专题七“数形结合”在初中数学中的运用
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用数形结合是把握数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
它将“静态”为“动态”，变“无形”为“有形”。
它一方面是解题的过程，又是学生形象思维与抽象思维协同运用互相促进，共同发展的过程，对提高学生的观察能力和思维能力是非常有帮助的。
数形结合思想在初中数学中的应用范畴包涵以下几个方面：1、有理数中的数学结合思想数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉．对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的(实数的大小比较也是如此)．相反数、绝对值概念则是通过数轴上的点与原点的位置关系来刻画的．尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形(数轴上的点)，通过数形结合的思想方法的运用，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则．相关内容的中考试题，应用数形结合的思想也可顺利得以解决。
例如：有理数的加法与减法教学时，安排下列数学活动：（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向正方向移动3个单位长度，在向负方向移动2个单位长度，这时笔尖停在表示“1”的位置上。
用数轴和算式可以将以上过程及结果表示。
（2）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用数轴和算式表示以上过程及结果。
这样设计教学让学生从“形”上感受有理数的加法运算法则，采用人人都可以动手操作的笔尖在数轴上两次移动的方法，直观感受两次连续运动中，点的运动方向与移动的距离对实际移动效果产生的影响，通过“形与数”的转换，加深学生对有理数加法运算法则的理解。
在学生充分自由活动的基础上，用“数形结合”的观点审视在数轴上的连续两次运动，探寻有理数加法的几何解释。
由表示两次连续运动结果的点与原点的位置关系，确定两数和的符号；由表示两次连续运动结果的点到原点的距离，确定两数和的绝对值。
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想是一种将数学与几何形状相结合的思维方式，通过观察几何形状的特点
和数学关系，来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于以下几个方面。
第一，在解决几何问题时，数形结合思想可以帮助学生理解几何形状的性质和关系。
在解决平面图形相关问题时，可以通过观察图形的对称性、边长比例、角度关系等来找到
解决问题的方法。
这样不仅可以提高学生对几何形状的理解，还能培养其观察和分析问题
的能力。
第四，在证明数学定理时，数形结合思想可以帮助学生通过观察几何图形的性质和数
学关系来理解和证明数学定理。
在证明三角形内角和为180度时，可以通过绘制三角形的
外接圆或内切圆来展示角度和边的关系，进而得出结论。
这样可以培养学生的逻辑思维和
证明能力，提高其对数学定理的理解和应用能力。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的应用价值。
通过将数学与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题的方法，培养其观察、分析、解决问题的能力，提高其数学学习的兴趣和自信心。
在教学过程中，教师应该灵活运用这种思维方式，
将抽象的数学知识与具体的几何形状相结合，创设适合学生的情境，激发学生的思维活力，使数学学习更加生动、实践、有意义。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过形状和图形的变化来帮助理解和解决问题的思维方式。
它将数学与几何形状相结合，通过对形状的分析和变换，揭示出数学问题的本质。
在初中数学中，数形结合思想广泛应用于代数、几何和概率的相关知识中。
下面将分别介绍这几个领域中数形结合思想的应用。
1. 代数：代数是数学中重要的一个分支，它研究的是数与数之间的关系和运算。
在代数中，数形结合思想主要应用于代数式的理解和方程的解法。
通过将代数式转化为几何图形，可以帮助学生更好地理解代数式的含义和性质。
对于分式的除法运算，可以用一个长方形来表示被除数和除数，通过形状的变化可以帮助学生理解分式除法的原理。
2. 几何：几何学是研究图形、形状和空间关系的数学学科。
在几何学中，数形结合思想的应用非常广泛。
通过将图形进行平移、旋转和缩放等变换，可以帮助学生理解几何运动的性质和规律。
数形结合思想还可以用于解决几何问题。
通过画图来辅助解决面积、周长和体积等计算问题，可以更直观地理解问题的解题思路。
3. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
在概率中，数形结合思想可以用于模拟随机事件的发生和计算概率。
通过掷硬币和掷骰子等实验，可以直观地模拟和计算各种随机事件的概率。
数形结合思想还可以用于解决排列和组合等问题。
通过画图来辅助计算排列和组合的个数，可以更好地理解问题的解题方法。
数形结合思想在初中数学中的应用非常广泛。
它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
通过将数学与几何形状相结合，数学不再枯燥乏味，而变得有趣和实用。
初中数学教学中应充分发挥数形结合思想的作用，培养学生的数学兴趣和创造力。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过数学和几何图形相结合来进行问题的分析和解决的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于解题和证明过程中，有助于学生理解和掌握数学概念，培养其数学思维能力和创造力。
