最新偏微分方程期末复习笔记
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
偏微分方程总复习和课后习题答案
一、基本概念
1. 偏微分方程的定义P1 2. 偏微分方程的阶数，线性、拟线性、完全非线性 偏微分方程的定义P10 3. 偏微分方程的适定性P23
二、方程的导出，分类与化简
三、公式的直接应用题
1. 2. 3. 4. 5. 达朗贝尔公式P36 公式P42 傅里叶（逆）变换P106 P110例 4.1.7结论 泊松公式P112
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
1 2 u ( x t ) 3t xt 2
1 1 xa t C f1 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x0 2 1 1 xa t C f 2 ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2 a x0 2
1 1 xat u [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x a t
1 u ( x t ) x (1 a )t cos x sin at a
2 2 2
1 （ 7）
解：
2
1 22 1 x at x at x u ( x t ) 5 x t a t 2 (e e 2e ) 3 2a
1 （ 6）
解：
2 2u u 2 1 a f ( x , t ), x R ,t 0 2 2 t x u ( x, 0) ( x), u ( x, 0) ( x), x R1. t
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at x a ( t ) 1 t d f ( , )d x a ( t ) 2a 0
微分方程笔记总结
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
云南省考研数学与应用数学复习资料偏微分方程重点题型总结
云南省考研数学与应用数学复习资料偏微分方程重点题型总结偏微分方程是数学与应用数学考研中的重要知识点之一。
在复习过程中，重点掌握并熟练应用偏微分方程的各类题型是非常关键的。
本文将从常见的偏微分方程题型入手，总结云南省考研中数学与应用数学偏微分方程的重点题型，帮助考生有针对性地进行复习。
一、一阶偏微分方程1. 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为：P(x, y)u_x + Q(x, y)u_y = R(x, y)其中P、Q、R为已知函数，u为未知函数。
解题思路：通过变量分离、常数变易等方法求解。
2. 齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程的一般形式为：P(x, y)u_x + Q(x, y)u_y = 0其中P、Q为已知函数，u为未知函数。
解题思路：通过变量分离、常数变易等方法求解，并注意到齐次线性偏微分方程的解具有叠加性质。
二、二阶偏微分方程1. 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程的一般形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = G(x, y)其中A、B、C、D、E、F为已知函数，G为已知函数或零函数。
解题思路：通过特征线法、变量分离、常数变易等方法求解。
2. 泊松方程泊松方程的一般形式为：△u = f(x, y)其中△表示拉普拉斯算子，u为未知函数，f为已知函数。
解题思路：通过分离变量、格林函数等方法求解。
三、特殊函数及其应用1. 分离变量法对于具有可分离变量的偏微分方程，可以通过引入新函数的方式将方程进行分离变量，从而得到解法。
2. 格林函数格林函数是求解边界值问题的重要工具，在特定边界条件下，通过格林函数的积分形式可以得到偏微分方程的解。
四、典型题型举例1. 求解一阶线性偏微分方程：例1：求解方程 yu_x - xu_y = 0解：通过变量分离的方法，得到解为 u = c ln|x| + f(y)2. 求解二阶线性偏微分方程：例2：求解方程 u_xx - u_yy = e^x解：通过特征线法，得到解为 u = f(x + y) + g(x - y) + C3. 求解泊松方程：例3：求解方程△u = x^2 + y^2解：通过使用极坐标系和分离变量法，得到解为 u = (r^2 - 2) / 4以上仅为部分偏微分方程的题型总结，考生可根据题目要求和题型特点，灵活运用不同的解题方法。
偏微分方程之期末重要知识总复习
偏微分方程数值解总复习一、考虑一维经典的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=∈=(0)T )(0, ),(0u u t u t f dt du设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的∙表示R 中的任一种范数。
给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。
在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m这一方法称为Euler 方法。
如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。
1、在],[h t t +上，定义算子：))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+=当2),(]);([≥=p h O h t u L p时，称数值方法是相容的。
2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。
3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。
则称数值方法是稳定的。
证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。
证明1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得2)(21))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'=2)(21))](,()([h tuu f t f h t u t f t u t ξ=∂∂∂∂+∂∂+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f uft f t t u =∂∂+∂∂==ξ是微分方程的解所以该数值方法是相容的。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
偏微分方程学习笔记
偏微分方程一．预备知识1．平面凸集定义：若E 是一个平面凸集，则对于E 中任意两点x ，y ，连接这两点的线段也在E 内。
