平面向量常见题型汇编2 向量基本定理与不等式
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
第五章 平面向量题型57 平面向量的概念及线性运算❖ 知识点摘要：1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。
2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。
3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。
我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。
4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。
当≠||a 0时，很明显||a a±是与向量a 共线（平行）的单位向量。
5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。
6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。
7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。
一、向量的线性运算 1. 向量的加法：1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。
已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。
1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。
1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：2. 向量的减法：2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。
2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图：3. 向量的数乘运算：3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ=②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。
平面向量常考方法总结
平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)1.向量重要结论1) 向量的数量积定义为 $a\cdot b=|a||b|\cos\theta$，其中规定 $a\cdot a=a^2=|a|^2$。
2) 向量夹角公式：设向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos\theta=\dfrac{a\cdot b}{|a||b|}$。
3) 向量共线的充要条件：向量 $b$ 与非零向量 $a$ 共线$\Leftrightarrow$ 存在唯一的实数 $\lambda\in\mathbb{R}$，使得 $b=\lambda a$。
4) 两向量平行的充要条件：向量 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$ 平行 $\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$。
5) 两向量垂直的充要条件：向量 $a\perpb$ $\Leftrightarrow a\cdot b=0$ $\Leftrightarrowx_1x_2+y_1y_2=0$。
6) 向量不等式：$|a|+|b|\geq |a+b|$，$|a||b|\geq |a\cdot b|$。
7) 向量的坐标运算：设向量 $a=(x_1,y_1)$，$b=(x_2,y_2)$，则 $a\cdot b=x_1x_2+y_1y_2$。
8) 向量的投影：设向量 $b$ 在向量 $a$ 方向上的投影为$|b|\cos\theta=\dfrac{a\cdot b}{|a|}$，投影的绝对值称为 $b$ 在$a$ 方向上的投影。
9) 向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
10) 零向量：长度为 $0$ 的向量，记为 $\vec 0$，其方向是任意的，与任意向量平行。
规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）$\Leftrightarrow |\vec a|=0$ 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
向量题型归纳(全)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）向量题型归纳(全)平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？类型（二）：向量的垂直问题1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。
3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。
4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。
5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？类型（三）：向量的夹角问题1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。
6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？类型（四）：求向量的模的问题1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
平面向量知识点及常考题型
平面向量知识点及常考题型1. 引言在数学中，平面向量是向量的一种，它具有大小和方向。
它在几何学、物理学和工程学等领域中非常重要。
本文将介绍平面向量的基本概念、运算法则以及一些常见的考题类型。
2. 平面向量的定义平面向量是由一个起点和一个终点确定的有向线段。
