射影几何在中学数学的应用课件
射影定理PPT课件
4
4
（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
CEF ∽ CBA.
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
射影几何在初等几何解析几何中的一些应用
”
。
学
Bc
》 P 84 )
论 来 研 究 初 等儿 何 或 解 析 几 何 中 有 关 问 题 的 时候 就 意 味着 我 们 从 射 影 平 面 回 到 了 拓 广
,
、
例一
c D
、
(
牛顿
D A
、
( N
w t
o n
)
定理 ) 设
,
AB
、
是 完 全四 边 形 的 四 边
AC
、
它的 M
、
的 欧 氏平 面 或欧 氏平 面 上 来 了
产
AR
R
,
B
( 证毕 )
例二 三 角形 A
自三 角形
,
A BC 三 CAQ
。
边 分别 向外 作 正
BR
B C P,
。
证明A P
Q
”
、
BQ
、
C R 三线 共 点
设R
,
、 ’ 、
P
”
、
分 别是 这三个
、
正三 角形 的 中 心 亦共 点
。
则A
P
”
、
BQ”
” CR 三 线
BC A B
… …
M R
Q L L Q B C A P K ,c ’ Q L
这 里 能 联系
,
三 条对 角线B D 在 一条直 线上
。
E F 的 中点
L
、
N
的 当然 只 能 是 那 些 与 射 影 性 质 有 关 的 间题
这 条 直 线 叫 做完 全 四 边 形 的
即 与 在 射 影 变 换 下 图 形 的 不 变 性 质 及不 变 量 有 关 的 问题
《射影几何与透视学》课件
射影几何的应用
通过射影几何理论，可以更好地 设计建筑物的外观和内部结构。
在计算机游戏中，利用射影几何 可以创造出更加真实的三维场景 。
摄影和电影制作 建筑设计
机器人视觉 计算机图形学
利用射影几何原理，可以更好地 理解和处理图像的透视关系。
射影几何在机器人视觉中用于识 别和定位物体。
02
透视学基础
《射影几何与透视学》PPT课件
目录
• 射影几何概述 • 透视学基础 • 射影几何与透视学的关系 • 射影几何与透视学的实际应用 • 结论 • 参考文献
01
射影几何概述
Chapter
射影几何的定义
01
02
03
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的几何分支。
射影变换
保持图形间点与点、直线 与直线间对应关系的变换 。
绘画艺术中的射影几何与透视学
绘画中的空间表现
利用射影几何与透视学的原理， 画家可以更好地表现画面的空间
关系和深度感。
绘画中的立体感
通过透视学的原理，画家可以创造 出更加逼真的立体感，使画面更加 生动。
绘画中的光影效果
利用射影几何的原理，画家可以更 好地表现光影效果，增强画面的层 次感和立体感。
摄影技巧中的射影几何与透视学
03
射影几何与透视学的关系
Chapter
射影几何对透视学的影响
射影几何为透视学提供了理论基础，使得透视学得以发 展。
射影几何中的投影原理为透视学中的投影提供了理论支 持。
射影几何中的一些基本概念，如点、线、面等，在透视 学中也有广泛应用。
透视学在射影几何中的应用
透视学为射影几何提供了实际 应用的场景，使得射影几何的 理论得以具体化。
垂直条件下的找角——“射影”在立体几何中的应用演示教学
垂直条件下的找角——“射影”在立体几何中的应用
一、书本上给出的定义
根据课本，我们大致可以整理出
1、异面直线所成角：平移，
2、线面角：射影定义[找线面垂直]，等体积求高
3、二面角：定义[作交线垂线]，射影找线面垂直[三垂线法]，补形找交线，射影面积法
还有额外的：向量法，向量法的核心在于把“面”表示成法线
仔细思考可以发现，除了线线角之外，其它所有方法的共同点，都是“垂直”
线线垂直、线面垂直和面面垂直
而在这些垂直中，线面垂直[射影]一定是相互转化的核心！
以下例题，都是应用了“射影”，来标出顶点在底面投影的大致位置，然后利用
1、直观
2、垂直平分线[面]
3、角平分线[面]
来比较线段的大小啦~~~。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
几何中的射影定理及其应用举例
几何中的射影定理及其应用举例几何学是一门研究空间形状和结构的学科，而射影定理则是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
本文将介绍射影定理的基本概念和原理，并通过几个实际应用举例，展示射影定理在几何学中的重要性。
