第五章Nyquist稳定判据
合集下载
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
5.5Nyquist稳定判据
由于F（jw）与 G（jw）H（jw）这两个矢量之间相差1，
所以可以直接用系统开环的Nyquist轨迹来判断稳定性。
4、总结：
Nyquist稳定判据（系统稳定的充要条件）
①系统开环稳定，G j H j Nyquist曲线 不包围 1, j 0 点，系统闭环后稳定。 ②若系统开环不稳定，有q个特征根都在S
N S S 2n S n S p1 S p2 0
2 2
① 1 A
稳 定 1 状 2 态 p p1 2
Im
不 稳 j j 定 1 Re 状 2 0 0 p p2 1 态
2
Im
B
Re
N j 2
:0
A 20 1 2 1 (2 ) 2 1 (5 ) 2
0 tg 1 tg 1 2 tg 1 5
A 0 20 A 0
0 0 270
四、“穿越”与系统稳定性的判 定 （1）
2
:0
称米哈伊洛夫稳定定理
二、Nyquist稳定判据
1、开环特征方程式与闭环特征方程式的关系
FS 1 GSHS
F
KNS 令 G SHS DS
S
D S KN DS
S
DB DK
S S
K1 S S1 S S 2 S S n K 2 S p1 S p2 S pn
2
③无论开环稳定或不稳定，若闭环不稳定， 则系统闭环后在右半平面根的个数为Z ,则
Z q 2 N q 2( N N )
N ：开环 Nyquist曲线在实轴 (,1) 段的正 穿越次数， N 负穿越次数。
第五章频域法-奈奎斯特稳定判据2009
K s(s + 1)(0.1s + 1)
，K=2，判断闭环系统是否稳定。 K=2，判断闭环系统是否稳定。 闭环系统是否稳定
− 6(0.33s + 1) 有开环右极点。判断闭环系统是否稳定 闭环系统是否稳定。 ，有开环右极点。判断闭环系统是否稳定。 s (− s + 1)
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1)
说明： 说明： (s)包围原点的周数等于 (s)包围 点的周数。 包围原点的周数等于G 包围1）1+G0(s)包围原点的周数等于G0(s)包围-1点的周数。 的图像不包围2）若p=0,则G0(s)的图像不包围-1点。 p=0,则 (s)的图像不包围 ∞→+∞的图像 的图像。 3）只需画G0（jω）在ω从-∞→+∞的图像。 只需画G jω） (jω)与 jω)对称 只画ω 0→+∞的 (jω)图像 对称， 图像。 4）G0(jω)与G0(-jω)对称，只画ω从0→+∞的G0(jω)图像。 5）奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 的零点（ 6）D围线不经过F(s)=1+G0(s)的零点（闭环极点）和极点（开环极点）， 围线不经过F(s)=1+G (s)的零点 闭环极点）和极点（开环极点）， 若D围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” 围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” F(s)的极点 ），则改用 Nyquist 稳定判据： 稳定判据： 如果开环传函G (s)有 个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 如果开环传函G0(s)有p个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 连续变到+∞ +∞时 开环（幅相）频率特性图G jω）逆时针方向包围 当ω从-∞连续变到+∞时，开环（幅相）频率特性图G0（jω）逆时针方向包围 复平面上的-1点 圈 复平面上的 点p圈。 若系统不稳定，可求出右根的个数z= 若系统不稳定，可求出右根的个数 n+ p
，K=2，判断闭环系统是否稳定。 K=2，判断闭环系统是否稳定。 闭环系统是否稳定
− 6(0.33s + 1) 有开环右极点。判断闭环系统是否稳定 闭环系统是否稳定。 ，有开环右极点。判断闭环系统是否稳定。 s (− s + 1)
K s 2 (T1 s + 1)(T2 s + 1)
说明： 说明： (s)包围原点的周数等于 (s)包围 点的周数。 包围原点的周数等于G 包围1）1+G0(s)包围原点的周数等于G0(s)包围-1点的周数。 的图像不包围2）若p=0,则G0(s)的图像不包围-1点。 p=0,则 (s)的图像不包围 ∞→+∞的图像 的图像。 3）只需画G0（jω）在ω从-∞→+∞的图像。 只需画G jω） (jω)与 jω)对称 只画ω 0→+∞的 (jω)图像 对称， 图像。 4）G0(jω)与G0(-jω)对称，只画ω从0→+∞的G0(jω)图像。 5）奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 奈氏判据可用于具有延时单元的系统。 的零点（ 6）D围线不经过F(s)=1+G0(s)的零点（闭环极点）和极点（开环极点）， 围线不经过F(s)=1+G (s)的零点 闭环极点）和极点（开环极点）， 若D围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” 围线经过F(s)的极点（开环极点），则改用“广义D围线” F(s)的极点 ），则改用 Nyquist 稳定判据： 稳定判据： 如果开环传函G (s)有 个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 如果开环传函G0(s)有p个右半复平面的极点，则闭环系统稳定的充分必要条件是： 连续变到+∞ +∞时 开环（幅相）频率特性图G jω）逆时针方向包围 当ω从-∞连续变到+∞时，开环（幅相）频率特性图G0（jω）逆时针方向包围 复平面上的-1点 圈 复平面上的 点p圈。 若系统不稳定，可求出右根的个数z= 若系统不稳定，可求出右根的个数 n+ p
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
武科大城市学院
机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
武科大城市学院
机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
武科大城市学院
机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
