向量秒杀绝招—极化恒等式全攻略 教师版
高考数学一轮专项复习ppt课件-极化恒等式(北师大版)
6.已知半径为 2 的圆 O 上有三点 A，B，C，满足O→A＋A→B＋A→C＝0，点 P
是圆 O 内一点，则P→A·P→O＋P→B·P→C的取值范围是
√A.[－4,14)
B.(－4,14]
C.[－4,4)
D.(－4,4]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B→A·C→A＝(D→A－D→B)·(D→A－D→C)＝4|A→D|24－|B→C|2＝36|F→D|24－|B→C|2＝4， B→F·C→F＝(D→F－D→B)·(D→F－D→C)＝4|F→D|24－|B→C|2＝－1，
因此|F→D|2＝58，|B→C|2＝123， 所以B→E·C→E＝(D→E－D→B)·(D→E－D→C)＝4|E→D|24－|B→C|2＝16|F→D|24－|B→C|2＝78.
因为|O→P|－|O→A|≤|P→A|≤|O→P|＋|O→A|， 所以 3≤|P→A|≤5， 则P→M·P→N＝|P→A|2－15∈[－6,10]， 故P→M·P→N的取值范围为[－6,10].
思维升华
(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点， 找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范 围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.
方法一(极化恒等式法)
设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
由向量的极化恒等式，知 A→B·A→C＝|A→D|2－|D→B|2＝9n2－m2＝4， F→B·F→C＝|F→D|2－|D→B|2＝n2－m2＝－1，
联立解得 n2＝58，m2＝183，
因此E→B·E→C＝|E→D|2－|D→B|2＝4n2－m2＝78， 即B→E·C→E＝78. 方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂 直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直 角 坐 标 系 . 设 A(3a,3b) ， B( － c,0) ， C(c,0) ， 则 E(2a,2b)，F(a，b)，
(完整版)向量中的中点转化与极化恒等式
极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）. 2.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到22a b -r r 这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-r r r r r r ，类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本. 回忆必修四105页例2()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即221()4a b AD BC ⋅=-r r .在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-r r ，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224BC AM -=u u u ru u u u r 16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()()2AB ACAD BC AB AC +⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 221()2ABAC =-u u ur u u u r 52=.5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN u u u u r u u u rg的取值范围为_______.解析：设MN 的中点为D ，则()()2214CM CN CM CN CM CN ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r g()[]22241124,26CD MN CD ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∈u u u r u u u u r u u u r 类题：△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，F 为线段AD 上任意一点，求()AF FB FC+u u u r u u u r u u u rg 的最大值.解析：()22AF FB FC AF FD AF FD +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg gg ，因AF FD AD +==，故当AF FD ==()AF FB FC +u u u r u u u r u u u r g 取最大值32.6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A.2-B.32-C. 43- D.1- 解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系xOy，(A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =-u u u r，()()()1,1,2,2PB PC x y x y x y +=---+--=--u u u r u u u r ，所以()(2223322222PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=+-=+-- ⎢⎥⎝⎭⎦≥⎣u u u r u u u r u u u r g ， 当且仅当0x =，2y =，即P 为AO 的中点时取等号，则所求最小值为32-，选B.图1思路二：取BC 中点M ，将PB PC +u u u r u u u r 转化为2PM u u u u r ，则()22PA PB PC PA PM PA PM +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ，怎么求PA PM u u u r u u u u rg 的最小值呢？如图2，设AM 的中点为N ，则()()()()22222113324444PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤=+--=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣≥⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当20PN =u u u r ，即P 与N 重合（P 为AM 的中点）时取等号，故PA PM u u u r u u u u r g 的最小值为34-，所求最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，选B. 注：（1）转化PA PM u u u r u u u u r g 时用到了极化恒等式()()2214PA PM PA PM PA PM⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r g ，其一般形式为()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦r r r r r r g ；（2）PA PM u u u r u u u u r g 也可这样转化： PA PM =u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NM ++u u u r u u u r u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 22234PN NA PN =-=-u u u r u u u r u u u r .图2类题：已知动点M 是腰长为2的等腰直角三角形ABC ∆（C ∠为直角）的三边上的动点，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r的取值范围是（ ）A ．1[,0]2- B ．[0,4] C ．1[,4]2-D．答案：C解析：取AB 中点D ，CD 中点E ，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r2MD MC =⋅u u u u r u u u u r()()22124MD MCMD MC ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r 22214212ME CD ME ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r7. ***如图，在凸四边形ABCD 中，66AB AD BD ⋅==u u u r u u u r ，，O 是BD 的中点，且3AO OC =u u u r u u u r，则CB CD ⋅u u u r u u u r等于（ ）A ．115- B ．89-C ．223-D ．83解析：22(+)()4AB AD AB AD AB AD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222494AO DB AO -==-u u u r u u u ru u u r 6=22(+)()4CB CD CB CD CB CD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 29CO =-u u u r 223=-.8. ***（2013年浙江高考理）ABC ∆中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任取的一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析： 法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当14PB AB =时，函数式子取最大值】设,PB x BC a ==，作CH AB ⊥，则cos BH a B =.则22()cos PB PC PB PB BC PB BP BC x xa B ⋅=⋅+=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由题意，当且仅当111cos 224x a B BH AB ===时，上式 有最小值.此时，H 也为AB 的中点，故AC BC =.法2：由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC法3：如图建系，设(,0),(,),(,0)C C B b C x y P x ， 2()CCPB PC x b x x bx ⋅=-++u u u r u u u r ，当且仅当24C b x b x +==时，上式取最小值，此时2C bx =，故AC BC =. 法4：以AB 中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 224=()()a b a b a b ⋅+--r r r r r r如图，取线段BC 的中点M ，则22224=()()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 要使得4PB PC ⋅u u u r u u u r 的值最小，只需24PM u u u u r 取最小值.因为P 是线段AB 上动点，所以只有当PM AB⊥时，PM u u u u r取得最小值，且点P 与点0P 必须重合，M 是线段BC 的中点，只有AC=BC 时才能成立.090=∠ABC 090=∠BAC AC AB =BC AC =CBAHC BAxPy9. ***（2012年安徽卷）若平面向量,a b r r 满足23a b -r r≤，则a b ⋅r r 的最小值是_________.解析：2212(2)(2)4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r 219(2)44a b ---r r ≥≥.所以98a b ⋅-r r ≥.A.32+ B. 12+ C. 322+ D. 122+解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设AB 中点为D ，=()()PA PB PO OA PO OB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r22PO PO OD OA OB =+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122PO OD =+⋅+u u u r u u ur 3,2PO OD =<>u u u r u u u r，∵cos ,[1,1]PO OD <>∈-u u u r u u u r ，∴PA PB ⋅u u u r u u u r的范围为33[22.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O 点为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B ， （也可设点11),)22A B -） 设(cos ,sin ),02P αααπ≤<，则1(1cos ,sin ),(cos sin ),2PA PB αααα=--=--u u u r u u u r 1(1cos )(cos )(sin sin )2PA PB αααα⋅=--+--u u u ru u u r33cos 222αα=--313(sin )222αα=+3)23πα=+∵1sin()13πα-≤+≤，∴333)2232πα≤+≤，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.