我们通常用字母加箭头表示向量，例如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量的长度被称为模，用||AB→|| 表示。
3. 平面向量的表示平面向量可以使用坐标表示，也可以使用分量表示。
设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为 (x2, y2)，那么向量AB→的坐标表示为 (x2-x1, y2-y1)。
向量的分量表示为[AB→ = (x2-x1, y2-y1)]。
4. 平面向量的运算法则平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
4.1. 加法设向量AB→的坐标表示为 (x1, y1)，向量CD→的坐标表示为 (x2, y2)，那么向量AB→加上向量CD→的结果为 (x1+x2, y1+y2)。
4.2. 减法设向量EF→的坐标表示为 (x1, y1)，向量GH→的坐标表示为 (x2, y2)，那么向量EF→减去向量GH→的结果为 (x1-x2, y1-y2)。
4.3. 数量乘法设向量PQ→的坐标表示为 (x, y)，实数k为一个常数，那么向量PQ→乘以k的结果为 (kx, ky)。
5. 平面向量的常考题型在考试中，常见的平面向量题型包括平面向量的加法、减法、数量乘法，以及向量的模、共线和垂直等性质。
5.1. 题型一：向量的加法和减法考题示例：已知向量AB→的坐标为 (3, 2)，向量CD→的坐标为 (1, 4)，求向量AB→加上向量CD→的结果和向量AB→减去向量CD→的结果。
解析：根据加法和减法的运算法则，将向量的坐标相应相加或相减即可得到结果。
向量AB→加上向量CD→的结果为 (3+1, 2+4) = (4, 6)；向量AB→减去向量CD→的结果为 (3-1, 2-4) = (2, -2)。
高考平面向量常考题型
高考平面向量常考题型平面向量是高中数学中重要的一部分，在高考中也是常考的题型之一。
本文将介绍高考中常见的平面向量题型及解题方法，帮助学生更好地掌握这一知识点。
1. 向量的基本概念向量可以表示为一个有方向的线段，用符号“→”表示。
向量有大小和方向两个属性，可以用坐标表示。
在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为 (x,y)。
2. 向量的加减法向量的加减法可以通过将向量的坐标相加减实现。
例如，向量 A = (2,3) 和向量 B = (4,-1)，则 A + B = (2+4,3-1) = (6,2)，A -B = (2-4,3+1) = (-2,4)。
3. 向量的数量积向量的数量积也称为点积，可以用以下公式表示：A·B =|A||B|cosθ，其中 A 和 B 分别为向量，|A| 和 |B| 分别为它们的长度，θ为 A 和 B 之间的夹角。
4. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积，可以用以下公式表示：A×B =|A||B|sinθn，其中 A 和 B 分别为向量，|A| 和 |B| 分别为它们的长度，θ为 A 和 B 之间的夹角，n 为垂直于 A 和 B 所在平面的单位向量。
5. 平面向量的模长平面向量的模长可以通过勾股定理求得，即 |A| = √(x+y)，其中 A = (x,y)。
6. 向量共线、垂直的判定两个向量共线的条件是它们的夹角为 0 或 180 度，可以用向量的数量积判断。
若 A·B = 0，则 A 和 B 垂直，可以用向量的向量积判断。
7. 向量的投影向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影。
可以用以下公式求得：projA B = (A·B/|B|)B，其中 A 和 B 分别为向量，projA B 为 A 在 B 上的投影。
8. 高维向量高维向量是指超过两个维度的向量。
它们的处理方法与平面向量类似，只是需要用更多的坐标表示。
以上就是高考平面向量常考题型的介绍。
应用平面向量基本定理解题题型归纳
平面向量基本定理常用题型归纳何树衡 刘建一平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数21,λλ使得=2211ee λλ+平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：一、基本题型随处可见1.1直接利用21,λλ唯一性求解例1：在直角坐标平面上，已知O 是原点，)2,2(),4,2(--=-=OB OA ，若AB OB y OA x 3=+，求实数x,y 的值解：)2422()2,2()4,2(y x y x y x OB y OA x ---=--+-=+，)2,4(-=-= ⎩⎨⎧=---=-6241222y x y x ∴⎩⎨⎧=-=33y x即x 为－3，y 为3.1.2构建三角形，利用正余弦定理求解例2：如图，平面内有三个向量OC OB OA ,,，其中夹角为120º，的夹角为30º321===，若),(R ∈+=μλμλ,则λ= ，μ= .解：过C 作CD ∥OB 交OA的延长线于D ，在Rt △ODC 中，=μ=22.1常用结论：点O 是直线l 外一点，点A ，B 是直线l 上任意两点，求证：直线上任意一点P ，存在实数t ，使得OP 关于基底{OA,OB}的分析式为OB t OA t OP +-=)1(反之，若t t +-=)1(则A ，P ，B 三点共线（特别地令t =21,2121+=称为向量中点公式）例3：在△ABC 中，NC AN 31=，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 11+=，则实数m 的值为解：∵NC AN 31=，∴41=∵B,P,N 三点共线，∴ m m )1(-+= 又∵m 118+=，∴m =1132.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力例4：在平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E ，求证：BE=41BA 证明：如图，设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA ，只需证E ，E′重合即可设=，=，31=，a b OD 31+='OE =OD a b b a b a b BA b BE OB 43)31(43)3(41)(4141'=+=+=-+=+=+∴O,E′,D 三点共线∴E,E′重合，∴BE=41BA三、区域问题渐成热点由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.