以下是数形结合思想在初中数学中的应用。
一、解决几何问题通过数形结合思想可以解决许多几何问题，如证明等腰三角形的性质、证明角的平分线相交于顶点角平分线等。
通过画图观察，能够使问题的分析和解决更加直观和容易。
对于一个等腰三角形，我们可以通过画图观察来证明其性质。
我们画出一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
然后，我们在等腰三角形中找出一些特殊点，如重心、垂心等。
通过观察，我们发现等腰三角形的重心和垂心的位置，以及它们与三角形顶点的连线之间的关系，可以帮助我们证明等腰三角形的性质。
这个过程中，数学和几何图形相结合，既需要运用数学知识，又需要观察和想象能力，培养了学生的思维灵活性和创造力。
二、解决平面几何问题平面几何是初中数学中一个重要的内容，通过数形结合思想，可以帮助学生解决平面几何问题，如平行线的性质、相似三角形的性质等。
通过画图观察和推理，可以帮助学生理解和巩固这些数学概念。
对于平行线的性质，我们可以通过数形结合思想来解决问题。
我们画出两条平行线，然后引入一个横切线。
通过观察，我们发现两条平行线上对应的内角和外角是相等的，同时我们可以看到内、外角和横切线之间的关系。
这样，我们可以通过画图观察的方式，对平行线的性质进行分析和证明，加深学生对这个概念的理解。
三、解决函数与图像问题在函数与图像的学习中，数形结合思想也被广泛应用。
通过画出函数的图像，可以帮助学生理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
对于一个函数的单调性，可以通过数形结合思想来进行分析。
我们画出该函数的图像，然后观察函数的变化趋势。
通过观察，我们可以发现函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，可以通过数学和几何图形相结合的方式来理解和证明函数的单调性。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指将数学问题与几何图形结合起来，通过画图、建模等方式将问题形象化，从而更加直观地理解问题和分析解题思路，提高解题效率。
1. 已知等边三角形ABC的顶点A在圆O上，点D在弧BC上，连接AD，证明$∠BAC=∠BDC$。
解法：首先根据等边三角形ABC的性质可知，$∠BAC=60^\circ$。
接着连接BD并作DE⊥AC于E点，连接CE。
根据圆心角与弧长的关系可知，$∠BOC=2∠BDC$，又$∠BEC=90^\circ-∠BAC/2=45^\circ$，因此$∠CBD=180^\circ-∠BCE-∠BDC=75^\circ$。
再根据三角形BDE的性质可知$∠BDE=45^\circ$，因此$∠BAC=∠BDE+∠BDC=75^\circ$，即$∠BAC=∠BDC$。
通过画图和建立几何模型，我们更加清晰地理解了问题和解题思路。
2. 已知矩形ABCD中，$AB=6$，$BC=3$，点E在线段CD上且满足$CE:ED=2:1$，连接AE并交BC于F点，求$AF$的长。
3. 某废旧品回收中心的货车要把三个物品箱A、B、C，每个箱的尺寸分别为3米×2米×1.5米、4米×3米×2米、2米×2米×1米，运到物流园区，货车的车厢的尺寸为5米×2.5米×1.5米，问能否在不拆卸箱子的情况下，将三个箱子全部放入车厢？解法：我们可以将问题转化为对三个物品箱的体积和车厢的体积进行比较。
首先计算三个物品箱的体积分别为$V_A=3×2×1.5=9m^3$，$V_B=4×3×2=24m^3$，$V_C=2×2×1=4m^3$，因此三个物品箱的总体积为$V=V_A+V_B+V_C=37m^3$。
又因为车厢的体积为$V_c=5×2.5×1.5=18.75m^3$，因此无法同时将三个物品箱全部放入车厢中。
数形结合在初中数学教学中的运用例谈
数形结合在初中数学教学中的运用例谈数形结合是指在数学教学中，通过运用几何图形来帮助学生理解和解决数学问题。
它能够提升学生的动手实践能力和直观的几何感，使抽象的数学概念变得具体可见，从而提高学生对数学知识的理解和记忆。
下面将通过几个例子，详细介绍数形结合在初中数学教学中的运用。
例1：分数的乘法在初中数学中，学生需要学习分数的乘法运算。
通常，教师会通过十分十分相乘的方法来解释分数的乘法规则，但是这种方法抽象且难以理解。
为了帮助学生更好地理解分数的乘法，教师可以利用几何图形进行数形结合的教学。
教师可以在黑板上绘制一个矩形，并将其分成若干个小矩形，其中一部分为横向分割，一部分为纵向分割。
然后，教师可以用不同颜色的粉笔标注出各个小矩形的面积，并引导学生寻找分数乘法的规律。
通过这种方法，学生可以直观地看到矩形面积的分割和组合过程，从而更好地理解分数乘法的概念和规则。
例2：代数式的图形展示在初中代数学中，学生需要学习代数式的理解和运算。
通常，学生对于代数式的抽象性特点难以理解和掌握。
为了帮助学生更好地理解代数式，教师可以利用数形结合的方法进行教学。
教师可以让学生绘制一个具体几何图形，如长方形、正方形等，并引导学生根据图形的特点构造相应的代数式。
通过观察几何图形和代数式的对应关系，学生可以更直观地理解代数式的含义和运算法则。
例3：三角形的相似性质在初中几何学中，学生需要学习三角形的相似性质。
相似三角形的判定是一个抽象且复杂的过程，学生容易混淆和理解困难。
为了帮助学生更好地理解三角形的相似性质，教师可以利用数形结合的方法进行教学。
教师可以设计一些具有相似关系的三角形，并通过投影仪将其投影到黑板上，让学生观察各个角度和边长的变化。
通过比较观察和思考，学生可以从图形中找到相似三角形的一些共同特征，从而更好地理解相似三角形的判定条件和性质。
浅谈数形结合在初中数学中的应用
浅谈数形结合在初中数学中的应用[摘要]数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。