即λ x + (1-λ) y ∈E ( 任意x ， y ∈E ，任意0≤λ ≤ 1)2．空间凸集定义：设X 是线性空间，E 是X 中一个空间凸集，如果λ x + (1-λ) y ∈E ( 任意x ， y ∈E ，任意0≤λ ≤ 1)3．设D 是E 的一个子集，为凸集，泛函 f : D → R ,称为在D 上是凸的 是指任意x ，y ∈D ，t ∈ [0,1]均有f (tx + (1-t ) y )≤t f ( x )+ (1-t ) f ( y ) 若只在x = y 时取等号，则称f 是严格凸的.4．Cauchy 不等式: 2222a b ab ≤+.(,)a b R ∈证明：由于()22202a b a b ab ≤-=+-，可得2222a b ab ≤+.5.带ε的Cauchy 不等式: 2222a b ab εε≤+.(0)ε>证明:在公式2222a b ab ≤+中，令a ，b ，则有2222a b ab εε=≤+6.Young 不等式：设0,0,1,1,a b p q >>>>且111.p q+=则有.p q a b ab p q ≤+证明: 泛函 f : x → x e ,是凸的，因此有(1)(1)tx t yx y e te t e +-≤+-从而有11ln ln ln ln ln ln 11.p q p q p qa b a ba b p qa b ab eee e p q p q++==≤+=+ 7. 带ε的Young 不等式: 设0,0,0,1,1,a b p q ε>>>>>且111.p q+=则有.qpqpqpq pab ab a b pqεεεε--≤+≤+证明:在不等式p qa b ab p q≤+中用1p a ε和1p b ε-代替,a b ，可得11.ppqpqpqpq pab ab a b a b pqεεεεεε---=⋅≤+≤+8.Holder 不等式：设1,1,p q >>且111.p q+=若(),(),p q u L v L ∈Ω∈Ω则1(),u v L ⋅∈Ω且()().p q L L uvdx uvΩΩΩ≤⋅⎰证明：设1()t x 与1()s x 是Ω中这样的可测函数11()1,()1,p qt x dx s x dx ΩΩ==⎰⎰（★）根据Young 不等式有 111111.(0,0)p q t s t s t s p q ≤+>>，111.p q+=对上述不等式两边在Ω上积分得1111p q t s t s dx dx dx p q ΩΩΩ≤+⎰⎰⎰111p q=+= 其次，若(),()p q u L v L ∈Ω∈Ω，则函数1111()()(),()(())(())pqpqu x v x t x s x u x dx v x dx ΩΩ==⎰⎰满足（★）式的条件，故有1111()()()()1(())(())pqpqu x v x t x s x dx dx u x dx v x dx ΩΩΩΩ=⋅≤⎰⎰⎰⎰即 11()()(())(())pqpqu x v x dx u x dx v x dx ΩΩΩ≤⎰⎰⎰也就是()()()()()().p q L L u x v x dx u x v x ΩΩΩ≤⎰推论：（1）若11(),()0,1,u x v x pq≥+=则有11()()(())(()).p q pqu x v x dx u x dx v x dx ΩΩΩ≤⎰⎰⎰（2）若121,,,,m p p p ≤≤∞且121111,mp p p +++= 设(),(1,2,,),kp k u L k m ∈Ω=则有211212()()().p p p m m mL L L u u u dx u u u ΩΩΩΩ≤⋅⋅⋅⎰9.Minkowski ’s 不等式：设1p ≤≤∞，且,().p u v L U ∈则有 ()()().pp p L U L U L U u v uv+≤+证明：()1()p L U ppp UUu vu v dx u vu v dx -+=+≤++⎰⎰而111()p p p UU Uu v u v dx u vu dx u vvdx ---++=+++⎰⎰⎰()()111111, 1.qpqp p pUU Uu vu dx u vdx u dxq p --⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()()111111, 1.qpqp p pUU Uu vvdx u vdx v dxq p--⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰从而有,1pq p =-因此有 ()()11111p p pp p p pp UU Uu vu dx u vdx u dx ----⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()11111p p ppp p pp UU Uu vv dx u vdx v dx----⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰上面两式相加得()()()()111111p p pp pp p ppp UU UUu v u v dx u vdx u dx v dx----⎛⎫⎛⎫ ⎪++≤++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰()1111(()())p ppppppUUUu v dxu dx v dx -⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰=1()()()()pp p p L U L U L U u v uv -++即是： 1()()()()()pp p p p p L U L U L U L U u v u vuv-+≤++，因此()()()()().p p p p L U L U L U L U u vu v u v +≤++10.-norms p L 内插不等式：设1,s r t ≤≤≤≤∞且有()11,rstθθ-=+若()().s t u L U L U ∈则有(),r u L U ∈且有()()1().rs t L U L U L U uuuθθ-≤证明：我们计算(1)rrrU U u dx uudx θθ-=⎰⎰，因为()11,r s tθθ-=+即是()11,r rstθθ-+=利用赫尔德不等式有()()(1)(1)(1)(1)rr s t s tr rrr rrrUUU Uu dx uudx udx u dx θθθθθθθθ----⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰两边同时1r次方得到：()()1().rs t L U L U L U uuuθθ-≤11.柯西-施瓦茨不等式：,(,).n x y x y x y R ≤∈证明：让0,ε>并注意到222202.x y x x y y εεε≤±=±+从而有下列结果221.22x y x y εε±≤+设,0xy yε=≠时取右边的最小值得到,(,).n x y x y x y R ≤∈ 12.Gronwall ’s 不等式(differential form).