高一函数经典难题讲解.

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10道高中函数难题(详解版)

（3）
由，则，
，当且仅当时，等式成立.
① 时，，，
② ，，，
综上：当且仅当时等式成立.
【点睛】
本题考查了新定义问题，考查了数学阅读能力，考查了分类讨论问题，考查了数学运算能力.
8．（1）（2）3.
【解析】
【分析】
将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.
【详解】
因为
又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.
又，故排除C.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可.
6．（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对求导，可得，单调递增，得到最小值，从而得到的值.
，
如图所示：
【点睛】
本题考查绝对值函数的图像的画法，绝对值函数需先将绝对值去掉，再分段画出图像．属于基础题．
10．325
【解析】
【分析】
利用可得，再利用等差数列求和公式，即可求出结果．
【详解】
因为，
所以
，
……
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求抽象函数的函数值，关键是利用已知将变形转化，属于中档题．
10道高中函数难题突破（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（）
A． B． C．1D．4

人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)

人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。

我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。

注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。

例1 函数322--=x x y 的零点是（）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。

利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。

为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。

例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。

2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点；当函数值由负变为正时必定经过一个零点。

由此概括得到函数零点存在的判定方法。

如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。

高一数学常见难点解析

高一数学常见难点解析在高一的数学学习过程中，很多同学常常会遇到一些难点和困惑。

针对这些常见难点，本文将进行解析，并给出相应的解决方法，帮助同学们更好地应对数学学习中的挑战。

难点一：函数与方程函数与方程是高一数学中的重点和难点。

其中，函数的概念、性质和应用，以及一元二次方程的解法都是学生们容易混淆和出错的地方。

在理解函数的概念时，同学们应该注意函数的定义域和值域，以及函数图像的特征。

在解题过程中，要善于利用函数的性质，如奇偶性、单调性、周期性等。

对于一元二次方程的解法，同学们应该熟练掌握求根公式的应用，并注意解的存在性和唯一性。

难点二：平面几何在平面几何中，三角形、四边形和圆的性质及相关定理是高一数学的又一个难点。

同学们容易混淆各种定理，难以理解其证明和应用。

对于三角形，同学们应该熟悉各种三角函数的定义和性质，掌握常用的三角恒等式，并能够灵活运用正弦定理、余弦定理和面积公式等解题。

在学习四边形时，同学们需要理解各种四边形的性质和判定条件，掌握解题的关键步骤和技巧。

对于圆的学习，同学们应掌握圆的性质和相关定理，如切线、弦长和圆心角的关系等。

难点三：数列与集合数列和集合是高一数学中的抽象概念，对于初学者来说往往难以理解和应用。

在学习数列时，同学们需要掌握数列的定义、通项公式和递推关系，能够准确计算数列的前n项和等问题。

此外，同学们还需理解数列的收敛性、极限和无穷等概念，并能够应用到实际问题中。

在集合的学习中，同学们应熟悉集合的定义、表示和运算法则，能够灵活应用集合的性质解题。

对于集合的化简、交集、并集和差集等操作，同学们需要严谨地进行推理和演算。

难点四：解析几何解析几何是高一数学中的一大难点，涉及直线、曲线和图形的分析与运算。

在学习直线和曲线时，同学们应该熟悉直线的方程和曲线的一般方程，能够根据已知条件确定直线和曲线的方程，并且灵活应用直线与曲线的性质解题。

对于图形的分析与运算，同学们需要掌握平移、旋转、对称等变换的概念和性质，能够准确描述和判断图形的位置关系、相似关系和全等关系。

高一函数经典难题讲解

高一函数经典难题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。

a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。

高一数学知识点难题及解答

高一数学知识点难题及解答随着高中学习的深入，数学作为一门理科学科，对于学生来说常常是最令人头疼的。

特别是在高一这个阶段，新的数学知识点和难题不断涌现。

本文将围绕高一数学知识点中的几个难题展开讲述，并提供相应的解答。

一、平方根的处理问题高一数学中，平方根的处理经常会对学生造成困扰。

在计算平方根时，首先需要明确一个原则：不能直接对负数开平方。

因此，当题目中出现像√(-16)这样的表达时，我们首先要做的是将其转化成复数的形式。

通过定义我们知道，√(a × b) = √a × √b。

因此，我们可以将√(-16)转化为√(-1) × √16。

根据定义√(-1) = i，其中i是虚数单位。

所以√(-16) = i × 4 = 4i。

二、函数的复合问题在高一数学中，函数的复合也是一个常见的难点。

当两个函数进行复合运算时，很多学生容易弄混运算的顺序。

以f(x) = 2x + 1和g(x) = x^2为例，我们可以先求f(g(x))。

首先将g(x)代入f(x)的表达式中，得到f(g(x)) = 2(g(x)) + 1 = 2(x^2) + 1。

类似地，我们也可以求g(f(x))。

将f(x)代入g(x)的表达式中，得到g(f(x)) = (f(x))^2 = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1。