实现由代数形式与几何形式互化的数学化归思想。
[关键词]数形结合；思想；数学语言数学研究的对象是数量关系和空间位置关系的形式，即“数”与“形”两个方面。
“数”与“形”两者之间有着密切的联系。
在一维空间中，实数与数轴上的点是一一对应的关系。
在二维空间中，实数对与坐标平面上的点同样是一一对应的关系，进而可以使函数解析式与函数图象建立关系，方程与曲线也建立起一一对应的关系，式代数关系的研究可以转化为图形性质的研究，反过来也可以使图形性质的研究转化为代数关系来研究.这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的策略，即是数形结合的思想。
在使用过程中，由“形”到“数”的转化往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。
因此，数形结合思想的考查往往偏重于由“数”到“形”的转化。
在中考试题中，充分利用选择题和填空题的题型特点（由于这两类题型只需写出结果而无需写出解答过程），为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将繁杂的代数关系问题转化为直观的几何图形问题来解决。
而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对代数关系的研究仍以代数方式为主。
解答题中对数形结合思想的考查以由“形”到“数”的转化为主。
数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象主要可分为两大部分，一部分是数，另一部分是形，但数与形是有密切联系的，这个联系称之为“数形结合”或“形数结合”。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。
“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我认为：数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的代数语言、代数关系同直观的几何图形的位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可把抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合在初中数学的应用
数形结合在初中数学的应用
数形结合是初中数学中非常重要的一个概念，它是指在分析解决数学问题时，既可以运用数学知识，也可以利用几何图形来帮助解决问题。
数形结合在初中数学的应用非常广泛，例如：
1.求解面积和体积问题：我们可以通过利用几何图形来求解各种面积和体积问题，例如求解长方形、正方形、圆形、三角形等图形的面积，以及球、圆柱、圆锥等图形的体积。
2.利用相似三角形求解问题：我们可以通过数形结合的方法，利用相似三角形来解决各种数学问题，例如求解直角三角形的斜边长度、求解比例问题等等。
3.利用图形坐标系求解问题：我们可以通过建立图形坐标系，将数学问题转化为几何问题，利用几何图形来解决各种问题，例如求解直线方程、解决距离问题等。
4.利用平面向量求解问题：我们可以通过利用平面向量的性质和特点，来解决各种数学问题，例如求解向量的模长、向量的方向、向量的加减等等。
总之，数形结合在初中数学中的应用是非常广泛的，它能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学知识，提高我们的数学思维和解决问题的能力。
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数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指在数学问题中，将几何图形与数学运算相结合，通过图形的变化和特点来解决数学问题。
它是一种抽象思维和几何思维相结合的思维模式，广泛应用于初中数学的教学和学习中。
1. 公式的认识和应用：通过几何图形的变换和特点，帮助学生认识和理解各种数学公式的含义和应用。
通过画图解释勾股定理，可以帮助学生更好地理解三角形的边与角的关系，加深他们对勾股定理的理解和记忆。
2. 解决面积和体积问题：通过将几何图形与数学计算相结合，解决面积和体积等问题。
将平行四边形切割成若干小三角形，然后通过计算每个小三角形的面积来求解整个平行四边形的面积；通过将长方体切割成若干个立方体，然后通过计算每个立方体的体积来求解整个长方体的体积。
3. 解决比例问题：通过绘制比例图形，帮助学生理解和解决比例问题。
通过绘制两个图形的比例尺，可以帮助学生直观地理解两个量的大小关系，并通过比例尺的计算来解决实际问题。
5. 解决几何证明问题：通过绘制几何图形，帮助学生理解和解决几何证明问题。
通过绘制垂直角的图形，可以帮助学生理解垂直角的性质，并利用垂直角的性质证明几何定理。
6. 解决几何问题的思路和方法：通过数形结合思想，帮助学生培养解决几何问题的思路和方法。
通过绘制几何图形，找出其中的规律和特点，从而推导出问题的解决方法。
需要指出的是，数形结合思想并不仅仅应用于初中数学，它在高中和大学数学中同样有广泛的应用。
通过数形结合思想，可以帮助学生发展抽象思维和几何思维，培养他们解决数学问题的能力和思维方式。
在初中数学中，运用数形结合思想是非常重要的一种教学方法，能够提高学生的数学素养和创新意识，促进他们的综合能力的提高。
数形结合”在初中数学中的运用
数形结合”在初中数学中的运用数（代数）”和“形（几何）”是初中数学中的两个主要研究对象，而这两个方面是密切相关的。
在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面。
全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来理解。
