新版精选高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整题库(含参考答案)
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－33．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A )11B D (B )D 1 (C )1DB(D )1BD4．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件．6． 已知直线12l l ，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)a b k =-=-，，若12l l ⊥，则实数k = ▲ ．7． 空间直角坐标系中，已知)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点P 在Z 轴上，且PB PA =,则点P 的坐标为 ▲ .8．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距是 . 【答案】6或2 【解析】试题分析：由62=AB=6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.9．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ． 10． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72 D ．422．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( ) (A )一条直线 (B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面3．下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) (A )DM --=2(B )213151++=(C )=+-MC MB MA 20 (D )=+++OC OB OA OM 04．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π5．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6．已知点)1,2,1(A ，B )4,3,1(-，且2=，则P 点的坐标是 。
7．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为8．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，且a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝______．9．若A (0，2，1)，B (1，1，0)，C (－2，1，2)是平面α 内的三点，设平面α 的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝______．10．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).(I) 若向量 a ＝(,,1x y )分别与向量,垂直，求向量a 的坐标. (II) 求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S 的值. （理） 三、解答题11．如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =,4BC =，5=AB ，14AA =． (1)设AD AB λ=,异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，求λ的值； (2)若点D 是AB 的中点，求二面角1D CB B --的余弦值． A 1B 1C 112．如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22. (Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； (Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小； (Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离.13．如图，边长为2的正方形11A ACC 绕直线1CC 旋转90°得到正方形11B BCC ，D 为1CC 的中点，E 为1A B 的中点，G 为△ADB 的重心． (Ⅰ）求直线EG 与直线BD 所成的角；CDPAB(Ⅱ）求直线1A B 与平面ADB 所成的角的正弦值．14．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．15．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量(1)AF BE DB ,,1；(2)在图中画出++1化简后的向量．16．已知向量a ＝(－2，1，－2)，b ＝(1，2，－1)，c ＝(x ，5，2)，若c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值． 17．1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 中点，求二面角A 1－EC －B 的余弦值．18．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝22，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值； (3)求点B 到平面CMN 的距离．19． 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角C OD A --的余弦值20．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，11A E CF ==. ⑵两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值；⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)（本小题满分10分）21．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E 为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．22．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，侧棱长为t ，点D 1关于点D 的对称点为D 2，点C 1关于点C 的对称点为C 2，点E 、F 分别在线段AD 和BC 上，且DE =BF =λ(0<λ<1). (1)若12λ=，t=1，求直线D 2F 与直线B 1C 所成角θ。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为D 12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21 B ．42C ．22D ．23(2005湖南理)． 3．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( ) (A )一条直线 (B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．（理）已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--=，，，，，，，，，若a b c ，，三向量共面，则λ等于5．已知点(3,2,1)A -，(2,4,0)B -，则向量AB 的坐标为 ▲ . 6． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
7．已知△ABC 的三个顶点(3,3,2)A ，(4,3,7)B -，(0,5,1)C ，则BC 边上的中线长等于 ▲ ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.9．如图，在正三棱锥S －ABC 中，点O 是△ABC 的中心，点D 是棱BC 的中点，则平面ABC 的一个法向量可以是______，平面SAD 的一个法向量可以是______．10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 是DC 的中点，点N 在CC 1上，且D 1M ⊥AN ，则NC 的长度为______．三、解答题11．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AD=1，E 为CD 中点. （Ⅰ）求证：B1E ⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B1AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由.A C1A F （Ⅲ）若二面角A-B 1EA 1的大小为30°，求AB 的长. 【2012高考真题福建理18】12．如图，已知三棱锥。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.2．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．3．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) (A )(2，3，1) (B )(1，－1，2)(C )(1，2，1)(D )(1，0，3)4．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( )(A )35 (B )35-(C )37 (D )37-5．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6．空间直角坐标系中，点(1,2,2)P -到原点O 的距离为__________．7．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2π，AD=3，EF=2.（1）求证： AE∥平面DCF ； （2）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3π。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．（理）设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a ＝____________.3．（理）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________4．已知向量),2,3(z a -= ，)1,,1(-=y b ，若b a //，则yz 的值等于 . 5．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为____________.7．