勒让德多项式及球函数
球的表面积公式6种推导
球的表面积公式6种推导球是一种常见的几何体，在生活中我们经常会接触到它，比如足球、篮球、乒乓球等等。
球的表面积是一个比较基础的数学问题，不同的推导方法可以帮助我们更好地理解球体的结构和特性。
本文将介绍6种球的表面积公式的推导方法。
一、解析几何推导法球的方程为：x + y + z = r其中，r为球的半径。
我们可以通过对球的方程进行求导，得到球的面积公式：S = 4πr二、微积分推导法我们可以将球体分成无数个微小的面元，每个面元的面积为dS。
将所有面元的面积加起来，就可以得到球的表面积S。
假设球的方程为：x + y + z = r则球的面积可以表示为：S = dS = cosθdxdy其中，θ为面元法向量与z轴的夹角。
将球的方程代入上式，可以得到：S = 2πr∫[0,π]cosθsinθdθ = 4πr三、向量叉积推导法我们可以用向量叉积来推导球的表面积公式。
假设球心在原点，球的方程为：x + y + z = r可以将球面表示为：r(θ,φ) = rcosθsinφi + rsinθsinφj + rcosφk 其中，r为球的半径，θ为经度，φ为纬度。
i、j、k为标准基向量。
对于球面上的两个向量a和b，它们的叉积为：a ×b = rsinφ(cosθ1 - cosθ2)i + rsinφ(sinθ2 - sin θ1)j + r(sinφ/2)(θ2 - θ1)k其中，θ1、θ2为两个经度，φ为纬度。
我们可以将球面分成无数个小面元，每个小面元的面积为dS。
对于每个小面元，可以找到两个向量a和b，它们的叉积即为该小面元的面积。
将所有小面元的面积加起来，即可得到球的表面积公式： S = dS = rsinφdφdθ = 4πr四、球坐标系推导法球坐标系是一种常见的坐标系，它可以用来描述球体的结构和特性。
在球坐标系下，球的方程为：r = r其中，r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
球的面积可以表示为：S = dS = rsinφdφdθ = 4πr五、三重积分推导法我们可以用三重积分来推导球的表面积公式。
关联勒让德函数
勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。
勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。
勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。
1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。
勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。
2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。
勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。
勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。
它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。
此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。
14第十四章 勒让德多项式
( tan
m2 sin2
)
0，(0),
(
)
有限
记
本征值 l(l 1), l m, m 1, m 2,...
住
本征函数 Plm (cos ) (缔合勒让德函数)
结 论
m=0 时，本征函数为勒让德多项式 Pl (cos )
• 2u 0 球壳区域的通解：
u(r)
(cl rl dl rl1) Plm (cos )[am cos(m ) bm sin( m )]
[l(l
1)
m (m
1)] Pl(m)
0
证：对微分方程 [(1 x2 ) Pl] l(l 1) Pl 0
应用高阶导数公式求导 m 次
n
[ f ( x)g( x)](n) Cnk f (k) ( x) g(nk) ( x) k0 取 f 1 x2 , g Pl, n m 1
P0 ( x) 1
P1( x) x cos
P2( x) (3x2 1) / 2 P3( x) (5x3 3x) / 2
| Pl ( x) | 1, 1 x 1 Pl (1) 1, Pl (1) (1)l
Pl
(x)
1 2l l!
dl dx l
(x2
1)l
17
§14.2 勒让德多项式的性质
右边从 1 到 x 逐项积分 l 次，得到
l
m0
1 (l m)! ( x 1)ml 2m m! (l m)! (m l)!
( x 1)l 2l l!
l
Clm ( x 1)m 2l m
m0
(x
1)l ( x 2l l!
1
2)l
1 2l l!