通过这个例子，我们可以看到函数的复合运算顺序的影响。

因此，在解题过程中，要注意先执行内层函数的运算，再执行外层函数的运算。

三、不等式的求解问题在高一数学中，不等式的求解是一个需要注意的难点。

首先，我们要掌握不等式的性质：等号两边同时加（减）一个数时，不等号不变；等号两边同时乘（除）一个正数时，不等号不变；等号两边同时乘（除）一个负数时，不等号反向。

以2x - 5 > 3为例，我们首先将不等式转化成等价的形式：2x -5 - 3 > 0，即2x - 8 > 0。

高一函数经典难题讲解

高一函数经典难题讲解2、已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称，可得：f(-x)=log3[1-m(-x+2)/(-x-3)]=log3[1+m(x+2)/(x+3)]因为f(-x)=-f(x)，所以有：log3[1-m(x+2)/(x-3)]=-log3[1+m(x+2)/(x+3)]即：log3[(1-m(x+2)/(x-3))(1+m(x+2)/(x+3))]=-1化简得到：m=23、当x∈（3,4）时，有：f(x)=log3[1-m(x+2)/(x-3)]=log3[(x-3-m(x+2))/(x-3)]因为m=2，所以有：f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]因此，f(x)的值域为(-∞,log3(4/3))4、对于f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]，求导可得：f'(x)=1/(x-7)-1/(x-3)当x>7时，f'(x)<0，即f(x)单调递减；当30，即f(x)单调递增；因此，f(x)在定义域内为单调函数。

1.给定方程u(t) = (a-1)t^2 - 4/3at - 1 = 0，要求找出唯一的正根。

因为两个函数图像只有一个公共点，所以问题转化为寻找这个正根。

当a=1时，方程没有正根；当△=0时，a=3/4或a=-3，其中a=3/4时，t=-1/2，a=-3时，t=1/2.如果方程有一个正根和一个负根，那么(a-1)×u(0)。

1.综上所述，a=-3或a>1.2.给定方程f²(x) + bf(x) + c = 0，要求确定它有五个根的充要条件。

首先，我们分析函数f(x)的图像，发现当f(x)=1时，有三个对称的x值，除了x=2之外还有两个。

当f(x)≠1时，有两个对称的x值。

因此，满足f²(x) + bf(x) + c = 0的f(x)有两个，一个对应三个x值，另一个对应两个x值。

数学高考函数难题知识点

数学高考函数难题知识点数学高考中，函数难题一直是考生们头疼的问题之一。

要想攻克这些难题，首先需要熟练掌握相关的函数知识点。

本文将为大家分享几个常见的数学高考函数难题知识点，希望对广大考生有所帮助。

一、函数的定义域和值域在解函数相关题目时，首先需要确定函数的定义域和值域。

对于一元函数来说，定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

而对于二元函数来说，定义域是两个自变量的取值范围的交集，值域则是因变量的取值范围。

掌握函数的定义域和值域，有助于解答一些关于函数取值范围的题目。

二、函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性等。

当函数满足某种性质时，可以用来简化计算过程或者推导其他结论。

例如，若一函数为偶函数，则其图像关于纵轴对称。

而若一函数为周期函数，则可以通过求解其周期来得到更简洁的表示形式。

理解和掌握函数的性质，对于解答函数难题起到极大的帮助作用。

三、函数的性态分析函数的性态分析是解决函数难题的重要方法之一。

通过分析函数在定义域内的单调性、凹凸性和极值点等信息，可以确定函数的相关特征，进而解答相关题目。

例如，若一函数在某区间内严格单调减少，则可以推断其在该区间内不存在零点。

而若一函数在某区间内凹，则可以推断其相邻两个零点之间必存在一极值点。

熟练掌握函数的性态分析方法，可以提高解答函数难题的效率。

四、函数的初等变换函数的初等变换是用来改变函数形式，从而方便计算和推导结论的方法。

常见的初等变换包括平移、伸缩、取反等。

掌握这些初等变换的规律，可以在解答函数难题时灵活运用。

例如，若要求解一个函数在某点的导数，可以通过平移和取反等初等变换，将函数转化为我们更熟悉的形式，从而方便计算。

五、函数的综合运用函数的综合运用是数学高考中经常出现的考点。

这类题目往往需要将多个函数知识点相互结合，进行推导和计算。

例如，求解一个复杂函数的最值时，可能需要同时考虑定义域、性质、性态分析等多个方面的知识。

因此，要想解答好这类题目，需要对函数的相关知识点进行深入理解，并且能够将这些知识点有机地结合起来。

数学高一必修一函数经典题目讲解

数学高一必修一函数经典题目讲解
函数是数学中的一个重要概念，它是一种把一个变量的值映射到另一个变量的
值的关系。

高一必修一函数经典题目是数学学习中的重要内容，下面就来讲解一下。

首先，要了解函数的定义，函数是一种特殊的数学关系，它把一个变量的值映
射到另一个变量的值。

函数的定义可以用一个公式来表示，例如：y=f(x)，其中x
是自变量，y是因变量，f(x)是函数。

其次，要了解函数的分类，函数可以分为一元函数、二元函数、多元函数等。

一元函数是指只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；二元函数是指有两个自变量
的函数，例如z=f(x,y)；多元函数是指有多个自变量的函数，例如w=f(x,y,z)。

再次，要了解函数的性质，函数的性质是指函数的特征，例如函数的单调性、
函数的奇偶性、函数的最值等。

函数的单调性是指函数的值随着自变量的变化而变化，函数的奇偶性是指函数的值随着自变量的变化而变化，函数的最值是指函数的最大值和最小值。

最后，要了解函数的应用，函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在经济学中，可以用函数来描述供求关系；在物理学中，可以用函数来描述物体运动的轨迹；在工程学中，可以用函数来描述工程系统的运行状态等。

以上就是关于高一必修一函数经典题目的讲解，函数是数学学习中的重要内容，要深入了解函数的定义、分类、性质和应用，以便更好地掌握函数的知识。

人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)

我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。

注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。

例1 函数322--=x x y 的零点是（）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。

为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。

例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。

由此概括得到函数零点存在的判定方法。

高一函数重难点突破(复习知识)