武科大城市学院
机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据
在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )
( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
第五章(2)Nyquist稳定判剧
3.Bode图判断 1)无开环极点的判断(V=0) N=N+-NZ=P-2N 2)有开环极点的判断(V≠0) N 先逆时针补画,然后再判断.向上补画V90逆时针 .
180
0
N
N
N
例5.4 Bode图判断
P=0,V=0 P=0,V=1
180 0
180
0
N
N 1)无开环极点的判断(V=0) 2)有开环极点的判断 (V≠0) N=N+-N-=0 先向上补画V90. Z=P-2N=0 N+=1,N-=1 N=N+-N-=0 Z=P-2N=0
s lim e
0
j
当ε从0ˉ沿小半圆变到0+时，θ按逆时针方向 旋转了π，G(s)H(s)在其平面上的映射为
G( s) H ( s)
K j s lim e
0
(T s 1)
j
m
s
j 1 n v v i 1
( s 1)
i
j s lim e 0
５.４ 频率稳定性判据
奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统 闭环系统稳定性的方法.既可以使用Nyquist图,又可以使用 Bode图. 教学要求: 理解奈奎斯特回线的概念,掌握奈奎斯特稳定判据及其 应用. 教学内容: 一.映射定理 二.奈奎斯特回线 三.奈奎斯特判据 四.奈奎斯特稳定判据应用 教学难点: 完整Nyquist图的绘制.
F ( s) ( s z j ) (s pi )
j 1 i 1 m n
1.包含一个零点: 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，而 其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭 曲线顺时针方向移动一周时，相量(s-z1)的相角变化-2π弧度， 而其他各相量的相角变化为零。
河南理工大学自动控制原理第5章 第3讲 Nyquist稳定性判据及稳定裕度2012
其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点 在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右 半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯 西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
54奈魁斯特稳定判据1汇总
Friday, February 21, 2020
10
注意：若有v个积分环节的系统，则在∠G(j0+)延长 至∠G(j0+)+v×90°处，其延长线也为相频 曲线一部分。
Friday, February 21, 2020
11
三、最小相位系统的奈氏判据：
开环频率特性Gk (s)在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相 位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图
正穿越 负穿越
1
这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk (s) 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 0 时，频率特性曲线在实轴 (,1) 段的正负穿越次数
差为 P。
2
Friday, February 21, 2020
8
二、在对数坐标图上判断系统的稳定性：
Friday, February 21, 2020
3
[例5-6]开环传递函数为：Gk 断闭环系统的稳定性。
(s)
(T1s
k 1)(T2 s
，试用奈氏判据判
1)
[解]：开环系统的奈氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Zk N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。
Friday, February 21, 2020
21
带有延迟环节系统的相位裕度的求法：
设系统的开环传递函数为：Gk (s)es ，我们知道增加了延迟环节
后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表现在奈氏图和
波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
L( )
乃奎斯特稳定盘踞
10
[例5-8]系统结构图如右：试判断闭 R(s)
k
C(s)
环系统的稳定性并讨论稳定性和k
-
s1
的关系。
[是解一]：个开半环径系为统k 奈，氏圆图心 在( k ,0 ) 的圆。2显然， k>=21时，包围(-1,j0)点，
k<1时不包围(-1,j0)点。
由图中看出：当k>1时， 奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 而 Pk 1，则 ZkNPk0 闭环系统是稳定的。
奈魁斯特稳定判据
1
奈魁斯特稳定判据
基本思想：利用系统的开环频率特性判别 闭环系统的稳定性。
2
1、奈魁斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是
不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F(s)1Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。
Ⅰ
0
ej
s
Ⅲ Ⅱ
它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，0
Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；
sRej,R ,从 ；Ⅲ部分是负虚
轴， 0。 2 2
4
F(s)平面上的映射是这样得到的：以 s j代入F(s)并令从
0变化，得第一部分的映射；在F(s)中取sRej 使角度由
2