(
第十三章勒让德多项式 球函数
第十三章 勒让德多项式 球函数（13）一、内容摘要1．幂级数解法：就是在某个任意点0z 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数。
不失一般性，我们讨论复变函数()w z 的线性二阶常微分方程的级数解：()()()()2200010, 'd w dw p z q z w dzdzw z C w z C ++===．如果函数()p z 和()q z 在点0z 的领域中解析，则称0z 为方程的常点，如果0z 是函数()p z 或()q z 的奇点，则称0z 为方程的奇点。
定理:如果函数()p z 和()q z 在点0z 的邻域0z z R -<中解析, 则常微分方程在圆0z z R -=内存在唯一的满足相应定解条件的解析解。
既然在常点的邻域内存在唯一的解析解，就可以把它在该邻域内表示为Taylor 级数形式：()()00kk k w z a z z ∞==-∑。
2．勒让德方程的级数解:（1）0m =时的连带Legendre 方程称为Legendre 方程()()2221210d ydy x xl l y dxdx--++=由幂级数解法可得()0kkk y x ax∞==∑的系数的递推公式：()()()()()()()()21112121k k k k k l l k l k l a a a k k k k ++-+-++==++++这样l 阶Legendre 方程的级数解是：()()()()()()()()00112031;11,2!12.3!y x a y x a y x l l y x x l l y x x x =+-+=++-+=++可以判断l 阶 Legendre 方程的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散且在1x =±处发散。
由递推公式易知，当0,1,2l = 时，()0y x 和()1y x 必定有一个成为l 次多项式。
这样我们就可以得到满足自然边界条件的幂级数解。
最新勒让德（legendre）多项式及其性质
最新勒让德（legendre）多项式及其性质勒让德（legendre ）多项式及其性质⼀．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德⽅程的通解推导出来的，所以我们⾸先引⼊勒让德⽅程，以及勒让德⽅程的幂级数解，勒让德⽅程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为⾮负实数（1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+∑ （1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作⽤，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是⽅程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上⾯（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n 取⾮负整数时，1y 和2y 中有⼀个便退化为n 次多项式，它就是⽅程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最⾼次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第⼀类勒让德函数，记作()n P x ，下⾯我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。
①当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。
为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表⽰其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利⽤2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）⼀般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =）（1.10）我们将这些系数带⼊（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：(22)!()(1)2!()!(2)!n mn mn n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。
10-1勒让德多项式
§10.1 勒让德多项式一、 引入拉普拉斯方程20u ∇=，在球坐标下为2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 它有分离变量形式的解()(),u R r Y θφ=，其中R (r )满足径向方程()210d dR r l l R dr dr ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭其通解解为()1ll B R r Ar r +=+.(),Y θφ为球函数，它满足球函数方程()22211sin 10sin sin Y Yl l Y θθθθθφ∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (),Y θφ可以进一步分离变量为()()(),Y θφθφ=ΘΦ，()φΦ满足方程2"0m Φ+Φ=其解为()()cos sin 0,1,2,C m D m m ϕϕϕΦ=⋅+⋅=()θΘ满足方程：()22sin sin 1sin 0d d l l m d d θθθθθΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ= ⎪⎣⎦⎝⎭ 该方程可以化为连带勒让德方程()()222212101d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦其中cos x θ=，当m=0，方程退化为勒让德方程：()()221210(1)d d x x l l dx dxΘΘ--++Θ= 这正是本节要研究的问题：m=0，意味着Φ=常数，与φ（方位角）无关，这在物理上代表轴对称问题。