高一函数重难点突破一、求复合函数的定义域的四种题型 1.已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域2.已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域例2已知f(3-2x)的定义域为x ∈[-1,2], 求函数f(x)的定义域3.已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域例3若函数f(2x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2x)的定义域4.已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<，此时函数()x h 的定义域为{x|a+m }*注* 定义域指的是自变量x 的取值范围；同一个对应关系f 作用下（）的范围一样；定义域写成集合的形式，区间也是集合的一种表示方法二、求函数解析式的六种题型1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f2.配凑法或换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。

[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 （1）已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f3.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

高中数学必修1函数难题突破(含解析)

1必修I 重点、难点突破----------函数的性质、图象、思想的综合应用一、函数综合问题概述必修I 第一章我们学习了函数的基本性质：单调性与奇偶性，第二章我们学习了三个基本初等函数，第三章我们学习了函数零点以及函数模型。

将以上知识综合起来命题，这样的题目叫做函数综合题。

综合题的特点：1、解决一道题需要掌握多个知识点；2、解决一道题需要找到多个知识的联系点。

3、运算往往较复杂。

5、这类问题一般以初等函数（尤其是指数对数）为载体，运用函数思想、方程思想、转化思想结合函数性质配以图象解决。

二、函数综合问题举例例1、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【解析】：因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c .例2、若函数为奇函数,则使不等式成立的的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】：函数为奇函数,,即,不等式,即不等式,在上单调递减, , , 故选B．例3、已知函数的图象关于原点对称,其中为常数．求的值；当时,恒成立,求实数的取值范围；若关于的方程在上有解,求的取值范围．【解析】：函数的图象关于原点对称,函数为奇函数,,即在定义域内恒成立,所以,即在定义域内恒成立, 所以,解得：或舍,所以,当时,,时,恒成立,；由得：,即,即,即在上有解,在上单调递减,,则的值域是,．即k的取值范围为．例4、已知定义域为R的函数,是奇函数．2Ⅰ求a,b的值；Ⅱ若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围．【解析】：Ⅰ因为是奇函数,所以,即,, 又由知．所以,．经检验,时,是奇函数．Ⅱ由Ⅰ知,易知在上为减函数．又因为是奇函数,所以等价于,因为为减函数,由上式可得：．即对一切有：,从而判别式．所以k的取值范围是．例5、已知函数为R上的偶函数,为R上的奇函数,且．求,的解析式；若函数在R上只有一个零点,求实数a的取值范围．【解析】：：因为,,,由得,．由．得：,令,则,即方程只有一个大于0的根, 当时,,满足条件；当方程有一正一负两根时,满足条件,则,,3当方程有两个相等的且为正的实根时,则,,舍时,,综上：或．例6、设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为A. B.C. D.【解析】：函数的图象如图,关于x的方程恰好有六个不同的实数解,令,则有两个在的不同的解,所以,解得．故选A．三、函数综合问题训练41.已知函数满足,若函数与图象的交点为,,,,则( )A. 0B. mC. 2mD. 4m【解析】：函数满足,即为,可得关于点对称,函数,即的图象关于点对称,即有为交点,即有也为交点,为交点,即有也为交点, 则有．故选B．2.已知函数则函数的零点个数为( )A. 1B. 3C. 4D. 6【解析】：令,当时,,解得,,当时,,解得,综上解得,,,令,作出图象如图所示：由图象可得当无解,有3个解,有1个解,56综上所述函数的零点个数为4,故选C ．3. 已知函数是定义域为R 的偶函数,当时,,若关于x 的方程 ,有且只有7个不同实数根,则实数a 的取值范围是 A.B.C.D.【解析】：由题意, 在和上是减函数,在和上是增函数, 时,函数取极大值1, 时,取极小值,时, ,关于x 的方程、有且只有7个不同实数根, 设 ,则方程必有两个根 , ,其中 ,,,则．故选A ．已知函数,函数 ,其中 ,若函数恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) A.B.C.D.【解析】： ,,由 ,得 , 设 , 若 ,则 , ,则,若,则,,则,若,,,则即,作出函数的图象如图：当时,,当时,,故当时,,有两个交点,当时,,有无数个交点,由图象知要使函数恰有4个零点,即恰有4个根,则满足,故选D．4.已知函数且在上的最大值与最小值之和为20,记．求a的值；证明；求的值．【解析】：函数且在上的最大值与最小值之和为20,而函数且在上单调递增或单调递减,,得,或舍去,证明：,由知,,, ,7．5.函数当时求该函数的值域；若对于恒成立,求m的取值范围．【解析】：解, 令,时,,此时,当时,y取最小值,当时,y取最大值1,即函数的值域为：；若对于恒成立,令,即对恒成立,对恒成立,易知在上单调递增,,．6.已知,函数．当时,解不等式；若关于x的方程的解集中恰有一个元素,求a的值；设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围．【答案】解：当时,不等式化为：,,化为：,解得,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：．方程即,,化为：,若,化为,解得,经过验证满足：关于x的方程的解集中恰有一个元素1．8若,令,解得,解得经过验证满足：关于x的方程的解集中恰有一个元素1．综上可得：或．,对任意,函数在区间上单调递减,,,化为：,,,在上单调递减,时,取得最大值,．．的取值范围是．9。

高一函数比较大小难题及解析

高一函数比较大小难题及解析摘要：1.高一函数比较大小难题概述2.解题方法与策略3.实例分析与解答4.总结与建议正文：【高一函数比较大小难题概述】高一函数比较大小难题是数学学习中的一种常见题型。

这类题目主要考察学生对函数性质、函数图像以及函数解析式的理解和掌握，旨在培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

为了更好地解决这类题目，我们需要掌握一些基本的解题方法和策略。

【解题方法与策略】1.熟悉函数的基本性质：了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，这些性质在比较大小的题目中具有重要意义。

