b、c的值。
2021年四川省中考数学一诊试卷含答案
2021年四川省某校中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. −3的倒数是（）A.3B.−3C.-D.2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是( )A. B. C. D.3. 我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为()A.37×104B.3.7×105C.0.37×106D.3.7×1064. 在平面直角坐标系中，点P(−3, 2)关于x轴对称的点的坐标是（）A.(3, 2)B.(2, −3)C.(−3, 2)D.(−3, −2)5. 已知，则的值为（）A.1B.−1C.±1D.无法确定6. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是( )A.甲的成绩比乙的成绩稳定B.乙的成绩比甲的成绩稳定C.甲、乙两人的成绩一样稳定D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定7. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；①分别以B，C为圆心，以大于12②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50∘，则∠ACB的度数为（）A.90∘B.95∘C.100∘D.105∘8. 若关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，则m的值是（）A.3 2B.−23C.3D.−39. 如图，AC // EF // DB，若AC＝8，BD＝12，则EF＝（）A.3B.C.4D.10. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c<0；②a−b+c>1；③abc>0；④4a−2b+c<0；⑤c−a>1，其中所有正确结论的序号是()A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）分解因式：a2b−b＝________．已知一次函数y＝kx+k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第________象限．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30∘，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为________．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这两位数所列的方程组是________．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）（1）计算：（2）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．先化简，再求值：a2−2ab+b2a2−b2÷a2−aba−2a+b，其中a，b满足(a−2)2+√b+1=0．某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如下表所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表：（1）统计表中的a＝________，b＝________；（2）根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数；（3）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65∘方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65∘≈0.91，cos65∘≈0.42，tan65∘≈2.14）(m≠0)的图象交于二、如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y = mx四象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−2, 3)，点B的坐标为(4, n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AĈ = CĜ，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若OFFD = 23，求证：AE=AO；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD = √2，求AD的长．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）已知a，b都是实数，，则a b的值为________．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−5x+a=0的两个实数根，且x12−x22=10，则a=________．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，∠B＝30∘，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．如图，过原点的直线与反比例函数y=2x (x>0)、反比例函数y=6x(x>0)的图象分别交于A、B两点，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=6x(x>0)的图象于C点，以AC为边在直线AC的右侧作正方形ACDE，点B恰好在边DE上，则正方形ACDE的面积为________．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠至△AHE，连接BH，延长AE和BH交于点F，BF与CD交于点G，则FG＝________．五、解答题（本大题共3个小题，共30分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积x不超过15亩时，每亩可获得利润y=1900元；超过15亩时，每亩获得利润y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）．(1)请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润y与x的函数关系式；(2)如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积x不超过50亩，设小王家种植x亩樱桃所获得的总利润为W元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润W（元）的最大值．天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP=CQ；(2)变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，CQ=2√2，求正方形ADBC的边长．在同一直角坐标系中，抛物线C1y＝ax2−2x−3与抛物线C2:y＝x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧交y轴于点D．（1）求A、B两点的坐标；（2）对于抛物线C2:y＝x2+mx+n在第三象限部分的一点P，作PF⊥x轴于F，交AD 于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021年四川省某校中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】C【考点】倒数【解析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】−3的倒数是-．2.【答案】C【考点】简单几何体的三视图【解析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【解答】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误.故选C.3.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7×105.故选B.4.【答案】D【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】分式的加减运算绝对值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】方差【解析】根据方差的意义求解可得．【解答】解：∵乙的成绩方差<甲成绩的方差，∴乙的成绩比甲的成绩稳定.故选B.7.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】由CD＝AC，∠A＝50∘，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD＝BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．【解答】∵CD＝AC，∠A＝50∘，∴∠ADC＝∠A＝50∘，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B=1∠ADC＝25∘，2∴∠ACB＝180∘−∠A−∠B＝105∘．8.A【考点】分式方程的增根【解析】先将方程化为整式方程，由分式方程有增根可求解x值，再将x值代入计算即可求解m 值．【解答】由6−xx−3−2mx−3=0得6−x−2m＝x−3，∵关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，∴x＝3，当x＝3时，6−3−2m＝3−3，解得m=32，9.【答案】D【考点】相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x=1、x=−1和x=−2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①结合图象可知，当x=1时，y=a+b+c<0，故①正确；②结合图象可知，当x=−1时，y=a−b+c>1，故②正确；③由抛物线的开口向下可知，a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，对称轴为x=−b2a=−1，得2a=b，∴a，b同号，即b<0，∴abc>0，故③正确；④∵对称轴为x=−b2a=−1，∴点(0, 1)的对称点为(−2, 1)，∴当x=−2时，y=4a−2b+c=1>0，故④错误；=−1，即b=2a，⑤∵当x=−1时，a−b+c>1，−b2a∴c−a>1，故⑤正确．综上，正确的有①②③⑤．故选C.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）【答案】b(a+1)(a−1)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】a2b−b＝b(a2−1)＝b(a+1)(a−1)．【答案】一、二、三【考点】一次函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】5√3【考点】等腰三角形的性质三角形的外接圆与外心【解析】连接OA、OP，连接OB交AP于H，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60∘，根据正弦的概念计算即可．【解答】连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60∘，∵PB＝AB，∴∠POB＝60∘，OB⊥AP，，则AH＝PH＝OP×sin∠POH=5√32∴AP＝2AH＝5√3，【答案】【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6个小题，共54分）【答案】原式＝3−4×+2＝3−2+2 ＝2； ，解不等式①得，x >−3，解x +5>4x −3得，x ≤4，∴ 不等式组的解集是3<x ≤2，∴ 不等式组的整数解是：−6，−1，0，5，2．【考点】解一元一次不等式组在数轴上表示不等式的解集零指数幂一元一次不等式组的整数解特殊角的三角函数值实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)⋅a a(a−b)−2a+b=1a +b −2a +b =−1a+b ，∵ a ，b 满足(a −2)2+√b +1=0，∴ a −2＝0，b +1＝0，a ＝2，b ＝−1，原式=−12−1=−1．【考点】非负数的性质：偶次方分式的化简求值非负数的性质：算术平方根【解析】先化简分式，然后将a 、b 的值代入计算即可．【解答】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)⋅a a(a−b)−2a+b=1a +b −2a +b =−1a+b ，∵ a ，b 满足(a −2)2+√b +1=0，∴ a −2＝0，b +1＝0，a ＝2，b ＝−1，原式=−12−1=−1．【答案】60,0.252000×0.35＝700，所以估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数为700人；画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为7，所以两人恰好选中同一类的概率＝＝．【考点】频数（率）分布表用样本估计总体列表法与树状图法 【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥BC 于F ，则四边形EBFD 是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90∘，∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝，∴BE＝300−，又BF＝DE＝x，∴CF＝414−x，在Rt△CDF中，∠DFC＝90∘，∠DCF＝45∘，∴DF＝CF＝414−x，又BE＝DF，即：300−＝414−x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．【解答】如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90∘，∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝，∴ BE ＝300−，又BF ＝DE ＝x ，∴ CF ＝414−x ，在Rt △CDF 中，∠DFC ＝90∘，∠DCF ＝45∘，∴ DF ＝CF ＝414−x ，又BE ＝DF ，即：300−＝414−x ，解得：x ＝214，故：点D 到AB 的距离是214m ．【答案】解：(1)将点A 的坐标代入y = m x (m ≠0)，得：m =−2×3=−6， 则反比例函数的表达式为：y =−6x ， 将点B 的坐标代入上式并解得：n =−32，故点B(4, − 32)，将点A ，B 的坐标代入一次函数表达式y =kx +b ,得：{−2k +b =3，4k +b =−32， 解得：{k =−34，b =32， 故一次函数的表达式为y =−34x + 32． (2)在y =−34x + 32中，令y =0，则x =2，故点C(2, 0)， ①当∠APC 为直角时，则点P(−2, 0)；②当∠P(P′)AC 为直角时，由点A 、C 的坐标知，PC =4，AP =3，则AC =5，cos ∠ACP = PC AC = 45 = AC CP ′ = 5CP ′，解得：CP′ = 254，则OP′ = 254 − 2 = 174，故点P 的坐标为(−2, 0)或( − 174, 0)．【考点】待定系数法求一次函数解析式待定系数法求反比例函数解析式反比例函数综合题锐角三角函数的定义勾股定理【解析】(1)将点A 的坐标代入y = m x(m ≠0)得：m =−2×3=−6，则反比例函数的表达式为：y = − 6x ，将点B 的坐标代入上式并解得：n = − 32，故点B(4, − 32)，即可求解；(2)分∠APC 为直角、∠P(P ′)AC 为直角两种情况，分别求解即可．【解答】解：(1)将点A 的坐标代入y = m x (m ≠0)，得：m =−2×3=−6，则反比例函数的表达式为：y =−6x ，将点B 的坐标代入上式并解得：n =−32，故点B(4, − 32)， 将点A ，B 的坐标代入一次函数表达式y =kx +b ,得：{−2k +b =3，4k +b =−32， 解得：{k =−34，b =32， 故一次函数的表达式为y =−34x + 32．(2)在y =−34x + 32中，令y =0，则x =2，故点C(2, 0)， ①当∠APC 为直角时，则点P(−2, 0)；②当∠P(P′)AC 为直角时，由点A 、C 的坐标知，PC =4，AP =3，则AC =5，cos∠ACP = PCAC = 45 = ACCP′ = 5CP′，解得：CP′ = 254，则OP′ = 254 − 2 = 174，故点P的坐标为(−2, 0)或( − 174, 0)．【答案】(1)证明：连接OC，∵OC=OB，AĈ = CĜ，∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴∠CBD=∠OCB，∴OC // BD，∴∠ECO=∠EDB，∵CD⊥BG于点D，∴∠EDB=90∘，∴∠ECO=90∘，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)证明：∵OC // BD，∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴△OCF∼△DBF，∴OFDF = OCDB，∵OFFD = 23，∴OCDB = 23，∵OC // BD，∴△EOC∼△EBD，∴OCBD = EOEB，∴EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴OB=OA=a，∴EA=a，∴AE=AO．(3)解：∵OC=OA=a，EO=2a，∴OC = 12EO，又∵∠OCE=90∘，∴∠E=30∘，∵∠BDE=90∘，BC平分∠EBD，∴∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵CD = √2，∴ BC =2√2，BD = √6， ∵ OC BD = 23， ∴ OC = 2√63，作DM ⊥AB 于点M ，∴ ∠DMB =90∘，∵ BD = √6，∠DBM =60∘，∴ BM = √62，DM = 3√22， ∵ OC = 2√63， ∴ AB = 4√63，∴ AM =AB −BM = 4√63 − √62 = 5√66， ∵ ∠DMA =90∘，DM = 3√22， ∴ AD = √AM 2 + DM 2 = √(5√66)2 + (3√22)2 = √783． 【考点】切线的判定切线的性质相似三角形的性质与判定圆与相似的综合勾股定理【解析】(1)要证明CD 是⊙O 的切线，连接OC ，只要证明∠OCE =90∘即可，根据题目中的条件，可以证明OC // BD ，再根据CD ⊥BG 于点D ，从而可以证明结论成立；(2)根据三角形相似的判定与性质，OF FD = 23，可以证明AE =AO ； (3)在(2)的条件下，CD = √2，然后根据三角形相似和勾股定理可以求得AD 的长．【解答】(1)证明：连接OC ，∵ OC =OB ，AĈ = CG ̂，∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴∠CBD=∠OCB，∴OC // BD，∴∠ECO=∠EDB，∵CD⊥BG于点D，∴∠EDB=90∘，∴∠ECO=90∘，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)证明：∵OC // BD，∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴△OCF∼△DBF，∴OFDF = OCDB，∵OFFD = 23，∴OCDB = 23，∵OC // BD，∴△EOC∼△EBD，∴OCBD = EOEB，∴EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴OB=OA=a，∴EA=a，∴AE=AO．(3)解：∵OC=OA=a，EO=2a，∴OC = 12EO，又∵∠OCE=90∘，∴∠E=30∘，∵∠BDE=90∘，BC平分∠EBD，∴∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵CD = √2，∴BC=2√2，BD = √6，∵OCBD = 23，∴OC = 2√63，作DM⊥AB于点M，∴ ∠DMB =90∘， ∵ BD = √6，∠DBM =60∘， ∴ BM = √62，DM = 3√22， ∵ OC = 2√63， ∴ AB = 4√63，∴ AM =AB −BM = 4√63 − √62 = 5√66， ∵ ∠DMA =90∘，DM = 3√22， ∴ AD = √AM 2 + DM 2 = (5√66) + (3√22)= √783． 四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）【答案】4【考点】二次根式有意义的条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】21 【考点】根与系数的关系【解析】由两根关系，得根x 1+x 2=5，x 1⋅x 2=a ，解方程得到x 1+x 2=5，即x 1−x 2=2，即可得到结论．【解答】解：由根与系数的关系，得根x 1+x 2=5，x 1⋅x 2=a ，由x 12−x 22=10得(x 1+x 2)(x 1−x 2)=10，若x 1+x 2=5，即x 1−x 2=2，∴ (x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=25−4a =4， ∴ a =214.故答案为：214.【答案】2021+673【考点】旋转的性质规律型：图形的变化类含30度角的直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】4√3−4【考点】反比例函数图象上点的坐标特征一次函数图象上点的坐标特点【解析】设直线AB的解析式为y=kx，A(m, 2m )，B(n, 6n)，则C(m, 6m)，根据直线的解析式求得k=2m2=6n2，进而求得n=√3m，根据AC=AE，求得4m2=√3−1，因为S正方形=AC2=(4m)2即可求得正方形ACDE的面积；【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx，A(m, 2m )，B(n, 6n)，C(m, 6m)∴{2m =km6 n =kn，∴k=2m2=6n2，∴n=√3m，∵AC=AE，即6m −2m=n−m，∴4m =√3m−m，解得：4m2=√3−1，∵S正方形=AC2=(4m)2=4×4m2=4(√3−1)=4√3−4；【答案】2√1015【考点】翻折变换（折叠问题）正方形的性质【解析】过点H 作MN // AD ，交AB 于M ，交CD 于N ，通过证明△AMH ∽△HNE ，可得AM HN=MH EN=AH EH ，可得MH ＝2EN ，HN =1+EN 2，可求EN 的长，即可求BM ，MH ，HN 的长，由平行线分线段成比例可得HG ，GN ，EG ，GF 的长． 【解答】过点H 作MN // AD ，交AB 于M ，交CD 于N ，∴ ∠BAD ＝∠BMN ＝90∘，∠D ＝∠MNC ＝90∘， ∴ 四边形ADNM 是矩形， ∴ AM ＝DM ，MN ＝AD ＝2， ∵ 将△ADE 沿AE 折叠至△AHE ，∴ AH ＝AD ＝2，∠AHE ＝90∘，HE ＝DE ＝1，∴ ∠AHM +∠EHN ＝90∘，且∠MAH +∠AHM ＝90∘， ∴ ∠MAH ＝∠EHN ，且∠AMH ＝∠ENH ＝90∘， ∴ △AMH ∽△HNE ， ∴ AMHN =MH EN=AHEH ， ∴1+EN HN =MH EN=21，∴ MH ＝2EN ，HN =1+EN 2，∵ MH +HN ＝MN ＝2， ∴ 2EN +1+EN 2=2，∴ EN =35，∴ MH =65，HN =45，AM =85，∴ BM =25，∴ BH =√BM 2+MH 2=2√105， ∵ AB // CD ， ∴ BMNG =MH HN =BH HG =32，∴ NG =415，HG =4√1015，∴ BG =2√103，EG =13，∵ AB // CD ， ∴EG AB=FG BF，∴ 132=FG+2√103∴ FG =2√1015， 五、解答题（本大题共3个小题，共30分） 【答案】解：根据题意，设y =kx +b(k ≠0)，将x =20，y =1800和x =30，y =1600代入， 得{20k +b =1800,30k +b =1600, 解得{k =−20,b =2200,∴ y =−20x +2200(x >15). (2)当0<x ≤15时，W =1900x ， ∴ 当x =15时，W 最大=28500（元）；当15<x ≤50时，W =(−20x +2200)x =−20x 2+2200x =−20(x −55)2+60500， ∵ x ≤50，∴ 当x =50时，W 最大=60000（元），综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大， 总利润W 的最大值为60000元． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式 二次函数的应用【解析】（1）根据题意设y ＝kx +b ，如何待定系数法求解可得；（2）根据总利润＝每亩利润×亩数，分0<x ≤15和15<x ≤110两种情况分别求解可得． 【解答】解：根据题意，设y =kx +b(k ≠0)，将x =20，y =1800和x =30，y =1600代入， 得{20k +b =1800,30k +b =1600, 解得{k =−20,b =2200,∴ y =−20x +2200(x >15). (2)当0<x ≤15时，W =1900x ， ∴ 当x =15时，W 最大=28500（元）；当15<x ≤50时，W =(−20x +2200)x =−20x 2+2200x =−20(x −55)2+60500， ∵ x ≤50，∴当x=50时，W最大=60000（元），综上所述，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，总利润W的最大值为60000元．【答案】(1)问题发现：证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，{AB=AC，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∴△BAP≅△CAQ(SAS)，∴BP=CQ．(2)变式探究：解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ．理由如下：∵在等腰△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=12(180∘−∠ABC)，∵在等腰△APQ中，AP=PQ，∴∠PAQ=12(180∘−∠APQ)，∵∠APQ=∠ABC，∴∠BAC=∠PAQ，∴△BAC∼△PAQ，∴BAAC =PAAQ，∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∼△CAQ，∴∠ABC=∠ACQ．(3)解决问题：解：连接AB，AQ，如图3所示：∵四边形ADBC是正方形，∴ABAC=√2，∠BAC=45∘，∵Q是正方形APEF的中心，∴APAQ=√2，∠PAQ=45∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∵ABAC =APAQ=√2，∴△ABP∼△ACQ，∴ACAB =CQBP=√2，∵CQ=2√2，∴BP=√2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即62=(4+x)2+x2，解得：x=−2±√14，∵x>0，∴x=−2+√14，∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+√14=2+√14．【考点】全等三角形的性质与判定等边三角形的性质相似三角形的性质与判定正方形的性质勾股定理【解析】（1）问题发现易证AB＝AC，AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，由SAS证得△BAP≅△CAQ，即可得出结论；（2）变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC=12(180∘−∠ABC)，∠PAQ=12(180∘−∠APQ)，由∠APQ＝∠ABC，得出∠BAC＝∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出BAAC =PAAQ，易证∠BAP＝∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC＝∠ACQ；（3）解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出ABAC =√2，∠BAC＝45∘，APAQ=√2，∠PAQ＝45∘，易证∠BAP＝∠CAQ，由ABAC =APAQ=√2，得出△ABP∽△ACQ，则ACAB=CQ BP =√2，求出BP=√2CQ＝4，设PC＝x，则BC＝AC＝4+x，在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，代入求出x＝−2+√14，即可得出结果．【解答】(1)问题发现：证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，{AB=AC，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，∴△BAP≅△CAQ(SAS)，∴BP=CQ．(2)变式探究：解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ．理由如下：∵在等腰△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=12(180∘−∠ABC)，∵在等腰△APQ中，AP=PQ，∴∠PAQ=12(180∘−∠APQ)，∵∠APQ=∠ABC，∴∠BAC=∠PAQ，∴△BAC∼△PAQ，∴BAAC =PAAQ，∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∴△BAP∼△CAQ，∴∠ABC=∠ACQ．(3)解决问题：解：连接AB，AQ，如图3所示：∵四边形ADBC是正方形，∴ABAC=√2，∠BAC=45∘，∵Q是正方形APEF的中心，∴APAQ=√2，∠PAQ=45∘，∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，∴∠BAP=∠CAQ，∵ABAC =APAQ=√2，∴△ABP∼△ACQ，∴ACAB =CQBP=1√2，∵CQ=2√2，∴BP=√2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即62=(4+x)2+x2，解得：x=−2±√14，∵x>0，∴x=−2+√14，∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+√14=2+√14．【答案】∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝−3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝−1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2−2x−3，C2的函数表达式为y＝x2+2x−3；在C2的函数表达式为y＝x2+2x−3中，令y＝0可得x2+2x−3＝0，解得x＝−3或x＝1，∴A(−3, 0)，B(1, 0)；∵点E、E′关于直线PD对称，∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，∴∠E′PD＝∠PDE′，∴PE′＝DE′，∴PE＝DE＝PE′＝DE′，即四边形PEDE′是菱形．当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝−x−3，∠ADO＝45∘，设P(a, a2+2a−3)，E(a, −a−3)，∴DE=−√2a，PE＝−a−3−a2−2a+3＝−a2−3a，∴−a2−3a=−√2a，解得a1＝0（舍去），a2=√2−3，∴P(√2−3,2−4√2)．存在．∵AB的中点为(−1, 0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，当AB为平行四边形的一边时，∴GQ // AB且GQ＝AB，由（2）可知AB＝1−(−3)＝4，∴GQ＝4，设G(t, t2−2t−3)，则Q(t+4, t2−2t−3)或(t−4, t2−2t−3)，①当Q(t+4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t+4)2+2(t+4)−3，解得t＝−2，∴t2−2t−3＝4+4−3＝5，∴G(−2, 5)，Q(2, 5)；②当Q(t−4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t−4)2+2(t−4)−3，解得t＝2，∴t2−2t−3＝4−4−3＝−3，∴G(2, −3)，Q(−2, −3)，当AB为平行四边形的对角线时，设G(m, m2−2m−3)，Q(n, n2+2n−3)，∴{−3+12=m+n20+0−m2+2m+3=n2+2n−3，解得m=√3，n＝−2−√3或m=−√3，n＝−2+√3，∴G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(−2, 5)，Q(2, 5)或G(2, −3)，Q(−2, −3)或G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；（2）可判定四边形PEDE′是菱形，然后根据PE＝DE的条件，列出方程求解；（3）由题意可知AB可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出G点坐标和Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得G、Q的坐标．【解答】∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝−3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝−1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2−2x−3，C2的函数表达式为y＝x2+2x−3；在C2的函数表达式为y＝x2+2x−3中，令y＝0可得x2+2x−3＝0，解得x＝−3或x＝1，∴A(−3, 0)，B(1, 0)；∵点E、E′关于直线PD对称，∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．∵PE平行于y轴，∴∠EPD＝∠PDE′，∴∠E′PD＝∠PDE′，∴PE′＝DE′，∴PE＝DE＝PE′＝DE′，即四边形PEDE′是菱形．当四边形PEDE′是菱形存在时，由直线AD解析式y＝−x−3，∠ADO＝45∘，设P(a, a2+2a−3)，E(a, −a−3)，∴DE=−√2a，PE＝−a−3−a2−2a+3＝−a2−3a，∴−a2−3a=−√2a，解得a1＝0（舍去），a2=√2−3，∴P(√2−3,2−4√2)．存在．∵AB的中点为(−1, 0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，当AB为平行四边形的一边时，∴GQ // AB且GQ＝AB，由（2）可知AB＝1−(−3)＝4，∴GQ＝4，设G(t, t2−2t−3)，则Q(t+4, t2−2t−3)或(t−4, t2−2t−3)，①当Q(t+4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t+4)2+2(t+4)−3，解得t＝−2，∴t2−2t−3＝4+4−3＝5，∴G(−2, 5)，Q(2, 5)；②当Q(t−4, t2−2t−3)时，则t2−2t−3＝(t−4)2+2(t−4)−3，解得t＝2，∴t2−2t−3＝4−4−3＝−3，∴G(2, −3)，Q(−2, −3)，当AB为平行四边形的对角线时，设G(m, m2−2m−3)，Q(n, n2+2n−3)，∴{−3+12=m+n20+0−m2+2m+3=n2+2n−3，解得m=√3，n＝−2−√3或m=−√3，n＝−2+√3，∴G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(−2, 5)，Q(2, 5)或G(2, −3)，Q(−2, −3)或G(√3, −2√3)，Q(−2−√3, 2√3)或G(−√3, 2√3)，Q(−2+√3, −2√3)．。
精品解析：四川省成都市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2021~2022学年度上期九年级期末质量检测数学一、选择题1.20222021的相反数是（）A.20222021B.20212022 C.20212022D.20222021【答案】A【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】解：20222021的相反数是-20222021，故选：A．【点睛】本题考查的是相反数，熟练掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．2.下列四个几何体中，主视图是三角形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断．【详解】根据几何体三视图中主视图的定义；正方体的主视图是矩形，不符合题意；圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是三角形，符合题意；B、球的主视图是圆，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往后看．3.新华社日内瓦2021年12月15日电：世界卫生组织15日公布的最新数据显示，全球累计新冠确诊病例接近270000000例．将数据270000000用科学记数法表示为（）A.72710B.82.710C.92.710D.90.2710 【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：270000000=82.710 ，故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4.如图，在ABC 中，∠C ＝35°，AB ＝AC ，则∠B 的大小为（）A.20°B.25°C.30°D.35°【答案】D 【解析】【分析】根据等边对等角求角度．【详解】解：∵∠C ＝35°，AB ＝AC ，∴35B C ＝，故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.两组对边分别相等B.对角线相等C.两组对边分别平行D.对角线互相平分【答案】B 【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可．【详解】解：A ．矩形和平行四边形的两组对边都分别相等，故此选项不符合题意；B ．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；C ．矩形和平行四边形的两组对边都分别平行，故此选项不符合题意；D ．矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，熟知二者的性质是解题的关键．6.下列计算正确的是（）A.222a b a b B.3263a b a b C.623a a a D.224a a a 【答案】B 【解析】【分析】根据完全平方公式计算并判定A ，积的乘方与幂的乘方计算并判定B ，同底数幂相除运算法则计算并判定C ，合并同类项法则计算并判定D ．【详解】解：A ．(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故此选项不符合题意；B ．(-a 2b )3=-a 6b 3，故此选项不符合题意；C ．a 6÷b 2=a 4，故此选项不符合题意；D ．a 2+a 2=2a 2，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查完全平方公式，积的乘方和幂的乘方运算，同底数幂相除的运算，合并同类项法则，掌握幂的运算法则是解题关键．7.如图，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点O ，若AB ＝6，CD ＝3，DO ＝4，则BO 的长是（）A.10B.9C.8D.7【答案】C 【解析】【分析】首先利用AB ∥CD ，证得ABO CDO ∽，然后利用对应线段相似求出OB 的长．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴ABO CDO ∽，∴OB ABOD CD，即6 43 OB，解得：OB=8．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活利用已知条件及图形进行证明求解是解题的关键．8.一元二次方程220x x 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出方程220x x 没有实数根．【详解】解：∵△=b2-4ac=12-4×1×2=-7＜0，∴方程220x x 没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．9.下表是某公司某月的工资表统计图：则该月员工月收入的中位数、众数分别是（）A.5500，5000B.5000，3400C.3400，3000D.5250，3000【答案】C【解析】【分析】根据中位数和众数的概念，从小到大排列顺序后最中间的一个数叫这组数据的中位数；众数为出现次数最多的数；据此解答即可．【详解】解：数据3000出现次数最多，所以众数是3000，共25个数据，把数据按照从大到小排列后，排在中间位置的是3400元，所以中位数是：3400；故选：C．【点睛】此题考查中位数和众数的意义及运用：中位数代表一组数据的“中等水平”，众数代表一组数据的“多数水平”．10.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝－mx －m 与 0my m x的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．【详解】A.由一次函数图象知，0m ＞，由反比例函数图象知，0m ，不可能成立，故A 错误；B.由一次函数图象知，0m ＜，由反比例函数图象知，0m ，可能成立，故B 正确；C.由一次函数图象知，0m ＜，由反比例函数图象知，0m ，不可能成立，故C 错误；D.由一次函数图象知，0m ，由反比例函数图象知，0m ，不可能成立，故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析，理解函数图象与系数之间的关系是解题关键．二、填空题11.分解因式：2a ab =_______________．【答案】a （a ﹣b ）．【解析】【详解】解：2a ab =a （a ﹣b ）．故答案为a （a ﹣b ）．【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．12.中字母x 的取值范围是______．【答案】x ≥2【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得：3x -6≥0，解得：x ≥2，故答案为：x ≥2．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．13.现有一小树苗高100cm ，以后平均每年长高50cm ．x 年后树苗的总高度y （cm ）与年份x （年）的关系式是______．【答案】 501000y x x 【解析】【分析】根据一小树苗高100cm ，以后平均每年长高50cm ，列出关系式即可．【详解】解：由题意得： 501000y x x ，故答案为： 501000y x x ．【点睛】本题主要考查了列关系式，正确理解题意是解题的关键．14.如图，平行四边形ABCD 中，AB >AD ，以点A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F 两点；再分别以E ，F 为圆心，大于EF 的一半长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线AG 交CD 于点H ．若BC ＝12，则DH ＝______．【答案】12【解析】【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到DAH DHA ＝，进而得到DA ＝DH ．【详解】解：由作图可得，AH 平分∠BAD ，∴BAH DAH ＝，∵平行四边形ABCD ，∴CD ∥AB ，AD =BC =12∴BAH DHA ＝，∴DAH DHA ＝，∴DA ＝DH ，又∵AD ＝12，∴DH ＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查基本作图以及平行四边形的性质的运用，等腰三角形的性质与判定，解题关键是掌握平行四边形的对边平行．三、解答题15.（1）计算： 201π 3.1134；（2）解方程：24120x x ．【答案】（1）+7；（2）x 1＝6，x 2＝﹣2．【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简绝对值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算加减即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．【详解】（1）解：201π 3.1134＝﹣﹣1＝+7；（2）解：x 2﹣4x ﹣12＝0，（x ﹣6）（x +2）＝0，则x ﹣6＝0或x +2＝0，解得x 1＝6，x 2＝﹣2．【点睛】本题主要考查实数混合运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．16.化简：221139x x x．【答案】x -3【解析】【分析】先通分，计算括号内的，再把除转化为乘，将分子、分母分解因式，最后约分即可求解．【详解】解：原式=11333x x x x x =33131x x x x x =x -3【点睛】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式四则运算法则与运算顺序．17.如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点C 逆时针旋转90°．（1）画出旋转后的A B C △；（2）求线段AC 在旋转过程中所扫过的扇形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 旋转后的对应点A′、B′的位置，然后顺次连接即可；（2）先求出AC 的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解．【小问1详解】解：如图所示，A B C △如图所示：【小问2详解】由图可知，AC =2，∴线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积2902360．【点睛】本题主要考查了画旋转图形，求图形扫过的面积，熟知相关知识是解题的关键．18.某学校为全体960名学生提供了A 、B 、C 、D 四种课外活动，为了解学生对这四种课外活动的喜好情况，学校随机抽取240名学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A活动的人数为______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为______，估计全体960名学生中最喜欢B活动的人数有______；（2）现从甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人担任“课外活动安全监督员”，请用树状图或列表法表示出所有可能的结果，求乙被选到的概率．【答案】（1）60人；108 ；336人（2）12【解析】【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数，先求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得，用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），则最喜欢C套餐的人数为240−（60＋84＋24）＝72（人），∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为72 360108240，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为84960336240（人），故答案为：60人，108°，336人；【小问2详解】（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中乙被选到的结果数为6，∴乙被选到的概率为：61122．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．由图表获取正确的信息是解题关键．19.如图，反比例函数1ky x（k 为常数，且0k ）的图象与一次函数222y x 的图象都经过点 1,A m ，点 ,B a b ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）求点B 的坐标，并结合图象直接写出当12y y 时x 的取值范围．【答案】（1）A （1，4），14y x；（2）B （-2，-2），x <-2或0<x <1【解析】【分析】（1）将点A 代入222y x ，求出m ，得到A 的坐标，再代入1ky x求出k 即可；（2）解方程422x x即可求出点B 的坐标；当12y y 时，即y 1的图象都在y 2图象的上方，根据图象直接得到答案．【小问1详解】解：将点A 代入222y x ，得m =4，∴A （1，4）；∵1k y x过点A ，∴144k ，∴反比例函数的表达式为14y x；【小问2详解】解：∵1k y x与222y x 交于点A ，点B ，∴422x x ，∴x =-2或x =1，∴y =-2或y =4，∴点B 的坐标为（-2，-2）；当12y y 时x 的取值范围是x <-2或0<x <1．【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，能利用待定系数法求函数解析式，求交点坐标，利用图象求自变量的取值范围，正确理解图象是解题的关键．20.如图，在四边形ABCD 中AD CB ∥，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与四边形ABCD 的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；（2）当MN 平分AMC 时，①求证：四边形ANCM 为菱形；②当四边形ABCD 是矩形时，若8AD ，AC DM 的长．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②3【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AM =CN ，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）①根据角平分线的定义得到∠AMN =∠CMN ，根据平行线的性质得到∠AMN =∠CNM ，得到CM =CN ，根据菱形的判定定理得到平行四边形ANCM 为菱形；②根据菱形的性质得到∠ABN =90°，BC =AD =8，根据勾股定理得到即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AD BC ∥，O 为对角线AC 的中点，∴AO CO ，OAM OCN ，AMO CNO在AOM 和CON 中，{OAM OCNAMO CNO AO CO，∴ AOM CON AAS △△，∴AM CN ，∵AM CN ∥，∴四边形ANCM 为平行四边形；【小问2详解】解：①∵MN 平分AMC ，∴AMN CMN ，∵AD BC ∥，∴AMN CNM ，∴CMN CNM ，∴CM CN ，∴平行四边形ANCM 为菱形；②∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABN ，8BC AD ，而AM CN ，∴4AB ，AM AN NC AD DM ，BN DM ，在Rt ABN △中，根据勾股定理，得222AN AB BN ，∴ 22284DM DM ，解得3DM ．故DM 的长为3．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明△AOM ≌△CON ．四、填空题21.若实数x ，y 满足x －2＝y ，则代数式222x xy y 的值为______．【答案】4【解析】【分析】由x －2＝y ，可知x -y =2，将222x xy y 转化为： 2x y ，整体代入，即可求得结果．【详解】解：∵x －2＝y ，∴x -y =2，∴ 22222=24x xy y x y ．故答案为：4．【点睛】本题主要考查的是整式乘法中利用整体代入的方法进行求值，灵活利用公式是解题的关键．22.若1x ，2x 是一元二次方程220210x x 的两个实数根，则2112325x x x 的值为______．【答案】2024【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2112021x x ，则2112325x x x 化为 1222027x x ，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是一元二次方程x 2-x -2021=0的根，∴x 12-x 1-2021=0，即x 12=x 1+2021，∴x 12-3x 1-2x 2+5=x 1+2021-3x 1-2x 2+5=-2（x 1+x 2）+2026，∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-x -2021=0的两个实数根，∴x 1+x 2=1，∴x 12-3x 1-2x 2+5=-2×1+2026=2024．故答案为：2024．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=c a ．23.若点 11,A x y ， 22,B x y ， 33,C x y 都在反比例函数7y x的图象上，已知2130x x x ，则1y ，2y ，3y 由小到大的排列顺序是______．【答案】123y y y 【解析】【分析】根据反比例函数7y x，可知函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，进而得到1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：∵反比例函数解析式为7y x，∴函数图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，又∵2130x x x ∴30y ，120y y ，∴123y y y ，故答案为：123y y y ．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，利用函数的性质比较函数值的大小，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．24.若实数a 使关于x 的分式方程2411a x x 的解为正数，且使关于y 的不等式组 2132220y y y a的解集为y >a ，求符合条件的所有整数a 的和为______．【答案】13【解析】【分析】先解分式方程得x =64a ，再由题意可得64a ＞0，且64a ≠1，可求得a ＜6且a ≠2；再解不等式组，结合题意可得a ＞1，则可得所有满足条件的整数为1，3，4，5，求和即可．【详解】解：2411a x x ，2-a =4（x -1），2-a =4x -4，4x =6-a ，x =64a ，∵方程的解为正数，∴6-a ＞0，∴a ＜6，∵x ≠1，∴64a ≠1，∴a ≠2，∴a ＜6且a ≠2，213222()0y y y a ①②，由①得y ≥1，由②得y ＞a ，∵不等式组的解集为y ＞a ，∴a ≥1，∴符合条件a 的整数有1，3，4，5，∴符合条件的所有整数a 的和为13，故答案为：13．【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．25.如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上（AE <EC ），连接DE 并延长交AB 于点F ，过点E 作EG ⊥DE 交BC 于点G ，连接DG FG ，DG 交AC 于H ，现有以下结论：①DE ＝EG ；②222AE HC EH ；③DEH S为定值；④CG CD；⑤GF ．以上结论正确的有______（填入正确的序号即可）．【答案】①②④⑤【解析】【分析】通过证明点D ，点E ，点G ，点C 四点共圆，可得∠EGD =∠EDG =45°，可得DE =EG ，故①正确；由旋转的性质可得AN =CH ，DN =DH ，∠DCH =∠DAN =45°，∠CDH =∠ADE ，由“SAS”可证△DEN ≌△DEH ，可得EN =EH ，由勾股定理可得CH 2+AE 2=HE 2，故②正确；利用特殊位置可得EH 的长是变化的，且点D 到EH 的距离不变，则S △DEH 不是定值，故③错误；由“SAS”可证△DNE ≌△GCE ，可得NE =CE ，∠DEN =∠CEG ，由等腰直角三角形的性质可得CD +CG CE ，故④正确；通过证明△DEH ∽△DGF ，可得FG EH ，故⑤正确；即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD =∠ACB =45°，∵EG ⊥DE ，∴∠DEG =∠DCG =90°，∴点D ，点E ，点G ，点C 四点共圆，∴∠DCE =∠DGE =45°，∠GDE =∠GCE =45°，∴∠EGD =∠EDG ，∴DE =EG ，故①正确；如图，将△CDH 绕点D 顺时针旋转90°，得到△ADN ，连接NE ，∴AN =CH ，DN =DH ，∠DCH =∠DAN =45°，∠CDH =∠ADE ，∴∠NAE =90°，∴AN 2+AE 2=NE 2，∵∠FDG =45°，∴∠ADE +∠CDH =45°，∴∠ADE +∠ADN =45°，∴∠NDE =45°=∠FDG ，又∵DE =DE ，DN =DH ，∴△DEN ≌△DEH （SAS ），∴EN =EH ，∴AN 2+AE 2=HE 2，∴CH 2+AE 2=HE 2，故②正确；当点E 与点A 重合时，EH =2AC ，当AE=HC时，∵CH2+AE2=HE2，EH，∴AE=CH=2∴EH=-1）AC，∴EH的长是变化的，又∵点D到EH的距离不变，∴S△DEH不是定值，故③错误；如图，延长CD到N，使DN=CG，连接NE，∵点D，点E，点G，点C四点共圆，∴∠CDE+∠CGE=180°，又∵∠CDE+∠NDE=180°，∴∠NDE=∠CGE，又∵DN=CG，DE=GE，∴△DNE≌△GCE（SAS），∴NE=CE，∠DEN=∠CEG，∴∠NED+∠DEC=∠CEG+∠DEC=90°，∴∠NEC=90°，∴NC CE，∴CD+CG CE，故④正确；如图，连接HF，∵∠FDG =∠CAB =45°，∴点A ，点D ，点H ，点F 四点共圆，∴∠DAC =∠DFH =45°，∴∠DGE =∠DFH =45°，∴点E ，点F ，点G ，点H 四点共圆，∴∠EFG +∠EHG =180°，又∵∠EHG +∠DHE =180°，∴∠DHE =∠DFG ，又∵∠EDH =∠FDG ，∴△DEH ∽△DGF ，∴FG EH =DG DE ，∴FG EH ，故⑤正确；故答案为：①②④⑤．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形或全等三角形是解题的关键．五、解答题26.某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．