(i)Let ()η be a nonnegative, Absolutely continuous function on[0,],T which satisfies for a.e t theDifferential inequality(15) ()()()(),t t t t ηφηψ'≤+Where ()x φ and ()x ψ are nonnegative, summable functions on[0,].T Then(16) 0()0()(0)()tt s ds t es ds φηηψ⎰⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦⎰ For all 0.t T ≤≤(ii)In particular, if on[0,T]and (0)=0,ηφηη'≤then 0on[0,T].η≡ Proof. From (15) we see()000()()()()()()()()sssr dr r dr r dr d s e e s s s e s ds φφφηηφηψ---⎛⎫⎰⎰⎰'=-≤ ⎪⎝⎭For a.e 0.s T ≤≤因此对每一个0,t T ≤≤we have00()()()0()(0)()(0)().(1)ts st t r drr dr r drt e e s ds s ds e φφφηηψηψ---⎰⎰⎰≤+≤+≤⎰⎰This implies inequality(16).13.Gronwall ’s inequality ( integral form ).(i)Let ()t ζ be a nonnegative, summable function on [0,T] which satisfies for a.e. t the integral inequality (17) 120()()tt C s ds C ζζ≤+⎰ For constants 12,0.C C ≥ Then(18) 121()(1)C t t C C te ζ≤+for a.e. 0.t T ≤≤ (ii) In particular, if10()()tt C s ds ζζ≤⎰for a.e 0.t T ≤≤ then ()0..t a e ζ=Proof. Let 120():();()..[0,].tt s ds then t C C a e in T ηζηζη'==≤+⎰According to the differential form of Gronwall ’s inequality above1122()((0))C t C t t e C t C te ηη≤+=Then (17) implies11221()()(1).C t t C t C C C te ζη≤+≤+14.Poincare 不等式(也叫Friedrichs 不等式)符号说明：()(){()}122,,1,2,,n iuR H u L L i n x ∂Ω⊆Ω=∈Ω∈Ω=∂L 这个集合是线性的。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结一、偏微分方程的分类：1.齐次与非齐次：一个偏微分方程中，如果所有出现的偏导数项的次数相同，且不含常数项，则称其为齐次方程；如果存在常数项，则称其为非齐次方程。
2.线性与非线性：一个偏微分方程中若只包含未知函数及其偏导数的一次项，并且未知函数的系数不依赖于未知函数自身及其偏导数，则称其为线性方程；反之，则是非线性方程。
3.定常与非定常：一个偏微分方程中，如果未知函数及其偏导数的系数不依赖于自变量，则称其为定常方程；反之，则是非定常方程。
4.高阶与低阶：一个偏微分方程中，若最高阶偏导数的阶数大于1，则称其为高阶方程；若最高阶偏导数的阶数为1，则称其为一阶方程。
二、偏微分方程的求解方法：1.分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，可以通过分离变量的方式将其转化为一阶常微分方程进行求解。
2.特征线法：对于一些具有特殊形式的偏微分方程，可以通过特征线法来求解。
该方法将方程中的自变量替换为新的变量，使得方程在新的变量系综下变得简单。
3.变换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程或标准的数学物理方程进行求解。
5.数值解法：对于一些复杂的偏微分方程，可以采用数值解法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用：1.物理学：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
2.工程学：偏微分方程在工程学中也有重要应用，如电磁场方程、流体力学方程、固体力学方程等。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中的应用主要用于建模和分析经济系统的动态变化，如Black-Scholes方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程等。
4. 生物学：偏微分方程在生物学中的应用主要用于描述群体的扩散、生物图像处理和生物电传导等问题，如Fisher方程、Gray-Scott方程等。
综上所述，偏微分方程理论是数学中的重要分支之一、通过对偏微分方程的分类、求解方法及其应用的归纳与总结，不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质与特点，还能够为我们解决实际问题提供一个有效的数学工具。
偏微分方程复习提纲
卷积定理：
∞
第三步：叠加。令 u(x, t) =
n=1
un (x, t)，其中每个 un (x, t) 中都含有待定常
数。 第四步：由 Fourier 级数的展开定理，利用初值条件，确定每个 un (x, t) 中的待 定常数。最终得到定解问题的形式解。 注意： 不同的齐次方程，与不同的齐次边界条件，将得到不同的本征值问题。 2. 非齐次方程齐次边界条件 (1) 在边界条件为齐次的情况下，若方程非齐次，但初值条件齐次，可采用本 征函数展开法求解，将该定解问题转化为求解一个非齐次常微分方程的初值问题。 (2) 在边界条件为齐次的情况下，若方程非齐次，初值条件也是非齐次，则可 以利用叠加原理，将定解问题转化为求解以下两个定解问题，其中对应的边界条件 都是齐次的： (i) 非齐次方程 + 齐次初值条件； (ii) 齐次方程 + 非齐次初值条件。 注: 对于非齐次方程 + 齐次边界条件 + 齐次初值条件，也可以用齐次化原理 来求解。
+∞ −∞ +∞ −∞
ˆ(λ)eiλx dλ. f
ˆ(λ)eiλx dλ. f
ˆ ˆ(λ) ； (4) Fourier变换的性质：(i) 线性性质；(ii) 微分性质： (f (x)) (λ) = iλf (iii) 卷积定义： +∞
f ∗ g (x) =
−∞
ห้องสมุดไป่ตู้
f (x − t)g (t)dt.