2.学会利用函数图像：函数图像能够直观地反映函数的走势，通过观察图像可以快速判断函数值的大小关系。

3.熟练掌握函数解析式：熟练掌握函数的解析式，可以方便地计算函数值，为比较大小提供依据。

4.分析法：通过分析函数的性质和条件，逐步推导出函数值的大小关系。

5.比较法：将函数值进行直接比较，找出大小关系。

【实例分析与解答】例1：已知函数f(x)=x^2-2x+1，求证：f(x)在区间[0,1]上单调递增。

解析：首先，我们可以通过求导数来判断函数的单调性。

f"(x)=2x-2。

当x∈[0,1]时，f"(x)≥0，说明函数在区间[0,1]上单调递增。

例2：比较函数f(x)=x^2与g(x)=2x+1在区间[0,+∞)上的大小。

解析：我们可以通过绘制两个函数的图像来直观地比较它们的大小。

从图像可以看出，在区间[0,+∞)上，f(x)=x^2的函数值始终大于g(x)=2x+1的函数值。

【总结与建议】1.掌握函数的基本性质，提高解题速度。

2.学会利用函数图像进行分析，增强解题直观性。

3.熟练运用比较法、分析法等解题方法，提高解题技巧。

4.多做练习，积累经验，提高解题能力。

高一数学难题知识点

高一数学难题知识点
一、二次函数与解析几何
1. 二次函数的定义与基本性质
- 二次函数的标准形式与一般形式
- 顶点、对称轴以及开口方向的确定
- 利用顶点坐标求二次函数的解析式
- 二次函数的图像与性质分析
2. 解析几何中的二次函数应用
- 二次函数与平面直角坐标系
- 二次函数的平移与伸缩
- 二次函数与几何图形的关系
- 二次函数与最值问题的应用
- 二次函数与解析几何中的直线、圆的关系
二、三角函数与三角恒等变换
1. 基本三角函数的定义与性质
- 正弦、余弦、正切的定义
- 三角函数的周期性与奇偶性
- 三角函数的正负关系
- 三角函数的单调性与最值
2. 三角函数的图像与性质分析
- 正弦函数与余弦函数的图像
- 正切函数与余切函数的图像
- 三角函数的图像变换与应用
3. 三角恒等变换的运用
- 三角函数的基本恒等式
- 三角函数的和差化积、积化和差
- 利用三角恒等式简化复杂的三角函数表达式 - 利用三角恒等式解三角方程
三、数列与数列极限
1. 等差数列与等比数列
- 等差数列的定义与性质
- 等比数列的定义与性质
- 等差数列与等比数列的通项公式
- 等差数列与等比数列的前n项和公式
2. 数列极限的定义与性质
- 数列极限的基本概念
- 数列极限的收敛性与发散性
- 数列极限存在性的判定准则
- 利用夹逼定理求数列极限
3. 数列极限的应用
- 数列极限与函数极限的关系
- 利用数列极限证明数学恒等式
- 利用数列极限解决实际问题。

高一数学函数难题汇编(含解析)