经调查发现，这种台灯的售价x 每上涨1元，其销售量y 就将减少10个（40≤x ≤60）．（1）求每月销售量y （用含x 的代数式表示）．（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应购进台灯多少个？【答案】（1）1010004060y x x （2）这种台灯的售价应定为50元；这时应购进台灯500个【解析】【分析】（1）直接根据题意用x 表示y 即可；（2）根据销售利润=销售量×单个的利润=10000，列出方程，解方程即可．【小问1详解】解：∵以40元售出，平均每月能售出600个，售价x 每上涨1元，其销售量y 就将减少10个，∴每月销量y 与售价x 的函数关系式为：6001040101000y x x ；即 1010004060y x x ．【小问2详解】根据题意得： 3010100010000x x ，解得：150x ，280x ，∵4060x ，∴280x 舍去，∴这种台灯的售价应定为50元；这时应购进台灯：10501000500 （个）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出方程是解题的关键．27.如图所示，已知边长为13的正方形OEFG ，其顶点O 为边长为10的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，连接CE ，DG ．（1）求证：DOG COE ≌；（2）当点D 在正方形OEFG 内部时，设AD 与OG 相交于点M ，OE 与DC 相交于点N ．求证：MD ND ；（3）将正方形OEFG 绕点O 旋转一周，当点G ，D ，C 三点在同一直线上时，请直接写出EC 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3或17【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到OD =OC ，OG =OE ，只需要证明∠GOD =∠EOC 即可证明DOG COE ≌；（2）如图所示，过点O 作OK ⊥AD 于K ，OJ ⊥CD 于J ，则四边形OJDK 是矩形，先证明四边形OJDK 是正方形，得到OK =OJ =DK =DJ ，则OD；再证OKM OJN ≌得到KM =JN ，由此即可得到答案；（3）分G 在CD 延长线上和G 在DC 的延长线上，两种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD =OC ，∠DOC =90°，∵四边形EFGO 是正方形，∴90GOE DOC ，OG =OE ，∴GOE DON DOC DON ，即∠GOD =∠EOC ，∴GOD EOC SAS ≌（）；【小问2详解】解：如图所示，过点O 作OK ⊥AD 于K ，OJ ⊥CD 于J ，则四边形OJDK 是矩形，又∵∠JDO =45°，∴DJO 是等腰直角三角形，∴DJ =OJ ，∴四边形OJDK 是正方形，∴OK =OJ =DK =DJ ，∴OD ；∵90GOE KOJ ，∴KOM JON ，又∵90OKM OJN ，∴OKM OJN ASA ≌（），∴KM =JN ，∴22DM DN DK KM DJ NJ DK KM DJ KM DJ OD【小问3详解】解：如图2所示，过点O 作OH ⊥CD 于H ，∵∠DOC =90°，CD =10，OD =OC ，OH ⊥DC ，∴DH =CH =5，∴152OH CD ，∵OG =13，∴2212GH OG OH ，∴DG =GH -DH =7，∵DOG COE ≌，∴CE =DG =3；如图3所示，当G 在DC 的延长线上时，同理可得GH =12，DG =DH +GH =17，∴CE =DG =17，综上所述，满足题意的CE 的长为3或17．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的相关知识．28.如图，点A 是反比例函数 0k y k x图象上的点，AB 平行于y 轴，且交x 轴于点 10B ,，点C 的坐标为 1,0 ，AC 交y 轴于点D ，连接BD ，AD（1）求反比例函数的表达式；（2）设点P 是反比例函数 0k y x x图象上一点，点Q 是直线AC 上一点，若以点O ，P ，D ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标；（3）若点 ,M a b 是该反比例函数k y x图象上的点，且满足∠MDB >∠BDC ，请直接写a 的取值范围．【答案】（1）4=y x（2），，(2 （3）2a 或11-3302a【解析】【分析】（1）由AB ∥y 轴，AD AC ，BC =2，再利用勾股定理即可求得AB ，得出点A (1，4)，运用待定系数法即可求得答案；（2）利用待定系数法求得直线AC 的解析式为y =2x +2，设Q (m ，2m +2)，分类讨论：当OD 为平行四边形的边时，运用平行四边形对边平行且相等建立方程求解即可；当OD 为平行四边形的对角线时，运用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可；（3）分两种情况：当点M (a ，b )在第三象限时，设直线AC 与双曲线4=y x在第三象限的交点为E ，求得点E 的横坐标即可得出答案；当点M (a ，b )在第一象限时，如图4，将△DBC 沿着DB 翻折得到△DBE ，过点B 当点M (a ，b )在第一象限时，如图|4，将△DBC 沿着DB 翻折得到△DBE ，过点B 作BK ⊥CD 于点K ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，延长DE 与双曲线4=y x在第一象限的交点为G ，运用翻折的性质和相似三角形性质求出点E 的坐标，再运用待定系数法求得直线DE 的解析式，求出直线DE 与双曲线的交点横坐标即可得出答案．【小问1详解】解：∵ 10B ,，C 1,0 ∴OB =OC =1∵AB ∥y 轴，AD∴AC ，BC =2∵∠ABC =90°∴AB 4∴A （1，4）∵点A 是反比例函数 0k y k x图象上的点∴4=1k解得k =4∴反比例函数的解析式是4=y x【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为y =ax +b ，∵A (1，4)，C (-1，0)∴+=4-+=0a b a b 解得=2=2a b ∴直线AC 的解析式为y =2x +2设Q （m ，2m +2）当OD 为平行四边形的边时，如图1，则PQ ∥OD ，PQ =OD ，∴4(,)P m m ∴PQ =|2m +2-4m |在Rt △CDO 中，OD 2∴|2m +2-4m |=2解得=m 或=m ∵点P 在第一象限∴m >0∴或m∴1Q ，2Q ，当OD 为平行四边形的对角线时，如图2则33//O P D Q ∵3DQ 所在直线AC 的解析式为y =2x +2∴3OP 所在的直线的解析式为y =2x联立可得2x =4x∴= x ∵点P 在第一象限∴P ∵四边形33O P D Q 是平行四边形∴PK =DK ，33=P K Q K ∴+2=02m解得m∴3(Q综上，点Q 的坐标为，，(2 ．【小问3详解】当点M （a ，b ）在第三象限，如图，设直线ACAC 与双曲线4=y x 在第三象限的交点为E ，由42+2=x x，解得x =1或x =-2∴E （-2，-2）∵a <-2当点M （a ，b ）在第一象限时，如图4将△DBC 沿着DB 翻折得到△DBE ，过点B 做BK ⊥CD 于K ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，延长DE 与双曲线4=y x 在第一象限的交点为G ，∵11==22D BC S BC O D CD BK∴45===5BC O D BK CD ∴DK355由翻折知：∠DBE =∠DBC ，∠DEB =∠DCB ，∠BDE =∠BDC ，BE =BC =2∵Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AD =CD∴BD =CD △∴∠DBC =∠DCB∴∠DBE =∠DBC =∠DEB =∠DCB∵∠DBC +∠DCB +∠BDC =180°，∠DBC +∠DBE +∠EBF =180°∴∠EBF =∠BDC∵∠BFE =∠BKD =90°∴△BEF ∽△DBK ∴==BF EF BE D K BK BD==354555∴BF =65，EF =85∴OF =OB +BF =1+611=55∴118(,55E 设直线DE 的解析式为y =cx +d∵D （0，2），118(,55E ∴=2118+=55d c d 解得2=11=2c d ∴直线DE 的解析式是2211y x+ 由42=-+211x x ，解得1133=2x ∴11-3302a 综上，a 的取值范围是2a 或11-3302a．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．第28页/共28页。
2021-2022年成都市九年级数学上期末一模试卷含答案(1)
A． B． C． D．
8．如图，梯形ABCD中，AC交BD于点O，已知AD∥BC，AD=2，BC=4，S△AOD=1，则梯形ABCD的面积为（）
A．9B．8C．7D．6
9．如图，线段 ，点 是线段 的黄金分割点(且 )，点 是线段 的黄金分割点（ ），点 是线段 的黄金分割点 依此类推，则线段 的长度是（）
A． B． C． D．
10．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（ ）．
A． B． C． D．
11．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ，上述记号就叫做2阶行列式．若 ，则x的值为（）
【详解】
解：设正方形AOBC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则E(a﹣b，a+b)，
∴(a+b)•(a﹣b)＝10，
整理为a2﹣b2＝10，
∵S正方形AOBC＝a2，S正方形CDEF＝b2，
∴S正方形AOBC﹣S正方形CDEF＝10，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k是常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
（2）第一列小立方体的个数最少为2+1+1，最多为2+2+2，那么加上其它2列小立方体的个数即可；
（3）由（2）可知，这个几何体最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成，所以共有7种情况；其中从左面看该几何体的形状图共有4种；小立方块最多时几何体的左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2．
2021-2022学年四川省成都市高新区九年级(上)期末数学试卷(一诊)(解析版)
2021-2022学年四川省成都市高新区九年级第一学期期末数学试卷（一诊）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．正方形的对称轴条数是（）A．4B．3C．2D．12．如图所示，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（4，1）4．同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（）A．0.8米B．6.4米C．12.8米D．25.6米5．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（）A．B．C．D．6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x）（1+2x）＝9100C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝91007．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（）A．（﹣3，）B．（﹣2，3）C．（﹣，3）D．（﹣3，2）8．根据表格对应值：x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c﹣0.590.84 2.29 3.76判断关于x的方程ax2+bx+c＝2的一个解x的范围是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．无法判定9．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO10．如图，P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，点Q的横坐标大于点P的横坐标，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，A，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，C．PB与CQ交于点E，设四边形ACEP的面积为S1，四边形BDQE的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．已知，则＝．12．已知△ABC∽△DEF，，若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为．13．已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．14．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD 的面积为cm2．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）解方程x2﹣x﹣6＝0；（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围．16．垂直于地面的电线杆顶端是路灯灯泡，如图所示，木杆AB，DE垂直于地面．它们在路灯下的影子分别是BC，EF．（1）请画出电线杆PQ（路灯灯泡用点P表示，电线杆底部用点Q表示）；（2）若木杆AB的高度为3米，影长BC为4米，木杆底部B与电线杆底部Q的距离为2米，求电线杆PQ的高度．17．小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．（1）利用树状图或列表的方法表示出游戏所有可能出现的结果；（2）游戏者获胜的概率是多少？18．如图，要围一个矩形菜园，现利用一面长度为12米的墙，另外三边用24米长的篱笆．能否围出一个面积为70平方米的矩形菜园？若能，求出该菜园与墙平行一边的长度；若不能，说明理由．19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（4，1），B（n，﹣4）两点，与y轴交于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）将直线y＝kx+b向上平移，平移后的直线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点P，连接PA，PC，若△PAC的面积为12，求点P的坐标．20．如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．（1）射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．ⅰ）求证：△ADE∽△DCG；ⅱ）若AB＝10，AD＝6，求CG的长；（2）如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为个．22．已知m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则n2+n+2m的值为．23．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，连接ED，延长EA至F，使EF＝ED．以线段AF为边作正方形AFGH，点H落在AD边上，连接FH并延长，交ED于点M，则的值为．24．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为．25．如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答题写在答题卡上）26．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元．（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯（用含x的代数式表示）；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？27．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；（2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．28．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；（3）如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．正方形的对称轴条数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据正方形的对称性解答．解：正方形有4条对称轴．故选：A．2．如图所示，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解：从正面看，外面是一个正方形，里面右上角是一个小正方形．故选：A．3．若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（4，1）【分析】将（3，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：因为反比例函数y＝的图象经过点（3，2），故k＝3×2＝6，只有C中﹣3×（﹣2）＝6＝k．故选：C．4．同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（）A．0.8米B．6.4米C．12.8米D．25.6米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解：设高度为h米，因为太阳光可以看作是互相平行的，由相似三角形：＝，解得：h＝12.8．故选：C．5．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，∴P（和为5）＝＝．故选：C．6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x）（1+2x）＝9100C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到3600万元，即可列方程．解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（）A．（﹣3，）B．（﹣2，3）C．（﹣，3）D．（﹣3，2）【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），故选：A．8．根据表格对应值：x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c﹣0.590.84 2.29 3.76判断关于x的方程ax2+bx+c＝2的一个解x的范围是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．无法判定【分析】利用表中数据得到x＝1.2和x＝1.3时，代数式ax2+bx+c的值一个小于2，一个大于2，从而可判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2+bx+c的值为2．解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29，当x＝1.2时，ax2+bx+c＝0.84，所以方程的解的范围为1.2＜x＜1.3．故选：B．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．10．如图，P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，点Q的横坐标大于点P的横坐标，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，A，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，C．PB与CQ交于点E，设四边形ACEP的面积为S1，四边形BDQE的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定【分析】由k的几何意义可知，S四边形AOBP＝S四边形ODQC，则S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，即可得到S1＝S2．解：∵P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，∴OA•OB＝OC•OD＝k，∴S四边形AOBP＝S四边形ODQC，∴S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，∴S1＝S2．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．已知，则＝．【分析】根据题意，设x＝3k，y＝5k，代入即可求得的值．解：由题意，设x＝3k，y＝5k，∴＝＝．故答案为：12．已知△ABC∽△DEF，，若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为8．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，∵△ABC的面积为2，∴△DEF的面积为8，故答案为：8．13．已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1＞y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【分析】由反比例函数y＝可知，在同一个象限内，y随x的增大而减小即可得答案．解：∵反比例函数y＝中k＝2＞0，∴在同一个象限内，y随x的增大而减小，∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，∴y1＞y2，故答案为：＞．14．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD 的面积为4cm2．【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝2cm，∴BO＝1cm，∵AB＝cm，∴AO＝＝＝2（cm），∴AC＝2AO＝4cm．∴S菱形ABCD＝（cm2）．故答案为：4．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）解方程x2﹣x﹣6＝0；（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围．【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；（2）根据题意列出关于m的方程，解方程即可得到结论．解：（1）方程x2﹣x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，所以x﹣3＝0或x+2＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m≥0，解得：m≤1．故m的取值范围为m≤1．16．垂直于地面的电线杆顶端是路灯灯泡，如图所示，木杆AB，DE垂直于地面．它们在路灯下的影子分别是BC，EF．（1）请画出电线杆PQ（路灯灯泡用点P表示，电线杆底部用点Q表示）；（2）若木杆AB的高度为3米，影长BC为4米，木杆底部B与电线杆底部Q的距离为2米，求电线杆PQ的高度．【分析】（1）根据中心投影的定义，画出图形即可；（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．解：（1）如图，线段PQ即为所求；（2）∵CB＝4米，BQ＝2米，∴CQ＝6（米），∵AB∥PQ，∴△ABC∽△PQC，∴＝，∴＝，∴PQ＝（米）．17．小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．（1）利用树状图或列表的方法表示出游戏所有可能出现的结果；（2）游戏者获胜的概率是多少？【分析】用树状图列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．解：（1）用树状图表示：所有可能结果：（红、黄），（红、绿），（红、蓝），（白、黄），（白、绿），（白，蓝）（2）分析可得，共6种情况，游戏者获胜的有1种情况；P（获胜）＝18．如图，要围一个矩形菜园，现利用一面长度为12米的墙，另外三边用24米长的篱笆．能否围出一个面积为70平方米的矩形菜园？若能，求出该菜园与墙平行一边的长度；若不能，说明理由．【分析】设该菜园与墙平行一边的长度为x米，则与墙垂直的一边的长度为（24﹣x）米，根据“面积为70平方米”列出方程并解答．解：设该菜园与墙平行一边的长度为x米，则与墙垂直的一边的长度为（24﹣x）米，由题意，得（24﹣x）•x＝70．即x2﹣24x+140＝0．解得x1＝12，x2＝10．∵墙长为12米，12＝12且10＜12，∴用24米长的篱笆不能围出一个面积为70平方米的矩形菜园，此时该菜园与墙平行一边的长度为10米或12米．19．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（4，1），B（n，﹣4）两点，与y轴交于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）将直线y＝kx+b向上平移，平移后的直线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点P，连接PA，PC，若△PAC的面积为12，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设平移后的一次函数的解析式为y＝x﹣3+b，交y轴于Q，连接AQ，根据同底等高的三角形面积相等得到，解方程求得b的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（4，1），∴m＝4×1＝4，∵B（n，﹣4）在y＝上，∴﹣4＝，∴n＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∵一次函数y＝kx+b的图象经过A，B，∴，解得，∴一次函数与反比例函数的解析式分别为y＝和y＝x﹣3．（2）设平移后的一次函数的解析式为y＝x﹣3+b，交y轴于Q，连接AQ，令x＝0，则y＝b﹣3，∴Q（0，b﹣3），∵S△ACQ＝S△ACP＝12，∴，解得b＝9，∴平移后的一次函数的解析式为y＝x+6，解得或，∴P（﹣3+，3+）．20．如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．（1）射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．ⅰ）求证：△ADE∽△DCG；ⅱ）若AB＝10，AD＝6，求CG的长；（2）如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．【分析】（1）i）根据翻折的性质和相似三角形的判定解答即可；ii）根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解得即可．解：（1）i）由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠CDG+∠ADO＝90°，∠ADO+∠EAD＝90°，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE＝∠DCG＝90°，∴△ADE∽△DCG；ii）∵AB＝10△ADE≌△AFE，∴AF＝AD＝6，在Rt△ABF中，BF＝，设DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即（8+x）2＝62+（10﹣x）2，解得：x＝2，由i）可知△ADE∽△DCG，∴，∴，解得：CG＝；（2）由i）可知，△ADE∽△DCG，∴，同理可得，△ADE∽△DOE，即，∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，∵HG∥AE，∴△HGF∽△EDF，∵△DOE≌△FOE，∴，∵∠BGH+∠CGD＝90°，∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠CGD＝∠BHG，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BHG∽△CGD，∴，综上所述，△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，设CE＝x，DC＝5+x，CG＝，BG＝10﹣CG＝10﹣，BH＝BG＝，HG＝BH＝，∵HG：GF＝1：2，∴GF＝，在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5，DO＝，∵，∵，∴OE＝，DO＝OF＝2，在△DCG中，DC＝5+x，CG＝，DG＝DF+FG＝4，∵，∴DG＝CG，即，解得：x＝9，即CE＝9．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为12个．【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．解：估计这个口袋中红球的数量为20×＝12（个），故答案为：12．22．已知m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则n2+n+2m的值为5．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到n2＝n+3，则n2+n+2m可化为2（m+n）+3，再根据根与系数的关系得到m+n＝1，然后利用整体代入的方法计算．