法3：建立坐标系，设点3131(,),(,)22A B -，(,)P x y ， 332PA PB x ⋅=-u u u r u u u r法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式cos cos30PA PB PA PB APB PA PB ⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 32PA PB =⋅u u u r u u u r ， 根据余弦定理和基本不等式2220cos302PA PB AB PA PB +-⋅=u u u r u u u r 12PA PB ⋅-≥， 法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求32PA PB ⋅u u ur u u u r 的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P 到AB 距离的最大值 法6：与三角形中点联系起来设AB 中点为D ， 则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅u u u u r u u u u r u u r u u u r，则下列一定成立的是（ ）A.0C M AB ⊥B.0C M l ⊥u u u u u r，其中l 是抛物线过0C 的切线C.00C A C B ⊥D.0C M AB = 答案 D解析 如图所示，极化恒等式 CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值， 只有当C M ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM 不与l 垂直时，有比CM 还要短的. 这一招太聪明了，如果直接证明CM 最短很不好证. 设过点C '的切线为l ',此时C M '不与l '垂直，作MH l '⊥， 交抛物线于点1C .则1MC MH MC MC '>>>. 法2：求导运算22200()()CM x x y y =-+-2222000022x x x x y y y y =-++-+22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()f y =300()2(1)20f y y x y y '=+--=时，上式有最小值？？？？【注】此处如何整理出 CM ⊥CA 时，0011y y x x y-⋅=--，整理得3002(1)20y x y y +--=，两条件相同. 12. 已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-解析：由(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r 得，点C 在PQ 上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值1-.变式：已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-解析：设OP OP '=-u u u r u u u r ，所以(1)(1)OC OP OQ OP OQ λλλλ'=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 点C 在P Q '上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值3-. 【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. ***点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知2220,13b b c b -+=<<，则BC AO u u u r u u u rg 的范围是____________．解析：O 是ABC ∆的外心，设BC 中点为M ，则OM BC ⊥()BC AO BC AM MO BC AM u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g g =+=2211()()()22AC AB AC AB b c u u u r u u u r u u u r u u u r g =-+=-2b b =-.因为2220b b c -+=，所以2220c b b =->，所以02b <<，又13b <<，所以12b <<.所以BC AO u u u r u u u rg 的范围是（0，2）.14. 已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则0x 的取值范围是（ ）A ．24(0,)13B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12 答案：A【解析】法1：如图，∵OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r；∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离122020<+y x ；∴42020<+y x ①； 又042300=-+y x ；∴00232x y -=， 代入①得：4232202<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ；解得132400<<x ；∴0x 的取值范围是24(0,)13．故选：A ．法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. ***在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22+AB AD BD DC =⋅，则ABC∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：类似于平方差公式，22AB AD -表示成向量的平方22AB AD -u u u r u u u r ，可以转化运算 22+AB AD BD DC =⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,220AB AD BD DC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,()0DB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径=6AB ，O 点为圆心，C 为半径上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，(+)PA PB PC ⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是_________.解：(+)2PA PB PC PO PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 262PO PO =-+92-≥.（2）已知圆半径为1，圆上的弦AB 长为1，P 为圆上的动点，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值是（ ）A.332+ B. 132+ C. 332+ D. 132+ 解： 设AB 中点为D ， 则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+. 17. （1）已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，090BAD ∠=，AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则+PC PD u u u r u u u r的最小值为_____. 法1：建系，设(0,)P b法2：取CD 中点Q ，+2PC PD PQ =u u u r u u u r，易得P 是AB 的中点时取最小.（2）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.法2：因AB BC ⊥，所以AC 为直径，O 为AC 中点，2PA PB PC PO PB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当(1,0)B -时，最大，为7.18. ***如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 答案：D【解析】法1：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),(,1),F(,1)22A B C D E ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则25511(,)444PE PF x λ=⋅=-∈-u u u r u u u r，对应值都有两个；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则2551(,)444PE PF x λ=⋅=-∈--u u u r u u u r ，对应值都有两个；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则2275124PE PF x x λ=⋅=-+u u u r u u u r ，当91(,)204λ∈--时，每一个λ都有两个x 与之对应； 根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF 中点H ，取AB 中点M ，取CD 中点N ，1MH NH == 则()()PE PF PH HE PH HF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2212PH HE =-u u u r u u u r 2214PH EF =-u u u r u u u r 29=4PH -u u u r ，当P 在AB 边上时，2951=(,)444PE PF PH λ=⋅-∈--u u u r u u u r u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在CD 边上时，29511(,)444PH λ=-∈-u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在AD 边上时，PH 的最小值即H 到AD 的距离，由等积法min 5PH =，又2AH =，当(,2)5PH ∈时，91(,)204λ∈--，对应值都有两个；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时. 综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 19. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( ) A ．15 B ．12 C ．10 D ．9 答案 A解析：取MN 中点O ，则()142PO PM PN =+=u u u r u u u ur u u u r ，1OM u u u u r ≥ ()()PM PN PO OM PO ON =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg g 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r20. ***已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB ，AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取BC 中点D ，设底边BC 的高为h ，则12PD h ≥，22()()PB PC BC PD DB PD DC BC +=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g222PD DB BC =-+u u u r u u u r u u u r 2234PD BC =+u u u r u u u r 2222313444PD BC h BC =++u u u r u u u r u u u r ≥==≥ 法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，【四、极化恒等式在立体几何中的应用】21. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为_________.解析：设球心为O ，易得球的半径1R =，2221=(2)14PM PN PO R PO ⋅-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，易得PO PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为2.22. 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________.解析：设AC 的中点为M ，224PA PC PM AC ⋅=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 242PM =-u u u u r 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23.24.。
巧用极化恒等式,妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
4a b (a b) (a b)
2
2
极化恒等式的几何意义：
(a b) 2 (a b) 2 a b 4
设OA ＝a, OB b, D为AB的中点，即点 C的轨迹是 以D为起点，以
例4
数量积有关的范围问题
点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C1 D1 的底面 A1B 1C 1D1 1 ， 1 上的一点，则 PA PC 的取值范围为 2 .
