直线与方程复习课

基础知识 自主学习
要点梳理 1．直线的倾斜角与斜率 (1) 直线的倾斜角①定义：当直线 l 与 x 轴 相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴 正向 与 直线 l 向上的 方向之间所成的角α叫做直 线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合 时，规定它的倾斜角为 0°.
≤α<180° . ②倾斜角的范围为 0°
由于 A、B、C 三点共线，所以 a－3＝1， 即 a＝4.
3．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程为 x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0 ．
4 解析 ①若直线过原点，则 k＝－3， 4 ∴y＝－3x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点． x y 设a＋a＝1，即 x＋y＝a. ∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.
小结：
方法与技巧
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率 y2－y1 公式： k＝ ， 该公式与两点顺序无关， 已知两点坐标(x1≠x2) x2－x1 时， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率． 当 x1＝x2， y1≠y2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90° . 2．求斜率可用 k＝ tan α (α ≠90°)，其中 α 为倾斜角，由此可 见倾斜角与斜率相互联系不可分割， 牢记： “斜率变化分两段， 90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 3．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方 程中的系数，这种方法叫待定系数法．
解
x y 方法一 设直线方程为 ＋ ＝1 (a>0， a b 6 ，得 ab
b>0)， 3 2 点 P(3,2) 代 入 得 ＋ ＝ 1≥2 a b ab≥24， 1 3 2 从而 S△AOB＝ ab≥12，当且仅当 ＝ 时等号 2 a b b 2 成立，这时 k＝－ ＝－ ，从而所求直线方 a 3 程为 2x＋3y－12＝0.
方法二 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程 为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. ∵A、 B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 1 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5 或 k≤－2. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 1 －∞，－ ∪[5，＋∞)． 2
k 1 的中点)为 M － ， . 2 2 1 k 折痕所在的直线方程为 y－ ＝kx＋ ， 2 2 2 k 1 即 y＝kx＋ ＋ . 2 2 2 k 1 1 ∴k＝0 时，y＝ ；k≠0 时，y＝kx＋ ＋ . 2 2 2
[8 分]
[10 分] [12 分]
4．已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为 3 － ，则直线 l 的方程为( A ) 4 A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
3 解析 由 y－5＝－4(x＋2)，得：3x＋4y－14 ＝0，故选 A.
5．已知点 M 是直线 l : 3 x y 3 0 与 x 轴的 交点，将直线 l 绕点 M 旋转 30 后，所得的 直线方程为 x
y2－y1 k＝ x2－x1
.
2．直线方程的常用形式 名称 点斜式 斜截式 方程
y－y1＝k(x－x1)
适用范围
不含垂直于x轴 的直线 不含垂直于X轴 的直线
y＝kx＋b
截距式
x y ＋ ＝1 a b
不含垂直于坐 标轴和过原点 的直线
Ax＋By＋C＝0
一般式
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标 系内的直线都 适用
思想与方法 13．求直线方程时，要根据斜率存在与否进行 分类讨论
试题：(12 分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， A 点与坐标原点重合．将 矩形折叠，使 A 点落在线 DC 上．若折痕所在 直线的斜率为 k， 试写出折痕所在直线的方程．
x y 方法二 设直线方程为 ＋ ＝1 (a>0，b>0)， a b 3 2 2a 点 P(3,2) 代入得 ＋ ＝ 1 ，解得 b ＝ a b a－3 2 1 a 9 (a>3)，则 S△AOB＝ ab＝ ＝(a－3)＋ 2 a－3 a－3 9 ＋6≥12， 当且仅当 a－3＝ 即 a＝6 时等 a－3 x 号成立， 这时 b＝4， 从而所求直线方程为 ＋ 6 y ＝1，即 2x＋3y－12＝0. 4
5＋x0 ∵M 在 y 轴上，∴ ＝0，x0＝－5. 2 y0＋3 ∵N 在 x 轴上，∴ ＝0，y0＝－3，即 2 C(－5，－3)． 5 (2)∵M0，－2 ，N(1,0)． x y ∴直线 MN 的方程为 ＋ ＝1. 1 5 － 2 即 5x－2y－5＝0.
1.选择适当的方法，选择适当的形式 2.涉及斜率注意存在与否，涉及截距 注意是否为零
失误与防范
1 ．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存 在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条 直线都存在斜率． 2 ．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的 范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3． 利用一般式方程 Ax＋By＋C＝0 求它的方向 向量为(－B，A)不可记错，但同时注意方向 向量是不唯一的．
直线与方程复习（第一讲）
• 大邑中学高二年级数学组
熊康
考点要求
• 1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、 截距等；考查过两点的斜率公式． • 2．求不同条件下的直线方程(点斜式、截距式及 一般式等)． • 3．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方 程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条 件求直线方程． • 4．注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利 用该特征量解决问题往往能达到事半功倍.