解：∵n是方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴n2﹣n﹣3＝0，∴n2＝n+3，∴n2+n+2m＝n+3+n+2m＝2（m+n）+3，∵m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，∴m+n＝1，∴n2+n+2m＝2×1+3＝5．故答案为：5．23．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，连接ED，延长EA至F，使EF＝ED．以线段AF为边作正方形AFGH，点H落在AD边上，连接FH并延长，交ED于点M，则的值为．【分析】过点M作MN⊥AD于点N，根据勾股定理可得DE＝EF＝，根据四边形AFGH 是正方形，可得AF＝AH＝EF﹣AE＝﹣1，根据MN∥AE，可得△DMN∽△DEA，所以＝＝，即＝＝，设MN＝NH＝x，则DN＝2x，DM＝x，根据DN+NH＝AD﹣AH，列式3x＝2﹣（﹣1）＝3﹣，求出x的值，进而可以解决问题．解：如图，过点M作MN⊥AD于点N，∵正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，∴AD＝AB＝2，AE＝1，∠EAD＝90°，∴DE＝EF＝＝，∵四边形AFGH是正方形，∴AF＝AH＝EF﹣AE＝﹣1，∵∠AHF＝∠NHM＝45°，∴MN＝NH，∵MN∥AE，∴△DMN∽△DEA，∴＝＝，设MN＝NH＝x，则DN＝2x，DM＝x，∴DN+NH＝AD﹣AH，∴3x＝2﹣（﹣1）＝3﹣，∴x＝，∴DM＝x，∴＝＝x＝．故答案为：．24．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为．【分析】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．利用相似三角形的判定和性质证明∠ACE＝60°，推出点E的运动轨迹是射线CE，当EF⊥CE时，EF 的值最小，此时EF＝CF•sin60°．解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．在Rt△ABH中，AH＝AB•sin60°＝，∵∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝，AC＝AH＝，∵△ADE∽△ABC，∴∠JCD＝∠AEJ，∠ABC＝∠ADE＝60°，∵∠AJE＝∠DJC，∴△AJE∽△DJC，∴＝，∴＝，∵∠AJD＝∠EJC，∴△AJD∽△EJC，∴∠ADJ＝∠ACE＝60°，∴点E的运动轨迹是射线CE，∴当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF•sin60°＝．故答案为：．25．如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为4，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为36．【分析】分别过点A，C，D，E作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，J，且线段DH 交OE于点M；所以AF∥DH∥CG∥EJ，所以CG：AF＝BC：AB＝BG：BF，设OF＝m，则A（m，），因为AC＝3BC，可得CG＝，所以C（4m，），则OG＝4m，所以FG＝3m，所以OB＝m+3m+m＝5，解得m＝，所以OF＝BG＝，FG＝3，AF＝，CG＝；易得△OAF∽△ABF，所以AF：BF＝OF＝AF，即：4＝：，解得a＝4；则AF＝2，CG＝，由平行线分线段成比例可得，OG：CG＝OJ：EJ＝4：＝8：1，设OJ＝n，则EJ＝n，所以E（n，n），则b＝n2，又OF：AF＝OH：DH，即：2＝OH：DH＝1：2，设OH＝t，则DH＝2t，则D（t，2t），所以2t2＝b＝n2，解得t＝n（负值舍去），所以D（n，n），易得直线OC的解析式为：y＝x，所以M（n，n），所以DM＝n﹣n＝，由△DCE的面积为45可得，•DM•（x E﹣x C）＝45，即••（n﹣4）＝45，解得n＝12（负值舍去），b＝×（12）2＝36．解：如图，分别过点A，C，D，E作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，J，且线段DH 交OE于点M；∴AF∥DH∥CG∥EJ，∴CG：AF＝BC：AB＝BG：BF，设OF＝m，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，C，∴A（m，），∴AF＝，∵AC＝3BC，∴BC：AB＝1：4，∴CG：＝1：4＝BG：BF，∴CG＝，∴C（4m，），∴OG＝4m，∴FG＝3m，∴BG＝m，BF＝4m，∴OB＝m+3m+m＝5，解得m＝，∴OF＝BG＝，FG＝3，∴AF＝，CG＝，∵Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，∴∠OAC＝∠AFB＝∠AFO＝90°，∴∠OAF+∠AOF＝∠OAF+∠FAB＝90°，∴∠AOF＝∠FAB，∴△OAF∽△ABF，∴AF：BF＝OF＝AF，∴：4＝：，解得a＝4；∴AF＝2，CG＝，∵CG∥EJ，∴OG：CG＝OJ：EJ＝4：＝8：1，设OJ＝n，∴EJ＝n，∴E（n，n），∴b＝n2，∵AF∥DH∥CG∥EJ，∴OF：AF＝OH：DH，即：2＝OH：DH＝1：2，设OH＝t，则DH＝2t，∴D（t，2t），∴2t2＝b＝n2，解得t＝n（负值舍去），∴D（n，n），设直线OC的解析式为：y＝k′x，∴4k′＝，∴k′＝，∴直线OC的解析式为：y＝x，∴M（n，n），∴DM＝n﹣n＝，∵△DEC的面积为45，∴DM（x E﹣x C）＝45，即×（n﹣4）＝45，解得n＝12（负值舍去），∴b＝×（12）2＝36．故答案为：4；36．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答题写在答题卡上）26．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元．（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯（用含x的代数式表示）；（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？【分析】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量；（2）根据总利润＝单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯．故答案为：（600﹣10x）．（2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，整理，得：x2﹣50x+400＝0，解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去），∴40+x＝50，600﹣10x＝500．答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．27．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；（2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．【分析】（1）①可证得△ADE∽△ABC，进而命题得证；②作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，可得BE＝6，解Rt△BCG求得BG，CG，进而求得EG，从而得出tan∠CEG，于是设EH＝a，FH＝2a，BH＝4a，由BE＝6可求得a，进而求得BF；（2）当当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，可证得∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，设AF与DE 的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，设OG＝OE，在Rt△DOG求得a，然后解斜三角形ACE，进而求得结果．【解答】（1）①证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴AE•AB＝AD•AC；②解：如图1，作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∴AE＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，∵BG＝BC•cos∠ABC＝6•＝6×＝，CG＝BC•sin∠ABC＝6×＝，∴EG＝BE﹣BG＝6﹣＝，∴tan∠FEH＝tan∠CEG＝，∴tan∠FEH＝，设EH＝a，FH＝2a，∵tan∠FBE＝，∴BH＝4a，∵BH﹣EH＝BE，∴4a﹣a＝6，∴a＝2，∴FH＝4，BH＝8，∴BF＝＝＝4；（2）如图2，当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∴点A、E、F、D共圆，∴∠DEF＝∠DAF，设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，∵AF平分∠DAE，∴OG＝OE，AG＝AF＝4，∴DG＝AD﹣AG＝1，设OG＝OE＝x，∴OD＝3﹣x，在Rt△DOG中，（3﹣x）2﹣x2＝12，∴x＝，∴OG＝OE＝，∴tan∠DAF＝，sin∠DAF＝，cos∠DAF＝，∵∠AED＝90°，∴∠AEH+∠DEF＝90°，∵∠AEH+∠EAH＝90°，∴∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，∴EH＝AE•sin∠EAH＝4×＝，AH＝AE•cos∠EAH＝4×＝，∴CH＝＝＝，∴CE＝EH+CH＝．28．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；（3）如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【分析】（1）由△ABO≌△DAC，得到OC＝OA+AC＝OA+OB，再由已知求出AO＝2，OB＝1，即可得到A（2，0），D（3，2），用待定系数法求直线AD的解析式即可；（2）由题意可知只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求解即可；（3）设G（n，2n﹣4），P（m，m+1），Q（3，p），AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，列出方程组，解得n＝或n＝．解：（1）∵△ABO≌△DAC，∴AC＝OB，AO＝CD，∵C（3，0），∴OC＝3，∵OC＝OA+AC＝OA+OB，又∵AO＝2BO，∴AO＝2，OB＝1，∴B（0，1），A（2，0），∴CD＝2，∴D（3，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝2x﹣4；（2）设BD的解析式为y＝ax+c，∴，∴，∴y＝x+1，∴E（﹣3，0），∴AE＝5，AD＝，ED＝2，AC＝1，∵F点在直线AD上，∴F（t，2t﹣4），∴AF＝|t﹣2|，∵∠DAC＝∠EDA+∠DEA，∴△ACF与△ADE相似时，只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，∴t＜2，①当△ACF∽△ADE时，＝，∴＝，∴t＝3（舍）或t＝1；②当△ACF∽△AED时，＝，∴＝，∴t＝或t＝（舍）；综上所述：t的值为1或；（3）设G（n，2n﹣4），P（m，m+1），Q（3，p），∵四边形AQPG是菱形，∴AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，∴，解得n＝或n＝，∴G（，3﹣3）或G（，﹣3﹣3）．。
2021年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷
2021年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷一、选择题（每小题3分，共30分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．（3分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥2．（3分）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，截至2020年11月17日凌晨，“天问一号”探测器已在轨飞行116天，距离地球约6380万千米．用科学记数法表示6380万千米为（）A．6.38×107千米B．6.38×108千米C．6.38×106千米D．6.38×109千米3．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A等于（）A．B．C．D．14．（3分）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（2，﹣）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，﹣）5．（3分）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分内角6．（3分）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（）A．6个B．15个C．13个D．12个7．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝3C．x1＝1，x2＝3D．x＝08．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF位似②△ABC与△DEF周长比为2：1③△ABC与△DEF面积比为4：1④△ABC与△DEF是相似图形A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果．12．（4分）《九章算术》第九章“勾股”问题十九：“今有邑方（正方形小城）不知大小，各开中门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问：邑方几何（小城的边长）？”根据描述如图所示，其中E表示西门，F表示北门，G处是木（E，F分别是所在边的中点）．则邑的边长为步．13．（4分）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，以4为半径作弧，交∠AOB的两边于A，B 两点，再分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，若∠AOB＝60°，则点B到OC的距离为．14．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是．三、解答题（本大题共6小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：+（﹣2）3sin60°•cos45°+（2﹣）0﹣（﹣1）2021；（2）计算：cos60°+2sin30°﹣tan30°•tan60°﹣sin245°．16．（6分）解分式方程：+＝2．17．（8分）2020年12月8日，中国、尼泊尔两国向全世界正式宣布，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC是多少米．18．（8分）成都市将于2021年3月1日起正式实施《成都市生活垃圾管理条例》，该《条例》将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、其他垃圾和有害垃圾四类．为了更好宣传垃圾分类，某中学九年级一班举行了“垃圾分类，从我做起”的主题班会，他们将收集到的四个图标制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．他们将卡片背面朝上，均匀放好．（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“其他垃圾”的概率是；（2）从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“可回收物”和“有害垃圾”的概率（这四张卡片用它们的编号A，B，C，D表示）．19．（10分）如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A 的坐标为（2，4），△AOB的面积为6．（1）反比例函数的表达式；（2）求直线AB的函数表达式；（3）若动点P在y轴上运动，当|P A﹣PB|最大时，求P点坐标．20．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的动点（点D不与A，B重合），过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF∥BC，交AC于点F，连接EF，设BD的长度为a．（1）求证：△BED∽△DAF；（2）若存在一点D，使得四边形BEFD为平行四边形，求出此时a的值；（3）若四边形BEFD的面积为S，请用a的表达式表示S．四、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则AC的长为．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，则平行四边形的面积是．23．（4分）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是．24．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b ＝0有解的概率是．25．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，AD⊥BE交BC于D，若AD＝，BE＝5，则BD＝．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展．缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．（1）分别求①当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为；②当x＞4时，y与x之间的函数表达式为．（2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时．27．（10分）如图①，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点，DE∥AB．现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE．（1）在图②中，求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点．①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度；②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点与坐标原点O重合，OA 边落在x轴上，且OA＝2，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接CD，OD．（1）求反比例函数的表达式；（2）求D点的坐标；（3）在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，则求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．2021年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．（3分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选：D．2．（3分）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道，截至2020年11月17日凌晨，“天问一号”探测器已在轨飞行116天，距离地球约6380万千米．用科学记数法表示6380万千米为（）A．6.38×107千米B．6.38×108千米C．6.38×106千米D．6.38×109千米【解答】解：6380万千米＝63800000千米＝6.38×107千米．故选：A．3．（3分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A等于（）A．B．C．D．1【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝．故选：A．4．（3分）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A．（2，﹣）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，﹣）【解答】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，四个选项中只有B符合．故选：B．5．（3分）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分内角【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．故选：C．6．（3分）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（）A．6个B．15个C．13个D．12个【解答】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得：＝20%，解得x＝12，经检验x＝12是分式方程的解，所以口袋中白球可能有12个，故选：D．7．（3分）一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝0，x2＝3C．x1＝1，x2＝3D．x＝0【解答】解：∵x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1，故选：C．8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的中点，EC交对角线BD于点F，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△EDF∽△CBF，∴，∵点E是边AD的中点，∴AD＝2ED，∴BC＝2ED，∴＝，故选：B．9．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k（k为常数，且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不可能；B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不可能；C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不可能；D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项有可能；故选：D．10．（3分）如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF位似②△ABC与△DEF周长比为2：1③△ABC与△DEF面积比为4：1④△ABC与△DEF是相似图形A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，∴DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，DE＝AB，DF＝AC，EF＝BC，∴△ABC∽△DEF，相似比为2：1，∴△ABC与△DEF位似，△ABC与△DEF周长比为2：1，△ABC与△DEF面积比为4：1，∴①②③④的说法都正确，故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果1．【解答】解：由图可得：﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2．∴a﹣b＜0，1﹣a＞0，b﹣2＜0．∴|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|＝﹣（a﹣b）﹣（1﹣a）﹣（b﹣2）＝﹣a+b﹣1+a﹣b+2＝1．故答案为：1．12．（4分）《九章算术》第九章“勾股”问题十九：“今有邑方（正方形小城）不知大小，各开中门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问：邑方几何（小城的边长）？”根据描述如图所示，其中E表示西门，F表示北门，G处是木（E，F分别是所在边的中点）．则邑的边长为300步．【解答】解：设正方形城池的边长为x步，由题意可得，Rt△AHE∽Rt△GAF，∴＝，即＝，解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合题意，舍去），答：正方形城池的边长为300步．故答案为：300．13．（4分）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，以4为半径作弧，交∠AOB的两边于A，B 两点，再分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，若∠AOB＝60°，则点B到OC的距离为2．【解答】解：由作法得OB＝4，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×60°＝30°，过B点作BH⊥OC于H，如图，在Rt△OBH中，∵∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝2，即点B到OC的距离为2．故答案为2．14．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是2．【解答】解：由已知得：m≠0且Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m2＝16m+16＞0，则m的范围为m≠0且m＞﹣1，∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1+x2＝，∵x1+x2＝2m，∴＝2m，∵m≠0，∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m＝2，故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：+（﹣2）3sin60°•cos45°+（2﹣）0﹣（﹣1）2021；（2）计算：cos60°+2sin30°﹣tan30°•tan60°﹣sin245°．【解答】解：（1）+（﹣2）3sin60°•cos45°+（2﹣）0﹣（﹣1）2021＝2+（﹣8）××+1﹣（﹣1）＝2﹣2+1+1＝2．（2）cos60°+2sin30°﹣tan30°•tan60°﹣sin245°＝+2×﹣×﹣＝+1﹣1﹣＝0．16．（6分）解分式方程：+＝2．【解答】解：两边都乘以x（x﹣1）得，（x﹣2）（x﹣1）+2x＝2x（x﹣1），去括号得，x2﹣3x+2+2x＝2x2﹣2x，移项，合并同类项得，x2﹣x﹣2＝0，解得，x1＝2，x2＝﹣1，经检验x1＝2，x2＝﹣1是原方程的根，所以原方程的根为x1＝2，x2＝﹣1．17．（8分）2020年12月8日，中国、尼泊尔两国向全世界正式宣布，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC是多少米．【解答】解：由题意得：∠BAC＝45°，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝15°，∵∠BDE＝60°，∠BED＝90°，∴∠DBE＝30°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°，∴∠ABD＝∠DAB，∴AD＝BD＝1000米，过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AC⊥BC，DE⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC＝∠ACB＝∠DEC＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∴DF＝CE，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝500（米），∴CE＝500（米），在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，∴DE＝BD＝500（米），BE＝DE＝500（米），∴BC＝CE+BE＝（500+500）米，答：山高BC为（500+500）米．18．（8分）成都市将于2021年3月1日起正式实施《成都市生活垃圾管理条例》，该《条例》将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、其他垃圾和有害垃圾四类．为了更好宣传垃圾分类，某中学九年级一班举行了“垃圾分类，从我做起”的主题班会，他们将收集到的四个图标制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．他们将卡片背面朝上，均匀放好．（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“其他垃圾”的概率是；（2）从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“可回收物”和“有害垃圾”的概率（这四张卡片用它们的编号A，B，C，D表示）．【解答】解：（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“其他垃圾”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“可回收物”和“有害垃圾”的结果有2种，∴抽到的两张卡片恰好是“可回收物”和“有害垃圾”的概率为＝．19．（10分）如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A 的坐标为（2，4），△AOB的面积为6．（1）反比例函数的表达式；（2）求直线AB的函数表达式；（3）若动点P在y轴上运动，当|P A﹣PB|最大时，求P点坐标．