A
. M B
.P
D1
在ABC中，点 E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上， 若ABC的面积为 2，则 PC PB BC 的最小值是
2 2 1 取BC的中点 D，在 PBC内使用恒等式得： PC PB ＝PD －BD ＝ | PD | 2 | BC | 2 , 4 4 2 2 因为 ABC的高 h , PBC的高为 , 从而 | PD | , | BC | | BC | | BC | 3 4 3 2 从而原式 | PD | 2 | BC | 2 | BC | 2 3 2 4 4 | BC |
解二：建系： AB 所在直线为 x 轴， AB 中垂线为 y 轴，设 AB 4 ， C (a, b), P( x,0) 则 A(2,0), B(2,0), P0 (1,0)
(2 x)(a x) a 1恒成立，即 x 2 (a 2) x a 1 0 在 2 x 2 恒成立， a 2 0 ，即点 C 在 AB 的中垂线上， CA CB 。
高三数学复习微专题之平面向量篇极化恒等式问题教师
极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式： 221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦ 2. 极化恒等式三角形模型：在中，D 为BC 的中点，则ABC ∆221||||4AB AC AD BC ⋅=- 3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-类型一 利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，则4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-值为______.BE CE ⋅【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-= 2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=- 解得22513,88b a == 22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=高三数学复习微专题之平面向量篇第二讲：极化恒等式问题类型二 利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且90,4,3C AC BC ︒∠===EF=1，则最小值为______DE DF ⋅【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则 1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---= ≧类型三 利用极化恒等式求参数典例3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有14,则三角形ABC 形状为_______.00PB PC P B P C ⋅≥⋅【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B P C ⋅⋅ …2222011||||||44PD BC P b BC ∴-- …,设O 为BC 的中点，0||PD P D ∴…0P D AB ∴⊥OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.模拟：1.已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是_____ABC ∆()PA PB PC ⋅+【答案】 32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,当且仅当M 与P 重合时取等号222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-2．直线与圆相交于两点M,N,若，P 为圆O 上任意一点，则0ax by c ++=220:16x y +=222c a b =+的取值范围为_______PM PN ⋅【答案】【解析】[6,10]-圆心O 到直线的距离为0ax by c ++=1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-||||||||||OP OA PA OP OA -+ (2)3||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈- ……3．如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+，则的最大值为______1()2CN CD CA =+CM CN ⋅【答案】【解析】14)4+设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=- 221||||16MN CG =-21111||||||4)22164CG CH HG CM CN ⎛+=+⋅+-= ⎝……所以的最大值为CM CN ⋅14)4+4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且，则的最大值为______||5AB AC +=AB AC ⋅【答案】【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则，21422AB AC AD BD ⋅=- 又故15||22AD AB AC =+= 2225251444AB AC BD BC ⋅=-=- 又因为所以min312BC =-=21()4max AB AC ⋅= 5.在半径为1的扇形AOB 中，,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则的最小值为60AOB ︒∠=OP BP ⋅_____【答案】 41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则于是只要求求PD 的最小值即可，22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-由图可知，当时，即所求最小值为 PD AB ⊥ min PD =41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足（为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，为半径的CA CB λ⋅= λ12圆内，则负数的最大值为______ λ【答案】 43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=又由点C 总不在以点B 为圆心，为半径的圆内，，则负数的最大10CD λ=-< (1212)λ值为43-7.已知A(0,1)，曲线横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且的最小值为2，则4:log C y x =AB AP ⋅α=______ 【答案】 e 【解析】如图，B （1，0），则，连接BP ，取BP 的中点C ，连接AC,AB =因为的最小值为2，则有上式等价于，AB AP ⋅ ()2222max2AC BCAB -===222AB BC AC +…即当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，90ABP ︒∠…即11n ,e l a α==8.若平面向量满足，则的最小值为_____,a b |2|3a b -≤a b ⋅ 【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-当且仅当，即时取最小值|2|0,|2|3a b a b +=-=33||,||,,42a b a b π==<>= a b ⋅ 98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_____OC OB ⋅【答案】 2【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，所以222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=- 214OC OB OE ⋅=- 而，113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+= 当且仅当时取等号，所以的最大值为2,OF AD OA OD ⊥=OC OB ⋅10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF上的动点，则的最小值为______PC PD ⋅【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=- 所以21PC PD PM ⋅=-而，当且仅当P,Q 重合时等号成立||1||||||PM PM AP AE +=+≥=所以的最小值为PC PD ⋅21)15--=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求的范围.PM PN ⋅【答案】 [0,2]【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，所以222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=- 21PM PN PO ⋅=-而，所以的范围为1||PO ≤≤PM PN ⋅ [0,2]。