高一数学函数难题汇编(含解析)一．选择题（共12小题）1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．C．D．2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）3．定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]4．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f（x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．46．函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）7．已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+8．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）10．已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）11．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1112．已知函数，其中m＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．二．填空题（共7小题）13．设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．14．若正数x，y满足=1，则的最小值为．15．已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为．16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x ﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．17．已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于．18．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．19．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为．三．解答题（共11小题）20．已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．23．已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．24．已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．25．已知a∈R，函数f（x）=．（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．26．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．27．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．28．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．29．已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．30．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．2018高一数学必修一（难）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋•渝中区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．C．D．【解答】解：由题意知，f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数．若x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]，∵当x∈[﹣1，0]时，，∴当x∈[0，1]时，，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=，即f（x）=．∵函数，∴g（x）=，作出函数f（x）和g（x）的图象如图：当﹣1＜x＜0时，由=，则，由选项验证解得x=，即此时不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为﹣1＜x＜，∵函数g（x）关于x=﹣1对称，∴不等式式f（x）＜g（x）的解为﹣1＜x＜或＜x＜﹣1，即不等式的解集为（，﹣1）∪（﹣1，），故选：D．2．（2016秋•通渭县期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f （x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x3，①∴当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，又f（x）为定义在R上的奇函数，∴﹣f（x）=﹣x3，∴f（x）=x3（x＜0），②综合①②知，f（x）=x3，x∈R．又f′（x）=3x2≥0，∴f（x）=x3为R上的增函数，∴不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立⇔﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立，即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，∴，解得：m＜﹣．故选：A．3．（2016秋•宜春期末）定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x ∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]【解答】解：当x∈[0，2）时，∈[﹣，0]∪[﹣1，﹣]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（）=﹣1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴f（x）=f（x+2），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（）=﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（﹣）=﹣若x∈[﹣4，﹣2]时，恒成立，∴﹣≥恒成立．即≤0，则0＜t≤1，故选：C．4．（2016春•琅琊区校级期末）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f （x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）【解答】解：f（x）===2+，①若t=2，则f（x）=2，此时f（x）构成边长为2的等边三角形，满足条件，设m=tanx，则m=tanx＞0，则函数f（x）等价为g（m）=2+，②若t﹣2＞0即t＞2，此时函数g（m）在（0，+∞）上是减函数，则2＜f（a）＜2+t﹣2=t，同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，则4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得4≥t，解得2＜t≤4．③当t﹣2＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜2，同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，则2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥2，解得1≤t＜2．综上可得，1≤t≤4，故实数t的取值范围是[1，4]；故选：A5．（2015秋•菏泽期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f （x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0；∵f（x）是定义在R上的奇函数；∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（1+x）]=x（1+x）；由，且得：，，，…；∴数列{a n}是以3为周期的周期数列；∴a2015=a671×3+2=a2=2，a2016=a671×3+3=a3=﹣1；∴f（a2015）+f（a2016）=f（2）+f（﹣1）=2（1+2）+（﹣1）（1+1）=4．故选：D．6．（2015秋•吉安期末）函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）【解答】解：当0≤x≤4时，函数f（x）在[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=，当4≤x≤8时，0≤x﹣4≤4，即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（6）=，当8≤x≤12时，4≤x﹣4≤8，即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（10）=，作出函数f（x）的图象如图，要使当x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则m＞0，设g（x）=，则满足，即，即，即m≥3，故选：B．7．（2015秋•杭州校级期末）已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴不等式a（x+y）≥x+等价为a≥=，令，∴a≥，令u=，∴u′=令u′=0，∴t=﹣（负值舍去）∴函数在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减∴t=时，函数u=取得最大值为∴a≥∴实数a的最小值为故选：A8．（2016秋•沙市区校级期末）已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）=．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．x∈时，=2，解得x=．时，=2，解得x=1+．综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．故选：B．9．（2016春•重庆校级期末）已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）【解答】解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，∴g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），则g（x+2）=﹣g（x），即g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣g（x））=g（x），则函数g（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）=的定义域为[﹣1，1]，若1≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤﹣1，则0≤2﹣x≤1，此时g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣，当﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，则g（x）=g（﹣x）=﹣则由g2（x）=a（x+1）2得，当﹣2≤x≤﹣1时，1﹣（x+2）2=a（x+1）2，作出函数g（x）的图象如图：若方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则当a≤0时，不满足条件．则当a＞0时，方程等价为g（x）=±=|x+1|，则当x=﹣1时，方程g（x）=|x+1|恒成立，此时恒有一解，当直线y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）相切时，此时方程g（x）=|x+1|有6个交点，不满足条件．当y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=|x+1|有三个交点，此时直线方程为x+y+=0，满足圆心（﹣4，0）到直线x+y+=0，的距离d=＞1，即＞1，即3＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，故选：A10．（2016秋•荆门期末）已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，∴f（n）=sinnπ=0，f（）=sin=1，f（）===，f（）===，…；画出图形如图所示；当b∈（，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2个交点；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有4个交点；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有6个交点；…；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2016个交点．故选：D．11．（2015秋•汕头校级期末）已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．12．（2015秋•衡水校级期末）已知函数，其中m ＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，∵函数f（x）=f（x+4），∴函数的周期是4，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则等价为f（x）=恰有5个根，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（，），故选：A．二．填空题（共7小题）13．（2017春•杭州期末）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设k=2x﹣1，则x=，则===（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）14．