定理：设O,A,B 为平面内不共线的三个定点，动点C 满足),(R y x y x ∈+=，记直线OA ，OB ，AB 分别为l OA ,l OB ,l AB ，平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)表(2)在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现. 3.1动点所在位置定，判断系数满足条件例5：如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a,b 满足（ ）A ．a>0,b>0B ．a>0,b<0C ．a<0,b>0D ．a<0,b<0答案：B例6：如图OM ∥AB ，点P 在射线OM ，射线OB 及AB 的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且OB y OA x OP +=，则x 的取值范围是 ，当x=－21时，y 的取值范围是 .31解：①设OS ∥2AB，过S 作OB 平行线交AB 延长线于T ，则的终点P 只能在线段ST 上（不包括端点）②由区域V 性质得x <0,0<y ≤1,当OB OA OA OB AB OS 2121)(2121+-=-==，此时y =21,当T 在AB 的延长线上时，由表(2)得C 在线段AB 延长线上时x <0,y >0且x +y =1 Ⅱ P 2 P 1O Ⅲ ⅠⅣ∴=－21+y , －21+y =1 ∴y =23 即21<y<23 3.2系数满足条件定，判断动点所在位置 例7：平面上定点A 、B满足2=⋅==OB OA ，则点{1,≤++=μλμλ}(R ∈μλ,)A ．22B ．23C ．42答案：D解：令OA 与x 轴的非负半轴重合，OB 在第一象限内 ∠AOB=2∴∠AOB=3π∵在第一象限，λ>0,μ>0∴μλ+= ∴λ+μ≤1P 点形成图形的面积为S △AOB =sin ∠AOB=21×2×2×sin 3π=3,同理S △A′OB =3∴S A ′B ′AB =43 巩固练习及参考答案1.已知)22,15(),4,3(),2,1(===c b a ，若b a c μλ+=，求λ，μ2.已知△ABC 和点M 满足0=++MC MB MA ，若存在实数m 使得m =+成立，则m =( )A ．2B ．3C ．4D ．53.如右图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP:PM 的值.4.已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量y x +=，则O ≤x ≤21, O ≤y ≤32的概率是（ ）A ．31 B ．32 Ｃ．41 D ．21 参考答案：1.λ=3，μ=42. B3. 3：14. A参考文献：[1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9). [2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10).[3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯，2007,(7).。
基础专项练(二) 平面向量、不等式
专项练(二) 平面向量、不等式一、单项选择题1.(2021·天津卷)已知a ∈R ，则“a ＞6”是“a 2＞36”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意，若a ＞6，则a 2＞36，故充分性成立；若a 2＞36，则a ＞6或a ＜－6，推不出a ＞6，故必要性不成立； 所以“a ＞6”是“a 2＞36”的充分不必要条件.2.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1).若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.15 B.－35 C.－3 D.－17答案 C解析 易知AB →＝(3，1)，且OC →＝(2m ，m ＋1)，由AB →∥OC →，得2m ＝3(m ＋1)，∴m＝－3.3.(2021·浙江卷)已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ·c ＝b ·c 可得(a －b )·c ＝0，所以(a －b )⊥c 或a ＝b ，所以“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的必要不充分条件.故选B.4.已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则当1a 2＋4b 2取最小值时，a 2的值为( )A.45B.2C.43D.3答案 C解析 因为P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，所以a 2＋b 2＝4. 所以1a 2＋4b 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝94， 当且仅当b 2＝2a 2＝83时取等号，故a 2＝43.5.(2021·青岛调研)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C. 2 D.22答案 C解析 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c ).如图所示，设OC→＝c ，OA →＝a ，OB →＝b ， 则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ， 所以AC→⊥BC →. 又因为OA→⊥OB →，所以O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.6.(2021·长沙一模)在平面直角坐标系xOy 内，已知直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，若OC →＝2OA →－OB →且M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( ) A. 3 B.2 2 C.3D.4解析 由OC→＝2OA →－OB →，知A ，B ，C 三点共线.