极化恒等式-教师版
极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−， 故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角， 在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)， 所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（ ）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________． 解： 由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是 ．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________． 【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角） 所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。
平面向量的极化恒等式解题研究
)
１
３
→ →
由极化恒 等 式,得BM
D(
t,
２－t), ＜t＜ ．
BN ＝
２
２
１
３
→ １ →
２
２
BD２ － MN２ ＝t２ ＋ (
２－t)－ ＝２(
t－１)
＋ ,又
４
２
２
１
３
３
é
→
→
＜t＜ ,所以BM BN 的取值范围是 êê ,
２ ．
２
２
ë２
点评:从例 １ 及 其 变 式 的 解 法 可 以 发 现,使 用 常
１
又 ０＜a ＜１,所 以 当 a ＝ 时,
２＝２ a－
＋ ．
２
２
２
３
→
→
→
→
BM BN 取得最小值 ;当a＝０ 或 １ 时,
BM BN ＝
２
(
)
解题研究
２０２３ 年 １２ 月上半月
é３ ,
２ ．
ë２
解法 ２:(极 化 恒 等 式 法 )设 MN 的 中 点 为 D ,点
→
→
综上,
２,无最大值 ．
第二个推广 ．
推 广 ２ 如 图 ２,在 △ABC
→
中,
有A→
I 为 BC 的中点,
BAC＝
→ １ →
→
→
AI２ － BC２ ＝AI２ －BI２ ．
４
２ 极化恒等式的优越性
图２
例 １ (
２０１７ 年新 课 标 Ⅱ 卷)已 知 △ABC 是 边 长
→
为 ２ 的等 边 三 角 形,
极化恒等式教师版
则 A(0, 3 3 ) , B( 3 , 0) , C( 3 , 0) ，
2
2
2
所以 AB ( 3 , 3 3 ) , AD ( 1 , 3 3 ) ，
22
22
所以 AB AD 15 2
法 3：极化恒等式
取 BD 的中点 O ，连接 AO , 则在 ABC 中，由余弦定理： AO2 AB2 AO2 2AB AO cos B = 31
因为
0,
2
，所以
sin
0,1
所以 FA FB 0,6
y (0，2) C F (2cosα，2sinα)
E
O
A
(- 3，-1)
x B ( 3，-1)
y C
6、如图,放置的边长为 1 的正方形 ABCD ，顶点 A, D 分别在 x 轴， y 轴
正半轴（含原点）滑动，则 OB OC 的最大值为
巧用极化恒等式秒杀高考向量题
一、极化恒等式的概念：
江苏 张锡文
设
a, b
是两个平面向量，则有恒等式
a
b
1 4
(a
b)2
(a
b)2
（1）
有时也将（1）写成 4a b (a b)2 (a b)2 ，
极化恒等式的几何意义是：
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 ， 4
所以 AB AC BC 2 3
C
F E
21 2
2
FA FB FD BA FD 3 ,
4
A
D
B
高考数学复习：向量极化恒等式全
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.
12
2.如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，A，D 分别在 x 轴，y 轴的正半轴
(含原点)上滑动，则O→C·O→B的最大值是____2____.
12
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则O→C·O→B＝O→M2－14.
因为 OM≤ON＋NM＝12AD＋AB＝32， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号.
所以O→C·O→B的最大值为 2.
12
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，
正方体的体对角线长为 2 3.
当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，
则P→M·P→N＝P→O2－O→N2＝P→O2－1. 由于 P 为正方体表面上的动点，故 OP∈[1， 3]，所以P→M·P→N∈[0,2].
能力 提升
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了 向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中 点的向量问题.
极化恒等式：a·b＝a＋b2－a－b2. 2 2
a＋b2 a－b2
|a＋b|2 |a－b|2
变式：a·b＝ 4 － 4 ，a·b＝ 4 － 4 .
如图，在△ABC 中，设 M 为 BC 的中点，则A→B·A→C＝A→M2－M→B2.
例 (1)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等
跟踪演练
1.已知在△ABC 中，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B＝14AB，且对于边 AB
高考冲刺极化恒等式教师版
2
BC
2
PO
32 CB
23 2 2 PO BC
4
4
3 PO BC ，
A
EP
F
h
B
C
O
因为 PO 1 h ，所以 3 PO BC 2
3 h BC 2
所以 PB PC BC2 的最小值是 2 3 ．
3S ABC 2 3 ,
8、（2012 安徽）平面向量 a, b 满足 2a b 3 ，则 a b 的最小值
所以 PA PB 2,6
C P
A
D
B
3、设正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上（如图所示），则 PD PC 的取值
范围是
．
D
C
P
A
B
7
3 变（2015 南通三调）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，以 A 为圆心，AE 为半径，
即： a
b
1 4
AD
2
BC
2
,
在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，
即a
b
AM
21
2
BC ，它揭示了三角形
4
的中线与边长的关系.
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”， 因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.