其中（1）受边界条件“在x =1处有限”的限制，构成本征值问题，本征值：()1l l +本征函数：()0y x ，当l 为偶数，()0y x 截止到2lnx x =项()1y x ，当l 为奇数，()1y x 截止到21ln x x+=项其中()2020kk k y x ax +∞==∑，()21121k k k y x a x +∞++==∑系数递推公式为：()()()()22121k kk l k l a a k k +-++=++ 二、勒让德多项式约定最高项 ()()22!2!l kl l a a l =利用上述系数递推公式，反推全部系数，可得()()()()222!1!2!2!kl k l l k a k l k l k --=---如此，可将勒让德方程的解可以表示为：()()()()()22022!1!2!2!l kl k l lk l k P x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑ 2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过的最大整数(),2212ll l l l ⎧⎪⎡⎤⎨=⎢⎥⎣⎦-⎪⎩为偶数，为奇数勒让德多项式举例：()()()()()()()()()()()0122234241cos 11313cos 212411535cos33cos 28113530335cos 430cos 29864P x P x x P x x P x x x P x x x θθθθθθ====-=+=-=+=-+=++ ， 1. 基本性质（1）()21n P x +为奇，()2n P x 为偶（2）()()()()()21221!!00,012!!nn n n P P n +-==- ()()()()()()()2!!2222464221!!2123531n n n n n n n =--⋅⋅-=--⋅⋅（3） ()()()11,11ll l P P =-=- （4）()()1,11l P x x ≤-≤≤ 2. 微分表示()()2112!l l l l l d P x x l dx=- 这叫罗德里格斯公式（Rodriguez ） 证明：()()()()()22220111!1112!2!2!!!l ll l l kkkkl kll l llllk k d d d l x Cxx l dx l dx l dx k l k --==-=-=--∑∑ 其中使用了二项式定理，经l 次求导，凡是幂次小于lx 的项最后都为0，所以最后结果值保留不小于l 次幂的项，即22l k l -≥，即2l l ≤上式()()()()()2202222121112!2!!l k l kl l k l k l k l k xl k l k ⎡⎤⎣⎦-=----+=--∑()()()()22022!12!!2!l kl k l k l k x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑此即()l P x3. 积分表示利用积分公式()()()1!2nn c f d n f z i z ζζπζ+=-⎰，令()()21l f x x =-，由导数表示的公式可得()()()2111122ll l lcz P x dz i z x π+-=-⎰这里c 为围绕x 点的任一闭合回路，此积分叫做施列夫利积分；将c 取为圆心在z=x ，半径,i i z x dz d ψψψ-==代入积分表示式中，可得()[]011cos sin cos lll P x x d i d ππψψθθψψππ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰当x =1，很容易求得()11l P =；当()()1,11ll x P =-⇒-=-此外，()[]22211cos sin cos cos sin cos lll P x i d i d ππθθψψθθψψππ⎡⎤≤+=+⎣⎦⎰⎰22211cos sin 1ld d ππθθψψππ⎡⎤≤+==⎣⎦⎰⎰即()1l P x ≤（前提是11x -≤≤，但cos x θ=，所以肯定11x -≤≤）4. 正交性()()()110,k l P x P x dx k l -=≠⎰或者：()()()0cos cos sin 0,k l P P d k l πθθθθ=≠⎰模：若k l =，有：()()()11211221k l l P x P x dx P x dx l --=⇒⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ 这个积分结果为勒让德多项式的模方为：2l N ，即l N =5. 完备性()l P x 是定义在[]1,1x ∈-区间上的函数族，任意一个定义于区间[]1,1-上的连续或者分段连续的函数()f x ，（只有第一类间断点，且是有限个第一类间断点，有限个极值点） 都可以以()l P x 为“基矢”展开，即()()0l l l f x C P x ∞==∑()l P x 的这一性质叫做它的完备性，展开系数l C 可以用前述正交性求得：()()()()1102121cos sin 22l l l l l C f x P x dx f P d πθθθθ-++==⎰⎰ 简证：把()()0l ll f x C P x ∞==∑两边同乘以()kP x()()()()0k l l k l f x P x C P x P x ∞==∑再两边同时取积分()()()()()11121110221k l l k k k k l f x P x dx C P x P x dx C P x dx C k ∞---====⎡⎤⎣⎦+∑⎰⎰⎰⇒ ()()11221k k C f x P x dx k -=+⎰评述：勒让德多项式()l P x 的正交、完备性，使之可以作为“基矢”，任意定义在[]1,1-上的分段连续的()f x 都可以用展开，这样的性质类似于傅里叶级数展开，称之为广义傅里叶展开。