（2016春•沙坪坝区校级期末）若正数x，y满足=1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数x，y满足+=1，∴=1﹣=，∴（y＞1），∴x﹣1=（x＞1）．则+=（y﹣1）+≥2=2，当且仅当y﹣1=，即y ﹣1=时取等号．∴的最小值为2．故答案为：215．（2016秋•武昌区校级期末）已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x ﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为（）∪（）．【解答】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+，则φ=+，k∈Z．验证φ=+，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]=sin[（x﹣k﹣）π]+cos[（x﹣k﹣）π]=sin（πx﹣）+cos（）=为奇函数．∴φ=+，k∈Z．∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，∴满足|log aφ|＜1的φ有2个，即满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．分别取k=0，1，2，3，得到φ=，，，，若0＜a＜1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个；若a＞1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．则a的取值范围为（）∪（）．故答案为：（）∪（）．16．（2016秋•清城区期末）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．17．（2016春•扬州期末）已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于2ln2﹣ln3．【解答】解：由f（x）=e x得：f（m+n）=f（m）f（n），∵f（m+n）=f（m）+f（n），∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，则f（m）、f（n）是x2﹣tx+t=0的解，∵△=t2﹣4t≥0，∴t≥4或t≤0（舍去）．又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），∴tf（p）=t+f（p），∴f（p）==1+（t≥4），显然t越大，f（p）越小，∴当t=4时，f（p）取最大值，又f（p）=e p，∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p max=ln=2ln2﹣ln3．故答案为：2ln2﹣ln3．18．（2016秋•江岸区校级期末）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f （x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．19．（2016春•盐城期末）已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为7．【解答】解：显然g（x）=（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有f（p）＞g（p）．当x＞1时，＞，∴k＜，设t=x﹣1（t＞0），则==2（t++2）≥8，∴k＜8∴k≤7．下面证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）⇔﹣ln（1﹣x）＞0．令ψ（x）=﹣ln（1﹣x）（0＜x＜1），则ψ′（x）=﹣+＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，于是ψ（x）＞0．同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=∈（0，+∞）．当x∈（0，1）时，f（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n）．综上所述，正整数k的最大值为7．故答案为：7．三．解答题（共11小题）20．（2016秋•惠来县校级期末）已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．【解答】解：（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即log a+=0∴，解得：m=±1，当m=﹣1时，f（x）无意义，所以，故得m的值为1．（2）由（1）得，设2＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=∴2＜x1＜x2，∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．（3）由（1）得，∴得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又∵，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）令f（x）=1，则=，解得：．所以：f（）=1当a＞1时，＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣2=，解得：a=5．所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2．21．（2016秋•无锡期末）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos（+）=cos2x，当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|===2cosx，则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．22．（2016秋•义乌市期末）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．【解答】解：（1）a=c＞0，f（1）=1，则a+b+a=1，b=1﹣2a，∴f（x））=ax2+（1﹣2a）x+a=a+，当1﹣≤﹣2，即0＜a≤时，g（a）=f（﹣2）+f（2）=10a；当﹣2＜1﹣≤0，即＜a≤时，g（a）=f（1﹣）+f（2）=a﹣+3，当a＞时，g（a）=f（1﹣）+f（﹣2）=9a﹣﹣1，综上所述，g（a）=；（2）函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点x1，x2，则x1+x2=﹣＜0，＞x1x2=＞0∴a＞16c，由根的分布可知f（﹣）=a﹣b+c＞0，即a+16c＞4b，∵a，b，c为正整数，∴a+16c≥4b+1f（0）=c＞0，△＞0，b，∴a+16c＞8+1，可得（）2＞1，∵a＞16c，∴＞1，∴，∴a＞25，∴a≥26，∴b≥，∴b≥11，c≥1．f（x）=26x2+11x+1，经检验符合题意，故a+b+c的最小值为38．23．（2016秋•佛山期末）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足题意．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：3个．24．（2016秋•海安县校级期末）已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，∵f（x）＞1，即＞1，∴0＜2x＜1，解得x＜0．（2）y=2f（x）﹣f（2x）=，∴函数y=2f（x）﹣f（2x）的定义域为{x|x≠log2a，且x≠log2a}．令y=0得22x+1﹣2x﹣a=0，令t=2x（t＞0，且t≠a，t），方程为2t2﹣t﹣a=0，△=1+8a＞0，若a=1，t=1或﹣，方程无解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为0若0＜a＜1或a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为2；（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即﹣≤1，∴22t+1﹣（3a+1）•2t+a2≥0，设x=2t（x＞0），则2x2﹣（3a+1）x+a2≥0，∴△≤0或，∴a≤﹣．25．（2016秋•西陵区校级期末）已知a∈R，函数f（x）=．（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（2）=﹣3，∴log2（+a）=﹣3=log2，∴+a=，解得a=﹣（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥+4=，∴=≤=，∴实数a的取值范围是a≥26．（2016秋•徐汇区期末）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=，可知函数f（x）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f（）=，f（4）=12，所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．（2）f（x）=，①当x≥a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t•f（a）＜时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜=（a++4）．令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是（1，）．27．（2016春•信阳期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，，所以，，在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=所以OM=所以：MN=ON﹣OM=所以y=即：y=3sinθcosθ﹣sin2θ，（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=3sinθcosθ﹣sin2θ=﹣=）﹣=∵θ∈（0，）∴∴sin（）∈∴，即时，y的最大值为．此时ON=cos==，则•=||•||cos=×=．（Ⅲ）若矩形PNMQ的面积y≥，则≥，即sin（）≥，则sin（）≥，∵∴≤≤，即≤θ≤，则对应的概率P==28．（2016春•苏州期末）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，…（1分）当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；…（3分）当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；…（5分）综上，x∈．…（6分）（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…（7分）当0＜a＜2时，，则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max{f（），f（2）}，…（9分）而，f（2）=4﹣2a，令即，解得，所以当时，F（a）=4﹣2a；…（11分）令即，解得或，所以当时，；…（12分）当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，当即2≤a＜4时，f（x）在间上是增函数，在上是减函数，则；…（13分）当，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…（14分）所以，，…（16分）29．（2015秋•黄浦区校级期末）已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即log a=﹣log a，可得•=1，即p2﹣x2=4﹣x2，即p2=4，解得p=2（﹣2舍去），即有f（x）=log a，当a＞1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递减；当0＜a＜1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递增．（2）由（1）得f（x）=log a，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又≠1，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），令f（x）=1，则log a=1，解得x=．所以：f（）=1，当a＞1时，＞2，此时f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣3=，解得：a=3+2．所以：当x∈（r，a﹣3），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为3+2和2；（3）假设h（x）=﹣m（x+2）﹣2即h（x）=﹣m（x+2）﹣2，存在实数m使得函数y=h（x）有零点．由题意可知，方程=m（x+2）+2在{x|x≥﹣2且x≠2}中有实数解，令=t，则t≥0且t≠2，问题转化为关于t的方程mt2﹣t+2=0①，有非负且不等于2的实数根．若t=0，则①为2=0，显然不成立，故t≠0，方程①可变形为m=﹣2（）2+，问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，因为t≥0且t≠2，所以＞0且≠，所以m=﹣2（）2+∈（﹣∞，0）∪（0，]，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，]．30．（2015秋•无锡校级期末）已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[1，3]，则k=m++2，则k=m++2在m∈[1，3]上递增，则当m=1时，k=1+1+2=4，当m=3时，k=3++2=，∴4≤m++2≤，即4≤k≤，即实数k的取值范围是4≤k≤；（3）若H（x）=，则H（x）==，则H（x）+H（1﹣x）=+=+=+=1，设H（）+H（）+H（）+…+H（）=S，H（）+H（）+…H（）+H（）=S，两式相加得2015[H（）+H（）]=2S，即2S=2015，则S=．。