此外，还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充。
XXX的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学研究中有重要的地位。
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点。
从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题。
建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线。
在高中“解析几何”里，我们将专门研究利用坐标将几何问题代数化。
例1．已知平面直角坐标系中任意两点A(x1y1和B(x2y2之间的距离可以用公式AB(x1x22(y1XXX22计算。
利用这个公式计算原点到直线y2x10的距离。
设P(x，2x+10)是直线y=2x+10上的任意一点，它到原点的距离是OP(x0)2(2x100)25(x4)220.当x4时，OP最小=25.所以原点到直线y=2x+10的距离为25.例2．已知△ABC的三边长分别为m-n、m+n（m、n为正整数，且m>n）。
求△ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。
已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁琐。
本题能否避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处。
代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来。
根据勾股定理，三角形ABC的三边满足$m^2+n^2$，$2mn$，$m^2-n^2$，因此$\Delta ABC$是一个直角三角形。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指将数学问题与几何形状相结合，通过几何形状的特点来解决数学问题的方法。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于课堂教学和解题过程中，可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念和解决实际问题。
数形结合思想首先适用于几何图形的性质和计算。
在学习平面图形的面积和周长时，可以通过将图形分解为更简单的图形，然后计算每个部分的面积和周长，最后求和得到整个图形的面积和周长。
通过构建等边三角形、矩形等特殊图形，可以帮助学生快速计算图形的面积和周长。
数形结合思想还可以帮助理解比例和相似的概念。
在学习比例与相似的概念时，可以通过绘制几何图形来帮助学生直观地理解。
在讨论相似三角形时，可以通过绘制两个相似三角形并标出相应的边长来比较它们之间的关系。
这样，学生可以更好地理解相似三角形的性质和应用。
数形结合思想还可以应用于解决实际问题。
在初中数学中，有很多问题涉及到实际生活中的几何形状，如容器的体积和表面积、地板的铺设等。
通过将数学问题与几何形状相结合，可以帮助学生找到解决问题的方法。
在讨论容器的体积和表面积时，可以通过建立几何模型来更直观地理解容器的特点，通过计算几何模型的相关参数来得到容器的体积和表面积。
这样，学生不仅可以应用数学知识解决实际问题，还可以加深对几何形状的理解。
除了在课堂教学中的应用，数形结合思想还可以在解题过程中帮助学生提高解题的思维能力和创造性。
通过将抽象的数学问题转化为具体的几何形状，学生可以更好地理解问题的含义和求解思路，从而更高效地解决问题。
这种数形结合的思考方式可以培养学生的空间想象能力和几何推理能力，提高他们的解题能力和创新精神。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题的数学模型进行图形化的表示，从而帮助理解和解决问题的思维方法。
它将抽象的数学概念与具体的图形结合起来，提供了一种直观的、形象化的解题方式，有助于学生对数学概念的深刻理解和数学问题的解决能力的提高。
在初中数学中，数形结合思想广泛应用于几何、代数、概率统计等多个领域。
在几何中，数形结合思想可以帮助学生理解和推导图形的性质。
在学习线段的垂直平分线时，通过数形结合思想可以将线段的中垂线与线段的垂直平分线联系起来，进而理解在几何中垂直平分线的定义和性质。
在代数中，数形结合思想可以帮助学生解决方程与图形的关系问题。
在解一元一次方程时，通过数形结合思想可以将方程的解与直线的图像联系起来，从而帮助学生理解方程的解即为方程对应直线的横坐标。
在概率统计中，数形结合思想可以帮助学生进行概率计算。
在学习条件概率时，通过数形结合思想可以绘制事件之间的关系图，并通过图形计算得到条件概率，帮助学生理解条件概率的概念和计算方法。
除了在具体的数学概念与图形的应用中，数形结合思想还可以培养学生的数学建模能力。
通过将实际问题抽象为数学模型，并通过图形化的方法进行表示和推导，使学生能够将数学知识应用到实际问题中，培养学生的问题解决能力和创新思维。
数形结合思想在初中数学中的应用可以通过数学问题的解决过程来说明。
对于如下问题：已知一个等边三角形的一个顶点为A，一边在直线y=2x+1上，求这个等边三角形的另外两个顶点B和C坐标。
学生可以首先通过数学方式推导等边三角形的性质，然后将该等边三角形的图形与直线y=2x+1进行结合，通过画图找规律，进一步确定点B和C的坐标。
数形结合思想还可以通过拓展和延伸的方式应用到其他学科中。
在物理学中，通过数形结合思想可以更好地理解和应用力学、电磁学等学科中的数学概念和原理。
数形结合思想在初中数学中的应用能够帮助学生理解和应用数学知识，提高解题能力和创新思维，培养数学建模能力和问题解决能力。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想是指在数学中，通过几何图形或者图表的形式来解决数学题目的思维方式和方法。