K ， |x|2 1 ˆ ˆ ˆ(λ) · g 则有 f ˆ(λ) = (f ∗ g ) (λ) ; 若 f, g 还是连续的，则有 f (x) · g (x)(λ) = f (λ) ∗ 2π g ˆ(λ) . (iv) 平移性质；(v) 伸缩性质；(vi) 乘子性质等等。 设 f (x) 与 g (x) 是分段连续的，且 ∃K > 0, ∀|x| ≥ 1 有 |f (x)|, |g (x)| ≤ 会利用Fourier变换的定义及性质进行计算。 2. Fourier变换在求解偏微分方程初值问题中的应用： (1) 一维热传导方程的初值问题的Fourier变换方法求解。 (2) 一维波动方程的初值问题的Fourier变换方法求解。 (3) 上半平面的Laplace方程的第一边值问题的Fourier变换方法求解。 会利用Fourier变换方法求解上述各种问题及其变形, 例：P104-105, 习题7(2),9。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
偏微分方程周蜀林笔记
偏微分方程周蜀林笔记第一章偏微分方程概述1.1 偏微分方程的定义偏微分方程是描述多变量函数满足的数学方程，其中包含未知函数的偏导数。
通常以PDE(abbr.)来表示。
1.2 偏微分方程的分类偏微分方程主要分为椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程三大类。
不同类型的方程在求解上有着不同的特点。
1.3 偏微分方程的应用偏微分方程在物理学、工程学、生物学等领域有着广泛的应用，可以用来描述复杂的现象和过程。
第二章常见的偏微分方程2.1 热传导方程热传导方程是描述物体温度随时间和空间变化的方程，通常用来解决热传导问题。
2.2 波动方程波动方程描述波动过程中的物理规律，可以用来研究声波、光波等波动现象。
2.3 广义的泊松方程广义的泊松方程是椭圆型偏微分方程的一种，常用来描述电势、流体力学等问题。
2.4 应力平衡方程应力平衡方程是描述固体力学中应力场分布的方程，用来研究材料的变形和断裂。
第三章偏微分方程的求解方法3.1 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程中的常用方法，通过假设解为各个变量的乘积，将偏微分方程转化为一系列常微分方程。
3.2 特征线法特征线法是求解双曲型方程和抛物型方程的常用方法，通过对方程进行特征变换，将偏微分方程转化为常微分方程。
3.3 变换法变换法是求解偏微分方程中的重要方法，通过对方程进行适当的变换，可以将偏微分方程简化为常微分方程或者代数方程。
第四章偏微分方程的数值方法4.1 有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用数值方法，通过将函数在空间和时间上进行离散化，将偏微分方程转化为代数方程组。
4.2 有限元法有限元法是求解偏微分方程的另一种重要数值方法，通过将问题的域分割成有限个小单元，建立一个逼近方程的有限元空间。
4.3 谱方法谱方法是求解偏微分方程的高精度数值方法，通过在连续域上进行逼近，利用傅里叶级数等方法求解偏微分方程的数值解。
结语：偏微分方程是数学中的一门重要分支，它在描述自然界中的复杂现象和过程中有着重要的应用。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--偏微分方程基本理论的归纳与总结偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象.根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是：（1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法；（2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段；（3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计；（4）双曲型方程,对应于Galerkin方法；（5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法.从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类：（1）稳态方程（非时间演化方程）；（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容；（3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征；（4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.下面具体来介绍三类经典方程：三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论.关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法.关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论.具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切的基础.首先有必要解释一下解的适定性.简单地说,一个偏微分方程是适定性的,若它有解（存在性）解唯一（唯一性）且对输入数据的微小改变的响应也是很小的改变（连续依赖性）.前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则是实验观察的基础.考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别是数值解在应用中就具有特别的重要性.因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系：对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成为偏微分方程理论的核心内容.因此,偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象.