2，R得第二部分的映射；令从0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 NZk Pk ，式中：
Zk , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk NPk 。当 ZR 0时，系统稳定；否则不稳定。
[例5-8]系统结构图如右：试判断闭 R(s)
k
C(s)
环系统的稳定性并讨论稳定性和k
-
s1
的关系。
[是解一]：个开半环径系为统k 奈，氏圆图心 在( k ,0 ) 的圆。2显然， k>=21时，包围(-1,j0)点，
k<1时不包围(-1,j0)点。
由图中看出：当k>1时， 奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 而 Pk 1，则 ZkNPk0 闭环系统是稳定的。
奈魁斯特稳定判据
1
奈魁斯特稳定判据
基本思想：利用系统的开环频率特性判别 闭环系统的稳定性。
2
1、奈魁斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是
不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F(s)1Gk(s)，其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。
Ⅰ
0
ej
s
Ⅲ Ⅱ
它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，0
Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；
sRej,R ,从 ；Ⅲ部分是负虚
轴， 0。 2 2
4
F(s)平面上的映射是这样得到的：以 s j代入F(s)并令从
0变化，得第一部分的映射；在F(s)中取sRej 使角度由
2
2，R得第二部分的映射；令从0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 NZk Pk ，式中：
Zk , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk NPk 。当 ZR 0时，系统稳定；否则不稳定。
5第五节奈魁斯特稳定判据
第五节奈奎斯特稳定判据一、幅角定理：对于一个复变函数)())(()())(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s F ++++++=式中-z i (i=1,2,…,m)为F (s )的零点，-p j (j=1,2,…,n)为F (s )的极点。
函数F (s )是复变量s 的单值函数，s 可以在整个S 平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F (s )都有唯一的一个值与之对应。
)1,1(j d s -⋅)1,0(j d f -⋅平面s 平面)(s F ⇒⨯1-2-[例]设：，则S 平面上d s 点（-1，j 1），映射到F(s )平面上的点d f 为(0，-j 1)，见下图：ss s F 2)(+=jjj F j j F -=+-+=+-=-=+++=+1)1(112)(时，，，当ωσωσωσF (s )的值域构成的复平面称为F (s )平面。
S 平面上的每一点依照所给的函数关系，将映射到F (s )平面上的相应点。
其中S 平面上的全部零点都映射到F (s )平面上的原点；S 平面上的极点映射到F (s )平面上时都变成了无限远点。
除了S 平面上的零、极点之外的普通点，映射到F (s )平面上是除原点之外的有限远点。
注意，虽然函数F (s )从S 平面到F (s )平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。
例如已知)2)(1()(++=s s s Ks F 这个函数在有限的S 平面上除S =0,－1, －2以外均解析，除此三点外，S 平面上的每一个S 值在F (s )平面只有一个对应点，但是F (s )平面上的每一个点在S 平面上却有三个映射点。
最简单的说明方式就是将方程改写成)()2)(1(s F Ks s s =++当F (s )取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。
现考虑S 平面上一点s 1映射到F (s )平面上的点F (s 1)可以用一个向量来表示，即当∏∏=+∠=+∠∠++==nj p s j j mi z s j i s F j j i ep sez s K e s F s F 1)(11)(1)(11111)()(向量的幅值为∑+∠-∑+∠=∠==nj j mi i p s z s s F 11111)()()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∠-+∠==∑∑++===∏∏n j j m i i p s z s j nj jmi iep sz s K 1111)()(1111∏∏==++=nj j m i i p sz s K s F 11111)()()(∏∏==++=nj jm i ip sz s K s F 11111)(向量的相角为ReIm ReIm S 平面F(s)平面⨯)(s ϕ)(s F⨯⨯∙∙平面)(s F 平面s 1-2-⨯[例]设：，则s 平面上d s 点（-1，j1），映射到F (s )平面上的点d f 为（0，-j1），计算如下：ss s F 2)(+=jjjj F j j j F -=+-+=+-=-=+++=+11)1(112)(时，，，当ωσωσωσωσ⇒)1,1(j d s -⋅⋅)1,0(j d f -⋅⋅向量的相角为︒-=︒-︒=+∠-+∠=∠9013545)()()(111j i p s z s s F 向量的幅值为111)1(=-=+-+=+-j jjj F 若取d s 点为(-1，j0)则在F (s )平面的向量的幅值为1向量的相角为－180°当S 平面上动点s 从s 1经过某曲线C S 到达s 2，映射到F (s )平面上也将是一段曲线C F ，该曲线完全由F (s )表达式和s 平面上的曲线C S 决定。
现代机械控制工程 第五章 系统的稳定性
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。
劳斯稳定判据的判别过程如下：
n列出劳斯阵列 s a0 a2 sn-1 a1 a3 sn-2 b1 b2 sn-3 c1 c2 sn-4 d1 d2 …… s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a1a2 a0a3 b1 a1 b2