因为|AB |＝4，M 是线段AB 的中点，则OM ⊥AB ， 所以|OM |＝R 2－22＝8－4＝2.在直角△CMO 中，OC →·OM →＝|OM →|·|OC→|cos ∠COM ＝|OM →|2＝4.7.已知单位向量a ，b 满足|a －b |＋23a ·b ＝0，则|t a ＋b |(t ∈R )的最小值为( ) A.23 B.32 C.223 D.22答案 B解析 由|a －b |＋23a ·b ＝0，得|a －b |＝－23a ·b ， 平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝12(a ·b )2， 整理得(2a ·b ＋1)(3a ·b －1)＝0， 所以a ·b ＝－12或a ·b ＝13.因为|a －b |＝－23a ·b ≥0，所以a ·b ≤0， 所以a ·b ＝－12，所以|t a ＋b |＝|t a ＋b |2＝t 2＋1＋2t a ·b ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝12时取“＝”. 8.若对任意的x ，y ∈R ，不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，1] C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 不等式x 2＋y 2＋xy ≥3(x ＋y －a )对任意x ，y ∈R 恒成立等价于x 2＋(y －3)x ＋y 2－3y ＋3a ≥0对任意x ，y ∈R 恒成立，∴Δ＝(y －3)2－4(y 2－3y ＋3a )＝－3y 2＋6y ＋9－12a ≤0， ∴4a ≥－y 2＋2y ＋3＝－(y －1)2＋4， 当y ＝1时，－y 2＋2y ＋3取得最大值4， ∴4a ≥4，解得a ≥1.因此，实数a 的取值范围是[1，＋∞). 二、多项选择题9．(2021·湖南四校联考)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AD ，BE ，CF 交于点G ，则( ) A.EF →＝12CA →－12BC → B.BE →＝－12BA →＋12BC → C.AD →＋BE →＝FC → D.GA→＋GB →＋GC →＝0 答案 CD解析 如图，因为点D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，所以EF→＝12CB →＝－12BC →，故A 不正确；BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CA →＝BC →＋12(CB →＋BA →)＝BC →－12BC →－12AB →＝－12AB →＋12BC →，故B 不正确；FC →＝AC →－AF →＝AD →＋DC →＋F A →＝AD →＋12BC →＋F A →＝AD →＋FE →＋F A →＝AD→＋FB →＋BE →＋F A →＝AD→＋BE →，故C 正确； 由题意知，点G 为△ABC 的重心，所以AG→＋BG →＋CG →＝23AD →＋23BE →＋23CF →＝23×12(AB→＋AC →)＋23×12(BA →＋BC →)＋23×12(CB →＋CA →)＝0，即GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选CD.10．(2021·山东质检)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．0<1ab ≤14 B.ab <2 C.1a ＋1b ≥1 D.1a 2＋b 2≤18答案 CD解析 A 选项，由ab ≤a ＋b 2＝2知ab ≤4.因为a >0，b >0，所以ab >0，所以1ab ≥14，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故A 错误；B 选项，ab ≤a ＋b2＝2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故B 错误； C 选项，1a ＋1b ≥21a ·1b ＝2ab≥2×12＝1，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故C 正确；D 选项，因为a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝8，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以1a 2＋b 2≤18，故D 正确．故选CD. 11.(2021·南京、盐城一模)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的是( ) A.(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c B.(a·b )·c ＝a·(b·c ) C.a·b ≤|a|·|b| D.|a －b|≤|a|＋|b|答案 ACD解析 对于A ，因为向量满足分配律，所以A 一定成立；对于B ，因为(a·b )·c ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉·c 表示一个与c 平行的向量，a·(b·c )＝|b||c| cos 〈b ，c 〉·a 表示一个与a 平行的向量，而c 与a 不一定共线，所以B 不一定成立；对于C ，a·b ＝|a|·|b|cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b|，所以C 一定成立；对于D ，因为|a －b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b ＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 〈a ，b 〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，所以|a －b|≤|a|＋|b|，所以D 一定成立.综上所述，选ACD. 12.(2021·济南统考)设a ，b 为正实数，下列命题正确的是( ) A.若a 2－b 2＝1，则a －b <1 B.若1b －1a ＝1，则a －b <1 C.若|a －b |＝1，则|a －b |<1D.