作业：学案上课后巩固作业
谢 谢！
规范解答 解 1 (1)当 k＝0 时， 此时 A 点与 D 点重合， 折痕所在的直线方程为 y＝ .[2 2
分] (2)当 k≠0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 C D 上的点为 G (a,1)，[4 分] 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称， 1 有 kA G ·k＝－1， k＝－1⇒a＝－k. [6 分] a 故 G 点坐标为 G (－k,1)， 从而折痕所在的直线与 A G 的交点坐标(线段 A G
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α的 正切值 叫做这 条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan ，倾斜角是 90°的直线斜率不存在 ． 函数 k tan( [0, )) 的图像为： k
2 O
②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线 的斜率公式为
本题型小结：
题型三
直线方程的综合应用
例 3 已知直线 l 经过点 P(－5， －4)，且与两坐 标轴围成的三角形面积为 5 ，求直线 l 的方 程．
注意
斜率不是距离
由题意知直线不过原点， 且与两坐标轴都相交， x y 可设直线 l 的方程为a＋b＝1， ∵直线 l 过点 P(－5，－4)， － 5 －4 ∴ a ＋ b ＝1，即 4a＋5b＝－ab. 1 又由已知有2|a|· |b|＝5，即|ab|＝10， 5 4 a ＋ 5 b ＝－ ab ， a＝－2， 解 方 程 组 得 或 |ab|＝10 b＝4
4．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则
x1 x2 x 2 y1 y2 y 此公式为线段 P1P2 的中点 2 ，
坐标公式．
5.求直线方程的一般方法：
(1)直接法：选择适当形式的直线方程，直 接求出方程中的系数。 (2)待定系数法：选择适当的直线方程设出 目标方程，构造关于系数的方程 ( 组 ) 求系 数。
直线 PB 的斜率
02 1 kPB＝ 3 (1) ＝－ .
2
当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)； 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时， 它的斜率 1 －∞，－ 2. 的变化范围是 1 －∞，－ 2 ∪[5， ∴直线 l 的斜率的取值范围是 ＋∞)．
3.过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴， 方程为 x x1； (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴， 方程为 y y1 ； (3)若 x1＝x2＝0， 且 y1≠y2 时， 直线即为 y 轴， 方程为 x=0 ； (4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，方程为 y=0 .
a＝5， b＝－2.
解
y x y 故所求直线 l 的方程为 5＋4＝1 或5＋ ＝1. －2 －2 即 8x－5y＋20＝0 或 2x－5y－10＝0.
x
变式训练 3 直线 l 经过点 P(3,2)，且与 x、y 轴 的正半轴交于 A、 B 两点， 且△AOB 的面积 最小(O 为坐标原点)，求直启迪：选择适当的直线方程形式，把所 需要的条件求出即可．
变式训练 2 在△ABC 中，已知 A(5，－2)、 B(7,3)，且 AC 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边 的中点 N 在 x 轴上，求： (1)顶点 C 的坐标； (2)直线 MN 的方程．
解 BC
5 ＋ x y － 2 0 0 (1)设 C(x0， y0)， 则 AC 中点 M ， ， 2 2 7 ＋ x y ＋ 3 0 0 中点 N . ， 2 2
审题视角
(1)题目已告诉直线斜率为 k， 即斜
率存在．(2)从题意上看，斜率 k 可以为 0，也 可以不为 0，所以要分类讨论．
批阅笔记
(1)求直线方程时， 要考虑对斜率
是否存在、截距相等时是否为零以及相关位 置关系进行分类讨论． (2)本题是对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨 论．易错点是忽略 k＝0 的情况．
变式训练 1 已知两点 A(3,2), B(1,0) ，过点 P(3,4)
的直线 l 与线段 取值范围。
AB 有公共点，求直线 l 的斜率的
． 【答案】
1 [ 1, ] 2
本题型小结
包括垂直取两边，没有垂直取中间
题型二 例2
求直线的方程
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点 P(3,2)， 且与直线 x 3 y 1 0 平行； (2)过点 A( －1 ，－3)，倾斜角是 直线 y＝2x 的
0 3 0 或x 3 y 3 。
题型分类深度剖析 题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 已知直线 l 过点 P(－1,2)， 且与以 A(－2， － 3)，B(3， 0)为端点的线段相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
解 方法一 如图所示，直线 PA 的斜率 2 (3) kPA＝ 1 (2) ＝5，
基础自测 1．过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为________ ． 1
解析 m－4 ∵kMN＝ ＝1，∴m＝1. －2－m
2．若点 A(4,3)， B(5，a)， C(6,5)三点共线， 则 a 的值为______ 4 ．
解析 5－3 a－3 ∵kAC＝ ＝1，kAB＝ ＝a－3. 6－4 5－4