同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点：一是与应用、与物理的紧密联系；二是与数学其它分支的联系.以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点.针对特点一：首先,数学物理方程是自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系.例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立和定解问题的解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以偏微分方程理论的研究是能够更好地将其运用于物理当中.针对特点二：偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系.偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响.鉴于此,对于应用数学而言,掌握和研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面：（1）建立模型.在经典物理中,具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型.如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况.在近代物理中,情况有一些变化.咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律是隐而不见的,此时数学物理方程是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的.然而,到了现代数学阶段,大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识和直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行.因此,只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法,才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力,这里方程解的性质是由实验数据与观测资料所提供.这种模型反推能力再结物理直觉就是现在建立数学模型的基本要求;（2）从已知的方程和模型推导出新的发现和预言.这个方面可以说是科学发展最重要的环节之一;（3）从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理和解释;（4）最后一个方面就是从数学模型获得与实验和观测相吻合的性质和结论.虽然这类工作不能提供新的科学结果,但能使我们加深对问题的理解,体现自然美与数学美的有机结合.在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它的物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么.事实上,同一个方程有许多不同的来源,这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一.同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性.其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象.这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中的意义.然后,要善于去思考,总结,归纳.逐步提高分析、解决实际问题的能力.至于与数学其他学科的联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想,和定理,解的表达形式也是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识.最后,学好泛函分析也是同等重要的,因为偏微分方程解的唯一性和连续依赖性需要许多实变和泛函分析的理论和方法.所以在重视偏微分方程基本理论时（实变函数和泛函分析的许多思想方法都是来源于偏微分程理论研究）,也要同样学好泛函分析.参考文献（1）王明新，偏微分方程基本理论；（2）马天，偏微分方程理论与方法；（3）王明新，数学物理方程.。
大二上学期末偏微分方程实用技能总结
大二上学期末偏微分方程实用技能总结大二上学期末，我对偏微分方程实用技能进行了总结。
在学习偏微分方程的过程中，我掌握了许多实用技能，这些技能在数学建模和工程领域都具有广泛的应用。
在本文中，我将对我所学到的偏微分方程实用技能进行总结，并分享一些学习心得体会。
首先，我学会了对偏微分方程进行分类和解决不同类型的偏微分方程。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程、经济学等领域，在解决实际问题时，需要根据具体情况选择合适的偏微分方程进行建模。
通过学习，我能够准确地对偏微分方程进行分类，并对不同类型的方程采用相应的解法，从而更好地解决实际问题。
其次，我在学习偏微分方程的过程中，掌握了常见的求解技巧和方法。
解偏微分方程是数学建模和工程领域中的重要任务，我通过学习，积累了大量的求解经验，并掌握了常见的求解技巧和方法。
例如，分离变量法、变换变数法、特征线法等，这些方法在解决实际问题时都具有重要的作用。
此外，我通过大量的练习，提高了对偏微分方程的建模能力和解题能力。
在学习偏微分方程的过程中，我通过大量的练习，提高了对实际问题建模的能力，并学会了如何将实际问题转化为偏微分方程进行求解。
同时，我也通过练习，提高了解题的速度和准确性，能够更快地解决实际问题，并得到准确的结果。
另外，我学会了利用数值方法求解偏微分方程。
在实际问题中，很多偏微分方程无法通过解析求解，需要借助数值方法进行求解。
我通过学习，掌握了有限差分法、有限元法等数值方法，能够有效地对偏微分方程进行数值求解，从而更好地解决实际问题。
总之，通过学习偏微分方程，我掌握了许多实用技能，这些技能对我未来的学习和工作都具有重要的意义。