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.8．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面外任意一点，若有λ++=3251确定的点与A ，B ,C 三点共面，则λ＝______．DA B 11第22题9．若向量a ＝(2，1，－2)，b ＝(6，－3，2)，则cos<a ，b>＝______．10．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______．11．已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ，n ，且m ＝(1，－2，5)，n ＝(－3，6，z )，则z ＝______．三、解答题12．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1BC=4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）A.5 B.3 C. 5D. 352．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．3．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( ) (A )35(B )35-(C )37 (D )37-4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距是 . 【答案】6或2 【解析】试题分析：由62=AB =6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1______.8．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为______．三、解答题9．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．证明 ⑴连接AC 与BD 交于G ，则平面PAC ∩平面BDM =MG ， 由PA ∥平面BDM ，可得PA ∥MG ， ∵底面ABCD 是菱形，∴G 为AC 中点， ∴MG 为△PAC 中位线，∴M 为PC 中点． (4)⑵取AD 中点O ，连接PO ，BO ， ∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，△ABD 是正三角形， ∴AD ⊥OB ，∴OA ，OP ，OB 两两垂直，以O 为原点OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则()0,0,1A ，()0,3,1B ，()0,0,1-D ，()3,0,0P ， ∴()3,0,1=，()0,3,1-=，∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=23,23,02121AB DP DC DP DM()3,3,0--=，()0,0,2==，APBCD M第23题图x∴023230=+-=⋅，0000=++=⋅CB DM ， ∴DM ⊥BP ，DM ⊥CB ，∴DM ⊥平面PBC ， ∴22,cos >=< 平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为4π (10)10．如图，已知三棱锥。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( ) (A )(2，3，1) (B )(1，－1，2)(C )(1，2，1)(D )(1，0，3)2．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3．若()()2,1,3,1,3,9,a x b ==且//a b ，则x = ___▲____．4．（5分）直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，若 =，=，=，则= ﹣﹣+ ．5．（理）已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、、三向量共面，则实数λ等于____________；6．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 ▲ .7．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ．8．已知(2,5,1),(2,2,4),(1,4,1)A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角等于 _▲ 9．已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ，n ，且m ＝(1，－2，5)，n ＝(－3，6，z )，则z ＝______．10．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______．11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1AA AD AB ______.12．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P 是棱CC 1上一点，CP ＝m ，且直线AP 与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为322，则m ＝______．三、解答题13．已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．（1）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）求点A 到平面MCN 的距离．PCBA14．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．15．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，E ，F 分别是AB ，PC的中点．求证：EF ⊥平面PCD ．16．如图：三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC 所成的角为3π。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．距离(选学)一、选择题1．已知a ⊂α ，A ∉α ，点A 到平面α 的距离为m ，点A 到直线a 的距离为n ，则( ) (A )m ≥n (B )m ＞n(C )m ≤n(D )m ＜n2．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1(C )7(D )－73．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD ++＝( )(A )11B D (B )B D 1 (C )1DB(D )1BD4．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5． 空间直角坐标系中，已知)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点P 在Z 轴上，且PB PA =,则点P 的坐标为 ▲ .6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .7．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF 且BE ＜CF,∠BCF=2π，AD=3，EF=2.（1）求证： AE∥平面DCF ； （2）设(0)AB BE λλ=>，当λ为何值时，二面角A —EF —C 的大小为3π。
8．在空间直角坐标系中，点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是 ．BCDEF9．如图，在正三棱锥S －ABC 中，点O 是△ABC 的中心，点D 是棱BC 的中点，则平面ABC 的一个法向量可以是______，平面SAD 的一个法向量可以是______．10．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P 是棱CC 1上一点，CP ＝m ，且直线AP 与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为322，则m ＝______．11．如图AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上非A ，B 的任意一点，则图中直角三角形共有______个．三、解答题12．在三棱锥S ABC -中,ABC ∆是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC,SA SC ==M 、N 分别为AB 、SB 的中点.⑴证明：AC SB ⊥；⑵(理)求二面角N CM B --的正切值； ⑶求点B 到平面CMN 的距离. (本题满分14分)13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为1，M 为棱11A B 上的点，N 为棱1BB 的中点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为2arccos 5，求11A M MB 的值.16图AMBSCNABD C1A1B1C 1D14．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，(1)在图中找出平面ABCD ，平面ADD 1A 1，平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出(1)中三个法向量的坐标．16．如图，点A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心， 求证：)(31AD AC AB AG ++=． (注：重心是三角形三条中线的交点，且CG ∶GE ＝2∶1)17．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点．求证：EF ⊥平面PCD ．18．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求 (1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜； (3)cos 〈a ＋b ，c 〉．19．已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝121AB ，M 是PB 的中点。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BC D ．23(2008全国1理) C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113AO AB =另2．