若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1 答案 AD解析 若a 2－b 2＝1，则a 2－1＝b 2， 即(a ＋1)(a －1)＝b 2.∵a ＋1>a －1，∴a －1<b <a ＋1， ∴a －b <1，故A 正确；若1b －1a ＝1，则可取a ＝7，b ＝78，而a －b >1，故B 错误； 若|a －b |＝1，则可取a ＝9，b ＝4，而|a －b |＝5>1，故C 错误； 若|a 3－b 3|＝1，当a >b >0时，得a 3－b 3＝1，a 3－1＝b 3， 即(a －1)(a 2＋a ＋1)＝b 3.∵a 2＋a ＋1>b 2，∴a －1<b ，即a －b <1； 当0<a <b 时，得b 3－a 3＝1，b 3－1＝a 3， 即(b －1)(b 2＋1＋b )＝a 3. ∵b 2＋1＋b >a 2，∴b －1<a ，即b －a <1.故|a －b |<1，D 正确.故选AD. 三、填空题13.(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a －λb )⊥b ， ∴(a －λb )·b ＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0，从而λ＝a ·bb2＝（1，3）·（3，4）32＋42＝1525＝35.14.(2021·天津卷)若a ＞0，b ＞0，则1a ＋ab 2＋b 的最小值为________. 答案 2 2解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋ab 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋ab2＋b 的最小值为2 2. 15.(2021·枣庄模拟)如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD 中，AF →＝3AE →.设AF →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 的值为________.答案 65解析 连接BD 交AF 于点M (图略). 令|BF |＝1，则|AF |＝3，所以tan ∠ABF ＝3， 所以tan ∠FBM ＝tan(∠ABF －45°)＝3－11＋3＝12， 所以|FM |＝12，|AM |＝52，则|AM ||AF |＝56， 所以AM→＝56AF →＝56xAB →＋56yAD →. 因为点M 在BD 上，所以56x ＋56y ＝1，即x ＋y ＝65. 16.(2021·福州质检)已知a >b ，b >0，若不等式m 3a ＋b≤3a ＋1b 恒成立，则m 的最大值为________. 答案 16解析 由题意，不等式m 3a ＋b≤3a ＋1b 恒成立，且a >0，b >0，即有m ≤(3a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b 恒成立，即m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b min 成立.由(3a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝10＋3a b ＋3b a ≥10＋23ab·3ba＝16，当且仅当3ab＝3ba，即a＝b时，取得等号，即有m≤16，则m的最大值为16.。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。
由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。
大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。
1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。
3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。
零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳1常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A 3;－1为起点;且与向量b = －3;4平行的单位向量;则向量a 的终点坐标是 .例2：已知| a |=1;| b |=1;a 与b 的夹角为60°; x =2a －b ;y =3b －a ;则x 与y 的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查例11,a b 为非零向量..“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2已知O;N;P 在ABC ∆所在平面内;且,0OA OB OC NA NB NC ==++=;且PA PB PB PC PC PA •=•=•;则点O;N;P 依次是ABC ∆的A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21; 23.1 若存在实数k 和t ;便得x ＝a ＋t 2－3b ; y ＝－k a ＋t b ;且x ⊥y ;试求函数的关系式k ＝ft ；2 根据1的结论;确定k ＝ft 的单调区间.例3： 已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21;23;若存在不为零的实数k 和角α;使向量c ＝a ＋sin α－3b ; d ＝－k a ＋sin αb ;且c ⊥d ;试求实数k 的取值范围.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ;若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直;求k 的最小值.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合;题目新颖而又精巧;既符合在知识的“交汇处”构题;又加强了对双基的考查.例7．设函数f x ＝a · b ;其中向量a ＝2cos x ; 1; b ＝cos x ;3sin2x ; x ∈R.1若f x ＝1－3且x ∈－3π;3π;求x ；2若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝m ; n m ﹤2π平移后得到函数y ＝f x 的图象;求实数m 、n 的值.