K 0 6 5 K 0
即：当0<K<30时系统稳定。
例2：单位反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G( s) s(Ts 1)(5s 1)
求系统稳定时K和T的取值范围。 解：系统闭环特征方程为：
5Ts3 (5 T )s 2 (1 K )s K 0
系统稳定条件为：
T 0 K 0 (5 T )(1 K ) 5TK 0
T 0 5T 0 K 4T 5
劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于 零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 代替该行第 一列的零，并据此计算出阵列中的其余 各项。然后令 0，按前述方法进行判别。 如果零( )上下两项的符号相同，则系统存在 一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 ( )上 下两项的符号不同，则表明有一 个符号变化，系统不稳定。
e t (a1 a2t ar t r 1)
当- < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当- > 0时，该输出分量指数单调递增。 当- = 0时，该输出分量多项式递增。 对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：
e t (b1 b2t br t r 1 ) cos t (c1 c2t cr t r 1 ) sin t e t
[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性
![[工学]控制工程基础第五章系统的稳定性](https://img.taocdn.com/s3/m/063b2600cfc789eb172dc863.png)
第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
第五节 Nyquist稳定判据
幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(S)在S 平面的Z个零点和P个极点。当S以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一周时，则在F平面上 对应于封闭曲线Γ的像ΓF 将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为：
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围 F(S)平面的原点。
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿 虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线 F(jω) (ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω) Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径 为∞的右半圆，映射到F 平面上为 F (∞)=1+G (∞)H (∞)
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
G(s) 1 B(s)
A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
R PZ
R＜0和R＞0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围 F(S)平面的原点。
图5-43 s平面上的 Nyquist轨迹
Nyquist轨迹Γ由两部分组成，一部分沿 虚轴由下而上移动，试验点s=jω在整个虚 轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线 F(jω) (ω由－∞→+∞)，如图5-44所示。
F(jω)=1+G(jω)H(jω) Nyquist轨迹Γ的另一部分为s平面上半径 为∞的右半圆，映射到F 平面上为 F (∞)=1+G (∞)H (∞)
（2）、复变函数F(S)的选择
图5-41 控制系统结构图
如图5-41所示结构图，其开环传递函数为
G(s)H (s) B(s) A(s)
则
(s)
1
G(s) G(s)H
(s)
G(s) 1 B(s)
A(s)
B(s)
B(s)H
(s)
A(s)
B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
Nyquist稳定性判定
开环Nyquist曲线在(-1,j0)点以左穿过负实轴 ➢负穿越——相位角减小的穿越 ➢正穿越——相位角增大的穿越 ➢半次穿越—开环Nyquist曲线从(-1,j0)点以左的负实轴开始的穿越
正负穿越次数的代数和即为N
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
三、开环含有积分环节时的Nyquist稳定判据 存在的问题：
第五章 系统的稳定性
例5.6
Im
P=0
ω=+∞ K 1
-1 0
ω=0
Re
5.3 Nyquist稳定判据
Im
P=0
-1
ω=+∞
0
K2 ω=0
Re
(a)
N=0，P=0 → P=2N 稳定
(b)
N=-1，P=0 → P≠2N 不稳定
开环增益K的增大不利于系统的稳定性。
第五章 系统的稳定性
例5.7
P=1 Im
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
一、Nyquist稳定判据
P:169 当ω从-∞→＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist曲线逆时针方向 包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定。其中，P为开环右 极点的个数。
注意：
GK(jω)的Nyquist曲线当ω从-∞→0变化时与其从0→ +∞变化
开环Nyquist曲线不封闭，无法准确判断其包围(-1,j0)点的圈数
解决的办法：
作辅助曲线
以无穷大为半径，从Nyquist曲线的起始端沿逆时针方向绕 过ν×90°作圆弧和实轴相交，这个圆弧就是辅助曲线。