4
5、已知正三角形 ABC 内接于半径为 2 的圆 O , E 为线段 BC 上一动点，延长 AE 交圆 O 与点 F ，
则 FA FB 的取值范围是
．
析： 法 1：极化恒等式
(完整版)向量中的中点转化与极化恒等式
极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）. 2.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到22a b -r r 这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-r r r r r r ，类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本. 回忆必修四105页例2()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即221()4a b AD BC ⋅=-r r .在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-r r ，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224BC AM -=u u u ru u u u r 16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()()2AB ACAD BC AB AC +⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 221()2ABAC =-u u ur u u u r 52=.5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN u u u u r u u u rg的取值范围为_______.解析：设MN 的中点为D ，则()()2214CM CN CM CN CM CN ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r g()[]22241124,26CD MN CD ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∈u u u r u u u u r u u u r 类题：△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，F 为线段AD 上任意一点，求()AF FB FC+u u u r u u u r u u u rg 的最大值.解析：()22AF FB FC AF FD AF FD +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg gg ，因AF FD AD +==，故当AF FD ==()AF FB FC +u u u r u u u r u u u r g 取最大值32.6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A.2-B.32-C. 43- D.1- 解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系xOy，(A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =-u u u r，()()()1,1,2,2PB PC x y x y x y +=---+--=--u u u r u u u r ，所以()(2223322222PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=+-=+-- ⎢⎥⎝⎭⎦≥⎣u u u r u u u r u u u r g ， 当且仅当0x =，2y =，即P 为AO 的中点时取等号，则所求最小值为32-，选B.图1思路二：取BC 中点M ，将PB PC +u u u r u u u r 转化为2PM u u u u r ，则()22PA PB PC PA PM PA PM +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ，怎么求PA PM u u u r u u u u rg 的最小值呢？如图2，设AM 的中点为N ，则()()()()22222113324444PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤=+--=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣≥⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当20PN =u u u r ，即P 与N 重合（P 为AM 的中点）时取等号，故PA PM u u u r u u u u r g 的最小值为34-，所求最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，选B. 注：（1）转化PA PM u u u r u u u u r g 时用到了极化恒等式()()2214PA PM PA PM PA PM⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r g ，其一般形式为()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦r r r r r r g ；（2）PA PM u u u r u u u u r g 也可这样转化： PA PM =u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NM ++u u u r u u u r u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 22234PN NA PN =-=-u u u r u u u r u u u r .图2类题：已知动点M 是腰长为2的等腰直角三角形ABC ∆（C ∠为直角）的三边上的动点，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r的取值范围是（ ）A ．1[,0]2- B ．[0,4] C ．1[,4]2-D．答案：C解析：取AB 中点D ，CD 中点E ，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r2MD MC =⋅u u u u r u u u u r()()22124MD MCMD MC ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r 22214212ME CD ME ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r7. ***如图，在凸四边形ABCD 中，66AB AD BD ⋅==u u u r u u u r ，，O 是BD 的中点，且3AO OC =u u u r u u u r，则CB CD ⋅u u u r u u u r等于（ ）A ．115- B ．89-C ．223-D ．83解析：22(+)()4AB AD AB AD AB AD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222494AO DB AO -==-u u u r u u u ru u u r 6=22(+)()4CB CD CB CD CB CD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 29CO =-u u u r 223=-.8. ***（2013年浙江高考理）ABC ∆中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任取的一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析： 法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当14PB AB =时，函数式子取最大值】设,PB x BC a ==，作CH AB ⊥，则cos BH a B =.则22()cos PB PC PB PB BC PB BP BC x xa B ⋅=⋅+=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由题意，当且仅当111cos 224x a B BH AB ===时，上式 有最小值.此时，H 也为AB 的中点，故AC BC =.法2：由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC法3：如图建系，设(,0),(,),(,0)C C B b C x y P x ， 2()CCPB PC x b x x bx ⋅=-++u u u r u u u r ，当且仅当24C b x b x +==时，上式取最小值，此时2C bx =，故AC BC =. 法4：以AB 中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 224=()()a b a b a b ⋅+--r r r r r r如图，取线段BC 的中点M ，则22224=()()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 要使得4PB PC ⋅u u u r u u u r 的值最小，只需24PM u u u u r 取最小值.因为P 是线段AB 上动点，所以只有当PM AB⊥时，PM u u u u r取得最小值，且点P 与点0P 必须重合，M 是线段BC 的中点，只有AC=BC 时才能成立.090=∠ABC 090=∠BAC AC AB =BC AC =CBAHC BAxPy9. ***（2012年安徽卷）若平面向量,a b r r 满足23a b -r r≤，则a b ⋅r r 的最小值是_________.解析：2212(2)(2)4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r 219(2)44a b ---r r ≥≥.所以98a b ⋅-r r ≥.A.32+ B. 12+ C. 322+ D. 122+解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设AB 中点为D ，=()()PA PB PO OA PO OB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r22PO PO OD OA OB =+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122PO OD =+⋅+u u u r u u ur 3,2PO OD =<>u u u r u u u r，∵cos ,[1,1]PO OD <>∈-u u u r u u u r ，∴PA PB ⋅u u u r u u u r的范围为33[22.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O 点为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B ， （也可设点11),)22A B -） 设(cos ,sin ),02P αααπ≤<，则1(1cos ,sin ),(cos sin ),2PA PB αααα=--=--u u u r u u u r 1(1cos )(cos )(sin sin )2PA PB αααα⋅=--+--u u u ru u u r33cos 222αα=--313(sin )222αα=+3)23πα=+∵1sin()13πα-≤+≤，∴333)2232πα≤+≤，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.