(完整)高中数学难题

(完整)高中数学难题高中数学难题概述随着高中数学教育的深入，我们不可避免地会遇到一些具有较高难度的数学难题。

这些难题旨在考察我们对于数学知识的理解和应用能力。

本文将介绍一些高中数学中的难题，希望能帮助读者更好地理解和解决这些问题。

难题一：三角函数的应用问题描述：已知函数$f(x) = \sin(x) + \cos(x)$，求函数$f(x)$的最大值和最小值。

解题思路：首先，我们需要了解正弦函数和余弦函数的定义域、值域以及图像特征。

通过观察，我们发现这是一个三角函数的求和问题，且两个三角函数系数相同。

由于正弦函数和余弦函数的幅值都在-1和1之间，因此它们的和的最大值应为2，最小值应为-2。

因此，函数$f(x)$的最大值为2，最小值为-2。

难题二：平面几何的证明问题描述：在平面内，有一个正方形ABCD，E是正方形内的一个点，连接AE、BE、CE和DE，证明四边形ABED是一个菱形。

解题思路：首先，我们需要了解菱形的性质。

菱形的定义是四条边相等，且对角线互相垂直。

我们可以通过欧几里得几何的定理以及垂直定理来证明这个结论。

首先，我们可以利用正方形的性质证明四边形ABED的对角线互相垂直。

然后，我们用欧几里得几何的定理证明四个边长相等，由此可得四边形ABED是一个菱形。

难题三：概率与统计中的组合问题问题描述：班里有8个男生和6个女生，从中抽选出4个人组成一个小组，其中必须至少有1个男生和1个女生。

求组成小组的方法数。

解题思路：这是一个组合问题，要求我们从12个学生中抽选4个人组成一个小组。

我们可以分别考虑从男生和女生中选取人数的不同情况。

若选取一个男生和三个女生，组合方法数为${8 \choose 1} \times {6 \choose 3}$；若选取两个男生和两个女生，组合方法数为${8 \choose 2} \times {6 \choose 2}$；若选取三个男生和一个女生，组合方法数为${8 \choose 3} \times {6 \choose 1}$。

高一数学难题解答2

22．已知函数f（x）=log2+log2（x﹣1）+log2（p﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．【考点】对数函数的图像与性质；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由题意解不等式组，求出即可，（2）分别讨论当1＜p＜3时，当p≥3时的情况，从而求出函数的值域．【解答】解：（1）由题意得：，解得：1＜x＜p，∴函数f（x）的定义域为（1，p）．（2）①当，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p﹣2，∴f（x）＜1+log2（p﹣1），函数f（x）的值域为（﹣∞，1+log2（p﹣1））；②当即p≥3时，，即，∴f（x）≤2log2（p+1）﹣2，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log2（p+1）﹣2）．综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，1+log2（p﹣1））；当p≥3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log2（p+1）﹣2）【点评】本题考查了对数函数的图象及性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．22．已知f（log a x）=x﹣（k∈R），且函数f（x）是定义域为R的奇函数，其中a＞0，且a≠1．（1）求k的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（1）=时，不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣ma x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数的单调性及单调区间．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出函数f（x），利用函数f（x）是定义域为R的奇函数，求k的值；（2）求导数，可得函数f（x）的单调性；（3）不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣ma x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，等价于不等式22x+2﹣2x＞m2x﹣m2﹣x，对任意x∈[1，+∞）均成立，分离参数，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=log a x，则x=a t，∴f（t）=a t﹣（k﹣1）a﹣t，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴a﹣x﹣（k﹣1）a x=﹣a x+（k﹣1）a﹣x，∴k﹣1=1，∴k=0；（2）f（x）=a x﹣a﹣x，∴f′（x）=lna（a x+a﹣x），a＞1，lna＞0，f′（x）＞0，函数在R上单调递增；0＜a＜1，lna＜0，f′（x）＜0，函数在R 上单调递减；（3）f（1）=时，a﹣=，∴a=2，函数在R上单调递增．不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣ma x）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，等价于不等式22x+2﹣2x＞m2x﹣m2﹣x，对任意x∈[1，+∞）均成立，设2x﹣2﹣x=t（t≥），则22x+2﹣2x=t2+2，∴m＜t+，∵t≥，∴t+≥，∴m＜．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．20．某种产品的成本f1（x）（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系是f1（x）=x2，该产品的销售单价f2（x）可以表示为关于年销量的一次函数，其部分图象如图所示，且生产的产品都能在当年销售完．（1）求f2（x）的解析式及定义域；（2）当年产量为多少吨时，所获利润s（万元）最大（注：利润=收入﹣成本）；并求出s的最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．【专题】数形结合；转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可设：f2（x）=kx+b（k≠0），由于图象经过点（0，3），（100，2）．代入解出即可得出．令f2（x）＞0，解得函数的定义域．（2）设年产量为x吨，s=x•f2（x）﹣f1（x）=﹣（x﹣75）2+，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可设：f2（x）=kx+b（k≠0），由于图象经过点（0，3），（100，2）．∴，解得，∴f2（x）=+3，令f2（x）=+3＞0，解得0＜x＜300，其定义域为（0，300）．（2）设年产量为x吨，s=x•f2（x）﹣f1（x）=﹣x2=+3x=﹣（x﹣75）2+，∴当x=75时，s取得最大值（万元）．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．已知函数f（x）=1﹣，判断f（x）的单调性并运用函数的单调性定义证明．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】证明：函数f（x）的定义域是：{x|x＞0}，设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣（1﹣）=﹣=＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．【点评】本题考查了通过定义证明函数的单调性问题，是一道基础题．24．对于函数f（x）=log x﹣a•log2x2，x∈[1，4]，a∈R．（1）求函数f（x）的最小值g（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n≥0；②当函数g（a）的定义域为[n，m]时，值域为[﹣m，﹣n]，若存在，求出所有满足条件的m、n的值；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用换元法求函数的最值．（2）根据二次函数图象和性质，结合定义域和值域之间的关系进行讨论即可．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，f（x）=t2﹣2at=（t﹣a）2﹣a2，当t=a，即x=2a时，f（x）min=g（a）=﹣a2．…（2）∵m＞n≥0，∴g（a）=﹣a2在[0，∞）上为减函数，…又∵g（a）的定义域为[n，m]，值域为[﹣m，﹣n]，∴﹣n2=﹣n，﹣m2=﹣m，∴m=n=1，这与m＞n≥0矛盾．故满足条件的m，n不存在．…【点评】本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，要求熟练掌握二次函数的图象和性质，属于中档题．19．已知函数，其中x∈（﹣4，4）（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（﹣4，4）上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k，使f（k﹣cosθ）+f（cos2θ﹣k2）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数单调性定义进行判断．（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）∵，∴f（x）是奇函数．…（2）任取=，∵16+4（x2﹣x1）﹣x1x2＞16﹣4（x2﹣x1）﹣x1x2＞0，∴∴f（x）在（﹣4，4）上的减函数；…（3）∵f（k﹣cosθ）≥﹣f（cos2θ﹣k2）=f（k2﹣cos2θ），∵f（x）是（﹣4，4）上的减函数对θ∈R恒成立由k﹣cosθ≤k2﹣cos2θ对θ∈R恒成立得：k﹣k2≤cosθ﹣cos2θ对θ∈R恒成立令，由﹣4＜k﹣cosθ＜4对θ∈R恒成立得：﹣3＜k＜3由﹣4＜cos2θ﹣k2＜4对θ∈R恒成立得：﹣2＜k＜2即综上所得：﹣2＜k≤﹣1所以存在这样的k其范围为﹣2＜k≤﹣1…18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】新定义；分类讨论；反证法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣【点评】本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（Ⅲ）若不等式f（2x+1）+f（k•2x+1+2k）＞0在区间[0，+∞）上有解，求实数k的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义建立方程关系即可求实数a的值；（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行判断即可；（Ⅲ）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式转化为恒成立问题，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（﹣x）+f（x）=+=+=（2x﹣1）（﹣）=．…∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0对任意x∈R恒成立，∴a=2．…（Ⅱ）f（x）==（﹣1），f（x）在R上为减函数．…下面证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（﹣）=…∵x1＜x2，∴2x2﹣2x1＞0，（1+2x1）（1+2x2）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2），∴f（x）为R上的减函数．…（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）为R上的减函数，且f（x）为奇函数，∴f（k•2x+1+2k）＞﹣f（2x﹣1）=f（﹣2x+1），∴k•（2x+1+2）＜﹣2x+1，即k＜=f（x）．…∵对x∈[0，+∞），[f（x）]max=f（0）=0，所以要使得不等式f（2x﹣1）+f（k•2x+1+2k）＞0有解，须有实数k＜[f（x）]max，即k的取值范围是k＜0．…【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，以及不等式的求解，利用定义法和参数分离法是解决本题的关键．22．已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由幂函数在（0，+∞）上为增函数且m∈Z求出m的值，然后根据函数式偶函数进一步确定m的值，则函数的解析式可求；（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=log a[f（x）﹣ax]，求出函数g（x）的定义域，由函数g（x）在区间[2，3]上有意义确定出a的范围，然后分类讨论使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2的a的值．【解答】解：（1）由函数在（0，+∞）上为增函数，得到﹣2m2+m+3＞0解得，又因为m∈Z，所以m=0或1．又因为函数f（x）是偶函数当m=0时，f（x）=x3，不满足f（x）为偶函数；当m=1时，f（x）=x2，满足f（x）为偶函数；所以f（x）=x2；（2），令h（x）=x2﹣ax，由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）∵g（x）在[2，3]上有定义，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x2﹣ax在[2，3]上为增函数．当1＜a＜2时，g（x）max=g（3）=log a（9﹣3a）=2，因为1＜a＜2，所以．当0＜a＜1时，g（x）max=g（2）=log a（4﹣2a）=2，∴a2+2a﹣4=0，解得，∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，综上，存在实数，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．【点评】本题考查了幂函数的单调性和奇偶性，考查了复合函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．。