【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝（x＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为：y＝，（2）设点B（m，），过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∵直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，∴k＝OC×AC＝OD×BD，∴S△AOC＝S△BOD，∴S△AOB＝S梯形ACDB，∴（4+）×（m﹣2）＝6，∵m＞0，解得m＝4，∴B（4，2），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，，解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；（3）在△P AB中，根据两边之差小于第三边，即|P A﹣PB|≤AB，∴|P A﹣PB|的最大值为线段AB，∴此时P点为直线AB与y轴的交点，当x＝0时，y＝6，，∴P（0，6）．20．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的动点（点D不与A，B重合），过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF∥BC，交AC于点F，连接EF，设BD的长度为a．（1）求证：△BED∽△DAF；（2）若存在一点D，使得四边形BEFD为平行四边形，求出此时a的值；（3）若四边形BEFD的面积为S，请用a的表达式表示S．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠BED＝90°＝∠A，又∵DF∥BC，∴∠B＝∠ADF，∴△BED∽△DAF；（2）解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DF∥BC，∴△DAF∽△BAC，∴，由（1）知：△BED∽△DAF，∴，∴BE＝BD＝a，∵四边形BEFD是平行四边形，∴BE＝DF，∴，解得：a＝；（3）解：∵，∴DF＝AD，∵BD＝a，AB＝6，∴AD＝6﹣a，∴DF＝（6﹣a），由（2）知BE＝a，∴DE＝＝＝a，∴四边形BEFD的面积为S＝S△BED+S△DEF ＝BE•DE+DE•DF＝×a×a+×a×（6﹣a）＝a2+4a﹣a2＝﹣a2+4a．四、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则AC的长为8．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝＝，∴BC＝AC，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即102＝AC2+（AC）2，解得：AC＝8，故答案为：8．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，则平行四边形的面积是3．【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点B作BN⊥x轴，垂足为N，∵四边形OABC是平行四边形，∵AB∥OC，OA＝BC，∴OM＝BN，在Rt△AOM和Rt△CBN中，，∴Rt△AOM≌Rt△CBN（HL），∴S△AOM＝S△CBN＝|k|＝，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S矩形ONBM＝|k|＝4，∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOM＝|k|＝，∴S平行四边形OABC＝4﹣﹣＝3，故答案为：3．23．（4分）关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1．【解答】解：解不等式x﹣a≥0，得：x≥a，解不等式5﹣2x＞3，得：x＜1，∵不等式组有2个整数解，∴﹣2＜a≤﹣1，故答案为：﹣2＜a≤﹣1．24．（4分）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b ＝0有解的概率是．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，故答案为：．25．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，AD⊥BE交BC于D，若AD＝，BE＝5，则BD＝．【解答】解：设BD＝x，∵AD⊥BE，∴∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵∠ABC＝∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠BAO，∵E为AC的中点，∠ABC＝90°，∴BE＝AC＝5＝CE，∴AC＝10，∠CBE＝∠C，∴∠C＝∠BAD，∵∠ABD＝∠ABC，∴△ABD∽△CBA，∴，即，∴AB＝x，Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+BD2＝AD2，∴，解得：x＝（负值舍去），∴BD＝．故答案为：．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）近年来随着科技的发展，药物制剂正朝着三效，即高效、速效、长效；以及三小，即毒性小、副作用小、剂量小的方向发展．缓释片是通过一些特殊的技术和手段，使药物在体内持续释放，从而使药物在体内能长时间的维持有效血药浓度，药物作用更稳定持久．某医药研究所研制了一种具有缓释功能的新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第0.5小时起开始起效，第2小时达到最高12微克/毫升，并维持这一最高值直至第4小时结束，接着开始衰退，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．（1）分别求①当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝8x﹣4；②当x＞4时，y与x之间的函数表达式为y＝．（2）如果每毫升血液中含药量不低于4微克时有效，求一次服药后的有效时间是多少小时．【解答】解：（1）①当0.5≤x≤2时，设y＝kx+b，由已知y＝kx+b过点（0.5，0）和（2，12），代入得：，解得：，∴当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝8x﹣4；②当x＞4时，y与x成反比例函数关系，∴设y＝，把点（4，12）代入得：12＝，解得：m＝48，∴当x＞4时，y与x之间的函数表达式为y＝，故答案为：①y＝8x﹣4，②y＝；（2）由题意，得一次服药后的有效时间即y≥4时，∴把y＝4代入y＝8x﹣4得，4＝8x﹣4，解得：x＝1，把y＝4代入y＝得，x＝12，∴有效时间为12﹣1＝11（小时）．答：一次服药后的有效时间是11小时．27．（10分）如图①，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点，DE∥AB．现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE．（1）在图②中，求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点．①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度；②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴，∠ACB＝∠DCE，∴在图②中，∠ACD＝∠BCE，，∴△ACD∽△BCE；（2）解：①∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点．∴CD＝CE＝1，AB＝2，由旋转得：∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠E＝∠CDE＝45°，DE＝，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠E＝45°，AD＝BE，∴∠ADB＝∠ADE＝∠ADC＝∠CDE＝90°，设BD＝a，则AD＝BE＝a+，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，∴（2）2＝（a+）2+a2，解得：a1＝，a2＝（舍去），∴AD＝a+＝+＝；②过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，过点C作CP⊥EN于P，∴四边形CMNP是矩形，∴CM＝PN，∵S△ABE＝AB•EN，EN＝EP+PN＝EP+CM，∴S△ABE＝AB•（EP+CM），∵CP⊥EN，∴CE＞PE，∴CE+CM＞PE+CM，∴当E、C、M三点共线时EN取最大值，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点．∴CD＝CE＝1，AB＝2，∵CM⊥AB，∴CM＝，∴CE+CM＝+1，∴△ABE面积的最大值＝×2×（+1）＝2+．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点与坐标原点O重合，OA 边落在x轴上，且OA＝2，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接CD，OD．（1）求反比例函数的表达式；（2）求D点的坐标；（3）在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，则求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点E作CE⊥OA于E，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝2，∵∠COE＝60°，CE⊥OA，∴OE＝OC＝1，CE＝OE＝，∴点C（1，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，∴k＝1×＝，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥OA，OA＝BC＝OC＝2，∴点B（3，），点A（2，0）；设直线AB解析式为y＝mx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝x﹣2，联立方程组得：，解得：，（不合题意），∴点D坐标为（+1，﹣）；（3）∵S△POC＝S△COD，∴点P到OC的距离等于点D到OC的距离的一半，如图2，当点P在OC的右侧时，取OA的中点M，过点M作PM∥AB，交反比例函数图象与点P，∵点M是OA的中点，∴点M（1，0），∵PM∥AB，∴设PM的解析式为y＝x+c，∴0＝+c，∴c＝﹣，∴PM的解析式为y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或（不合题意舍去），∴点P坐标为（+，﹣），当点P在OC的左侧时，作点M关于y轴的对称点N（﹣1，0），过点N作P'N∥AB，交反比例函数图象与点P'，∴设P'N的解析式为y＝x+n，∴0＝﹣+c，∴c＝，∴P'N的解析式为y＝x+，联立方程组可得：，解得：或（不合题意舍去），∴点P'坐标为（﹣，+），综上所述：点P坐标为（+，﹣）或（﹣，+）．。
∥3套精选试卷∥2021年成都市九年级上学期期末调研数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在正方形ABCD 中，E F ，分别为ADCD ，的中点，CE BF ，交于点G ，连接AG ，则:CFG ABG S S ∆∆=（ ）A ．1:8B ．2:15C ．3:20D ．1:6【答案】A 【分析】延长CE 交BA 延长线于点M ,可证AM CD =,12AGM ABG BMG S S S ==,CFG ABG ,2CFG MBG S CF S BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【详解】解: 延长CE 交BA 延长线于点M在DCE 与AME △中90D EAM AE DEMEA DEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DCE AME ∴≅AM CD ∴=12AGM ABG BMG S S S ∴==//CD ABCFGABG 2116CFG MBG SCF S BM ⎛⎫== ⎪⎝⎭ :1:8CFG ABG S S ∆∆=故选A【点睛】本题考查了相似三角形的性质.2．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干，已知随机摸出一个球是红球的概率是13，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（ ）A ．23B ．13C ．29D ．49【答案】D【分析】先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可．【详解】设口袋中蓝球的个数有x 个，根据题意得：332x ++＝13， 解得：x ＝4，则随机摸出一个球是蓝球的概率是4432++＝49； 故选：D ．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．3．据路透社报道，中国华为技术有限公司推出新的服务器芯片组，此举正值中国努力提高芯片制造能力，并减少对进口芯片的严重依赖.华为技术部门还表示，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积20.00000065mm .其中0.00000065用科学记数法表示为（ ）A ．86.510-⨯B ．76.510-⨯C ．66.510-⨯D ．76.510⨯ 【答案】B【分析】把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中10a ≤<1∣∣，n 是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.【详解】0.00000065=76.510-⨯,故选：B.【点睛】此题考察科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，整数等于原数左起第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解.4．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与3y x =-的图像相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的平行线，交函数4y x=的图像于点C ，连接BC ，交x 轴于点E ，则OBE △的面积为（ ）A ．72B ．74C ．2D ．32【答案】B【分析】先确定A 、B 两点坐标，然后再确定点C 坐标，从而可求△ABC 的面积，再根据三角形中位线的性质可知答案.【详解】∵函数y kx =与3y x=-的图像相交于A ，B 两点 ∴联立3y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1212,x x k k y y ⎧⎧=-=⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ ∴点A 、B坐标分别是,A B ⎛ ⎝⎝∵过点A 作x 轴的平行线，交函数4y x=的图像于点C∴把y =代入到4y x=中得，4x =解得x = ∴点C的坐标为⎛ ⎝∴1=72ABC S ⎛⨯⨯= ⎝⎭∵OA=OB，OE∥AC∴OE 是△ABC 的中位线 ∴17==44OBE ABC S S 故答案选B.【点睛】本题是一道综合题，考查了一次函数与反比例函数和三角形中位线性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.5．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴是1x =-，且过点(3,0)-，下列说法：①0abc <；②20a b -=；③420a b c ++<；④若()1255,,,2y y ⎛⎫-⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y <，其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质逐个分析即可．【详解】解：对于①：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴02b a -<，即02b a>，说明分子分母a,b 同号，故b>0， ∵抛物线与y 轴相交，∴c<0，故0abc <，故①正确； 对于②：对称轴=12-=-b x a，∴20a b -=，故②正确； 对于③：抛物线与x 轴的一个交点为(-3,0)，其对称轴为直线x=-1，根据抛物线的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点为,1,0)，故当自变量x=2时，对应的函数值y=420a b c ++>，故③错误；对于④：∵x=-5时离对称轴x=-1有4个单位长度，x=52时离对称轴x=-1有72个单位长度， 由于72＜4，且开口向上，故有12y y >，故④错误， 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与其系数的符号之间的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决此类题的关键．6．抛物线y=(x －4)(x ＋2)的对称轴方程为（ ）A ．直线x=-2B ．直线x=1C ．直线x=-4D ．直线x=4【答案】B【解析】把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴方程即可．【详解】解：y=（x+2）（x －4），=x 2－2x －8，=x 2－2x+1－9，=（x －1）2－9，∴对称轴方程为x=1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础题，把抛物线解析式整理成顶点式解析式是解题的关键．7．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：3 1.732,2 1.414≈≈，）（）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里【答案】B【解析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= 3x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 3x+2x=30，解之即可得出答案.【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，∴∠ABC=135°，又∵BE=CE，∴∠ACB=∠EBC=15°，∴∠ABE=120°，又∵∠CAB=30°∴BA=BE，AD=DE，设BD=x，在Rt△ABD中，∴AD=DE=3x，AB=BE=CE=2x，∴AC=AD+DE+EC=23，∴31+=)15312≈5.49，故答案选：B.【点睛】考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.8．如图，在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60︒的扇形组成一条连续的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒2π3个单位长度，则2019秒时，点P 的坐标是（ ）A ．(2019,0)B ．(2019,3)-C ．(2018,0)D ．(2017,3)【答案】B 【分析】设第n 秒运动到P n （n 为自然数）点,根据点P 的运动规律找出部分P n 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律()()414241,3,420n n P n P n ++++，，()()434443,3440n n P n P n +++-+，，，依此规律即可得出结论．【详解】解：作1P A x ⊥于点A ．1260221803⨯==PP ππ 22133∴÷=ππ 秒 ∴1秒时到达点1P ，2秒时到达点2P ，3秒时到达点3P ，……111sin AP AOP OP ∠=, 1323∴==AP 11cos OA AOP OP ∠=, 1212∴=⨯=OA ．∴()1P 1,3，()2P 2,0，()3P 3,3-，()4P 4,0，设第n 秒运动到n P (n 为自然数)点，观察，发现规律：()1P 1,3，()2P 2,0，()3P 3,3-，()4P 4,0，()5P 5,3，⋯， ()4n 1P 4n 1,3+∴+，()4n 2P 4n 2,0++，()4n 3P 4n 3,3++-，()4n 4P 4n 4,0++， 201945043=⨯+，2019P ∴ ()2019,3-，故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，弧长的计算及列代数式表示规律，先通过弧长的计算，算出每秒点P 达到的位置，再表示出开始几个点的坐标，从而找出其中的规律．9．方程2568a a =-化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．5，6，-8B ．5，-6，-8C ．5，-6，8D ．6，5，-8 【答案】C【分析】先将该方程化为一般形式，即可得出结论．【详解】解：先将该方程化为一般形式：25680a a -+=．从而确定二次项系数为5，一次项系数为-6，常数项为8故选C ．【考点】此题考查的是一元二次方程的项和系数，掌握一元二次方程的一般形式是解决此题的关键．10．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A 【分析】连接OD ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，又由直径的长求出半径OD 的长，在直角三角形ODE 中，由DE 及OD 的长，利用勾股定理即可求出OE 的长．【详解】解：如图所示，连接OD ．∵弦CD ⊥AB ，AB 为圆O 的直径，∴E 为CD 的中点，又∵CD=16，∴CE=DE=12CD=8， 又∵OD=12AB=10， ∵CD ⊥AB ，∴∠OED=90°，在Rt △ODE 中，DE=8，OD=10， 根据勾股定理得：OE=22OD DE -=6，则OE 的长度为6，故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键． 11．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A 符合题意，故选A ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．12．已知点()()12,3,,6A x B x 都在反比例函数3y x =的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ） A ．120x x <<B ．120x x <<C ．210x x <<D ．210x x <<【答案】C【分析】根据反比例函数的性质即可得到答案.【详解】∵k=3>0，反比例函数的图形在第一象限或第三象限，∴在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，∵点()()12,3,,6A x B x ，且3<6，∴210x x <<，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确掌握函数图象的增减性是解题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，以此类推，为了投资少而获利大，每个遮阳伞每天应提高_______________。
〖汇总3套试卷〗成都某名校初中2021年九年级上学期期末(一模)数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．1(1)282x x-=B．1(1)282x x+=C．(1)28x x-=D．(1)28x x+=【答案】A【解析】根据应用题的题目条件建立方程即可.【详解】解：由题可得：1(1)47 2x x-=⨯即：1(1)28 2x x-=故答案是：A.【点睛】本题主要考察一元二次方程的应用题，正确理解题意是解题的关键.2．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )A．q<16 B．q>16C．q≤4D．q≥4【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选 A.3．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π【答案】A【解析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S 扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，则DG=2222106CG CD-=-=8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴DG EF=，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=12π×52=252π，故选A．【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．4．如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B 逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12a B．a C．32a D3a【答案】A【解析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°， ∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°， ∴∠HBN=∠GBM ，∵CH 是等边△ABC 的对称轴， ∴HB=12AB ， ∴HB=BG ，又∵MB 旋转到BN ， ∴BM=BN ，在△MBG 和△NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△MBG ≌△NBH （SAS ）， ∴MG=NH ，根据垂线段最短，MG ⊥CH 时，MG 最短，即HN 最短，此时∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×2a=a ， ∴MG=12CG=12×a=2a ，∴HN=2a ，故选A ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．5．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h【答案】C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．6．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C 点的坐标是( )A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)【答案】B【解析】试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A 是对称点连线的中点，据此即可求解．试题解析：AC=2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，则OC′=3，故C′的坐标是（3，0）．故选B．考点：坐标与图形变化-旋转．7．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（）A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．15022503y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩【答案】A【解析】设甲的钱数为x ，人数为y ，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，依题意，得：15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠【答案】A【解析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a 的范围． 【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a 的取值范围为a≥1． 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．9．若数a 使关于x 的不等式组()3x a 2x 11x2x 2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；即B正确；C选项，因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；D选项，因为由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA 证得AE=DE，结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.故选C.二、填空题（本题包括8个小题）113，1170中的无理数是_____．【解析】无理数包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．4，是有理数，﹣3、117、0都是有理数，． 【点睛】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．12．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只．