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )513(B )517 (C )2921(D )129513．设平面α 内两个向量的坐标分别为(1，2，1)，(－1，1，2)，则下列向量中是平面α 的法向量的是( )(A )(－1，－2，5) (B )(－1，1，－1) (C )(1，1，1) (D )(1，－1，－1)4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD ++＝( )(A )11B D (B )B D 1 (C )1DB(D )1BD第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（理科做）在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60︒，则向量AM 的长=||AM ．6．（理）设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a ＝____________.7．点(437)P -，，关于xOy 平面的对称点坐标为： ▲ ． 8． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72 D ．422．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )513 (B )517 (C )2921(D )129513．下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) (A )OC OB OA DM --=2(B )OC OB OA DM 213151++=(C )=+-20 (D )=+++OM 04．已知空间中三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与,都垂直，且3||=a ，则a ＝( )(A )(1，1，1) (B )(1，－1，1)(C )(－1，1，1)(D )(－1，－1，－1)或(1，1，1)5．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--6．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．在空间直角坐标系中，已知点()1,0,2A ，()1,3,1B -，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 ▲ ；8．（理）已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、b 、c 三向量共面，则实数λ等于____________；9．（理）已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--=，，，，，，，，，若a b c ，，三向量共面，则λ等于10．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）2．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( ) (A )一条直线 (B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－34．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )(A )22 (B )23 (C )36 (D )336．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) (A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[(D )]2π,0(第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．已知(2,5,1),(2,2,4),(1,4,1)A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角等于 _▲ 8．已知向量i ，j ，k 不共面，且向量a ＝mi ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋rk ，若a ∥b ，则实数m ＝______，r ＝______.9．如图，已知点P 是单位正方体1111D C B A ABCD - 中异于A 的一个顶点，则⋅的值为__ _．BACDB 1A 1C 1D 1三、解答题10．平面图形111ABB AC C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，AB AC ==1111A B AC ==BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2010全国2理)与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个【答案解析】D2．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( ) (A )一条直线 (B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 是棱A 1A 的中点，O 是BD 1的中点，则MO 的长为( ) (A )33 (B )22 (C )2(D )364．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值为( )(A )510 (B )515 (C )54 (D )325．a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则a ＋6b －8c ＝( ) (A )(14，－3，3) (B )(14，－3，35) (C )(14，－3，－12)(D )(－14，3，－3)6．已知二面角α－l －β 的大小为3π，异面直线a ，b 分别垂直于平面α ，β ，则异面直线a ，b 所成角的大小为( ) (A )6π (B )3π (C )2π (D )3π2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．若()()2,1,3,1,3,9,a x b ==且//a b ，则x = ___▲____．8．（理科做）在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60︒，则向量AM 的长=|| ．9．棱长为4的正方体内一点P ，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P 到正方体中心O 的距离为______.10．已知点A (1，2，0)，B (－2，1，3)，若点P (x ，y ，z )为直线AB 上任意一点，则直线AB 的向量参数方程为(x ，y ，z )＝______，若BP AP 2=时，点P 的坐标为______.11．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______．12．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.三、解答题13．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BC D ．23(2008全国1理) C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113AO AB =另2．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ）A ．21 B ．42C ．22D ．23(2005湖南理)． 4．已知空间中三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与,都垂直，且3||=a ，则a ＝( )(A )(1，1，1) (B )(1，－1，1)(C )(－1，1，1)(D )(－1，－1，－1)或(1，1，1)5．a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则a ＋6b －8c ＝( ) (A )(14，－3，3) (B )(14，－3，35) (C )(14，－3，－12)(D )(－14，3，－3)6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－37．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1(C )7(D )－78．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则直线BC 到平面AB 1C 1的距离为______．9．下列各组向量中不平行的是( ) (A )a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B )c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C )e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) (D )g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题10．（理）在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.11．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为12．三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.13．如图，正方体的棱长为1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______．14．如图，在正三棱锥S －ABC 中，点O 是△ABC 的中心，点D 是棱BC 的中点，则平面ABC 的一个法向量可以是______，平面SAD 的一个法向量可以是______．三、解答题15．如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BC D ．23(2008全国1理) C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113AO AB =另2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21B ．42C ．22D ．23(2005湖南理)． 3．距离(选学)一、选择题1．已知a ⊂α ，A ∉α ，点A 到平面α 的距离为m ，点A 到直线a 的距离为n ，则( ) (A )m ≥n (B )m ＞n(C )m ≤n(D )m ＜n4．过点A (2，－5，1)且与向量a ＝(－3，2，1)垂直的向量( ) (A )有且只有一个 (B )只有两个且方向相反 (C )有无数个且共线(D )有无数个且共面第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（理）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面外任意一点，若有λ++=3251确定的点与A ，B ,C 三点共面，则λ＝______．