高中函数难题

高中函数难题随着高中数学教育的深入，许多学生常常会陷入函数的各种难题当中，下面就来谈谈几种典型的难题及其解决方法。

一、函数的概念许多学生在研究函数的初期，常常会对函数的概念产生模糊甚至错误的理解。

函数是一种数学映射关系，他的核心在于输入和输出之间的对应关系。

我们可以用一张映射表来帮助学生理解函数。

此外，可以通过许多实际且简单易懂的例子来加深学生对函数的认识。

二、函数的图像函数的图像在高中数学中是一个非常重要的内容。

学生会遇到许多关于函数图像的问题，例如：如何画出函数图像、如何根据函数图像分析函数的性质等等。

解决这些问题的关键是建立学生对函数图像的直观感受，可以通过以下方法进行加强：勾画出函数的轨迹，观察函数的增减性质以及函数在区间上的取值情况。

三、函数的性质函数的性质是高中数学中需要掌握的一项重要知识。

学生会涉及到函数的单调性、奇偶性、周期性等等问题。

学生可以通过绘制函数图像和计算导函数来加深对函数性质的理解。

此外，许多初学者常常会混淆函数的基本性质，比如：函数极值和最值、函数单调性和单调递增性、函数周期和周期函数等等。

这些基本概念需要学生多加区分和体会。

四、常见函数的应用函数在实际中也是一个非常有用的工具。

学生会研究常见函数的应用，例如：一次函数的应用、二次函数的应用、幂函数的应用、指数函数的应用、对数函数的应用等等。

解决这些问题的关键是帮助学生建立函数与实际问题之间的联系，可以通过举例来讲解。

总之，函数虽然是一项较为抽象的高中数学内容，但只要掌握了一些有效的方法，便可以轻松应对各种难题。