某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是_____．【答案】0.1【解析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.1左右，即为摸出白球的概率． 【详解】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.1左右， 则P 白球＝0.1． 故答案为0.1． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．13．关于x 的分式方程3111m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是___________． 【答案】2?m >且3m ≠.【解析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围． 【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-1=x-1， 解得x=m-2，∵分式方程3111m x x+=--的解为正数， ∴x=m-2＞0且x-1≠0， 即m-2＞0且m-2-1≠0， ∴m ＞2且m≠1， 故答案为m ＞2且m≠1．14．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S ，请观察图中的规律:按上规律推断，S 与n 的关系是________________________________． 【答案】S=1n-1【解析】观察可得，n=2时，S=1； n=3时，S=1+（3-2）×1=12； n=4时，S=1+（4-2）×1=18； …；所以，S 与n 的关系是：S=1+（n-2）×1=1n-1． 故答案为S=1n-1．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．15．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为________．【答案】2【解析】试题分析：因为OC=OA ，所以∠ACO=22.5A ∠=︒，所以∠AOC=45°，又直径AB 垂直于弦CD ，4OC =，所以CE=22CD=2CE=42考点：1．解直角三角形、2．垂径定理．16．关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ．【答案】k＜14且k≠1．【解析】根据一元二次方程kx2-x+1=1有两个不相等的实数根，知△=b2－4ac＞1，然后据此列出关于k的方程，解方程，结合一元二次方程的定义即可求解：∵2kx x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1－4k＞1，且k≠1，解得，k＜14且k≠1．17．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__．【答案】2 2【解析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．【详解】解：连接ACAB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC的正弦值为22．2．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．18．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是．【答案】1．【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简，再求值：222x x 11x x x 2x 1-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 的值从不等式组1214x x -⎧⎨-<⎩的整数解中选取.【答案】-2.【解析】试题分析：先算括号里面的，再算除法，解不等式组，求出x 的取值范围，选出合适的x 的值代入求值即可．试题解析：原式=()()()()22x+1x-1x x x+1x+1-÷ =x x+1x+1x-1-⨯=xx-1- 解1{214x x -≤-<得-1≤x<52， ∴不等式组的整数解为-1，0，1，2 若分式有意义，只能取x=2， ∴原式=-221-=－2 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．20．某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC=840m ，BC=500m ．请求出点O 到BC 的距离．参考数据：sin73.7°≈2425，cos73.7°≈725，tan73.7°≈247【答案】点O 到BC 的距离为480m ．【解析】作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AC 于N ，设OM=x ，根据矩形的性质用x 表示出OM 、MC ，根据正切的定义用x 表示出BM ，根据题意列式计算即可． 【详解】作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AC 于N ，则四边形ONCM为矩形，∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM==x，由题意得，840﹣x+x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．21．解分式方程：12x=3x【答案】x=1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程两边都乘以x（x﹣2），得：x=1（x﹣2），解得：x=1，检验：x=1时，x（x﹣2）=1×1=1≠0，则分式方程的解为x=1．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：品名猕猴桃芒果批发价(元/千克)20 40零售价(元/千克)26 50()1他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？()2如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？【答案】（1）购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克；（2）能赚420元钱．【解析】()1设购进猕猴桃x 千克，购进芒果y 千克，由总价=单价⨯数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； ()2根据利润=销售收入-成本，即可求出结论．【详解】()1设购进猕猴桃x 千克，购进芒果y 千克，根据题意得：5020401600x y x y +=⎧+=⎨⎩， 解得：{2030x y ==．答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克． ()2262050301600420(⨯+⨯-=元)．答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚420元钱．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2根据数量关系，列式计算．23．在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.求每台电脑、每台电子白板各多少万元?根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）见解析【解析】解：（1）设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，根据题意得：x 2y 3.5{2x y 2.5+=+=，解得：x 0.5{y 1.5==。
∥3套精选试卷∥2021年成都市九年级上学期期末学业水平测试数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t （单位：h ）温度为y （单位：C ︒）.当48t ≤≤时，y 与t 的函数关系是21011y t t =-++，则48t ≤≤时该地区的最高温度是（ ）A ．11C ︒B ．27C ︒ C ．35︒CD ．36C ︒ 【答案】D【分析】利用配方法求最值.【详解】解：221011(5)36y t t t =-++=--+∵a=-1<0∴当t=5时，y 有最大值为36故选：D【点睛】本题考查配方法求最值，掌握配方法的方法正确计算是本题的解题关键.2．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球B ．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7C ．抛掷一枚一元硬币，正面朝上D ．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块【答案】B【解析】根据事件发生的可能性大小即可判断.【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误；B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确；C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误；D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误；故选B.【点睛】此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义.3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，点A 与原点重合，点D 的坐标是 （3，4），反比例函数y ＝k x（k≠0）经过点C ，则k 的值为（ ）A．12 B．15 C．20 D．32【答案】D【分析】分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，先利用勾股定理求出菱形的边长，再利用Rt△ODM≌Rt△BCN得出BN＝OM，则可确定点C的坐标，将C点坐标代入反比例函数解析式中即可求出k的值.【详解】如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，∵点D的坐标是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD2222345OM DM+=+=∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），将C（8，4）代入k yx =得，k＝8×4＝32，故选：D．【点睛】本题主要考查勾股定理，全等三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，掌握全等三角形的性质及待定系数法是解题的关键.4．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A．3B．5C．3 D．2【答案】B【分析】由切线的性质可得△OPB是直角三角形，则PB2＝OP2﹣OB2，如图，又OB为定值，所以当OP 最小时，PB最小，根据垂线段最短，知OP＝3时PB最小，然后根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°，∴PB2＝OP2﹣OB2，如图，∵OB＝2，∴PB2＝OP2﹣4，即PB＝24OP-，∴当OP最小时，PB最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PB的最小值为945-=．故选：B．【点睛】此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键．5．下列说法正确的是（）A．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是1 2B．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件C ．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定也是14D ．如果车间生产的零件不合格的概率为11000，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品 【答案】C 【详解】解：A 、购买江苏省体育彩票“中奖”的概率是中奖的张数与发行的总张数的比值，故本项错误； B 、国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本项错误；C 、如果在若干次试验中一个事件发生的频率是14，那么这个事件发生的概率一定也是14，正确； D 、如果车间生产的零件不合格的概率为11000，那么平均每检查1000个零件不一定会查到1个次品，故本项错误，故选C ．【点睛】本题考查概率的意义，随机事件．6．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】从上面看得到的图形是A 表示的图形，故选A ．7．二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下面结论：①0a >；②0c ；③函数的最小值为3-；④当4x >时，0y >；⑤当122x x <<时，12y y <（1y 、2y 分别是1x 、2x 对应的函数值）．正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】由抛物线开口方向可得到a ＞0；由抛物线过原点得c=0；根据顶点坐标可得到函数的最小值为-3；根据当x ＜0时，抛物线都在x 轴上方，可得y ＞0；由图示知：0＜x ＜2，y 随x 的增大而减小；【详解】解：①由函数图象开口向上可知，0a >，故此选项正确；②由函数的图像与y 轴的交点在(0,0)可知，0c ，故此选项正确；③由函数的图像的顶点在(2,3)-可知，函数的最小值为3-，故此选项正确；④因为函数的对称轴为2x =，与x 轴的一个交点为(0,0)，则与x 轴的另一个交点为(4,0)，所以当4x >时，0y >，故此选项正确；⑤由图像可知，当2x <时，y 随着x 的值增大而减小，所以当122x x <<时，122x x <<，故此选项错误；其中正确信息的有①②③④．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=2b a -，；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点． 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果a=3b ，那么∠A 的余切值为（ ）A ．13B ．3C ．24D ．1010【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA=b a ，即可得出答案． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=3b ，∴1cot 3b a A ==； 故选择：A.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．9．如图，在⊙O 中，已知∠OAB=22.5°，则∠C 的度数为（ ）A ．135°B ．122.5°C ．115.5°D ．112.5°【答案】D【解析】分析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBC=22.5°．∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．如图，在⊙O取点D，使点D与点O在AB的同侧．则1D AOB67.52∠=∠=︒．∵∠C与∠D是圆内接四边形的对角，∴∠C=180°﹣∠D =112.5°．故选D．10．下列说法正确的是( )A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件B．2020年1月27日杭州会下雪是随机事件C．概率很小的事情不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次【答案】B【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于2并且小于1．【详解】解：A. 某一事件发生的可能性非常大也是是随机事件，故不正确；B. 2222年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；C. 概率很小的事情可能发生，故不正确；D、投掷一枚质地均匀的硬币1222次，正面朝上的次数大约是522次，故不正确；故选：B．【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：2≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=2；随机事件，发生的概率大于2并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于2．11．如图，A，B，C，D，E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的总面积是( )A ．1.5πB ．2.5πC ．3.5πD ．4.5π【答案】C 【分析】根据圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相等，根据扇形的面积公式计算先算出五边形内部五个扇形的面积之和，再用五个圆的面积之和减去五边形内部五个扇形的面积之和即可求得结果．【详解】∵五边形的内角和是：(5−2)×180°=540°， ∴阴影部分的面积之和是：22540115 3.5360πππ⨯⨯⨯-=， 故选C ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式，解决问题的关键是把阴影部分的面积当成一个扇形面积来求，将五边形的内角和理解成圆心角也很关键；这题是易错题，注意是求五边形外部的扇形面积之和． 12．在体检中，12名同学的血型结果为：A 型3人，B 型3人，AB 型4人，O 型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O 型的概率为( )A ．166B ．133C ．1522D ．722【答案】A【分析】根据题意可知，此题是不放回实验，一共有12×11=132种情况，两人的血型均为O 型的有两种可能性，从而可以求得相应的概率．【详解】解：由题意可得， P(A)=211121166⨯=， 故选A.【点睛】本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．二、填空题（本题包括8个小题）13．对于为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ☆b ＝ab-b-1，那么x ☆（2☆x ）=0中x 值为____．【答案】0或2【分析】先根据a ☆b ＝ab-b-1得出关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可．【详解】∵a ☆b ＝ab-b-1，∴2☆x=2x-x-1=x-1，∴x ☆（2☆x ）= x ☆（x-1）=0，即220x x -=，解得：x 1=0，x 2=2；故答案为：0或2【点睛】本题考查了解一元二次方程以及新运算，理解题意正确列出一元二次方程是解题的关键．14．如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上．若BC=3，AD=2，EF=23EH ，那么EH 的长为___．【答案】32【详解】解：如图所示：∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∵AM ⊥EH ，AD ⊥BC ，∴AM EH AD BC=， 设EH=3x ，则有EF=2x ，AM=AD ﹣EF=2﹣2x ，∴22323x x -=，解得：x=12，则EH=32． 故答案为32．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质；矩形的性质．15．如图，已知正方形OABC 的三个顶点坐标分别为A (2，0)，B (2，2)，C (0，2)，若反比例函数(0)k y k x=>的图象与正方形OABC 的边有交点，请写出一个符合条件的k 值__________．【答案】1（满足条件的k 值的范围是0＜k≤4）【分析】反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则围成的矩形的面积为|k|，据此进一步求解即可.【详解】∵反比例函数图像与正方形有交点，∴当交于B 点时，此时围成的矩形面积最大且为4，∴|k|最大为4，∵在第一象限，∴k为正数，即0＜k≤4，∴k的取值可以为：1.故答案为：1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）.【点睛】本题主要考查了反比例函数中比例系数的相关运用，熟练掌握相关概念是解题关键.16．抛物线y＝﹣35（x+12）2﹣3的顶点坐标是_____．【答案】（﹣12，﹣3）【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点是（h，k），可得答案．【详解】解：y＝﹣35（x+12）2﹣3的顶点坐标是（﹣12，﹣3），故答案为：（﹣12，﹣3）．【点睛】本题考查了抛物线顶点坐标的问题，掌握抛物线顶点式解析式是解题的关键．17．等腰三角形底边所对的外接圆的圆心角为140°，则其顶角的度数为______.【答案】70°或110°.【分析】设等腰三角形的底边为AB，由⊙O的弦AB所对的圆心角为140°，根据圆周角定理与圆的内接四边形的性质，即可求得弦AB所对的圆周角的度数，即可求出其顶角的度数.【详解】如图所示：∵⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB为140°，∴∠ADB＝12∠AOB＝70°，∵四边形AD BD’是⊙O的内接四边形，∴∠AD′B＝180°﹣70°＝110°，∴弦AB所对的圆周角为70°或110°，即等腰三角形的顶角度数为：70°或110°.故答案为：70°或110°.【点睛】本题主要考查圆周角定理与圆的内接四边形的性质，根据题意画出图形，熟悉圆的性质，是解题的关键.18．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，则扇形AOC中AC的长是_____cm（计算结果保留π）．【答案】10π【分析】根据AC的长就是圆锥的底面周长即可求解．【详解】解：∵圆锥的高h为12cm，OA=13cm，∴圆锥的底面半径为22=5cm，1312∴圆锥的底面周长为10πcm，∴扇形AOC中AC的长是10πcm，故答案为10π．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，D为BC边上的点，将DA绕D点逆时针旋转120°得到DE．（1）如图1，若AD＝DC，则BE的长为，BE2+CD2与AD2的数量关系为；（2）如图2，点D为BC边山任意一点，线段BE、CD、AD是否依然满足（1）中的关系，试证明；（3）M为线段BC上的点，BM＝1，经过B、E、D三点的圆最小时，记D点为D1，当D点从D1处运动到M处时，E点经过的路径长为．【答案】（1）3BE1+CD1＝4AD1；（1）能满足（1）中的结论，见解析；（3）3【分析】（1）依据旋转性质可得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°，再证明：△BDE≌△BDA，利用勾股定理可得结论；（1）将△ACD绕点A顺时针旋转110°得到△ABD′，再证明：∠D′BE＝∠D′AE＝90°，利用勾股定理即可证明结论仍然成立；（3）从（1）中发现：∠CBE＝30°，即：点D运动路径是线段；分别求出点D位于D1时和点D运动到M时，对应的BE长度即可得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝110°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵AD＝DC∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ADB＝∠CAD+∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，由旋转得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°∴△BDE≌△BDA（SAS）∴∠BED＝∠BAD＝90°，BE＝AB＝∴BE1+CD1＝BE1+DE1＝BD1∵ADBD＝cos∠ADB＝cos60°＝12∴BD＝1AD∴BE1+CD1＝4AD1；故答案为：BE1+CD1＝4AD1；（1）能满足（1）中的结论．如图1，将△ACD绕点A顺时针旋转110°得到△ABD′，使AC与AB重合，∵∠DAD′＝110°，∠BAD′＝∠CAD，∠ABD′＝∠ACB＝30°，AD′＝AD＝DE，∠DAE＝∠AED＝30°，BD′＝CD，∠AD′B＝∠ADC∴∠D′AE＝90°∵∠ADB+∠ADC＝180°∴∠ADB+∠AD′B＝180°∴A、D、B、D′四点共圆，同理可证：A、B、E、D四点共圆，A、E、B、D′四点共圆；∴∠D′BE＝90°∴BE1+BD′1＝D′E1∵在△AD′E中，∠AED′＝30°，∠EAD′＝90°∴D′E＝1AD′＝1AD∴BE1+BD′1＝（1AD）1＝4AD1∴BE1+CD1＝4AD1．（3）由（1）知：经过B、E、D三点的圆必定经过D′、A，且该圆以D′E为直径，该圆最小即D′E最小，∵D′E＝1AD∴当AD最小时，经过B、E、D三点的圆最小，此时，AD⊥BC如图3，过A作AD1⊥BC于D1，∵∠ABC＝30°∴BD 1＝AB•cos ∠ABC ＝23cos30°＝3，AD 1＝3∴D 1M ＝BD 1﹣BM ＝3﹣1＝1由（1）知：在D 运动过程中，∠CBE ＝30°，∴点D 运动路径是线段；当点D 位于D 1时，由（1）中结论得：22211143BE AD CD =-=，∴BE 1＝3当点D 运动到M 时，易求得：BE 1＝3∴E 点经过的路径长＝BE 1+BE 1＝13故答案为：13．【点睛】本题考查的是圆的综合，综合性很强，难度系数较大，运用到了全等和勾股定理等相关知识需要熟练掌握相关基础知识.20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，过点A 作AE CD ⊥，垂足为M ，交BC 于点E ，2AM CM =．（1）求sin B 的值：（2）若5CD =BC 的长．【答案】（15；（2）4 【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，可得出CD=BD ，则∠B=∠BCD ，再由AE ⊥CD ，可证明∠B=∠CAM ，由AM=2CM ，可得出CM ：AC=15sinB 的值；（2）根据sinB 的值，可得出AC ：AB=15AB=25AC=2，根据勾股定理即可得出结论．【详解】（1）∵90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 的中线，∴CD BD =，∴B DCB ∠=∠，∵AE CD ⊥，∴90ACD CAM ∠+∠=︒．∵90DCB ACD ∠+∠=︒，∴DCB CAM ∠=∠．∴B CAM ∠=∠．在Rt ACM 中，∵2AM CM =， ∴()222225AC AM CM CM CM CM =+=+=．∴5sin sin 55CM B CAM AC CM =∠====． （2）∵5CD =，∴225AB CD ==．由（1）知5sin 5B =， ∴5sin 2525AC AB B =⨯=⨯=． ∴()22222524BC AB AC =-=-=．【点睛】 本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键． 21．如图，一次函数y 1＝x+4的图象与反比例函数y 2＝k x 的图象交于A （﹣1，a ），B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求k ．（2）根据图象直接写出y 1＞y 2时，x 的取值范围．（3）若反比例函数y 2＝k x与一次函数y 1＝x+4的图象总有交点，求k 的取值．【答案】（1）-3；（2）﹣3＜x ＜﹣1；（3）k ≥﹣4且k ≠1．【分析】（1）把点A 坐标代入一次函数关系式可求出a 的值，确定点A 的坐标，再代入反比例函数关系式可求出k 的值，（2）一次函数与反比例函数联立，可求出交点B 的坐标，再根据图象可得出当y 1＞y 2时，x 的取值范围．（3）若反比例函数y2＝kx与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，就是x2+4x﹣k＝1有实数根，根据根的判别式求出k的取值范围．【详解】（1）一次函数y1＝x+4的图象过A（﹣1，a），∴a＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3）代入反比例函数y2＝kx得，k＝﹣3；（2）由（1）得反比例函数23yx=-，由题意得，1243y xyx=+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，1113xy=-⎧⎨=⎩，2231xy=-⎧⎨=⎩，∴点B（﹣3，1）当y1＞y2，即一次函数的图象位于反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为：﹣3＜x＜﹣1；（3）若反比例函数y2＝kx与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，即，方程kx＝x+4有实数根，也就是x2+4x﹣k＝1有实数根，∴16+4k≥1，解得，k≥﹣4，∵k≠1，∴k的取值范围为：k≥﹣4且k≠1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，函数图象与二元一次方程组的关系，一次函数与反比例函数交点的确定，正确理解题意是解题的关键.22．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=34.(1)求证:ΔADM∽ΔBMN；(2)求∠DMN的度数.