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
勒让德多项式及球函数53页PPT
勒让德多项式及球函数
6、纪律是自由的第一条件。——黑， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
chapt10-_球谐函数(4学时)解析
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2018/10/16 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! ( z) 2πi
f ( ) C ( z)l 1 d
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
勒让德多项式及球函数53页PPT
勒让德多项式及球函数
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
勒让德多项11
Y ( , ) ( )( )
d 2 m 0 2 d
C1 cosm C2 sinm
1 d d m2 (sin ) [n( n 1) 2 ] 0 sin d d sin
m m ( ) P ) n n (cos
2 1 1
1
1
Pndx (1 x 2 ) PnPm dx 0 (1 x ) Pm
2 1 1
1
1
n(n 1) m(m 1) 0
1
1
Pm ( x ) Pn ( x )dx 0
(mn)
7/15
勒让德多项式的模
2 1 [ Pn ( x )] dx 2n 1
n n (1 2 xz z ) Pn z z Pn z 0 2
n [ P 2 x P P P ] z 0 n n 1 n 2 n 1 n 2
n 0
n 0
Pn 2 xPn1 Pn 2 Pn1 0 Pn1 2 xPn Pn1 Pn 0
6/15
Pm ( x )
Pn ( x)
两式相减
] Pm [(1 x 2 )Pn] [n(n 1) m(m 1)]Pm Pn Pn[(1 x 2 )Pm
积分 1 [n(n 1) m(m 1)] Pm Pndx
1
]dx Pm [(1 x 2 ) Pn ]dx Pn [(1 x ) Pm
3 2
(1 2 xz z 2 ) nPn z n1 ( z x ) Pn z n 0
n [( n 1 ) P ( 2 n 1 ) xP nP ] z 0 n1 n n 1 n 1
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
第十五章 勒让德多项式 球函数
(15.6)
解偏微分方程（15.1’）就变成了解三个微分方程： （15.3）、（15.5）和 （15.6）
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
2 d R dR 2 r 2r R 0 2 dr dr d2 2 m 0 2 d
legendre多项式球函数第一节legendre微分方程及其legendre多项式在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程sinsin直角坐标下的laplace方程xxyyzz在球坐标系中的形式为得到sinsin令上式等于常数得到两个微分方程sinsin其中方程153为变系数常微分方程用尤拉方程去解
M
Hale Waihona Puke 1 x 1其中,
n 2, M n1 , 2
n 为偶数
或
n 为奇数
1 dn 2 n n ( x ) n ( x 1 ) . n 2 n! d x
称 n ( x ) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
在所有情况下, 都有 n (1) 1 , n (1) (1)n .
令Y ( , ) ( ) ( )并带入公式(15.4)得到：
2 2 1 d 1 d 1 d 2 2 2 m sin sin cos sin d 2 d d 2
令上式等于m2（为什么？后面就会知道），m为非负整数， 得到两个微分方程： d2 2 m 0 (15.5) 2 d
ck 2 ( n k )( n k 1) ck ( k 1)( k 2)
k 为正偶数
n( n 1) c2 c0 2! ( n 2)( n 3) c4 c2 34
勒让德多项式及性质1
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x) 为偶函数， l 为奇数时 Pl ( x) 为奇函数
一、勒让德多项式的正交关系
0
1
1
Pk ( x) P ( x)dx 0 l
(k l )
(k l )
Pk (cos ) Pl (cos ) sind 0
2 2 2
d d m 方程解出:(1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0，x cos 2 dx dx 1 x d 2 d 2 m 0时，成为l阶勒让德方程： x ) 2 2 x (1 l (l 1) 0 dx dx 用常点邻域 a0 y0 ( x), l为偶数时 k , 令 y ak x a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) 的级数解法 k 0 a1 y1 ( x)，l为奇数时
f
(l )
l! f ( ) ( z) C ( z )l 1 d 2πi
容易证明微分表示也可表示为环路积分形式
1 1 Pl ( x) 2πi 2l
C为
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
同样若记
arc cos x
y( x) ( x)
l
阶勒让德方程
则上述方程也可写为下列形式的
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
轴对称球函数 现在注意：m 0时， ( ) A cos m B sin m A(常数) （r , , ） R(r )( )( ) AR(r )( ) （r , ） u u 即在以r， 构成的锥体上各点的u值相同。