ν——开环传递函数中含有积分环节的个数
第五章 系统的稳定性
例5.9 P=0 Im
正负穿越次数的代数和即为N
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
三、开环含有积分环节时的Nyquist稳定判据 存在的问题：
第五章 系统的稳定性
例5.6
Im
P=0
ω=+∞ K 1
-1 0
ω=0
Re
5.3 Nyquist稳定判据
Im
P=0
-1
ω=+∞
0
K2 ω=0
Re
(a)
N=0，P=0 → P=2N 稳定
(b)
N=-1，P=0 → P≠2N 不稳定
开环增益K的增大不利于系统的稳定性。
第五章 系统的稳定性
例5.7
P=1 Im
第五章 系统的稳定性
5.3 Nyquist稳定判据
一、Nyquist稳定判据
P:169 当ω从-∞→＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist曲线逆时针方向 包围(-1,j0)点P圈，则闭环系统稳定。其中，P为开环右 极点的个数。
注意：
GK(jω)的Nyquist曲线当ω从-∞→0变化时与其从0→ +∞变化
开环Nyquist曲线不封闭，无法准确判断其包围(-1,j0)点的圈数
解决的办法：
作辅助曲线
以无穷大为半径，从Nyquist曲线的起始端沿逆时针方向绕 过ν×90°作圆弧和实轴相交，这个圆弧就是辅助曲线。
ν——开环传递函数中含有积分环节的个数
第五章 系统的稳定性
例5.9 P=0 Im
5.4.1nyquist图稳定判据及其相对稳定性
第五章线性系统的频域分析法5.4 线性系统稳定性分析对数幅相图——Nichols图纵坐标为20lg|G(jω)| ，单位为dB，线性分度。
横坐标为∠G(jω)，单位为度, 线性分度。
Nichols图的绘制过程：先绘制出Bode图，再由其绘制Nichols图。
多用于控制系统校正。
)1)(10(100)(++=s s s s G )1)(11.0(100)(++=s s s s G 例：已知系统开环传递函数为解:(1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。
5.4 Nyquist稳定判据和相对稳定性稳定判据：代数判据—Routh判据判断工程实用的图解法判据—Nyquist稳定性判据和Bode图稳定性判据判别系统的稳定性，实际上就是判别系统在S平面右半平面有否闭环极点。
幅角定理设F(S)是复变量S的单值连续解析函数（除S平面上的有限个奇点外）。
S平面上的某一封闭曲线D的内部包含了F(S)的P个极点和Z个零点（包含重根点），且曲线D不通过F(S)任何一个零点和极点。
当S按顺时针方向沿封闭曲线D连续的变化一周时，曲线F(S)在复平面上也按顺时针方向包围原点N=Z-P圈此处定义N为顺时针圈数，即顺时针圈数为正数，逆时针圈数为负数，总圈数为顺时针圈数与逆时针圈数的代数和。
由于系统闭环稳定性与S 平面右半平面中的闭环特征根的数量有关。
故如果选取a)s 平面封闭曲线D 为顺时针包含整个S 平面右半平面的曲线b)F(S)选为F(S)=1+G(s)H(s)()()11()B s F s G(s)H(s)A s =+=+F (s )的极点为开环系统的极点，F (s )的零点为闭环极点则有：有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）假设S平面右半平面包含了F(S)的P个极点和Z个零点，即封闭曲线D包围了F(S)在S右半平面的P个极点和Z个零点根据幅角定理，系统稳定⇒F(S)在S右半平面的零点数Z=0⇒F(S)顺时针包围原点的次数满足N=Z-P=-P。
05_自动控制原理—第五章(4)讲解
当系统开环频率特性曲线及其镜像通过(-1，j0)点时，表明在s平面 虚轴上有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定。
例5-3 一个闭环系统如图所示。其开环 传递函数为
G(s)=K/(Ts-1),K＞1 这是一个不稳定的惯性环节,开环特征 方程式在右半s平面有一个根,P=1。闭 环传递函数为
(s)=K/(Ts+K-1) 由于K＞1,闭环特征方程式的根在左半s 平面,所以利用代数方法可以判断闭环 是稳定的。
特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性， 还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统 的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取， 同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。
除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为 奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯 特于1932年提出的，它是频率法的重要内容，简称奈氏 判据。奈氏判据的主要特点有
1. 只绘制由0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j)
因为（0，+∞）与（-∞，0）的曲线完全关于实轴对称，则0变到
+ 时的开环幅相频率特性G(j)顺时针包围(-1,j0)点的圈数N’满
足
N’= N/2 N是当从-∞变化到+∞时，系统开环频率特性曲线及其镜像G(j)
顺时针包围(-1,j0)点的圈数。 因此，简化奈奎斯特稳定判据可改为
Z = N + P=2 Nˊ+P
2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的 计算
由0变到+ 时开环频率特性曲线要形成对 (-1,j0)点的一次包围，势必穿越（-∞，-1）区 间一次。
开环频率特性曲线逆时针穿越（-∞，-1）区 间时，随ω增加，频率特性的相角值增大，称为 一次正穿越N+。
例5-3 一个闭环系统如图所示。其开环 传递函数为
G(s)=K/(Ts-1),K＞1 这是一个不稳定的惯性环节,开环特征 方程式在右半s平面有一个根,P=1。闭 环传递函数为
(s)=K/(Ts+K-1) 由于K＞1,闭环特征方程式的根在左半s 平面,所以利用代数方法可以判断闭环 是稳定的。
特别是，如果知道了开环特性，要研究闭环系统的稳定性， 还需要求出闭环特征方程，无法直接利用开环特性判断闭环系统 的稳定性。而对于一个自动控制系统，其开环数学模型易于获取， 同时它包含了闭环系统所有环节的动态结构和参数。