例8：已知a =cosα;sin α;b =cosβ;sinβ0<α<β<π;1求证： a +b 与a -b 互相垂直； 2若k a +b 与a -k b 的模大小相等k ∈R 且k ≠0;求β－α巩固练习1.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ;'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时;向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ;它们的夹角为120o .如图所示;点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈;则x y +的最大值是________.3给出下列命题① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |;则a 与a +b 的夹角为30°；② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =-1;0平移;得到的图像对应的函数为y =|x |；④若AC AB +·AC AB -=0;则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 ..注：把你认为正确的命题的序号都填上。
高中平面向量常考题型
平面向量常考题型一、线性运算1、如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =，AM与BN 相交于点P ，那么:AP PM =.【答案：4】2、向量,a b 不共线，OA a α=，OB b β=〔实数0,0αβ≠≠〕.假设点C 在直线AB 上，且OC xa yb=+〔,x y 都是实数〕，那么x y αβ+=.【答案：1】 3、在ABC ∆所在的平面有一点P 满足PA PB PC BC ++=，那么PBC ∆与ABC ∆的面积之比为.【答案：13】 4、点O 时ABC ∆的一点，满足(1)0OA OB OC λλ++-=，假设OAB ∆的面积与OAC ∆的面积的比为13，那么λ的值为〔 〕 3.2A 2B 1.3C 1.2D 【答案：A 】二、数量积1、〔2012卷15〕．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB AC ⋅＝______________．【答案】—162、..平行四边形ABCD 中，8AB =，5AD =，3CP PD =，假设2AP BP ⋅=，那么AB AD ⋅= .【答案 22】3、函数()4024tan <<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ππ的图像如下图，A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图像交于C B ,两点，那么 =⋅+OA OC OB )(〔 〕A ．8-B ．4-C ．4D ．8 【答案 D 】4、四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥.假设||AB a =，||AD b =，那么AC BD ⋅=.【答案：22b a -】5、〔2012十校联考.理科17〕在ABC ∆中，2=AC ,6=BC .点O 是ABC ∆一点，且满足043=++OC OB OA ，那么=+⋅)2(BC BA OC .【答案 40】6、在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，假设2AB AF ⋅=，那么AE BF ⋅的值为 .【答案 2】7、如图：在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，那么AD AC ⋅=.【答案：3】8、2012XX 理〔7〕△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，假设3=2BQ CP ⋅-，那么=λ 〔A 〕12 〔Ｂ〕122± 〔Ｃ〕1102± 〔Ｄ〕3222-±【答案】A . 9、点O 是ABC ∆的外接圆的圆心，M 是BC 的中点，3AC =，假设4AO AM ⋅=，那么AB = .【答案 7】10、〔2014十校联考〕.c b a ,,均为单位向量，且满足0=⋅b a ，那么⋅++)(c b a )(c a +的最大值是A.222+B. 23+C. 52+D. 321+ 【答案】C .11、边长为2的正方形ABCD 有一动点P ，满足PBC PAB ∆∆,的面积都不超过1，那么PC PB ⋅的取值围为 .【答案】.(1,1)-12、平面向量e b a ,,满足，1||=e ，1=⋅e a ，2=⋅e b ，2||=-b a ，那么b a ⋅的最小值为.【答案：54】 13、〔2010全国卷11〕圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 【答案 D 】14、ABC ∆的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，假设||1AB =，||2AC =，那么AP BC ⋅的值是〔 〕.A 3.B 32.C 3.D 32 【答案】B 15、〔2013年高考〕设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =,且对于AB 边上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，那么〔 〕 .A ︒=∠90ABC .B ︒=∠90BAC .C AC AB =.D BC AC = 【答案】D16、向量a ，b ，c 满足0=⋅b a ，0)()=-⋅-b c a c （，5||=-b a ，3||=-c a ，那么c a ⋅的最大值是.