它通过将数学问题转化为几何图形或者图表的形式，从而更加直观地理解和解决问题。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于各个知识点和题型，下面以几个典型的应用进行介绍。
第一个应用是平行线的性质。
在学习平行线的性质时，我们可以通过画出平行线和其它几何图形的形式来更好地理解和应用这些性质。
比如，当我们要证明两条平行线的夹角等于一个固定值时，可以通过构造平行线和所求夹角的关系图来证明。
又比如，当我们要证明平行线上的两个交角相等时，我们可以通过画出平行线和交角的关系图来直观地理解和证明。
第三个应用是图表的应用。
在处理一些数学问题时，我们可以将问题中的数值或者关系用图表的形式呈现出来，从而更加直观地分析和解决问题。
比如，当我们要找出一个变量的最大值或者最小值时，可以通过绘制该变量与其它变量之间的关系图来进行分析和求解。
又比如，当我们要比较两个变量的大小时，可以通过画出两个变量的函数图像来直观地对比。
通过数形结合思想，我们不仅可以更加直观地理解和应用数学知识，而且可以培养我们的几何直观和图像思维能力。
它可以帮助我们把抽象的数学概念和性质转化为具体的图形或者图表，从而更好地理解和应用。
在解题过程中，我们可以通过绘制图形或者制作图表，将数学问题可视化，有助于我们更好地分析和解决问题。
同时，数形结合思想也能够提高我们的空间想象力和逻辑思维能力，培养我们的创造力和发散思维能力。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用
在初中数学教学中，数形结合可以帮助学生理解抽象的数学概念。
例如在教学整数的时候，可以通过图形的方式来直观地展示正数和负数，让学生通过图形更直观地理解正数和负数的关系。
通过画图的方式，学生可以更具体地感知到数的大小和方向，帮助他们更轻松地掌握整数的加减乘除运算规则。
通过数形结合，学生能更深入地理解数学知识，也更容易接受和记忆。
数形结合可以激发学生的学习兴趣，增加学习动力。
基于图形的学习方法可以使学习变得更加生动活泼，从而激发学生的学习兴趣。
通过举一些有趣的例子，使用图形的方式展示数学知识内容时，学生更易产生兴趣，愿意主动参与到课堂讨论和学习中来。
相比于枯燥的书本知识，利用图像进行教学可以让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识，从而更好地提升学习效果。
数形结合还可以培养学生的数学思维和创新能力。
通过观察和分析图形、运用数学知识，学生可以培养出锐利的观察力和敏锐的分析能力。
数形结合的教学方法也可以激发学生的创新意识，启发他们寻找数学和图像之间的新颖联系，培养他们的创新能力。
在教学几何问题时，可以引导学生进行探究性学习，在实际的几何图形中让学生自己发现几何定理的特殊性质，从而激发学生的数学创新能力。
数形结合在初中数学教学中的应用有利于帮助学生更好地理解数学知识，激发学生的学习兴趣，增加学习动力，并培养学生的数学思维和创新能力。
在教学实践中应该积极采用数形结合的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
希望教师们能够加强教学理念的更新和教学方法的探索，不断探索和研究数形结合的更多教学方法和实践经验，为初中数学教学注入更多的活力和新意。
浅析初中数学教学中数形结合思想的应用
浅析初中数学教学中数形结合思想的应用一、数形结合思想是什么数形结合思想是指数学中的具体形象与抽象概念相结合的一种教学理念。
这种思想主张在数学教学中，要注意将抽象的数学概念与具体的形象相结合，通过形象化的教学手段，使学生更直观、更生动地理解和掌握数学知识。
1. 几何图形与公式的结合在初中数学中，几何图形与几何公式的结合是数形结合思想的一个重要应用。
例如在学习计算圆的面积时，可以通过平面几何图形的绘制和计算过程相结合，使学生更加直观地理解圆的面积公式πr²，并掌握面积计算的方法。
通过数形结合的教学方法，学生不仅可以理解公式的意义，还能够将公式与具体的图形联系起来，形成系统的认知。
2. 长方体与容积的结合在学习长方体的容积时，可以通过长方体的实际模型和容积计算公式的结合，让学生通过观察实际模型来理解容积的概念，进而掌握计算容积的方法。
数形结合思想的应用可以使学生更容易地掌握抽象概念，减少学习难度。
3. 数据统计与图表的结合在学习数据统计的时候，可以通过绘制各种图表形式，如条形图、折线图等，将数据呈现出直观的形象，帮助学生更容易地理解数据之间的关系及趋势，从而更好地掌握数据统计的方法和技巧。
在初中代数学习过程中，方程式是一个重要的内容。
通过将方程式与对应的图形相结合，可以帮助学生更好地理解方程式的含义和解法，并能够将抽象的数学问题变成具体的图形问题，使学生更容易地解决问题。
5. 图形变换与坐标系的结合在学习图形变换和坐标系的时候，可以引入具体的图形案例，通过变换前后的坐标关系进行对比，帮助学生更加直观地理解图形的变化规律和坐标系的运用，从而更好地掌握相关知识。
通过以上几个方面的应用，我们可以看到数形结合思想在初中数学教学中的重要性。
数形结合思想的应用能够直观地帮助学生理解和掌握数学知识，激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学学习能力。
三、数形结合思想的教学策略在实际教学中，老师可以通过以下几种策略来应用数形结合思想：1. 利用教学实例在教学中，可以利用大量的具体例子和实例来让学生参与到探索中来，通过观察和操作，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。
数形结合在初中数学教学中的有效运用
数形结合在初中数学教学中的有效运用数形结合是指将数学概念与图形结合起来进行教学，通过形象化的图形展示和直观的几何图形，能够帮助学生更好地理解和掌握数学概念，并提高数学思维能力。
在初中数学教学中，数形结合可以有效地激发学生的兴趣，加深对知识点的理解，培养学生的逻辑思维和创新能力。
