二阶线性齐次差分方程

z 二阶线性齐次差分方程012=++++n n n cx bx ax 的特征根法求解：

令形式解 ,代入方程得特征方程: , 根:

n n x λ=02=++c b a λλ(1) βα,为实根, 对应有解： 和 ;

n n x α=)1(n n x β=)2((2) αα,为重根, 对应有解： 和n n x α=)

1(1)

2(lim −→=−−=n n n n n x αα

βαβαβ ，或者 n n n x α=)2((3) , ϕβαλi e r i ±⋅=±=()()ϕϕλϕλn i n e e e x r n i r n n n n sin cos ln ln ln ±====±⋅,

对应有解： 和.

ϕn e x r n n cos ln )1(=ϕn e x r n n sin ln )2(=(4) 关于解的结构理论与线性微分方程类似，由此得一般解: )2(2)1(1n

n n x c x c x +=1. (98) 求差分方程的一般解。 (n y y n n 51021=++()72

51255−+−=n C y n n ) 解：齐次方程的通解为，设非齐次方程的特解为：()n

n C y 5−=b an y n +=~，代入求。 b a ,2. 斐波拉契数( ⎩⎨⎧==+=++11012x x x x x n n n ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++1125125151n n n x ) 3． 银行实行贷款购房业务，A 贷元，月利r ，n 个月本利还清，在这个月内按复利计息，每月连本带息还n x 元。

(1) 求的关系； (2) 记个月的平均利息(r n A f x ,,=)n n

A x n v −=，求r v n ∞→lim . 设第i 个月欠元，则 i A (),101⎩⎨⎧=−+=−A

A x r A A i i 齐次方程的通解为 ();1n

n r C A +=非齐次方程的特解为r

x A n =~； 非齐次方程的通解为：();1r

x r C A n n ++= 代入初始条件得非齐次方程的特解为()();111r

r x r A A n n n −+−+= 0=n A 得x 值。。。。。

4. 己知差分方程⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=++201)1(1αααx n x x n n 的解满是条件：211lim =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∞→n n n x ，求常数?=α。 (2)

1(1ααα+++=

n x n )