法3：建立坐标系，设点3131(,),(,)22A B -，(,)P x y ， 332PA PB x ⋅=-u u u r u u u r法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式cos cos30PA PB PA PB APB PA PB ⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 32PA PB =⋅u u u r u u u r ， 根据余弦定理和基本不等式2220cos302PA PB AB PA PB +-⋅=u u u r u u u r 12PA PB ⋅-≥， 法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求32PA PB ⋅u u ur u u u r 的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P 到AB 距离的最大值 法6：与三角形中点联系起来设AB 中点为D ， 则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅u u u u r u u u u r u u r u u u r，则下列一定成立的是（ ）A.0C M AB ⊥B.0C M l ⊥u u u u u r，其中l 是抛物线过0C 的切线C.00C A C B ⊥D.0C M AB = 答案 D解析 如图所示，极化恒等式 CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值， 只有当C M ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM 不与l 垂直时，有比CM 还要短的. 这一招太聪明了，如果直接证明CM 最短很不好证. 设过点C '的切线为l ',此时C M '不与l '垂直，作MH l '⊥， 交抛物线于点1C .则1MC MH MC MC '>>>. 法2：求导运算22200()()CM x x y y =-+-2222000022x x x x y y y y =-++-+22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()f y =300()2(1)20f y y x y y '=+--=时，上式有最小值？？？？【注】此处如何整理出 CM ⊥CA 时，0011y y x x y-⋅=--，整理得3002(1)20y x y y +--=，两条件相同. 12. 已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-解析：由(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r 得，点C 在PQ 上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值1-.变式：已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-解析：设OP OP '=-u u u r u u u r ，所以(1)(1)OC OP OQ OP OQ λλλλ'=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 点C 在P Q '上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值3-. 【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. ***点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知2220,13b b c b -+=<<，则BC AO u u u r u u u rg 的范围是____________．解析：O 是ABC ∆的外心，设BC 中点为M ，则OM BC ⊥()BC AO BC AM MO BC AM u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g g =+=2211()()()22AC AB AC AB b c u u u r u u u r u u u r u u u r g =-+=-2b b =-.因为2220b b c -+=，所以2220c b b =->，所以02b <<，又13b <<，所以12b <<.所以BC AO u u u r u u u rg 的范围是（0，2）.14. 已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则0x 的取值范围是（ ）A ．24(0,)13B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12 答案：A【解析】法1：如图，∵OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r；∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离122020<+y x ；∴42020<+y x ①； 又042300=-+y x ；∴00232x y -=， 代入①得：4232202<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ；解得132400<<x ；∴0x 的取值范围是24(0,)13．故选：A ．法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. ***在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22+AB AD BD DC =⋅，则ABC∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：类似于平方差公式，22AB AD -表示成向量的平方22AB AD -u u u r u u u r ，可以转化运算 22+AB AD BD DC =⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,220AB AD BD DC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,()0DB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径=6AB ，O 点为圆心，C 为半径上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，(+)PA PB PC ⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是_________.解：(+)2PA PB PC PO PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 262PO PO =-+92-≥.（2）已知圆半径为1，圆上的弦AB 长为1，P 为圆上的动点，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值是（ ）A.332+ B. 132+ C. 332+ D. 132+ 解： 设AB 中点为D ， 则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+. 17. （1）已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，090BAD ∠=，AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则+PC PD u u u r u u u r的最小值为_____. 法1：建系，设(0,)P b法2：取CD 中点Q ，+2PC PD PQ =u u u r u u u r，易得P 是AB 的中点时取最小.（2）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.法2：因AB BC ⊥，所以AC 为直径，O 为AC 中点，2PA PB PC PO PB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当(1,0)B -时，最大，为7.18. ***如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 答案：D【解析】法1：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),(,1),F(,1)22A B C D E ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则25511(,)444PE PF x λ=⋅=-∈-u u u r u u u r，对应值都有两个；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则2551(,)444PE PF x λ=⋅=-∈--u u u r u u u r ，对应值都有两个；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则2275124PE PF x x λ=⋅=-+u u u r u u u r ，当91(,)204λ∈--时，每一个λ都有两个x 与之对应； 根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF 中点H ，取AB 中点M ，取CD 中点N ，1MH NH == 则()()PE PF PH HE PH HF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2212PH HE =-u u u r u u u r 2214PH EF =-u u u r u u u r 29=4PH -u u u r ，当P 在AB 边上时，2951=(,)444PE PF PH λ=⋅-∈--u u u r u u u r u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在CD 边上时，29511(,)444PH λ=-∈-u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在AD 边上时，PH 的最小值即H 到AD 的距离，由等积法min 5PH =，又2AH =，当(,2)5PH ∈时，91(,)204λ∈--，对应值都有两个；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时. 综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 19. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( ) A ．15 B ．12 C ．10 D ．