下面从几个方面详细探讨数形结合在初中数学教学中的有效运用。
首先，在初中数学的代数与函数章节中，数形结合可以帮助学生更好地理解代数表达式的含义和代数运算的规律。
通过将代数表达式与几何图形进行对应，学生可以更直观地理解代数表达式的意义。
比如，在讲解一元一次方程时，可以通过画图的方式将方程中的未知数与图形中的线段进行对应，从而帮助学生理解方程的意义和解方程的方法。
其次，在初中数学的几何章节中，数形结合可以提高学生的几何思维能力和空间想象能力。
通过将几何图形进行分解、组合和转移，可以培养学生的观察力和几何思维，拓展学生的空间想象能力。
比如，在讲解三角形的面积时，可以通过将三角形分解为矩形、平行四边形等简单的几何图形，然后再进行组合，从而帮助学生理解三角形面积的计算方法。
此外，在初中数学的统计与概率章节中，数形结合可以帮助学生更好地理解统计数据的表示和概率事件的计算。
通过将统计数据以图表的形式展示，学生可以更直观地看出数据的分布规律，理解数据的含义。
在讲解概率时，可以利用几何图形进行概率事件的模拟和计算，让学生通过实际操作来体会概率的概念和计算方法。
最后，在初中数学的数与式章节中，数形结合可以帮助学生理解数的性质和运算法则。
通过将数以图形的方式进行展示，可以帮助学生更直观地感受数的增长和变化规律。
比如，当讲解负数时，可以用图形表示负数的含义和作用，帮助学生理解负数的概念。
总的来说，数形结合在初中数学教学中的有效运用，可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念，提高数学思维能力和创新能力。
通过形象化的图形展示和直观的几何图形，能够激发学生的学习兴趣，加深对知识点的理解，培养学生的观察力、空间想象力和逻辑思维能力。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指数学中的数学问题和几何问题相互转化、相互运用的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面：一、用几何图形解决代数问题在学习代数知识时，许多问题可以通过几何图形来直观地展现。
在解一元一次方程时，可以通过画图的方式来帮助学生理解方程的意义。
教师可以选取和学生相关的实际问题，用几何图形的方式来解决，这样不仅可以让学生更好地理解代数问题的本质，还可以培养学生的数学建模能力。
在学习几何知识时，代数方法也可以被应用到许多几何问题的解决中。
比如在计算几何图形的面积或周长时，可以通过代数式的运算来得到结果。
这种方法不仅简单直观，而且可以加深学生对代数知识的理解和运用。
三、将数学问题转化为几何问题有些数学问题在代数形式下可能比较抽象，难以理解，而将这些问题转化成几何问题时，学生可能会更容易理解和解决。
比如在概率问题中，可以用几何图形来表示事件的发生，从而让学生更加直观地理解概率的概念和计算方法。
在初中阶段，学生学习的数学知识往往和实际问题有着密切的联系。
几何方法在解决实际问题时，不仅可以用来求解图形的面积、体积等几何问题，还可以帮助学生理解实际问题的本质和解决方法。
比如在解决日常生活中的测量、建模等问题时，几何方法的应用可以让学生更好地理解问题的背后数学原理。
数形结合思想的应用不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以激发学生对数学的兴趣。
但是在教学中，如果不能很好地将数形结合思想融入到教学实践中，可能会达不到理想的效果。
教师在教学中需要灵活地运用数形结合思想，结合具体的教学内容和教学目标，设计出符合学生学习特点的教学方法。
教师需要结合教学内容，合理设计教学活动。
比如在教学一元一次方程时，可以设计一些与生活相关的问题，并通过几何方法来解决，这样可以让学生更好地理解代数方程的实际意义。
教师需要引导学生学会灵活运用数形结合思想。
在解决数学问题的过程中，学生需要通过分析问题，选择合适的数学工具和方法，从而达到数形结合的效果。
数形结合在初中数学中的应用
数形结合在初中数学中的应用
数形结合法可以显著提高学生的解题能力。
为此，在教学过程中，教师要培养学生运用数形法解决问题的习惯，既丰富了学生的解题形式，又提高了教师的课堂教学效果。
因为初中数学内容较多，综合题目涉及的知识较广，教师要注重让学生多角度、多方位地思考问题，引导学生深入挖掘问题信息，从几何图形与量关系两个方面进行推导，逐步挖掘其内在联系，同时以一题多解的形式，提高学生的解题能力。
例如在「全等三角形证明」一课讲授时，老师要先把基本证法讲清楚。
在学生理解清楚之后，教师又给出综合性题目，如在组合图中求某一边的长度，这道题既要证明两个三角形全等，又要通过变换来确定它的具体长度。
在此过程中，教师首先要引导学生提取问题信息，然后从图形和数量关系两个方面对已知信息进行分解，两层推进分析、思考、讨论、计算解析等，深入挖掘其内在的联系，最终得出长远的结果。
解决问题的过程中，教师要注意培养学生多角度思考问题的思维习惯，如当证明组合图形中的全等三角形时，既可以用定理来证明，也可以用类似三角形的某一边或某一角相等来证明等等。
以数形结合的方式指导学生解决数学问题，不仅能促使学生突破思维局限，而且可以提高解题效率。