勒让德多项式球函数
第十一章勒让德多项式球函数本章讨论三维拉普拉斯方程在球坐标下的分离变量法，由此得到特殊函数：勒让德多项式、连带勒让德多项式和球谐函数，然后讨论它们的性质，最后讨论球函数的应用。
大纲要求：1.掌握球坐标下拉普拉斯方程的分离变量法2.掌握常点邻域的幂级数解法。
3.掌握勒让德多项式连带勒让德多项式，球函数的定义及基本性质4.掌握球函数在求解数理方程中的应用重点难点：1.球坐标下的分离变量法2.勒让德多项式的定义和基本性质3.连带勒让德多项式，球函数的定义4.球函数的应用第一节勒让德微分方程及勒让德多项式一、勒让德微分方程的导出考察三维拉普拉斯方程采用球坐标系，即：拉氏方程就变为：(1)首先，用分离变数法把表示距离的变数r与表示方向的变数θ和分离。
为此令代入(1)式得：用r2/RY遍乘各项并适当移项，即得：左边是r的函数，跟θ和无关。
右边定θ和的函数，跟r无关，两边相等。
只有同时等于一个常数，记为n(n+1)，这就分离出两个方程：(2)(3)微分方程(2)即为欧勒型常微分方程，其解为：偏微分方程(3)叫做球函数方程，Y(θ,)称为球函数，进一步分离变数，以：代入球函数方程(3)得：用遍乘各项并适当移项，即得：左边是θ的函数，与无关，右边定的函数，跟θ无关，两边相等，只有等于一常数，记为l。
这样就分解为两个常微分方程。
(4)(5)先看关于Φ的方程，注意到自然周期条件：(6)方程(4)与自然周期条件(6)构成本征值问题，本征值是l=m2(m=0,1,2,3……)本征函数是：这样方程(5)应为：(7)通常令而代入(7)得：(8)一般将记为y(x).方程(8)为连带(缔合)勒让德微分方程。
如果球坐标的极轴是对称轴，则u与无关，从而Φ()与无关，即：m=0．在m=0的情况下，方程(8)成为：(9)这叫勒让德方程。
二、幂级数解和勒让德多项式的定义1、常点邻域上的级数解法在常微分方程理论中，对于二阶常微方程是存在一种解法，称为级数解法，把二阶常微分方程的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数，这是一个比较普遍的方法，对方程并无特殊要求。
第十九章-勒让德多项式-球函数
下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．
Pl (x)
1 dl 2l l ! dxl
(x2
1)l
项，所以
【证明】 用二项式定理把 展开
(x 2 1)l
幻灯片 12 把上式对 x 求导 次．凡是幂次 的项在
1 (x2 1)l 1 l
l!
l
(x2 )lk (1)k (1)k
2l l!
当
1
1Pn (x)Pl (x)dx 0 时满足
，
(19.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
nl
(19.2.4)
幻灯片 19 下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明 【证明】 （1）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1, 2, )
l
（19.1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l(l
1)
m2 1 x2
y
0
无关，则 ，即有
m 0
（19.1.5）
称为 阶勒让德（legendre）方程．
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
幻灯
片6
l
同样若记 ，
阶勒让德方程 ，则上述方程也可写为下列形式的
dxl 1
dl1(x2 1)l
l x 1 (l 1) dxl1 幻灯片 22
是 次多项式，其 阶导数也就是最高幂项
第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数
因此，(2 n )!(2 n )!!(2 n 1 )!!
2、勒让德多项式的微分表示
Pl(x)21ll!ddxll (x21)l
（4.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式 (4.1.10) 和（4.1.7）是相同的．
【证明】 用二项式定理把 (x2 1)l展开
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 4.1
计算 P l ( 0 ) ，这应当等于多项式 P l ( x ) 的常数项．
如 l 为 2n 1（即为奇数）时， 则 P2n1 ( x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1(0)0
（4.1.8）
l 2n （即为偶数）时．，则 P 2 n ( x ) 含有常数项，即 （4.1.7）中 k l 2 n 的那一项，所以
P2n(0)(1)n2(22 nn n!)n !!(1)n(2 (n 2n )1 !)!!! （4.1.9）
式中记号 ( 2 n ) ! ! ( 2 n ) ( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) L 6 4 2
而 ( 2 n 1 ) ! ! ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 ) ( 2 n 5 ) L 5 3 1
(4.1.2) 式的解 Y ( , ) 与半径 r 无关，称为球谐函数
பைடு நூலகம்
，或简称为球函数．
球谐函数方程进一步分离变量，令 Y(,) () ()
得到关于 的常微分方程
sin 1 d d sind d l(l 1 )sim n2 2 0 （4.1.3）
称为 l 阶连带勒让德l 方程或缔合勒让德方程
.
令 xcos和 y(x)(x)
数学物理方法课件-11 球函数
2
2
又
f ( ,) Am ( ) cosm Bm ( ) sin m m＝0
Am
(
)
1
m
2
f ( ,) cosmd
0
Bm
(
)
1
2 0
f ( ,) sin md
易判断，Bm ( ) 0，且m 0或2.