射影定理是指在几何空间中，一条直线与两个平行平面相交，那么这条直线在其中一个平面上的投影与另一个平面上的投影互相平行。
这个定理的证明可以通过几何推理或向量运算来完成，但无论采用哪种方法，都需要基于空间几何学的基础知识。
在实际应用中，射影定理可以用来解决许多与投影相关的问题。
例如，在建筑设计中，我们常常需要考虑阳光的投影对建筑物的影响。
通过应用射影定理，我们可以确定在不同时间和季节，太阳光的投影位置和角度，从而为建筑物的设计提供参考。
这样，我们可以合理安排建筑物的窗户和遮阳设施，以达到舒适和节能的效果。
另一个应用射影定理的例子是在计算机图形学中。
在三维建模和渲染过程中，射影定理被广泛用于计算物体在二维屏幕上的投影效果。
通过将三维物体投影到屏幕上的二维平面，我们可以实现逼真的图像渲染和交互体验。
这个过程中需要考虑光源、摄像机位置和角度等因素，而射影定理为这些计算提供了基本原理和方法。
除此之外，射影定理还可以应用于地理测量、天文学、航空航天等领域。
在地理测量中，通过测量物体在地球表面上的投影，我们可以计算出物体的实际大小和位置。
在天文学中，射影定理可以帮助我们确定天体在观测设备上的投影位置和运动轨迹。
而在航空航天领域，射影定理则可以用来计算卫星的轨道和通信信号的传播路径。
总之，射影定理是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
通过应用射影定理，我们可以解决建筑设计、计算机图形学、地理测量、天文学和航空航天等领域中的实际问题。
射影定理的应用不仅可以提高我们对空间结构和形状的理解，还可以为相关领域的研究和实践提供有效的工具和方法。
因此，深入理解和应用射影定理对于几何学的学习和应用具有重要意义。
射影的有关概念及定理PPT课件
射影直线和平面所成角
汝城一中数学教研组
1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线
P 点P到平面的斜线段
Q
斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
斜线段在平面内的射影
P
Q
斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜
线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
A
（1） OB=OCAB=AC
射影的长短斜线段的长短
OB>OCAB>AC
（2 ）AB=ACOB=OC
B
AB>ACOB>OC
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
； ；；
续向前走去,不过此时根汉已经在角麟背后,此地之诡异就是角麟这远古之兽也没有听说过丶根汉抬头望向头顶壹片漆黑,尽是黑雾笼罩看不出去,周围十分の
高中数学第一讲四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4-1
(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D. 求BD，CD的长． 解：设∠BAC的度数为x， 则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x. 因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. 所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. 因为AB＝m，
四
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
射影定理的有关计算
[例1] 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边 AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD， AC，BC的长．
3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D， G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上． 求证：EF2＝BE·FC. 证明：过点A作AH⊥BC于H. 则DE∥AH∥GF. ∴ADHE＝BBHE，AGHF＝CFHC. ∴DAEH·G2F＝BBHE··CFCH. 又∵AH2＝BH·CH， ∴DE·GF＝BE·FC. 而DE＝GF＝EF，∴EF2＝BE·FC.