我将继续努力，不断提高自己的数学建模能力和解题能力，为将来的发展打下坚实的基础。
希望在未来的学习和工作中，能够充分发挥偏微分方程实用技能的作用，为社会的发展和进步做出更大的贡献。
偏微分方程知识点总结
偏微分方程知识点总结1. 什么是偏微分方程？偏微分方程是描述多个自变量和它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学和物理学中起着重要的作用，并被广泛应用于各个领域。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为几个主要的类型，包括：- 椭圆型方程：以拉普拉斯方程为代表，通常用于描述稳定的分布或调和情况。
- 抛物型方程：以热方程和扩散方程为代表，通常用于描述物质传导或扩散过程。
- 双曲型方程：以波动方程为代表，通常用于描述波动或振动的传播过程。
3. 常见的偏微分方程以下是几个常见的偏微分方程：- 热方程（Heat Equation）：用于描述温度在空间和时间中的传导过程。
- 波动方程（Wave Equation）：用于描述波动的传播过程，如声波、光波等。
- 扩散方程（Diffusion Equation）：用于描述物质在空间中的扩散过程。
- 广义拉普拉斯方程（Generalized Laplace Equation）：用于描述稳定的分布情况，例如电势分布。
4. 解偏微分方程的方法解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括：- 分离变量法：将方程中的未知函数表示为多个独立变量的乘积形式，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程。
- 特征线法：根据偏微分方程的特征曲线，将方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解析解。
- 有限差分法：将偏微分方程中的偏导数用差商近似表示，将区域离散化为一个个小区域，利用差分方程逐步逼近解析解。
- 有限元法：将区域划分为有限个子区域，通过对子区域进行逼近，得到整个区域的近似解。
5. 偏微分方程在实际应用中的重要性偏微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，如：- 物理学：用于描述波动、传热、扩散等物理现象。
- 工程学：用于解决结构强度、热传导、流体力学等工程问题。
- 经济学：用于建立经济模型，描述经济增长、分配等问题。
- 生物学：用于研究生物传输、生物过程等生命科学问题。
以上是我对偏微分方程的知识点进行的简要总结，请您参考。
陈泽光偏微分方程笔记
陈泽光偏微分方程笔记（实用版）目录1.偏微分方程的概念及一般形式2.弱导数和分布导数的定义3.半线性抛物型偏微分方程的概述4.偏微分方程四大方程的内容5.结论正文一、偏微分方程的概念及一般形式偏微分方程是一种涉及多个自变量的微分方程，它联系着几个自变量、偏导数以及未知函数的等式。
偏微分方程的一般形式可以表示为：f(x1, x2,..., xn) = 0其中，f(x) 是已知函数，x(x1, x2,..., xn) 属于欧几里得空间 Rn，u(x) 表示未知函数。
二、弱导数和分布导数的定义弱导数和分布导数是偏微分方程中常见的概念。
弱导数是指函数在某点处的导数，它是一种局部性质。
分布导数是指函数在某点处的导数，它是一种全局性质。
在 Sobolev 空间中，弱导数和分布导数的定义可以参考 Lawrence C.Evans 的《Partial Differential Equation》一书。
三、半线性抛物型偏微分方程的概述半线性抛物型偏微分方程是一种特殊的偏微分方程，它的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性的，它的非线性只出现在函数及其一阶导数项。
这样的方程称为半线性方程。
例如，在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得抛物型偏微分方程。
四、偏微分方程四大方程的内容偏微分方程四大方程包括：Laplace 方程（调和方程）、Poisson 方程（泊松方程）、Helmholtz 方程（亥姆霍兹方程）和 Maxwell 方程（麦克斯韦方程）。
这些方程在物理、工程等领域具有广泛的应用。
五、结论偏微分方程是一种重要的数学工具，它应用于许多领域，如物理、工程、生物学等。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
最全面学习笔记_不同类型偏微分方程的特性2021
双曲线型方程偏微分方程分类抛物型方程
椭圆型方程
混合型方程
u x u x u
y
u
y
v
x
v
x
v
y
v
y
a1b1c1d1f1考虑拟线性方程组
a2b2c2d2 f 2分类方法一：克莱姆法则
a b c (a1c2
( a1d2
(b1 d2
a2c1 )
a2 d1
b2d1)
b1c2b2 c1 )
2
b4ac 0 方程组是双曲型b 2 4ac 0 方程组是抛物型b 2 4ac 0 方程组是椭圆型分类方法二：特征值法
a1 a2c1
c2
b1
b2
d1
d2
1
N[ ] [ ]
N 的特征值是实数，方程是双曲型
N 的特征值是虚数，方程是椭圆型
N 的特征值是实数和虚数的混合，方程组是混合特性
二阶偏微分方程
AUxx+BUxy+CUyy+...= 0
Δ=B^2-4AC
Δ>0: 双曲型
Δ=0: 抛物型
Δ<0: 椭圆型
双曲型方程
例如：
稳态无黏超声速流动
非定常无黏流动
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表
抛物型
例如：
稳态边界层流动
非定常的热传导
双曲型和抛物型方程的主要数学特性是，
她们可以借助自身从一个已知的初始平面或线出发推进求解。
椭圆型
例如：
稳态、亚声速无黏流动
不可压缩无黏流动
椭圆型方程，一给定点上的流动变量必须同时与流场中其他所有点上的流动变量一起求解。
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《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t)(一)初值问题(柯西问题)< 2 U tt—a U xx = f(x,t)1、一维情形Ut t^a(x)(1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，* 2 * 2 U tt—a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t)(i) J U t^=<p (x)(n) «U tm = 0i U t t z0= V (x)i U t t 仝=0其中，问题(I )的解由达朗贝尔公式 给出：④(x —at)+®(x +at)1 /烈 u(x,t)( )d22a 2 、)t由齐次化原理，问题(n)的解为：u (x,t ) W(x,t ； )d .W tt -&昵=0其中，W(x,y,z,t;.)是下述初值问题的解：W t 二=0 Wtf f(x,)从而问题(n)的解为:f ( , )d d综上所述，原初值问题的解为：U (x,t 」(x—at)"x at)丄22a(2) 依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：① 依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：［x-at , x+at ］;利用达朗贝尔公式得W(x,t;) 1 2ax 亠a(t _ .)[X -a(t 亠)(,)dx ，( )d 去t X a(t T) 0 x 」(t_)f(，)d d②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲• at込x込X2-at}SM4 a tS -M4 ar iat尸r,,t ——)乳dV r③影响区域：区间［为，乂2］的影响区域为：{(x,t)|捲一at 乞x 乞x 2 at } ④特征线：x=x °_at (3)解的验证：见课本 P10, P14< 2U tt —a (U xx +U yy +U zz) = f (X,y, z,t)2、三维情形」uy=®(x, y,z)Ut(x,y,z)(1)解法(球面平均法)：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,其中，问题(I )的解由泊松公式给出:t由齐次化原理，问题(n)的解为： U(x, y,z,t) W(x, y,z,t ； )df2W tt -a 2(W xx+W yy +W zz) = 0 其中，W(x,y,z,t;i)是下述初值问题的解：<W t 斗=0W t tf (x, y, z,)利用泊松公式得 W(x, y,乙t; J 一 --------------- ,―,—,— dS4；1花趴_厂 r 」=a(t4从而问题(n )的解为：1丄)U(x,y,z,"苻」dV综上所述，原初值问题的解为:- 2 U tt—a (U xx +U yy +U zz ) =0(I)如7 =纨人y,z)U t 7=屮(x,y,z)‘U t —a 2(U xx +U yy + U zz )(n) < u t m = 0U t t±=0f (x,y, z,t)U(x,y, z,t)SaMdS右 JOS（2） 依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：① 依赖区域（球面）：点（x 0,y 0，z ）,t ）的依赖区域为（x —x 。
）2 （y -y 。
）2 （z —z o ）2 =a 2t ：；② 决定区域（锥体）：球面（x - X 。
）2 • （y - y 0）2 （z -z 。
）2二ah ：决定区域为：2 2 2 2 2（X-X 。
）（^ - y 0） ■ （^ - z 0） a（t0-t ） （t_t 。
）；③ 影响区域（锥面）：点（X °,y 。
，z 。
,。
）的影响区域为：（X -X 。
）2 （y - y 。
）2 （z - z 。
）2 =a 2t 2 （t 0）④ 特征锥：（x-X 。
）2 • （y-y 。
）2 • （z-z 。
）2 =a 2（t 。
-t ）2 惠更斯原理（无后效现象）见课本 P35 （3） 解的验证：见课本 P29, P32产2U tt —a (U xx +U yy ) = f (x, y,t)3、二维情形」U tT=®(x, y)Ut 7=屮&,丫)(1)解法(降维法)：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，L2卢2U tt —a (U xx +U yy ) =。
U tt —a (U xx +U yy)= f(x, y,t)(l )』U tm = ®(x, y)(n) *U tm=。
U t t T(X, y)l U t t 3。
= 0其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：1 \U （X , y,t ）= -- ---- 17 r --------------------------------2兀a L "丈 J （at ）2 —（匕―x ）2 —巴—y ）2t由齐次化原理，问题（n ）的解为：U （x, y,t ） W （x,y,t ； ）d -“ 2d dd dS M J (at )2 一(亍—x)2 -(口 一 y)2W tt _a2(W xx+W yy)=。
」W==。
W ttn= f(x,y「)其中，W（x,y,t;）是下述初值问题的解:-1利用泊松公式得 W(x, y,t;i)=--------------------------------------------- [f |-综上所述，原初值问题的解为:r 2 -( -x)2 -( - y)2r =a (t q（2） 依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：① 依赖区域（圆饼）：点（x 0,y o ，t ）的依赖区域为（x -X o ）2 （y - y 。
）2 乞 a 2# ；② 决定区域（锥体）：圆饼（x -X 。
）2 • （y - y 。
）2 _ a 2t ：决定区域为：（x —x 。
）2 • （y — y 。
）2 乞a 2（t —t 。
）2 （t —t 。