【答案】（1）见解析；（2）90°【分析】（1）根据43AD MB =，43AM BN =，即可推出AD AM MB BN=，再加上∠A=∠B=90°，就可以得出△ADM ∽△BMN ；（2）由△ADM ∽△BMN 就可以得出∠ADM=∠BMN ，又∠ADM+∠AMD=90°，就可以得出∠AMD+∠BMN=90°，从而得出∠DMN 的度数．【详解】(1)∵AD=4，AM=1∴MB=AB-AM=4-1=3 ∵43AD MB =，14334AM BN == ∴AD AM MB BN= 又∵∠A=∠B=90°∴ΔADM ∽ΔBMN(2)∵ΔADM ∽ΔBMN∴∠ADM=∠BMN∴∠ADM+∠AMD=90°∴∠AMD+∠BMN=90°∴∠DMN=180°-∠BMN-∠AMD=90°【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△ADM ∽△BMN 是解答的关键．23．某公司2019年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到万100元，求该公司1112、两个月营业额的月平均增长率.【答案】25%【分析】设该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为x ，根据题目中的等量关系列出方程即可求解.【详解】设该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为x ，依题意，得:()2641100x +=， 解得:120.2525%, 2.25x x ===-(不合题意，舍去). 答:该公司1112、两个月营业额的月平均增长率为25%.【点睛】本题考查的是增长率问题，比较典型，属于基础题型，关键是掌握增长率问题数量关系及其一般做法. 24．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？【答案】该商品定价60元．【分析】设每个商品定价x 元，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设每个商品定价x 元，由题意得：()()4018010522000x x ⎡⎤---=⎣⎦解得150x =，260x =当x=50时，进货180-10（50-52）=200，不符题意，舍去当x=60时，进货180-10（60-52）=100，符合题意．答：当该商品定价60元，进货100个．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可．25．如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC ，A 、C 、D 在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm ，∠ADE=135°，灯杆CD 长为40cm ，灯管DE 长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E 到底盘AB 的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.73)【答案】台灯的高约为45cm.【分析】如图，作DG ⊥AB ，EF ⊥AB ，交AB 延长线于G 、F ，DH ⊥EF 于H ，可得四边形DGFH 是矩形，可得DG=FH ，根据∠A 的余弦可求出AC 的长，进而可得AD 的长，根据∠A 的正弦即可求出DG 的长，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根据∠DEH 的正弦可得EH 的长，根据EF=EH+FH 求出EF 的长即可得答案.【详解】如图，作DG ⊥AB ，EF ⊥AB ，交AB 延长线于G 、F ，DH ⊥EF 于H ，∴四边形DGFH 是矩形，∴DG=FH ，∵∠A=60°，AB=16， ∴AC=AB·cos60°=16×12=8， ∴AD=AC+CD=8+40=48，∴DG=AD·sin60°3， ∵DH ⊥EF ，AF ⊥EF ，∴DH//AF ，∴∠ADH=180°-∠A=120°，∵∠ADE=135°，∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，∵DE=15，∴EH=DE·sin15°≈3.9，∴EF=EH+FH=EH+DG=243+3.9≈45，答：台灯的高约为45cm.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.26．如图，一栋居民楼AB 的高为16米，远处有一栋商务楼CD ，小明在居民楼的楼底A 处测得商务楼顶D 处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D 处测得居民楼的楼顶B 处的俯角为45°．其中A 、C 两点分别位于B 、D 两点的正下方，且A 、C 两点在同一水平线上，求商务楼CD 的高度．（参考数据：2≈1.414，3≈1.1．结果精确到0.1米）【答案】商务楼CD 的高度为37.9米．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt △BED 和Rt △DAC ，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC 的方程，从而求出DC ．【详解】过点B 作BE ⊥CD 与点E ，由题意可知∠DBE=045，∠DAC=060，CE=AB=16设AC=x ，则3CD x =，BE=AC=x ∵316DE CD CE x =-=-∵009045BED DBE ∠=∠=，∴BE=DE ∴316x x =-∴31x =- ∴)831x =∴3248337.9CD x ==+≈答： 商务楼CD 的高度为37.9米.27．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，过点B 作直线BF ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BE ＝CE ；（2）若AB ＝6，求弧DE 的长； （3）当∠F 的度数是多少时，BF 与⊙O 相切，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）弧DE 的长为910π；（3）当∠F 的度数是36°时，BF 与⊙O 相切．理由见解析. 【解析】(1)连接AE ，求出AE ⊥BC ，根据等腰三角形性质求出即可；(2)根据圆周角定理求出∠DOE 的度数，再根据弧长公式进行计算即可；(3)当∠F 的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF 与⊙O 相切.【详解】(1)连接AE ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；(2)∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∴AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12∠BAC=12×54°=27°，∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，∴弧DE的长=5439 18010ππ⨯⨯=；(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，理由如下：∵∠BAC=54°，∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，∴AB⊥BF，∴BF为⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为()m．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得ED DCDC FD=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°∴∠ECD=∠CFD∴Rt△EDC∽Rt△FDC，有ED DCDC FD=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故选：B．【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．2．下列图形的主视图与左视图不相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题.【详解】A选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意；B选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意；C选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意；D选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意；故选D【点睛】本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键. 3．cos30︒的值等于（）．A．12B．22C．32D．1【答案】C【分析】根据特殊三角函数值来计算即可.【详解】3 cos30=︒故选：C.【点睛】本题考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键.4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（）A．70°B．65°C．50°D．45°【答案】C【分析】先根据垂径定理可得BC BD=，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．【详解】解：∵弦CD⊥AB，∴BC BD=，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理，熟悉掌握定义，灵活应用是解本题的关键5．如图，这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，则这个花坛的周长（实线部分）为（）A．4π米B．113π米C．3π米D．2π米【答案】A【分析】根据弧长公式解答即可．【详解】解：如图所示：∵这是一个由四个半径都为1米的圆设计而成的花坛，圆心在同一直线上，每个圆都会经过相邻圆的圆心，∴OA＝OC＝O'A＝OO'＝O'C＝1，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝60°，∴这个花坛的周长＝2401601244 180180πππ⨯⨯⨯+⨯=，故选：A．【点睛】本题考查了圆的弧长公式，找到弧所对圆心角度数是解题的关键6．在反比例函数4yx=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据反比例函数kyx=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=1；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（12|k|）=1．故选B．【点睛】主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．7．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）A．3 B．3C．32D33【答案】C【分析】解直角三角形求得3HM⊥AB于M，证得△ADG≌△MHD，得出AD=HM，设AD=x，则3x，根据三角形面积公式即可得到S△BDH1122BD MH=⋅=BD•AD12=3x)12=-(x3)232+，根据二次函数的性质即可求得．【详解】如图，作HM⊥AB于M．∵AC=2，∠B=30°，∴3，∵∠EDF=90°，∴∠ADG+∠MDH=90°．∵∠ADG+∠AGD=90°，∴∠AGD=∠MDH．∵DG=DH，∠A=∠DMH=90°，∴△ADG≌△MHD(AAS)，∴AD=HM，设AD=x，则HM=x，3x，∴S△BDH1122BD MH=⋅=BD•AD12=3x)12=-(x3-232+，∴△BDH面积的最大值是32．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质以及三角形面积，得到关于x 的二次函数是解答本题的关键．8．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≤﹣4B ．k ＜﹣4C ．k≤4D ．k ＜4 【答案】C【解析】根据判别式的意义得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可．【详解】根据题意得△=12﹣1k≥0，解得k≤1．故选C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2﹣1ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③b ＞0；④4a ﹣2b+c ＜0；⑤a+c ＜23，其中正确结论的个数是（ ）A ．②③④B ．①②⑤C ．①②④D ．②③⑤【答案】B 【分析】令x ＝1，代入抛物线判断出①正确；根据抛物线与x 轴的交点判断出②正确；根据抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1列式求解即可判断③错误；令x ＝﹣2，代入抛物线即可判断出④错误，根据与y 轴的交点判断出c ＝1，然后求出⑤正确．【详解】解：由图可知，x ＝1时，a+b+c ＜0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝24b ac ＞0，故②正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝2b a-＝﹣1， ∴b ＝2a ＜0，故③错误；由图可知，x ＝﹣2时，4a ﹣2b+c ＞0，故④错误；当x ＝0时，y ＝c ＝1，∵a+b+c ＜0，b ＝2a ，∴3a+1＜0， ∴a ＜13-∴a+c ＜23，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是①②⑤．故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，关键是根据题意及图像得到二次函数系数之间的关系，熟记知识点是前提．10．小明利用计算机列出表格对一元二次方程22100x x +-=进行估根如表:那么方程22100x x +-=的一个近似根是（ ）A ． 4.1-B ． 4.2-C ． 4.3-D ． 4.4- 【答案】C【分析】根据表格中的数据，0与0.11-最接近，故可得其近似根.【详解】由表得，0与0.11-最接近，故其近似根为 4.3-故答案为C.【点睛】此题主要考查对近似根的理解，熟练掌握，即可解题.11．为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区100名九年级男生，他们的身高x （cm ）统计如根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于180cm 的概率是（ ）A ．0.05B ．0.38C ．0.57D ．0.95【答案】D 【分析】先计算出样本中身高不高于180cm 的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不高于180cm 的频率＝1005100＝0.1， 所以估计他的身高不高于180cm 的概率是0.1．故选：D ．【点睛】本题考查了概率，灵活的利用频率估计概率是解题的关键.12．下列命题正确的个数有（ ）①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；②对角线相等的四边形是矩形；③任意四边形的中点四边形是平行四边形；④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【分析】利用相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故错误；②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③任意四边形的中点四边形是平行四边形，正确；④两个相似多边形的面积比2:3，故错误，正确的有1个，故选A.【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图所示，已知：点(00)A ，，B ，(01)C ，．在ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B ，第3个233B A B ，…，则第n 个等边三角形的周长等于 ．。
成都市2021年九年级上学期数学期末考试试卷(I)卷
成都市2021年九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分） (2019九上·海淀期中) 抛物线的顶点坐标为（）A . （-1，2）B . （1，2）C . （1，-2）D . （2，1）2. （2分）方程x2-4=0的根是（）A . 2B . -2C . 2或-2D . 以上都不对3. （2分）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有交点，则直线AB到⊙O的距离可能为（）A . 5.5B . 6C . 4.5D . 74. （2分）要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（）A . 条形统计图B . 扇形统计图C . 折线统计图D . 频数分布统计图5. （2分）(2020·衢州模拟) 矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数y (x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A . 4B . 6C .D .6. （2分）下列抛物线中，与轴有两个交点的是（）A . y=5x2-7x+5B . y=16x2-24x+9C . y=2x2+3x-4D . y=3x2-2 x+2二、填空题 (共10题；共10分)7. （1分）(2017·沭阳模拟) 若 = ，则 =________．8. （1分）(2019·丹阳模拟) 如图，转盘中6个扇形的面积都相等.任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是________.9. （1分）(2017·丹东模拟) 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1，①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞3；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2 ．上述判断中，正确的是________．10. （1分） (2017九上·西湖期中) 已知三条线段的长分别是，和，则再加一条________的线段，才能使之四条线段成比例．11. （1分） (2016九上·腾冲期中) 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是________12. （1分）(2018·射阳模拟) 如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．13. （1分）已知△ABC∽△DEF，与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为________．14. （1分）(2017·大冶模拟) 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0的一个根为﹣1，则它的另一根为________．15. （1分）(2018·淮安) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是________．16. （1分） (2019九上·济阳期末) △ABC中，AB=CB，AC=10，S△ABC=60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是________．三、解答题 (共10题；共90分)17. （10分）解方程：（1） x2+x﹣1=0（2）（x﹣2）（x﹣3）=12．18. （5分）(2018·杭州) 如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG于点F，设。
2021-2022学年四川省成都市新都区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年四川省成都市新都区九年级（上）期末数学试卷1.如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的俯视图是( )A.B.C.D.2.已知m是关于x的一元二次方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m2−m的值等于( )A. 1B. 0C. −1D. 23.菱形不具备的性质是( )A. 四条边都相等B. 对角线一定相等C. 对角线平分内角D. 是中心对称图形4.在△ABC中，AB=48cm，BC=40cm，CA=36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，那么该三角形最长边是( )A. 48cmB. 16cmC. 36cmD. 144cm5.下列函数中，在图象所在象限内，y随x的增大而增大的为( )A. y=−2x+1B. y=5x C. y=12xD. y=−2x6.某地有在校中小学生约为2万人，某调查机构就中小学生每天阅读课外读物的时长随机调查了800人，其中有100人每天的阅读时长超过1小时．若任意调查一名该地的在校中小学生，则其阅读时长超过1小时的概率大约是( )A. 150B. 18C. 1200D. 1257.关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两根中有且只有一个根等于0，则下列条件中正确的是( )A. a=0，b=0B. a=0，b≠0C. a≠0，b=0D. a≠0，b≠08.一张比例尺为1：1000的图纸上，一块多边形地区的面积是260平方厘米，则该地区的实际面积是平方米．( )A. 260000B. 260000000C. 26000D. 2600000(a≠0)在同一坐标系内的图象可以是( )9.函数y=x−a与y=axA. B.C. D.10.如图所示，点E是▱ABCD的边CD上一点，CE=1CD，AD=16，3那么CF的长为( )A. 8B. 4C. 16D. 2(n≠0)与直线y=−x+3的一个交点横坐标为−1，则n=______．11.双曲线y=nx12.如图，小明站在一盏路灯下，他在这盏路灯下的影子AD的长度和其身高DE的长度相等，测量出他距路灯电杆的距离CD为3.8米，已知他的身高DE为1.7米，试计算路灯灯泡的高度BC约为______米．13.若关于x的方程x2−3x+n=0的一个根是−1，则另一个根是______．14.如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6.以点B为圆心，小于AB长为半径作弧，交AB边于点E，交BC边于点F；再分别EF长为半径作弧，两弧交于点M，以点E、F为圆心，大于12再作射线BM交AD于点N，则DN=______．15.解下列一元二次方程．(1)x2−4x=5；(2)2(x+1)2=x(x+1)．16.关于x的一元二次方程(2−k)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．17.如图，在边长为1的小正方形网格中．(1)△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，其中B1的坐标为______；(2)以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2；(3)连接AB1，B1B2，则△AB1B2的面积为______．18.第24届冬奥会将于2022年2月在北京举行，为推广冰雪运动，发挥冰雪项目的育人功能，教育部近年启动了全国冰雪运动特色学校的遴选工作．某中学通过将冰雪运动“旱地化”的方式积极开展了基础滑冰、旱地滑雪、旱地冰球、旱地冰壶等运动项目，现就“学生冰雪活动兴趣爱好”问题，随机调查了该校三年级2班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图．(1)这次统计共抽查了______名学生，请将条形统计图补充完整；(2)如果该校初三年级共有480名学生，估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有多少人？(3)在被调查的学生中，喜欢旱地滑雪的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校旱地滑雪队，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．19.如图，一次函数y=−x+m的图象与反比例函数y=4在第一象限的图象交于A(a,4)和Bx两点．(1)求一次函数的表达式；(2)在第一象限内，当一次函数y=−x+m的值大于反比例函数y=4的值时，求自变量x的取x值范围；(3)若在x轴上有一动点P，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时，P点的坐标．20.如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF 的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．(1)如图1，若BE=DF，求证：四边形AEGF是菱形；(2)如图2，在(1)小题条件下，若∠EAF=45°，求线段DF的长；(3)如图3，若点F运动到DF=2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．21.已知x1，x2是一元二次方程x2−5x−6=0的两根，则x12+x22−x1x2的值为______．22.一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，它的三视图如图所示，则该几何体至少使用______个小立方块搭成的．23.新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是______人．24.从2，0，−1，−2，−3这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则使函数y=(m2−6)x 的图象经过第二、四象限，且使关于x的一元二次方程(m+1)x2+mx+1=0有实数根的概率是______．25.如图，边长为3的正方形ABCD中，点M是CD边上的一点，MC=1，连接BM，将△BCM沿BM折叠得到△BNM，BN交AC于点H，则AH=______．26.2020年9月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进行了为期6个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润与时间成反比例函数关系；到6月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加30万元．设2021年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：(1)分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y与x的函数表达式；(2)当月利润少于90万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个月．27.如图1，矩形ABCD中，AD=3CD，O为AD边上一点，T为BC边上一点，OD=TC=CD，连接OT，将四边形ODCT绕点D顺时针旋转θ(0°<θ<90°)，得到四边形DEFG，EF所在直线交BA延长线于点H，交CD延长线于点K．(1)如图2，当GF的延长线过点A时，求证：AD=DK；(2)在(1)小题的条件下，若HK与AD交于点M，且DM=3，求HK的长度；(3)如图3，连接GE，若FG所在的直线交AB边于点Q，交CD所在直线于点N，过C点作CP//GE，若GN=a，GD=2GN，请用含a的式子表示△CPK的面积，并写出你的推导过程．28.如图1，在平面直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数y=k(k>0)经过点P，x反比例函数y=6的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点．x(1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y=k(k>0)的表达式；x(2)在(1)的条件下，当∠DPG=30°时，求点G的坐标；(3)如图2，连接OP，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当MD⊥MC，垂足为点M时，请写出MG与CD的数量关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：从上面看易得两个圆形，故选：D．本题考查了俯视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．看得到的用实线，看不到的用虚线表示．2.【答案】A【解析】解：把x=m代入一元二次方程x2−x−1=0可得：m2−m−1=0，即m2−m=1，故选：A．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，将m代入原方程即可求m2−m的值．此题应注意把m2−m当成一个整体，利用了整体的思想．3.【答案】B【解析】解：A.菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；B.菱形的对角线不相等，故本选项符合题意；C.菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；D.菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B．根据菱形的性质逐一判断即可．本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键．4.【答案】B【解析】解：设三角形的最长边为xcm，在△ABC中，AB=48cm，BC=40cm，CA=36cm，一个和它相似的三角形的最短边是12cm，∴48x =3612，解得：x=16，故选：B．根据相似三角形的性质得出关于x的方程，求出方程的解即可．本题考查了相似三角形的性质的应用，能根据相似三角形的性质得出方程是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边的比相等．5.【答案】D【解析】解：A、y=−2x+1的k=−2<0，b=1>0，图象位于一、二、四象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小，不符合题意；B、y=5x的k=5>0，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小，不符合题意；C、y=12x 的k=12>0，图象位于一、三象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而减小，不符合题意；D、y=−2x的k=−2<0，图象位于二、四象限，在其图象所在象限，y随着x的增大而增大，符合题意；故选：D．分别根据一次函数与反比例函数的比例系数的符号确定其经过的象限和其增减性即可．本题考查了反比例函数、一次函数的性质，解题的关键是能够根据反比例函数和一次函数的比例系数的符号确定其所在的象限及增减性，难度不大．6.【答案】B【解析】解：∵调查的800人中每天阅读时长超过1小时的有100人，∴任意调查一名该地的在校中小学生，则其阅读时长超过1小时的概率大约是100800=18，故选：B．用样本中的每天阅读时长超过1小时的人数除以样本容量即可求得概率．考查了概率公式的知识，解题的关键是了解本题中的概率与2万人没有关系，难度不大．7.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两根中有且只有一个根等于0，∴x1+x2=−a≠0，x1x2=b=0，∴a≠0，b=0．故选：C．由根与系数的关系可得x1+x2=−a，x1x2=b，再根据两根中只有一个等于0，由此即可求解．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=c a．8.【答案】C【解析】解：设该地区的实际面积是xcm2，由题意得，260：x=(1：1000)2，解得，x=260000000，∴260000000cm2=26000m2，故选：C．相似多边形的面积之比等于相似比的平方，据此求解，注意单位．本题考查相似多边形的性质，比例尺等知识点.相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．9.【答案】D【解析】解：A、由函数y=x−a的图象可知a>0，由函数y=ax(a≠0)的图象可知a<0，相矛盾，故选项不正确；B、由函数y=x−a的图象可知a<0，由函数y=ax(a≠0)的图象可知a>0，相矛盾，故选项不正确；C、函数y=x−a的图象错误，故选项不正确；D、由函数y=x−a的图象可知a>0，由函数y=ax(a≠0)的图象可知a>0，一致，故选项正确；故选：D．先根据一次函数图象的性质判断出a的取值，再根据反比例函数图象的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴{∠D=∠ECF∠DAE=∠F，∴△ADE∽△FCE，∴AD：CF=DE：CE．∴AD：CF=(CD−CE)：CE，∵CE=13CD，AD=16，∴16：CF=2：1，∴CF=8．故选：A．由题意可判断出△ADE∽△FCE，再根据相似三角形的性质可计算CF的长．此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想的运用．另外，要注意在相似三角形中，对应边的比不要搞错．11.【答案】−4【解析】解：把x=−1代入y=−x+3得y=4，∴交点坐标为(−1,4)，将(−1,4)代入y=nx得4=n−1，∴n=−4，故答案为：−4．先将x=−1代入y=−x+3得y=4，再将交点坐标代入反比例函数解析式求解．本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式．12.【答案】5.5【解析】解：∵AD=DE，∠ADE=90°，∴∠A=45°，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∴AC=BC，∵AD=DE=1.7米，CD=3.8米，∴BC=AC=AD+CD=1.7+3.8=5.5(米)，故答案为：5.5．由AD=DE可知，AC=BC，从而解决问题．本题主要考查了中心投影，等腰直角三角形的性质，证明AC=BC是解题的关键．13.【答案】4【解析】解：∵关于x的方程x2−3x+n=0的一个根是−1，设另一根为a，∴−1+a=3，解得：a=4，则另一根为4．故答案为：4．利用根与系数的关系求出另一根即可．此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，灵活运用根与系数的关系是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：由作法可得BN平分∠ABC，∴∠ABN=∠CBN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=6，AD//BC，∴∠ANB=∠CBN，∴∠ABN=∠ANB，∴AN=AB=4，∴DN=AD−AN=6−4=2，故答案为：2．利用基本作图得到BN平分∠ABC，则∠ABN=∠CBN，再根据平行四边形的性质得到AD=BC=6，AD//BC，接着证明∠ABN=∠ANB得到AN=AB=4，然后计算AD−AN即可．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了平行四边形的性质．15.【答案】解：(1)x2−4x=5，x2−4x−5=0，(x−5)(x+1)=0，x−5=0或x+1=0，解得x1=5，x2=−1；(2)2(x+1)2−x(x+1)=0，(x+1)(x+2)=0，x+1=0或x+2=0，解得x1=−1，x2=−2．【解析】(1)先移项，再将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可；(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．16.【答案】解：根据题意得2−k≠0且Δ=(−4)2−4(2−k)×(−1)>0，解得k<6且k≠2．即k的取值范围是k<6且k≠2．【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到2−k≠0且Δ=(−4)2−4(2−k)×(−1)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．17.【答案】(1)(11,6)；(2)如图，△AB2C2即为所求；(3)20．【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；则B1(11,6)；故答案为：(11,6)；(2)见答案；(3)△AB1B2的面积为：1×8×5=20，2故答案为：20．(1)根据平移的定义将三顶点平移后顺次连接即可得；(2)根据位似变换的定义作图可得；(3)根据三角形的面积公式求解可得．本题主要考查作图−平移变换和位似变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和位似变换的定义及性质．18.【答案】(1)50，补全图形如下：(2)估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有480×2050=192(人)；(3)画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，∴所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率为1220=35．【解析】解：(1)在这次调查中，总人数为10÷20%=50(人)，∴喜欢旱地滑雪项目的同学有50−20−10−15=5(人)，补全的统计图见答案，故答案为：50；(2)见答案；(3)见答案．(1)先利用旱地冰球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢旱地滑雪项目的人数；(2)用480乘以样本中喜欢基础滑冰项目的百分比可估计全校学生中喜欢基础滑冰项目的人数；(3)画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了统计图、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．19.【答案】解：(1)∵A(a,4)在反比例函数y =4x 上，∴4a =4，解得a =1，即A(1,4)，∵A 点在一次函数y =−x +m 上，∴4=−1+m ，解得m =5，∴一次函数的表达式为y =−x +5；(2)由(1)知{y =−x +5y =4x， 解得{x =1y =4或{x =4y =1， ∴A(1,4)，B(4,1)，由图象可知，自变量x 的取值范围为1<x <4；(3)作A 点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于点P′，∵P′A =P′A′，∴P′A +P′B =P′A′+P′B =BA′，∴当P 点在P′位置时，PA +PB 有最小值，∵A(1,4)，∴A′(1,−4)，设直线A′B 的解析式为y =sx +t ，代入A′点和B 点坐标得{s +t =−44s +t =1， 解得{s =53t =−173， ∴直线A′B 的解析式为y =53x −173， 当y =0时，x =175， ∴P′(175,0)， 即当PA +PB 的值最小时，P 点的坐标为(175,0)． 【解析】(1)先确定A 点坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；(2)联立一次函数和反比例函数求出B 点坐标，根据图象直接得出x 的取值范围即可；(3)作A 点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于点P′，此时P′A +P′B 有最小值，求出此时P′点坐标即可．本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．20.【答案】(1)证明：∵EG//AF ，FG//AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD ，∠B =∠D ，又∵BE =DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)，∴AE =AF ，∴四边形AEGF 是菱形；(2)解：如图2，连接AC ，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，由题可得AC平分∠EAF，∠EAF=22.5°，∴∠EAC=∠FAC=12又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF+∠FAC=45°，∴∠DAF=∠FAC=22.5°，∴∠DAF=∠FAC=22.5°，∵FD⊥AD，FH⊥AC，∴FH=DF，∵∠FHC=90°，∠ACF=45°，∴△FHC是等腰直角三角形，∴CF=√2FH=√2DF，∴DF+CF=DF+√2DF=DC=6，∴DF=6√2−6；(3)如图3，连接EF，过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作FP⊥AE于点P，∴∠APF=∠EAK=∠EAF+∠DAF+∠DAK=90°，∵∠EAF=45°，∴△AFP为等腰直角三角形，，PF=√2AF，∠DAF+∠DAK=45°，2∴∠KAF=∠DAF+∠DAK=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE=∠DAK，又∵AB=AD，∠B=∠ADK=90°，∴△ABE≌△ADK(ASA)，∴BE=DK，AE=AK，又∵AF=AF，∠EAF=∠KAF，AE=AK，∴△AEF≌△AKF(SAS)，∴EF=KF，设BE=DK=x，则EF=KF=DK+DF=x+2，EC=6−x，FC=6−2=4，在Rt△EFC中，∠C=90°，EF2=EC2+FC2，∴(x+2)2=(6−x)2+42，∴x=3，∴BE=3，∴在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2=√62+32=3√5，在Rt△ADF中，AF=√AD2+DF2=√62+22=2√10，∴在△AFP中，PF=√2AF=√20=2√5，2又∵四边形AEGF为平行四边形，=AE⋅PF=3√5×2√5=30．∴S四边形AEGF【解析】(1)先判定四边形AEGF是平行四边形，证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=AF，由菱形的判定可得出结论；(2)过点F作FH⊥AC于点H，证明△FHC是等腰直角三角形，得出CF=√2FH=√2DF，则可得出答案；(3)过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作FP⊥AE于点P，证明△ABE≌△ADK(ASA)，由全等三角形的性质得出BE=DK，AE=AK，证明△AEF≌△AKF(SAS)，由全等三角形的性质得出EF=KF，求出BE=3，由勾股定理求出AE和AF的长，由平行四边形的面积公式可得出答案．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是能准确地作出辅助线．21.【答案】43【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−5x−6=0的两根，∴x1+x2=5，x1x2=−6，则x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=52−3×(−6)=25+18=43，故答案为：43．根据根与系数的关系可得出x1+x2=5，x1⋅x2=−6，将其代入x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2中即可求出结论．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22.【答案】7【解析】解：该几何体至少使用：1+1+2+1+2=7(个)小正方体．故答案为：7．在俯视图中写出最少的情形的小正方体的个数，可得结论．本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．23.【答案】9【解析】解：设这次会议到会人数是x人，x(x−1)=36，依题意得：12整理得：x2−x−72=0，解得：x1=9，x2=−8(不合题意，舍去)．故答案为：9．设这次会议到会人数是x人，利用碰肘的总次数=参会人数×(参会人数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】15【解析】解：∵函数y=(m2−6)x的图象经过第二、四象限，∴m2−6<0，∴m2<6，∴m可以取2，0，−1，−2，∵关于x的一元二次方程(m+1)x2+mx+1=0有实数根，∴m+1≠0且Δ=m2−4(m+1)≥0，∴m≠−1且m2−4m−4≥0，∴m可以取−2，−3，∴满足条件的m的值只能为−2，∵有2，0，−1，−2，−3五个数，∴共有5种等可能的结果，∴使函数y=(m2−6)x的图象经过第二、四象限，且使关于x的一元二次方程(m+1)x2+mx+ 1=0有实数根的只有一种结果，概率为1，5．故答案为：15先利用正比例函数的性质可判断m可以取2，0，−1，−2，再根据一元二次方程根的判别式的意义得到m+1≠0且Δ=m2−4(m+1)≥0，则m可以取−2，−3，然后确定满足题意的m的值，最后根据概率公式求解．本题考查了概率公式：某随机事件的概率=这个随机事件发生的情况数除以总情况数，也考查了一元二次方程根的判别式和正比例函数的性质．25.【答案】12√27【解析】解：如图，延长BN 交CD 于点E ，由题可得∠BCM =90°，BC =AB =3，AB//CD ，∵将△BCM 沿BM 折叠得到△BNM ，BC =3，MC =1，∴BN =BC =3，MN =MC =1，∠BNM =∠BCM =90°=∠ENM ，设EM =x ，则CE =EM +MC =x +1，在Rt △EMN 中，NE =√EM 2−MN 2=√x 2−1，∴BE =BN +NE =3+√x 2−1，在Rt △BCE 中，BC 2+CE 2=BE 2，∴32+(x +1)2=(3+√x 2−1)2，解得x 1=54或x 2=−1(舍去)， ∴CE =x +1=94，∵AB//CD ，∴△AHB∽△CHE ，∴AH CH =AB CE ，即AH CH =394=43， 而AH +CH =AC =√2BC =3√2，∴AH =12√27， 故答案为：12√27．延长BN 交CD 于点E ，由将△BCM 沿BM 折叠得到△BNM ，可知BN =BC =3，MN =MC =1，∠BNM =∠BCM =90°=∠ENM ，设EM =x ，则CE =EM +MC =x +1，在Rt △EMN 中，有NE =√EM 2−MN 2=√x 2−1，在Rt △BCE 中，可得32+(x +1)2=(3+√x 2−1)2，即可解得x 1=54或x 2=−1(舍去)，CE =x +1=94，而△AHB∽△CHE ，可得AH CH =43，又AH +CH =AC =3√2，即得AH =12√27．本题考查正方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，构造相似三角形，利用对应边成比例求出AHCH =43．26.【答案】解：(1)设改造前y与x的函数关系式为y=kx，把x=1，y=180代入得，k=180，∴改造前y与x之间的函数关系式为y=180x，把x=6代入得y=1806=30，由题意设6月份以后y与x的函数关系式为y=30x+b，把x=6，y=30代入得，30=30×6+b，∴b=−150，∴y与x之间的函数关系式为y=30x−150；(2)对于y=180x，y=90时，x=2，∵k=180>0，y随x的增大而减小，∴x>2时，y<90，对于y=30x−150，当y=90时，x=8，∵k=10>0，y随x的增大而增大，∴x<8时，y<90，∴2<x<8时，月利润少于90万元，∴该工厂资金紧张期共有5个月．【解析】(1)根据待定系数法可得到反比例函数解析式；由工厂每月的利润都比前一个月增加30万元，可求出改造后y与x的函数表达式；(2)对于y=180x，y=90时，x=2，得到x>2时，y<90，对于y=30x−150，当y=90时，x=8，于是可得到结论．本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AD//BC，∵OD=TC，∴四边形ODCT是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴▱ODCT是矩形，∵OD=CD，∴矩形ODCT是正方形，即四边形DEFG是正方形，∴DG=DE，∠AFM=∠GFE=∠G=∠DEK=∠DEF=90°，∴∠ADC=∠AFM，∵∠AMF=∠DMK，∴∠DAG=∠K，∴△AGD≌△KED(AAS)，∴AD=DK；(2)解：由题意可得，在Rt△ADG中，sin∠DAG=DGAD =13，∵DE//AG，∴∠EDM=∠DAG，∵∠HAM=90°，∴∠H+∠AMH=90°，∵∠AFM=90°，∴∠DAG+∠AMH=90°，∴∠H=∠DAG，同理可得：∠K=∠EDM，∴∠H=∠DAG=∠K=∠EDM，在Rt△DMK中，MK=DMsinK=3sin∠DAG=313=9，在Rt△DEM中，EM=DM⋅sin∠EDM=3⋅sin∠DAG=3×13=1，∴DE=√DM2−EM2=√32−12=2√2，在Rt△DAG中，AD=DGsin∠DAG=DE13=6√2，∴AM=AD−DM=6√2−3，在Rt△AHM中，HM=AMsinH =6√2−3sin∠DAG=3×(6√2−3)=18√2−9，∴HK=HM+MK=(18√2−9)+9=18√2；(3)解：S△CPK =12−4√55⋅a2，过程如下：在Rt△DGN中：GN=a，GD=2GN，∠NGD=90°，∴GD=2a，tan∠GDN=GNGD =12，∵四边形DEFG是正方形，∴DE=GD=CD=2a，GD//EF，∴∠K=∠GDN，在Rt△DEK中，tanK=DEEK =2aEK，∴tan∠GDN=2aEK =12，∴EK=4a，∴在Rt△DEK中，DK=√DE2+EK2=√(2a)2+(4a)2=2√5a，∴CK=DK−CD=2√5a−2a，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DEF=90°，∴∠FEG=12∠DEF=45°，∵CP//GE，∴∠CPE=∠FEG=45°，如图，过点C作CM⊥HK于点M，则∠CMK=90°，∠CPE=45°，∴∠PCM=∠CPE=45°，∴CM=PM，∵tanK=CMMK =12，∴sinK=√55，MK=2CM，∴CM=CK⋅sinK=√55⋅(2√5a−2a)，∴PK=MK−PM=2CM−CM=CM，∴S△CPK=12PK⋅CM=12CM2=12⋅[√55⋅(2√5a−2a)]2=12−4√55⋅a2．【解析】(1)先证四边形ODCT是正方形，再证明△AGD≌△KED，进而命题得证；(2)证明∠H=∠DAG=∠K=∠EDM，进而解Rt△DMK，Rt△DEM，Rt△DAG，Rt△AHM，从而得出HK;(3)解△CPK：tanK=12，CK=DK−CD=DK−DE，∠CPE=45°，PK=MK−PM=2CM−CM=CM．本题考查了矩形性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．28.【答案】解：(1)∵点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，四边形OAPB是矩形，∴BP=6，AP=3，∴点P坐标为(6,3)，∵反比例函数y=kx(k>0)经过点P，将点P坐标代入得：k=6×3=18，∴反比例函数y=kx 的表达式为y=18x；(2)如图1，过点G作GM⊥BP于点M，GN⊥AP于点N，∴∠GMP=∠GNP=90°，∵四边形OAPB是矩形，∴∠APB=90°，∴四边形MGNP为矩形，设GM=PN=x，∵∠DPG=30°，∠GMP=90°，∴GN=MP=GMtan30∘=√3x，由(1)知点P坐标为(6,3)，∴BP=6，AP=3，又∵反比例函数y=6x的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，∴C点坐标为(6,1)，D点坐标为(2,3)，∴PD=6−2=4，PC=3−1=2，∵S△PCD=S△PDG+S△PCG，∴1 2PD⋅PC=12PD⋅GM+12PC⋅GN，即12×4×2=12×4x+12×2×√3x，解得x=8−4√3，∴GM=PN=8−4√3，GN=MP=8√3−12，∴BM=BP−MP=6−(8√3−12)=18−8√3，AN=AP−PN=3−(8−4√3)=4√3−5，即点G坐标为(18−8√3,4√3−5)；(3)MG=12CD，理由如下：设点P坐标为(a,ka )，则点C坐标为(a,6a)，点D坐标为(6ak,ka)，∴线段CD的中点坐标为(6a+ak2k ,6+k2a)，设直线OP的解析式为y=rx，代入P点坐标得ka=ra，∴r=ka2，即直线OP的解析式为y=ka2x，设直线CD 的解析式为y =sx +t ，代入点C 和点D 的坐标得{6a k s +t =k a sa +t =6a ， 得{s =−ka 2t =6+k a ， 即直线CD 的解析式为y =−k a 2x +6+k a， ∵点G 是直线OP 和直线CD 的交点，∴k a 2x =−k a 2x +6+k a， 解得x =6a+ak 2k ， ∴y =6+k 2a， ∴点G 的坐标为(6a+ak 2k ,6+k 2a )， ∴点G 是线段CD 的中点，又∵MD ⊥MC ，∴∠CMD =90°，∴MG =12CD ．【解析】(1)根据点C 的横坐标为6，点D 的纵坐标为3，得出点P 坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)过点G 作GM ⊥BP 于点M ，GN ⊥AP 于点N ，设GM =x ，则GN =√3x ，再根据S △PCD =S △PDG +S △PCG 得出x 的值，然后计算点G 坐标即可；(3)设P 点坐标为(a,k a )，则C(a,6a )，D(6a k ,k a)，求出直线OP 和直线CD 的解析式，根据点G 是直线CD 和直线OP 的交点得出点G 坐标，根据G 点是CD 的中点，∠CMD =90°，即可得出MG =12CD ． 本题主要考查反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质、一次函数的性质等知识是解题的关键．。
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（2）若 ，连结 ，①求证： ；②求 的度数；
（3）若 ， ， ，M是 的中点，求 的长。
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，已知点 、 ，点 、 在第二象限内.
（1）点 的坐标___________；
（2）将正方形 以每秒 个单位的速度沿 轴向右平移 秒，若存在某一时刻 ，使在第一象限内点 、 两点的对应点 、 正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时 的值以及这个反比例函数的解析式；
15．已知a是方程 的一个根，则代数式 的值为_______。
16．如图，已知直线 ∥ ∥ ∥ ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．
17．若方程 的根为负数，则k的取值范围是______。
18．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ= （Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为______．
9．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补
10．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，2.5）C．（0，2）D．（0，1.5）
2．A
【解析】5 700 000=5.7×1 000 000=5.7×106，
故选：A.
3．C
【分析】
根据整式的混合运算法则逐一进行判断即可．
24．如图，一次函数 的图象交反比例函数 的图象于 两点，交x轴于点C，P是x轴上一个动点。
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）若 与 相似，请直接写出点P的坐标。
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
19．如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若 ，则 ______．
三、解答题
20．（1）计算：
（2）解方程：
21．先化简，再求值： ，其中
22．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两幅统计图．
销售单价x（元件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
400
300
200
…
（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；
（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过50元件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？
27．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点E，交 的延长线于F，以 为邻边作平行四边形 。
二、填空题
11．若 ，则 ＝_____．
12．分解因式： =______．
13．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m．
14．如图，点P在反比例函数y= （x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______．
C．570×104D．0.57×107
3．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．函数 中，自变量x的取值范围是（）
A． B． C． 且 D． 且
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝3C． ， D． ，
（3）在（2）的情况下，问是否存在 轴上的点 和反比例函数图象上的点 ，使得以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 、 的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】
解：|-2|=2
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
26．某工厂设计了一款成本为20元件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．已知反比例函数y＝ 的图象经过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A．(3，－2)B．(－2，－3)C．(1，－6)D．(－6，1)
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
23．济南市地铁R3线施工，某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌的高度BC．
2021年四川省成都市新都区九年级一诊（上学期期末）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的绝对值是（）
A． B．2C． D．
2．用科学记数法表示5 700 000，正确的是( )
A．5.7×106B．57×105