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专题七“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =计算．利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离．解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是当4x =-时，OP =最小所以原点到直线210y x =+的距离为【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：222222222()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==，也就是说，ABC ∆的三边满足勾股定理，即ABC ∆是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积S 为：S解：由三边的关系：2222222()(2)()m n mn m n -+=+． 所以ABC ∆是直角三角形． 所以ABC ∆的面积22221()(2)()2m n mn mn m n =⋅-=-． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ， ∴30bx c +=． ∴3c x b=-．31b x c=-． ∵直线y bx c =+与抛物线2y ax =两交点的横坐标分别为1x 、2x ， ∴1x 、2x 为关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的两个不等实根．∴12b x x a +=，12cx x a=-． ∴12121211bx x b a c x x x x c a++===--．∴312111x x x =+． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”5．现在的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是我们只需要在图中找出来一段边长为5的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现． 二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于2a b+对称，换句话说，数轴上实数a 关于b 的对称点为2b a -）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与x 轴的交点； 函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与y 轴的交点（函数在0x =时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例5．已知正实数x，求y =分析：可以把，即看作是坐标系中一动点( 0)x ，到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解：y =令( 0)P x ，、A （0，2）和B （2，1），则y PA PB =+． 作B 点关于x 轴的对称点'(2 1)B -，，则y的最小值为'AB ==例6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角α、β（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角αβ+也就构成了．证明：如图（2），连接BC ，易证：ABD ∆≌CBE ∆，从而ABC ∆是等腰直角三角形，于是：45αβ+=︒．图（1）图（2）例7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为A 、B 、C 、P （P为动点），则表示P 到A 、B 、C 三点之间的距离之和，即y PA PB PC =++．容易看出：当且仅当点P 和点B 重合时，PA PB PC ++最小，所以4y AB BC =+=最小．x例8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．【分析】令2()23f x x kx k =++，其图象与x 轴的横坐标就是方程()0f x =的解．由()y f x =的图象可知，要使两根都在－1和3之间，只须：(1)0f ->，(3)0f >，()()02bf f k a-=-≤同时成立，由此即可解得10k -<≤或3k ≥． 其中，(1)f -表示1x =-时的函数值．解：令2()23f x x kx k =++，由题意及二次函数的图象可知：(1)0(3)0()0f f f k ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩即222(1)2(1)3032330()2()30k k k k k k k k ⎧-+-+>⎪+⋅+>⎨⎪-+-+≤⎩解得：10k -<≤或3k ≥．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．例9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明240b ac ∆=->，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时0a >，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于0”．证明：考查函数2y ax bx c =++， ∵0a >，∴此抛物线开口向上．又∵b a c >+，即0a b c -+<， ∴当1x =-时，二次函数的值(1)0f -<．故抛物线与x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例10．已知：对于满足04p ≤≤的所有实数p ，不等式243x px x p +>+-恒成立，求x 的取值范围． 【分析】不等式243x px x p +>+-可以变形为243(1)x x p x -+>--． 考查二次函数22143(2)1y x x x =-+=--和一次函数2(1)y p x =--．