【解析】如下图，设a OA =，b OB =，c OC =，那么b a BA -=，由0)()=-⋅-b c a c （得，点C 在以AB 为直径的圆上运动，3,5AC BA ==，4BC =.c a ⋅||||cos OA OC AOC =⋅∠4||||5OA OC =⋅， 设ACO θ∠=，在AOC ∆中，由正弦定理，||||||5sin sin()sin OA OC AC AOC AOC θπθ===--∠∠， 所以||5sin OA θ=，||5sin()OC AOC θ=+∠，20sin sin()a c AOC θθ⋅=⋅+∠4320sin sin cos 55θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭810sin(2)18θϕ=++≤ 所以a c ⋅的最大值是18.17、平面向量,,a b c 满足：||2a b -=，5,12a b π〈〉=，||6c a -=-，7,12c a c b π〈--〉=，那么a c ⋅的最大值为 .【答案：三、模长公式1、设点M 是线段BC 的中点，4BC =，假设||||AB AC AB AC +=-，那么AM =( ) .8A .4B .2C .1D 【答案：C 】2、在平面坐标系中，(20)A -，，1,3B （），O 为原点，且(1)OM tOA t OB =+-〔t 为实数〕，假设(1,0)N ，那么||MN 的最小值是.【答案：223】 3、〔2012〕直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 是线段CD 的中点，那么=+222||||||PC PB PA ( ) .2A .4B .5C .10D 【答案：D 】 4、〔2012十校联考.9〕非零向量c b a ,,，满足1||=-b a ，0)()=-⋅-c b c a （，设||c 的最大值最小值分别为n m ,，那么n m -的值为〔 〕.A 1 .B 2 .C 21.D 41 【答案 A 】 5、向量2||=a ，1||=⋅=b a b ，0)()2=-⋅-c b c a （，那么||c a -的最小值是〔 〕 .A 213; .B 2313-.C 217-.D 27 【答案 C 】 6、 向量)0,1(=a ，)1,0(=b ，向量c 满足0)()(=-⋅+b c c a ，那么||c 的最大值是〔 〕.A 2 .B 21.C2.D 22 【答案：C 】 7、设向量,,a b c 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-，,a c b c --=60°，那么||c 的最大值等于. 【答案：2】8、(2015年省六校联考.理科6〕向量,a b是单位向量，假设0a b，且|||2|5c a cb，那么|2|c a的取值围是( )A．[1,3] B．[,3] C．[5,] D ．[5,3]【答案：D】9、,a b是单位向量，0a b⋅=，假设向量c满足||1c a b--=，那么||c的取值围是〔〕.A1].B 2].C 1].D2]10、设向量(2,0)a=，(,)b x y=，假设b与b a-的夹角是6π，那么||b的最大值是〔〕.A 2 B. C. 4 D . 【答案】C11、单位向量a，b，c，x，且0a b c++=，记||||||y x a x b x c=-+-+-，那么y的最大值是.【答案 4】12、在ABC中，2BC=，且对于任意实数t，都有00|(1)||(1)|3t AB t AC tAB t AC+-≥+-=()t R∈，那么AB AC⋅的最小值是，t为 .【答案】 8，12.13、在ABC∆中，120A∠=，BC=2AC=，AB=，当||CB CAλ+取到最小值时，那么λ=.【答案：6，52-】14、向量,a b的夹角为3π，||2b=，假设对于任意的x R∈，都有||||b xa a b+≥-恒成立，那么1||||2tb a tb a-+-〔t R∈〕的最小值为〔〕.A.B32.C1+.D【答案】D四、向量与三角形的“四心〞〔一〕有关结论：O是平面上一定点，CBA,,是平面上不共线的三点，P为动点，1、⎭⎫⎝⎛++=||||ACACABABOAOPλ，），（∞+∈0λ，那么P点得轨迹一定通过ABC∆的心；||||+||0AB PC BC PA CA PB+=，P为ABC∆的心；2、()AC AB OA OP ++=λ），（∞+∈0λ过重心；0=++CP BP AP ，P 是重心；()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++过重心；()13PG PA PB PC =++，G 为重心； 3、HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，那么H 是垂心，()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC Cλ=++ ），（∞+∈0λ，那么P 点得轨迹一定通过ABC ∆的垂心； 4、M 是ABC ∆的外心，H 是垂心，那么MH MA MB MC =++，21||2AM AB AB ⋅=，21||2AM AC AC ⋅=. 〔二〕考题精选1、假设点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，那么ABC △的角C 为____〔答：120〕 O 是ABC △的外心，且0=++OC OB OA ，那么角C 为 〔答：60°〕；2、.ABC ∆中，5AB =，3=AC ，H O ,分别是ABC ∆的外心和垂心，那么BC OH ⋅=【答案】 83、在直角坐标系xoy 中，点(0,1)A ，(3,4)B -，假设点C 在AOB ∠的平分线上，且||2OC =，那么OC =.4、点O 是ABC △所在平面上的一点，假设0aOA bOB cOC ++=，那么点O 是ABC △的〔 〕.A 心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心5、假设点O 是ABC △所在平面上一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，那么假设点O 是ABC △的〔 〕.A 心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心 6、ABC △的三个角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，G 是其重心，且满足0aGA bGB cGC ++=，那么ABC △为〔 〕.A 等腰三角形 .B 等腰直角三角形 .C 等腰三角形 .D 等边三角形7、假设ABC △存在一点P ，使得222PA PB PC ++取得最小值，那么点P 应为ABC △的〔 〕 .A 心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心8、在ABC ∆中，5BC =，,G M 分别是ABC ∆的重心和外心，且5MG BC ