最新偏微分方程期末复习笔记

《偏微分方程》期末考试复习

一、波动方程(双曲型方程)U tt -a 2U xx 二f (x,t)

(一)初值问题(柯西问题)

< 2 U tt

—a U xx = f(x,t)

1、一维情形

Ut t^a

(x)

(1) 解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之

和，

* 2 * 2 U tt

—a U xx =o U tt —a U xx = f (x,t)

(i) J U t^=

(n) «U tm = 0

i U t t z0

= V (x)

i U t t 仝=0

其中，问题(I )的解由达朗贝尔公式 给出：

④(x —at)+®(x +at)

1 /烈 u(x,t)

( )d

2

2a 2 、)

t

由齐次化原理，问题(n)的解为：

u (x,t ) W(x,t ； )d .

W tt -&昵=0

其中，W(x,y,z,t;.)是下述初值问题的解：

W t 二=0 Wtf f(x,)

从而问题(n)的解为:

f ( , )d d

综上所述，原初值问题的解为：

U (x,t 」(

x

—

at

)"

x at

)丄

2

2a

(2) 依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：

① 依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：［x-at , x+at ］;

利用达朗贝尔公式得W(x,t;) 1 2a

x 亠a(t _ .)

[

X -a(t 亠)

(,)d

x ，( )d 去

t X a(t T) 0 x 」(t_)

f

(，)d d

②决定区域：区间［x1，X2】的决定区域为：{(x,t)|捲• at込x込X2-at}

S

M

4 a t

S -M

4 a

r iat

尸

r

,,t ——)

乳dV r

③影响区域：区间［为，乂2］的影响区域为：{(x,t)|捲一at 乞x 乞x 2 at } ④特征线：x=x °_at (3)解的验证：见课本 P10, P14

< 2

U tt —a (U xx +U yy +U zz) = f (X,y, z,t)

2、三维情形」uy=®(x, y,z)

Ut

(x,y,z)

(1)解法(球面平均法)：

由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,

其中，问题(I )的解由泊松公式给出:

t

由齐次化原理，问题(n)的解为： U(x, y,z,t) W(x, y,z,t ； )d

f

2

W tt -a 2(W xx+W yy +W zz) = 0 其中，

W(x,y,z,t;i)是下述初值问题的解：

W t t

f (x, y, z,)

利用泊松公式得 W(x, y,乙t; J 一 --------------- ,

―,

—,

— dS

4；

1花趴_厂 r 」=a(t4

从而问题(n )的解为：

1

丄)

U(x,y,z,

"

苻」

dV

综上所述，原初值问题的解为:

- 2 U tt

—a (U xx +U yy +U zz ) =0

(I)如7 =纨人y,z)

U t 7=屮(x,y,z)

‘U t —a 2(U xx +U yy + U zz )

(n) < u t m = 0

U t t±=0

f (x,y, z,t)

U(x,y, z,t)

SaM

dS

右 J

OS

（2） 依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）

：

① 依赖区域（球面）：点（x 0,y 0，z ）,t ）的依赖区域为

（x —x 。）2 （y -y 。）2 （z —z o ）2 =a 2t ：；

② 决定区域（锥体）：球面（x - X 。）2 • （y - y 0）2 （z -z 。）2二ah ：决定区域为：

2 2 2 2 2

（X-X 。）

（

^ - y 0） ■ （

^ - z 0

） a

（t

0-t ） （t_t 。）；

③ 影响区域（锥面）：点（X °,y 。，z 。,。）的影响区域为：

（X -X 。）2 （y - y 。）2 （z - z 。）2 =a 2t 2 （t 0）

④ 特征锥：（x-X 。）2 • （y-y 。）2 • （z-z 。）2 =a 2（t 。-t ）2 惠更斯原理（无后效现象）见课本 P35 （3） 解的验证：见课本 P29, P32

产

2

U tt —a (U xx +U yy ) = f (x, y,t)

3、二维情形」U tT=®(x, y)

Ut 7=屮&,丫)

(1)解法(降维法)：

由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，

L

2

卢

2

U tt —a (U xx +U yy ) =。 U tt —a (U xx +U yy)= f(x, y,t)

(l )』U tm = ®(x, y)

(n) *U tm=。

U t t T

(X, y)

l U t t 3。= 0

其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：

1 \

U （X , y,t ）= -- ---- 17 r --------------------------------

2兀a L "丈 J （at ）2 —（匕―x ）2 —巴—y ）2

t

由齐次化原理，问题（n ）的解为：

U （x, y,t ） W （x,y,t ； ）d -

“ 2

d d

d d

S M J (at )2 一(亍—x)2 -(口 一 y)2