原不等式的几何意义是“二次函数1y 的图象在一次函数2y 的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取04p ≤≤之内的什么实数，二次函数1y 的图象总是在一次函数2y 的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数1y 的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数2y 的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当0p =，20y =时，是与x 轴重合的一条直线；当4p =，244y x =-+是一条截距为4的直线，它与抛物线1y 的交点坐标为（－1，8）．当实数q 取遍04p ≤≤之内的所有实数时，直线2y 所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数1y 的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到1x <-或3x >，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是1x <-或3x >．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．初三数学“数形结合”习题（1）1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式AB =算．利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离．2．已知ABC ∆的三边长分别为22m n -、2mn 和22m n +（m 、n 为正整数，且m n >）．求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）．3．直线y bx c =+与抛物线2y ax =相交，两交点的横坐标分别为1x 、2x ，直线y bx c =+与x 轴的交点的横坐标为3x ．求证：312111x x x =+． 4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 5．已知正实数x，求y =6．已知1tan 2α=，1tan 3β=，求证：45αβ+=︒． 7．求函数123y x x x =++-+-的最小值．8．若关于x 的方程2230x kx k ++=的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围． 9．若0a >，且b a c >+，求证：方程20ax bx c ++=有两个相异实数根．初三数学“数形结合”习题（2）1．设0k b +=，则直线y kx b =+与抛物线2y kx bx =+的位置关系是（）．A ．有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点xC ．没有公共点D ．无法确定2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A ．3、3、11、 C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）．A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边－60米4．已知实数a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A ．ab b <B ．ab b >C ．0a b +>D ．0a b -> 5．函数35y x x =-++的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．26．已知函数y x =和y =的图象如图所示，则不等式x >的解集为（）．A ．22x -≤<B ．22x -≤≤C ．2x <D ．2x >6题图7题图7．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，4BD =，AD BC =，3cos 5ADC∠=，则DC =，sin B =． 8．在数轴上数a 和3的对应点分别为点A 和点B ，点A 到原点的距离为1.5，则点A 关于点B 的对称点所对应的数是． 9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 10．如图，已知ABC ∆内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E ．求证：tan tan AEB CDE⋅=． 11．如图所示，已知矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），60OAB ∠=︒，以AB 为轴对称后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．12．已知两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标可用公式（122x x +，122y y +）计算．现已知M （－1，2），N （5，14）．（1）计算MN 中点的坐标；（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN 的两个三等分点的坐标？初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B2．D3．B4．D5．A6．A7．6，418．4.5或7.59．2.76米 10．提示：可以作AG BC ⊥于F ，交圆O 于G ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结BD 、CD ，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）. 提示:可推得两个三等分点的坐标公式（1223x x +，1223y y +）、（1223x x +，1223y y +）。