除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为 奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯 特于1932年提出的，它是频率法的重要内容，简称奈氏 判据。奈氏判据的主要特点有
1. 只绘制由0变到+ 时的开环幅相频率特性G(j)
因为（0，+∞）与（-∞，0）的曲线完全关于实轴对称，则0变到
+ 时的开环幅相频率特性G(j)顺时针包围(-1,j0)点的圈数N’满
足
N’= N/2 N是当从-∞变化到+∞时，系统开环频率特性曲线及其镜像G(j)
顺时针包围(-1,j0)点的圈数。 因此，简化奈奎斯特稳定判据可改为
Z = N + P=2 Nˊ+P
2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的 计算
由0变到+ 时开环频率特性曲线要形成对 (-1,j0)点的一次包围，势必穿越（-∞，-1）区 间一次。
开环频率特性曲线逆时针穿越（-∞，-1）区 间时，随ω增加，频率特性的相角值增大，称为 一次正穿越N+。
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
机械控制基础5-系统的稳定性
牢斯 判据
s4
1
3K
s3
3
20
s2 7/3 K 0
s1 2-(9/7)K 0 0
s0
K
00
2K790K 00 K 194
19
5.2.2 Routh判据
例3 牢斯判据判定系统相对稳定性
已知系统特征方程： s3+7s2+14s+8=0 试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。
s n a a 1 0s n 1 a a n 0 1 s a a 0 n (s s 1 )s (s 2 ) (s s n )
(ss1)s(s2) (ssn)
snn sisn1(n sisj)sn2 (1)n n si
i1
22
5.2.3 Routh 判据的特殊情况
劳斯阵列出现全零行表明——系统在s平面有对称分布的根
共轭虚根
对称于虚轴的 两对共轭复根
对称于虚轴 的一对实根
23
例 图示系统，确定K、a取何值时，系统 维持以=2 s-1的持续振荡。
Xi(s) ＋ －
K(s1)
Xo(s)
s3 as2 2s1
第五章 系统的稳定性
本章主要教学内容 5.1 系统稳定性的初步概念 5.2 Routh(劳斯)稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性
5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点
1
5.1 稳定性的基本概念
本节教学内容 5.1.1 稳定性的定义 5.1.2 稳定的充要条件 5.1.3 稳定的必要条件
注：通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为——劳斯阵列 表中第一列的各数均大于零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
K 0 ﹣ 1 ﹣K 0
﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K K ( 2 ) GH T 2 s 2 2Ts 1 T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
(1) GH
P=0
K ﹣1 w ﹣K w
P=1
P=2
w
﹣1
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1， K取任意值，均不 K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。 包围(-1，j0)点，有 均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点， 2个不稳定闭环极 闭环不稳定。 K ＝ 1 ， 闭环稳定。 点。闭环不稳定。 曲线穿过 (-1 ， j0) ，临 （奈氏判据第一条） (奈氏判据第二条) 界稳定。
解释：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
(1) 开环稳定情况： —[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围 F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定 (2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点 G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
围原点一次
F(s)的极点是开环极点；
F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结
奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)
F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为
习题已知开环传递函数为 ：
K s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j j 2 j 5 j 1 K K [(6 2 10) j( 3 3 )] 2 3 (6 10) j( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
×
不包围
×
不包围
逆包围一次
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K GH1 , Ts 1
GH 2
(1)
1 sT
K , Ts 1
K0
,开环稳定，p=0；
1 ,开环不稳定, p=1 s T
(2) 画开环系统的极坐标图
G(jω)H (jω)
K 例： G( s) H ( s) s(Ts 1)
0﹣ A
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
K=15
闭环系统稳定范围 10<K<28
0.1 K
K=35
K / 28
K=10
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
C
0+ B
[S]
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （ 2 ）因为 G(jω)H(jω) 和 G(-jω)H(-jω) 共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以 ω由- ∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
×
×
逆包围2次
G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
•
奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包 围(-1，j0)点一次 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包 围(-1，j0)点一次
•
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(-
1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式
奈魁斯特轨迹
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可
以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包
﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K K ( 2 ) GH T 2 s 2 2Ts 1 T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
(1) GH
P=0
K ﹣1 w ﹣K w
P=1
P=2
w
﹣1
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1， K取任意值，均不 K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。 包围(-1，j0)点，有 均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点， 2个不稳定闭环极 闭环不稳定。 K ＝ 1 ， 闭环稳定。 点。闭环不稳定。 曲线穿过 (-1 ， j0) ，临 （奈氏判据第一条） (奈氏判据第二条) 界稳定。
解释：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
(1) 开环稳定情况： —[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围 F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定 (2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点 G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
围原点一次
F(s)的极点是开环极点；
F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结
奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)
F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为
习题已知开环传递函数为 ：
K s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j j 2 j 5 j 1 K K [(6 2 10) j( 3 3 )] 2 3 (6 10) j( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
×
不包围
×
不包围
逆包围一次
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K GH1 , Ts 1
GH 2
(1)
1 sT
K , Ts 1
K0
,开环稳定，p=0；
1 ,开环不稳定, p=1 s T
(2) 画开环系统的极坐标图
G(jω)H (jω)
K 例： G( s) H ( s) s(Ts 1)
0﹣ A
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
K=15
闭环系统稳定范围 10<K<28
0.1 K
K=35
K / 28
K=10
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
C
0+ B
[S]
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （ 2 ）因为 G(jω)H(jω) 和 G(-jω)H(-jω) 共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以 ω由- ∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
×
×
逆包围2次
G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
•
奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包 围(-1，j0)点一次 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包 围(-1，j0)点一次
•
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(-
1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
奈魁斯特稳定判据总结
利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式
奈魁斯特轨迹
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可
以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包