利用射影定理证明 [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，点E 在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为 垂足． 求证：AF·AC＝BG·BE. [思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简 单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
射影定理在中学数学中的应用
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完整性。
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC²=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC²=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为 圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名 的切割线定理：AC²=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的 射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
射影几何在中学几何中的应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)0引言 (2)1 射影几何与中学几何的关系 (2)1.1 射影学的对象 (2)1.2 射影几何与中学几何的密切关系 (2)1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据 (2)1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何 (3)1.2.3 为中学几何获得命题 (4)1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题 (4)2 射影几何对中学的指导意义 (5)2.1 仿射变化的应用 (5)2.1.1 利用平行射影证明几何题 (5)2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题 (6)2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明 (7)2.2 射影变换的应用 (8)2.3 用直尺作图 (10)3 有关某些实际问题 (12)4 综合法与解析法 (12)5结论 (13)参考文献 (15)致谢 (16)射影几何在中学几何中的应用摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。
本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。
关键词：射影几何中学几何仿射射影Abstract:The projective geometry is the use of the transformation of the view of kleindefinition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application.Key words: Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection0引言中学几何是一种比较简单的几何，直观、易懂，而射影几何较抽象、难理解，但射影几何是中学几何的延深课程，二者之间有很深的渊源。
射影几何知识在初等几何中的应用_顾仕伟
学知报/2010年/11月/29日/第A08版教学论坛射影几何知识在初等几何中的应用山东省临沭县南古镇初级中学顾仕伟欧氏几何与高等几何联系密切，高等几何源于初等几何，又高于初等几何，作为一个中学教师，懂得高等几何就可以更深入地认识和掌握初等几何，指导初等几何的教学与研究，居高临下地认识初等几何的内涵与外延。
我写这篇文章主要是使各位在职的中学老师有个清醒的认识，能够从理论的高度去分析解决问题，主要是给自己一个鞭策。
为了使中心射影能够一一对应，在高等几何中将欧氏平面加以拓广。
须引进一种新的元素—无穷远元素，无穷远元素包括无穷远点、无穷远直线以及无穷远平面，这些在欧氏几何中都是未曾涉及到的，而在射影几何中，例如无穷远点与我们平常听说的点无异。
无穷远点在射影几何中是由在同一平面内的一组平行直线的唯一一点定义的无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线；空间中一切无穷远点的集合组成一个平面则为无穷远平面。
在中学平面几何中涉及到“相似”这个概念，如果从变换的角度来看可理解为“相似变换”，而“位似变换”是特殊的相似变换，因此掌握位似变换可帮助我们更好地理解相似变换。
(1)点p''在直线sp上；(2)单比(p''sp)=p''s/ps(k为常数≠0,1)则这种变换叫做位似变换，常数k叫做位似比，定点s叫做位似中心。
在这里，位似比要求k不等于0，这容易理解。
若k=0，则所有p''都与s重合，整个图形归于一点，无研究价值。
k又为什么要求不等于1呢？常规理解为此时p''与p重合，即整个图形与原图形重合，无研究之必要，笔者认为这点理由不充分，事实上，k如果为1，则此时新的图形与原图形全等(可以位置不重合)，且欲要s、p、p''三点共线，此时、在点同侧，则两图形完全重合或所有对应点的边线相互平行，而后者S为无穷远点，但无穷远点这个概念在欧氏几何中不涉及，故对 =1不予讨论，这里，无穷远点理解为一组平行线的交点，为一个假想，在射影几何中，无穷远点一个实在的点，与我们平常的点(有穷远点)无异，从这里可以看到：高等几何与初等几何紧密相连，为了能更具体的说明这一点，我们从以下两个方面进行阐述：(1)利用射影几何中的重要定理—Desargues定理及其逆定理证明共点或共线问题。
射影几何在中学数学的应用教学文稿
证明 因为A, F, C, B为圆上四定点, 则由二次曲线的定义，有
E (A F ,C B ) D (A F ,C B ). 以直线AB截这两个线束，得
(A G ,O B )(A O ,H B ). 由交比的初等几何表示式，有
AOGBAHOB GO AB OH AB
GB AH. GO OH
所以 GOOBAOOH OB AO
交比
(P1P2,P3P4)P P12PP33PP21P P44.
注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： P2 P 1. P1P
于是有, (P1P2,P3P)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.
二次曲线的射影定义
定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化 二阶曲线。
仿射变换
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原 有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直 线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换 为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之 比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换 下不变，两直线斜率只比不变，等等；
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直 线的交比为定值。
注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
射影定理及其应用
射影定理及其应用射影定理是数学中一种经典的定理，它最早是由德国数学家耶斯布拉克于1851年提出的，它宣称：一个定向空间中的任意一条线段可以被从另一个定向空间中的一个点射出，其中，另一个定向空间是经由几何变换映射过来的。
这一定理最早是应用于二维空间，后来又扩展到三维、四维空间，以及无限维空间。
它的实质是对空间的一种对称性，耶斯布拉克的射影定理是以圆（表示一个定向空间中的一个点）为中心，以椭圆（表示另一个定向空间中的一条线段）为其投影物，宣称从圆到椭圆的转换是可逆的，而这种转换就被称为射影（projection）。
射影定理的重要意义在于，它把数学思想带入空间本质的表象而提出，空间里不同空间的变换如何与数学思维结合起来，使用射影定理可以令这一想法得到更深刻的理解与体现。
另外，射影定理又是几何变换的一种，结合几何变换，射影定理可以用来描绘空间的形状、大小及变形，其中不仅被应用到数学研究，而且还有广泛的实际应用，比如在工程测量、太阳能捕捉及图像处理等方面。