）；③ 影响区域（锥体）：点（X o ，y 。
,。
）的影响区域为：（x -x 。
）2 （y - y 。
）2 乞 a 2t 2 （t 0）④ 特征锥：（x-x 。
）2 • （y - y 。
）2 =a 2（t 。
-1）2 后效现象见课本P35、36（3） 解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
1 u(x,y,t):-]白玄 J(at)2 —G —x)2 —(口■-(,)()肓 dW£j (at )2_(J x)2-—y)2-1 atf (肿,t-丄)1af( , ,t-—)a22 兀a 左(J _(匕 _x)2 _严 _ y)r=a (tq从而问题（n ）的解为:1 u(x, y,t) 2at2：a10W r 2 —G —X )2 —(□ -y)用齐次化原理得到（n ）的解:（2）解的验证、相容性条件（见课本 P19）、热传导方程（抛物型方程）u t -a 2U xx 二f （x,t ）d - aS = f (x,t) Uy =®(X )(二)初边值问题—U t t 」a (x)（1）解法（分离变量法）： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I)-2 cU tt _a U xx =0U yhF (X ) U t tFT x)比 _a 2U xx= f(x,t)ut 』=04 t=0 = 0u XA = U XA = 0用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I ）的解为:oOU (X,t)八kiA k COS^tB k Sin^t sin^xl ll其中B klk 0 ( )sin-p d；-()si 吟 dk ■:u(x,t)oO k =1tB k (i)sinsin-px从而原初边值问题的解为:u(x,t)八kmcos k _a t B k sin"k _at sinl k ll □Ci tx 亠 1 i B k ( )sin(t 一 •)d • sin kd 0l注：非齐次边界条件的情形见课本P21、 22相容性条件：函数（x^ C 3「（x ）・C 2，并且（0） =护（1）=驴"（0）=护"（l ）=即（0）='-： (l)=02门U t —a U xx =0（一）初边值问题如7 = ^&）、U x 』= U ^±=0（注：由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；但是边界条件有可能给第一、第二、第 三类边界条件，这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例）（1）解法（分离变量法） 用分离变量法（过程请脑内补完）得到原方程的解为:一 2.2詈knu(x,t)二C k esin xkAl其中 C k = 2 ： '（ ）sin 牛 d 注：非齐次边界条件的情形见课本（2）解的验证、相容性条件（见课本P51、52）产2』U t —a U xx = f (x,t)u|yN(x)（1）傅里叶变换（必考的重点） ①一维情形：■be. n傅里叶变换：F[f]=g （，）=f （x ）e _L ，xdx傅里叶逆变换：F [g]二 f （x ） - g （ ■ ）e ' x d ■ 2兀q②高维情形：设X=（X 1，…，X n ），■二（’1,…，’n ）傅里叶变换：F[ f ] = g （丸）=f f （x ）e"x dxR n傅里叶逆变换：F昕f（x ）=（2押严屮"③傅里叶变换的性质：P21、 22（二）柯西问题性质 1 F[: f4f2] = ：F[fJ ：F[ f2] 性质 2 F[f< f z] =F[f1】Ft]1性质 3 F[f1 f2] F[fJ F[f2]2兀性质 4 F[ f'(x)]」F[f (x)]-J性质 5 F^ixf (x)U — F[f(x)] dk（2）解法：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,' 2 门U t -a U xx =0 u 7=叫)其中问题（I）的解由泊松公式给出:_(x_52心)Ja1「)e F(x』2-:f(，)e石E d从而原柯西问题的解为:（3）解的验证（见课本P58、59）（三）极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性（见课本P60~65）2极值原理热传导方程U t - a U xx = f（X,t）（f乞0）的解u（x,t）在抛物边界上取得极大、极小值。
三、调和方程（椭圆型方程）3=0（一）拉普拉斯算子、梯度与散度1、几个常用的关系式：①二u = divC u）；②u n = — , n为单位向量;：n2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式：①直角坐标系:②球面坐标系:2A1 , 2 CU、丄 1 c Uu2(r )2 2 一 2 r :r r sin 门-:r r 2sin(sin :-22U t -a U xx = f(x,t)u t = 0(I)用齐次化原理得到问题（n）的解:1 U(xt^2^：t24a 2t(x_))e③ div(V、u)二2 u - v u‘ ‘ 2 2A 1“ 和、1 d u d u u(r ) 22r & & r 胡czP71、72）（算是难点，但期末考估计不会涉及，此处从略）（三）格林公式及其应用1、格林公式： HI div(F)dxdydz= F ndS2、格林第一公式：••、v!!!>.-：vd ^ Iiu dS ・ Iii 『、vd 「 「 2汕 二3、格林第二公式：.•、v 匚 uill (u. ：v -v. ：u)d'」=(uv )dS 门 「n汕4、调和函数的基本积分公式:1 c U "I卄亠— -I —丄亠dlS =』2兀u （M 0）,右M 0在『上 J 丿r內」_____8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性（略）④极坐标系:S —rr &③柱面坐标系:（二）变分原理（见课本①若 u =0，则 u(M 0)=1 - 小”、c / 、 —ff u(M)——41 口 cn i rM °M j.:u(M) ：：n dS M 0,若M 0在。