9 答案 A解析：取MN 中点O ，则()142PO PM PN =+=u u u r u u u ur u u u r ，1OM u u u u r ≥ ()()PM PN PO OM PO ON =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg g 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r20. ***已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB ，AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取BC 中点D ，设底边BC 的高为h ，则12PD h ≥，22()()PB PC BC PD DB PD DC BC +=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g222PD DB BC =-+u u u r u u u r u u u r 2234PD BC =+u u u r u u u r 2222313444PD BC h BC =++u u u r u u u r u u u r ≥==≥ 法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，【四、极化恒等式在立体几何中的应用】21. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为_________.解析：设球心为O ，易得球的半径1R =，2221=(2)14PM PN PO R PO ⋅-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，易得PO PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为2.22. 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________.解析：设AC 的中点为M ，224PA PC PM AC ⋅=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 242PM =-u u u u r 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23.24.。
巧解平面向量的几种技巧
解法探究２０２４年２月上半月㊀㊀㊀巧解平面向量的几种技巧◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀田子健㊀㊀摘要:平面向量是高中数学研究数与形的一种重要工具．平面向量问题具有较强的灵活性,大多学生在解题过程中往往 费力不讨好 ,而选择合适的方法可以 事半功倍 ．因此,本文中提供了解决平面向量问题的三种技巧,即极化恒等式㊁奔驰定理与等和线定理,以帮助学生发散思维,节省时间,提高解题效率．关键词:平面向量;极化恒等式;奔驰定理;等和线定理㊀㊀ 平面向量 作为高考必考内容,往往会结合其他知识以选择题㊁填空题的形式进行考查,选择合适的方法会使向量运算更为简便．本文中主要介绍平面向量中的三种解题技巧,供大家学习参考．例１㊀在әA B C,已知A Bң A Cң＝４,|B Cң|＝３,M,N分别是B C边上的三等分点,则AMң A Nң的值是．分析:本题考查了平面向量的数量积运算与向量加法法则的应用,体现了数学转化的思想方法．图１解法１:(常规解法)如图１,设B C的中点为O．因为A Bң A Cң＝４,所以(A Oң＋O Bң) (A Oң＋O Cң)＝(A Oң＋O Bң) (A Oң－O Bң)＝|A Oң|２－|O Bң|２＝４因为|B Cң|＝３,所以|O Bң|＝３２,|A O|２＝４＋|O B|２＝２５４．又易知O Nң＝－O Mң,|M B|＝１,|O M|＝|O B|－|M B|＝１２．所以AMң A Nң＝(A Oң＋O Mң) (A Oң＋O Nң)＝(A Oң＋O Mң) (A Oң－O Mң)＝|A Oң|２－|O Mң|２＝２５４－１４＝６．图２若应用极化恒等式,通过数形结合来确定数量积的值,也可实现问题的直观转化与巧妙应用[１]．解法２:(极化恒等式)如图２所示,已知O为B C的中点,则A Bң A Cң＝|A Oң|２－|B Oң|２．由A Bң A Cң＝|A Oң|２－|B Oң|２,|B Oң|＝１２|B Cң|,A Bң A Cң＝４,|B Cң|＝３,可得|A Oң|２＝４＋|O Bң|２＝２５４,|O Mң|２＝１４．又因为AMң A Nң＝|A Oң|２－|O Mң|２,所以AMң A Nң＝６．例２㊀设P为әA B C所在平面内的一点且A Pң＝１４A Bң＋１２A Cң,则әB P C与әA B C的面积之比为．分析:本题主要将平面向量与三角形面积相结合进行考查,注重学生对知识的综合运用．图３解法１:(常规解法)如图３,延长A P交B C于点D,因为A,D,P三点共线,所以存在实数m,n,使得C Pң＝m C Aң＋nC Dң(m＋n＝１)．设C Dң＝k C Bң,则C Pң＝mC Aң＋n k C Bң,即A Pң－A Cң＝－mA Cң＋n k(A Bң－A Cң)．整理,得A Pң＝(１－m－n k)A Cң＋n kA Bң．又因为A Pң＝１４A Bң＋１２A Cң,所以n k＝１４,１－m－n k＝１２．结合m＋n＝１,解得m＝１４,n＝３４．所以C Pң＝１４C Aң＋３４C Dң,可得A Dң＝４P Dң．因为әB P C与әA B C有相同的底边,所以SәB P CSәA B C＝|D Pң||A Dң|＝１４．另外,奔驰定理提供了平面向量与三角形面积之２８２０２４年２月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀间的一个独特结论,因此本题由奔驰定理可直接妙解．此定理方便记忆．针对性强,可以快速得出结果．图４解法２:(奔驰定理)如图４,P是әA B C 内的一点,若xP A ң＋y PB ң＋zPC ң＝０,则S әB P C ʒS әC P A ʒS әA P B ＝x ʒy ʒz ．由A P ң＝１４A B ң＋１２A C ң,得A P ң＝１４(P B ң－P A ң)＋１２(P C ң－P A ң)．整理,得P A ң＋P B ң＋２P C ң＝０．所以S әB P C ʒS әC P A ʒS әA P B ＝１ʒ１ʒ２．故S әB P C ʒS әA B C ＝１ʒ４．图５例３㊀如图５,边长为４的正方形A B C D 中,半径为１的动圆Q 的圆心在边C D 和D A 上移动(包含端点A ,C ,D ),P 是圆Q 上及其内部的动点,设B P ң＝mB C ң＋nB Aң(m ,n ɪR ),则m ＋n 的取值范围是．分析:平面向量中求取值范围的问题难度较大,不仅会考查平面向量的基本运算法则㊁公式㊁定义㊁基本定理,还会考查函数的性质㊁平面几何图形的性质㊁不等式的性质等．所以,针对最值问题,要多角度思考．图６解法１:如图６,以点B 为原点,B C ,B A 所在的直线分别为x 轴㊁y 轴,建立平面直角坐标系,则B A ң＝(０,４),B C ң＝(４,０)．因为B P ң＝m B C ң＋n B Aң(m ,n ɪR ),所以B P ң＝(４m ,４n )．图７当动圆Q 的圆心移动至端点D 时,如图７所示,取点P 坐标为(４＋２２,４＋２２)．由B P ң＝(４m ,４n ),得４m ＋４n ＝８＋２．此时m ＋n 取得最大值,且最大值为２＋２４．当动圆Q 的圆心移动至端点C 时,B P ң＝(４＋c o s θ,s i n θ)．所以４m ＋４n ＝４＋c o s θ＋s i n θ．整理,得４m ＋４n ＝４＋２s i n (θ＋π４)．当动圆Q 的圆心移至端点A 时,同理可得４m ＋４n ＝４＋２s i n (θ＋π４)．所以m ＋n 取得最小值,最小值为１－２４．故m ＋n 的取值范围为１－２４,２＋２４éëêêùûúú．本题若运用等和线定理,则可以出奇制胜,达到事半功倍的效果．但是技巧性较强,需要大量练习才能掌握[２]．等和线定理:若O P ң＝λO A ң＋μO B ң(λ,μ都为常数),则点P 在直线A B 以及与A B 平行的直线上的充要条件为λ＋μ＝k (k 为定值)．解法２:因为B P ң＝mB C ң＋nB A ң,所以可设m ＋n ＝k ,如图８,k ＝|B P ||B N |．图８㊀㊀图９因为|B P |m a x ＝４２＋１,|B N |＝２２,所以k m a x ＝|B P ||B N |＝２＋２４．如图９,|B P |m i n ＝２２－１,|B N |＝２２,所以k m i n ＝|B P ||B N |＝１－２４．故m ＋n 的取值范围为１－２４,２＋２４éëêêùûúú．向量作为高中数学知识的重要组成部分,同时又是研究数与形的重要工具,在应用空间向量解题的过程中,如果恰当灵活使用本文中提到的解题技巧,可以更加直观,有效提升解题效率和质量．参考文献:[１]黄水华．巧思维切入,妙视角拓展 一道向量题的深入学习[J ]．数学之友,２０２２,３６(１６):４１Ｇ４３．[２]孙传平．平面向量中的解题技巧[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０１３(１):３１Ｇ３３．Z ３８。
5类平面向量解题技巧(“爪子定理”、等和线、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、(解析版)
5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧技法03极化恒等式的应用及解题技巧技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧技法05范围与最值的应用及解题技巧技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+。
则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++A例1-1．（全国·高考真题）设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC=-+B.1433AD AB AC=-C.4133AD AB AC=+ D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC=-+答案：A例1-2．（2023江苏模拟）如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511 C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP mAB nAC =+ ，由已知211AP mAB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C1．（2022·全国·统考高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【答案】12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形 中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9
高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题
高中数学巧用极化恒等式秒杀高考向量题高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。
1.极化恒等式极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。
224()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ （如图）在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a b AM BM AM BC ⋅=-=-2，它揭示了三角形的中线与边长的关系。
此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。
2．极化恒等式的应用自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。