7．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______．8．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______．9．已知向量i ，j ，k 不共面，且向量a ＝mi ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋rk ，若a ∥b ，则实数m ＝______，r ＝______.10．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的余弦值是______．11．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．12．如图AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上非A ，B 的任意一点，则图中直角三角形共有______个．三、解答题13．如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =,4BC =，5=AB ，14AA =． (1)设AD AB λ=,异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，求λ的值； (2)若点D 是AB 的中点，求二面角1D CB B --的余弦值．14． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b aλ=．(第22题)BA CA 1 DB 1C 1（1）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，(1)在图中找出平面ABCD ，平面ADD 1A 1，平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出(1)中三个法向量的坐标．16．如图，点A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心， 求证：)(31AD AC AB AG ++=． (注：重心是三角形三条中线的交点，且CG ∶GE ＝2∶1)17．已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面FEC 1 B 1A 1CBA（第22题图）ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝121=AB ，M 是PB 的中点。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2010全国2理)与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个【答案解析】D2．向量=（1，2，0），=（－1，0，6）点C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为( ) (A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6)(C)(0，1，3)(D)(－1，－1，3)3．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1(C )7(D )－74．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A )11B D (B )D 1 (C )1DB(D )1BD第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．（理科）空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ．6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .7． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
8．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DA B 11第22题A9．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______10．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______．11．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.三、解答题12．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （1）证明：AP ⊥BC ；（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？ 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
【解析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分法一：（Ⅰ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系o xyz -，则(0,0,0)O ，(0,3,0)A -，(4,2,0)B ，(4,2,0)C -，(0,0,4)P ，(0,3,4)AP =，(8,0,0)BC =-由此可得0AP BC ⋅= ，所以AP BC ⊥ ，即AP BC ⊥（Ⅱ）13．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF == ．(1）求二面角A-DF-B 的大小；(2）在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600 试确定点P 的位置． 4．14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱BC 的中点，Q 在棱CD 上. 且DQ DC λ=，若二面角1P C Q C --的余弦值为7，求实数λ的值.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，2A B B C ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为403. （1）求1A A 的长；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直， 如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.BEAFDCBD1B 1A 1DD 1C 1ACB16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小. 【2012高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）17．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1．(1)求异面直线AC1与CB1所成角的大小；(2)证明：BC1⊥AB1．18．已知向量a＝(1，－1，2)，b＝(－2，1，－1)，c＝(2，－2，1)，求(1)(a＋c)·a；(2)｜a－2b＋c｜；(3)cos〈a＋b，c〉．19．三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝B C ．(1)求AC 与平面SBC 所成角的大小． (2)求二面角A －SC －B 的大小．20．如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，BD=22. (Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； (Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小； (Ⅲ）求点C 到平面PBD 的距离.21．如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD .CDPAB⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.22．(本小题满分10分)如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角B AC M --的的余弦值； （Ⅱ）求点C 到面MAB 的距离.23．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。
24．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =.(1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60º； (2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ， 1D Q ⊥AP ，并证明你的结论.25．如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．PBCDA M（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）26．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
27．已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．（1）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （2）求点A 到平面MCN 的距离．28．如图，圆锥的高4PO =，底面半径2OB =，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF DE ⊥． (1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2)求二面角O DF E --的正弦值．29．（本小题满分15分）三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，13AA =．D 是BC 的中点．OEDAFBPPCBA（1）求直线1A D 与11B C 所成角的余弦值； （2）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值．30．如图：三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3。
若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥P －ABC 的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小 （结果用反三角函。