工程测量是射影定理非常重要的应用之一，它在地图绘制、交通道路建设、电子加速器设计、核能反应堆建设中都有广泛的应用，几乎所有的工程规划设计，都要运用到射影定理。
太阳能捕捉是另一个重要的射影定理应用，射影定理在太阳能系统中扮演着非常重要的角色，太阳能发电系统的最基本功能就是将太阳能转换成电能，而太阳能发电系统的追踪器就是基于射影定理的设计的，它的作用就是将太阳光集中到太阳能电池板上，从而实现有效利用太阳能。
在图像处理中，射影定理及其变换作用，也被广泛用于图像拼接、图像融合或图像旋转等应用中，如用于图像拼接时，可以找到两幅图像的变换关系，将两幅图像协调融合在一起；如果用于图像融合，可以利用射影定理及其变换，将两幅图像融合在一起，使得图像更加清晰。
射影定理的应用领域极其广泛，从事件的表达及数学模型，到图形处理、图像处理与空间变换、空间建模、工程规划等方面都有着重要的应用，其在数学及实际应用中的意义重大，同时也为更深入研究空间的变换及多维空间的抽象性质打下了坚实的基础。
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注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上， 中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分 别交椭圆于点Ｃ,D和点Ｇ,Ｈ,设CH交X轴于 点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆 在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY//BP
仿射变换
例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中 心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
(P1P2 , P3P ) (P1P2P3 )
P1P3 P2 P3
1.
这表示P3为P1P2的中点.
定理 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷 远点，则P为P1P2的中点 (P1P2 , PP ) 1.
但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等 则发生改变
仿射变换
例1 在平行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上， 且EF//BD,求证：
例2 求椭圆的
仿射变换
面积
例3 求椭圆
仿射变换
内接△ABC的面积的最大值
思考一 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？
思考二 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内 接n边形的面积的最大值多少呢？ 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？
目录
1
仿射变换
2
交比的应用
3
Desargues透视定理
仿射变换
x y
' '
a11x a21x
a12 a22
y y
a13 a23
或
x' y'
a11 a21
a12 a22
x y
a13 a23
仿射变换
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原 有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直 线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换 为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之 比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不 变，等等；
仿射变换
例6 （2009年辽宁卷数学理第20题）
已知椭圆的方程为
，点A的坐标为（1,3/2），右
焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与
AN 的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个
定值
仿射变换
目录
1
仿射变换
2
交比的应用
3
Desargues透视定理
交比的初等几何意义
交比
(P1P2 , P3P4 )
P1P3 P2P4 P2P3 P1P4
.
注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： P2P 1. P1P
于是有, (P1P2,P3P)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.
二次曲线的射影定义
定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化 二阶曲线。
定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量； 推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量； 推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；
仿射变换
椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原 有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直 线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换 为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之 比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换 下不变，两直线斜率只比不变，等等；
完全四点形的调和性
定理 在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶 点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点形的边的交点。
考察完全四点形ABCD
比如在边AB上，有 (AB, PZ ) 1.
比如在边CD上，有
完全四点形的调和性
几何证明题
例8 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分 上下底。
证明 因为A, F, C, B为圆上四定点, 则由二次曲线的定义，有
E(AF,CB) D(AF,CB). 以直线AB截这两个线束，得
(AG,OB) (AO, HB). 由交比的初等几何表示式，有
AO GB AH OB GO AB OH AB
所以 GO OB AO OH
如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O 的两条直线EF和GH，与四边交于E、F、G、 H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有 OI=OJ
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
交比
例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)
.
其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P' 的坐标, 矩阵
A
a11 a21
a12
a22
满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.
明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下 可变换为正方形
仿射变换
仿射变换的基本性质: (1)保持直线的平行线； (2)保持同素性和结合性； (3) 保持共线三点的单比, 从而保持两平行线段的比值不变.
证明 如图， ABCD为梯形， AD//BC, E, F分别为两腰和对角线的交 点。 EF交AD, BC于P, Q。只要证明P, Q分别是AD, BC的中点。
GO
OH
同理可证，G'O=OH'.
GB AH . GO OH
OB AO GO OH
GO OH.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ比
调和比是最重要的交比！
对于(P1P2,P3P4 )= –1,则称点组
为调和点组
利用初等几何意义, 有
(P1P2 , P3P4 )
P1P3 P2 P3
P2P4 P1P4
1.