例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ⋅=（年浙江省数学高考理科试题第15题）2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162AB AC AM BC ⋅=-=-=-。
高中数学解题秘籍系列之一篇文章攻克极化恒等式(共9页)
【高中数学解题秘籍系列】————极化恒等式【技巧展示】1．极化恒等式221()()4⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ． 2．极化恒等式的几何意义在ABC △中，M 为BC 中点，设AB =a ，AC =b ，则有22AM CM ⋅=-a b ，即：“中线方减去底半方”．【证明】1.极化恒等式的证明根据平面向量数量积的有关运算可知：222()2+=+⋅+a b a a b b ①， 222()2-=-⋅+a b a a b b ②，由-①②可得22()()4+--=⋅a b a b a b ，即221()()4⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ． 2．极化恒等式几何意义的证明在ABC △中，M 为BC 中点，设AB =a ，AC =b ，则有2AB AC AM +=+=a b ③，2AB AC CB CM -=-==a b ④，由22-③④可得22444AM CM ⋅=-a b ，即22AM CM ⋅=-a b ． 即：“中线方减去底半方”．【真题再现】例1．【2012•浙江】在ABC △中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC ⋅=________． 【答案】16-【解析】解法一：设AMB θ∠=，则AMC θ∠=π-．又AB MB MA =-，AC MC MA =-，∴2()()AB AC MB MA MC MA MB MC MB MA MA MC MA ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+2553cos 35cos()916θθ=--⨯-⨯π-+=-，故答案为16-．解法二：极化恒等式2292516A M B AC AM C -=-⋅=-=，故答案为16-．例2．【2014•新课标Ⅱ】设向量a ，b 满足||10+=a b ，||6-=a b ，则(⋅=a b ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】解法一：||10+=a b ，||6-=a b ，∴分别平方得22210+⋅+=a a b b ，2226-⋅+=a a b b ，两式相减得41064⋅=-=a b ，即1⋅=a b ， 故选：A ．解法二：极化恒等式()2222111()()1061444⎡⎤⎡⎤+--=+--=⨯⋅-==⎣⎦⎣⎦a b b a b a b a a b ， 故选：A ．例3．【2020•天津】如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB ⋅=-，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为________．【答案】16，132． 【解析】解法一：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，60B ∠=︒，3AB =，333,22A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，6BC =，(6,0)C ∴，AD BC λ=，AD BC ∴∥，设032,3D x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴03,02AD x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，333,22AB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴03330222AD AB x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，解得052x =，533,22D ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴(1,0)AD =，(6,0)BC =，∴16AD BC =，16λ∴=， ||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x ，∴533,22DM x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，333,22DN x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴22532721134(2)22422DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2x =时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．解法二：极化恒等式空一略，设点P 为MN 中点，则()222211133cos60442DM DN DP MP DP ⋅=-=-︒-=≥．例4．【2018•天津】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A ．【解析】解法一：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，33,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,3)C ， 设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，33,22BE m ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，03m ，∴22233333321224216416AE BE m m m m ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当34m =时，取得最小值为2116． 故选：A ．解法二：极化恒等式设AB 中点为P ，则22214A EA EB EP AP EP E BE ⋅=⋅=-=-， 故当EP 取最小时，AE BE ⋅取得最小值，151cos6024EP +︒=≥，故221512144416A E EP EB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⋅≥．故选：A ．例5．【2016•江苏】如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________．【答案】78． 【解析】解法一：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+，CF BD DF =-+，3BA BD DF =+，3CA BD DF =-+， ∴221BF CF DF BD ⋅=-=-，2294BA CA DF BD ⋅=-=，∴258DF =，2138BD =， 又2BE BD DF =+，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD ⋅=-=， 故答案为：78． 解法二：极化恒等式221BF CF DF BD ⋅=-=-，222294BA CA DA BD DF BD ⋅=--==，∴258DF =，2138BD =， ∴2222748BE CE DE BD DF BD =⋅=--=，故答案为：78．例6．【2017•新课标Ⅱ】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】解法一：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点， 则(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则(,3)PA x y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则222233()2232224PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅+=-+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴当0x =，32y =时，取得最小值33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选B ．解法二：极化恒等式取BC 的中点M ，AM 的中点N ，则222113()2220(3)442PA PB PC PA PM PN AM ⎛⎫⎡⎤⋅+=⋅=--⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当P 与N 重合时，取得等号． 故选B ．【变式训练】练1．如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC PD ⋅的取值范围是________．【答案】[0,16]【解析】解法一：以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图坐标系， 则圆弧APB 方程为224x y +=(0)y ，(2,4)C ，(2,4)D -， 因此设(2cos ,2sin )P αα，[0,]α∈π，∴(22cos ,42sin )PC αα=--，(22cos ,42sin )PD αα=---，由此可得(22cos )(22cos )(42sin )(42sin )PC PD αααα⋅=---+-- 224cos 41616sin 4sin 1616sin αααα=-+-+=-，化简得1616sin PC PD α⋅=-，[0,]α∈π，sin [0α∈，1]，∴当0α=或π时，PC PD ⋅取最大值为16；当2απ=时，PC PD ⋅取最小值为0． 由此可得PC PD ⋅的取值范围是[0,16]， 故答案为：[0,16]．解法二：极化恒等式取CD 的中点E ，则2221()PC PD PA PB PC PE CE PE ⋅=⋅+=-=-， 故P 取圆弧APB 中点时，PE 最小，PC PD ⋅取最小值，P 与A 或B 重合时，PE 最大，PC PD ⋅取最大值， 故2604444201PC PD AE =--=-⋅=≤≤， 由此可得PC PD ⋅的取值范围是[0,16]， 故答案为：[0,16]．练2．如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC AD ∥，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为________．【答案】5【解析】解法一：由题意可得，BC AD ∥，2BC =，4AD =，则2AD BC = 所以CD CB BA AD BA BC =++=+，因为P 为CD 的中点，所以11()22DP PC CD BA BC ==-=-+，因为2PA PD DA PD BC =+=-，PB PC CB =+，且4AB =，2BC =，则(2)()PA PB PD BC PC CB ⋅=-⋅+11(3)(3)22BA BC BA BC ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭221(9)54BA BC =-⨯-=，故答案为：5． 解法二：极化恒等式取AB 的中点为E ，()2222124252PA PB PE BE ⎡⎤⋅=-=⨯+-=⎢⎥⎣⎦，故答案为：5．。