故
f ( ,) Am ( ) cosm
m0，2
比较知
m
0时，A0 (
)
3 2
sin 2
Pl
(x)
1
2
2 3
xi
2
l
1 x2 cos d ( )
1 2
3
2
xi
2
l
1 x2 cos d
1
2
0
2
0
3
2
1
2
0
1
2
0
2
1
3 2
2
1
xi
1 x2 cos
l
d
1
l
2 x i 1 x2 cos d
2 0
2 0
1
l
2 x i 1 x2 cos d ( )
x2)
(m
2) x 2
v
代入连带勒让德方程得
(1
x
2
)
m 2
1
v
2mx(1
m
x2) 2
v
m(1
x
2
)
m 2
1
(1
x2)
(m
2) x 2
v
2 x(1
x2
)
m 2
v
工程数学2012-CH10-勒让德多项式和球谐函数
由
2 d dy m 2 2 y=0 (1 − x ) + ω − 2 dx dx 1− x
令ω 2 =l (l + 1), 得
2 2 d y dy m 2 y=0 (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1) − 2 dx dx (1 − x )
勒让德方程的通解为:
y ( x) = c0 y0 ( x) + c1 y1 ( x)
( −l )(l + 1) 2 (2 − l )(−l )(l + 1)(l + 3) 4 y0 ( x) = 1 + x + x + ⋅⋅⋅ + 2! 4! (2k − 2 − l )(2k − 4 − l ) ⋅⋅⋅ ( −l )(l + 1)(l + 3) ⋅⋅⋅ (l + 2k − 1) 2 k x + ⋅⋅⋅ (2k )! (1 − l )(l + 2) 3 (3 − l )(1 − l )(l + 2)(l + 4) 5 y1 ( x) = x + x + x − ⋅⋅⋅ + 3! 5! (2k − 1 − l )(2k − 3 − l ) ⋅⋅⋅ (1 − l )(l + 2)(l + 4) ⋅⋅⋅ (l + 2k ) 2 k +1 x + ⋅⋅⋅ (2k + 1)! (n − l )( n + l + 1) cn , 由达朗贝尔判别法和cn 递推关系cn + 2 = (n + 2)(n + 1) 对l ≠ 整数, 得泰勒级数的收敛半径 R = lim
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（19.1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m0
，即有 （19.1.5）
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
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同样若记
arc cos x
( x 2 1) l展开
l 1 2 l 1 l l! 1 2 l k k k 2l 2 k ( x 1 ) ( x ) ( 1 ) ( 1 ) x l l l 2 l! 2 l! k 0 (l k )!k! 2 k!(l k )! k 0
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
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在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
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第三篇
特殊函数
本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞 尔函数和柱函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇特点：加强了思维能力的训练, 以及计算机 仿真绘图在特殊函数中的应用.
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第十九章 勒让德多项式 球函数
19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式
Pl ( x) 的常数项．
如 l
为
2n 1 （即为奇数）时，则 P2 n 1 ( x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2 n 1 (0) 0
．
（19.１.8）
则 P2 n ( x) 含有常数项，即 l 2n （即为偶数）时， （19.１.7）中
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2 勒让德多项式的微分表示
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
（19.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．
【证明】 用二项式定理把
1 1 6 4 2 P6 ( x) (231x 315 x 105 x 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
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P2 n (0) (1)n
k l 2n
的那一项，所以
(2n)! n (2n 1)!! ( 1) （19.１.9） n n 2 n !2 n ! (2n)!! 式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)6 4 2 而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)5 3 1 因此， (2n)! (2n)!! (2n
l
阶勒让德方程
，则上述方程也可写为下列形式的
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
(19.1.6)
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19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 P ( x ) l 为
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
k
l [ ] 2
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n (n 0,1,2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( x)
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
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式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（19.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
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2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
（19.1.1）
和球谐函数方程
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
(19.1.2)式的解 Y ( , ) 与半径 ，或简称为球函数．
（19.１.2）
r
无关，故称为球谐函数
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球谐函数方程进一步分离变量，令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
（19.1.3）
称为 令
l
阶连带勒让德方程 . l