自由电子与布洛赫电子的区别

自由电子与布洛赫电子的区别

（哈尔滨工业大学 材料科学与工程系1419002班）

摘要：在1928年，布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体物理特性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill ，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet ，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov ，1892年）等独立地提出。随后表产生了布洛赫电子的概念。本文主要探讨自由电子与布洛赫电子的区别。 关键词：自由电子；布洛赫电子；区别

1 基本概念

1.1 自由电子 自由电子(free electron)按照电子的运动范围定义指不被约束在某一个特定原子内部的电子，在化学中是指在分子中与某个特定原子或共价键无关的电子。当这种电子在受到外电场或外磁场的作用时，能够在物质（晶体点阵）中或真空中运动。因此自由电子也叫做离域电子。

由金属的电子云模型理论可以确定，金属晶体中存在自由电子。自由电子的多少会影响晶体的导电性和导热性，自由电子愈多，电传导的能力愈强，而大部分的金属晶体都有较多的自由电子，所以金属都具有良好的导热性和导电性。

1.2 布洛赫定理 晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波，即电子的波函数具有如下形式

其中k 为电子的波矢，Rn 是晶格矢 上述理论称为布洛赫(Bloch)定理。 布洛赫定理的另一种表述为，存在以波矢 使得

对属于布拉维格子的所有格矢 成立。 1.3 布洛赫电子

用布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。

)(e )(r u r k

r k i k ⋅=ψ)()(r u R r u k n k =+k n R 3

32211a n a n a n R n ++=)(e )(r R r n R k i n ψψ⋅=+

2 区别研究

2.1周期性质

晶体的平移周期性不仅仅是几何图形的周期性，而且每个原子胞的各种物理化学性质也是一样的，因此，所有单胞内电子的密度分布特性也是一样的。因此要求布洛赫电子的周期函数的表达形式与布洛赫函数的形式是一样的。并且由于波函数何以相差任意一个模量为1的复数因子，所以何以确定的是布洛赫电子应当具有和晶体平移周期一致的周期特性。

由于自由电子模型的定义中明确了晶格内部的能量势场对自由电子没有影响效果。因此自由电子并没有影响其周期性的晶格内在影响因素，即自由电子并没有周期特性。

2.2 电子速度

自由电子热运动的平均速度与温度有关，当导体的温度越高时自由电子的热运动速率就越大。而当导体两端加上电压后，自由电子受电场力作用而定向漂移，由于电场的传播速率等于光速，因此几乎在导体两端加上电压的同时，导体中就建立了电场，导体中的自由电子就受到电场力作用同时做定向移动而形成电流，所以电流的速度等于光速，但电流的速度不代表自由电子的速度。

布洛赫电子在准经典的情况下，电子在正格子中运动的平均速度可以用布洛赫电子的群速度来描述。与之相关的仅仅只有电子的频率。当由含有时间变量的布洛赫函数来描述电子的波函数是可以看出电子的平均速度强烈的依赖于其空间等能面的形状。并且由于晶体的内部的等能面也存在周期性（与晶体的倒格矢成周期性关系）所以布洛赫电子的平均速度也应具备周期性，并且倒格矢G为其周期。并且速度在空间中会有反演周期性，即K和-K两个状态的电子速度的大小相等，方向相反。

2.3有效质量与惯性质量

有布洛赫波函数以及经典力学中的牛顿第二定律何以定义电子的有效质量。在准经典近似下，布洛赫电子有效质量是二阶张量，有电子能级在K空间的各向异性决定的，显然不同于电子的有效质量并且有布洛赫波函数的复杂性，有效质量可正可负。另外加速度的方向与外加力场的方向在一般情况下是不同的。此影响在于两个方面。一是布洛赫电子的准动量并不是布洛赫电子的真是动量，直塞电子与其他粒子相互作用是具有的动量的属性。二是由于电子除了受到外场的作用还会受到晶体内的场的作用，所以布洛赫电子的有效质量是在形式上描述外场作用对布洛赫电子准动量的影响，与经典力学类比的有效质量。

而自由电子则不考虑外场对其的影响作用，所以对于自由电子而言，它的有效质量就等于其惯性质量。

参考文献：

[1]费维栋.《固体物理（Solid State Physics）》[M].哈尔滨工业大学出版社,2014.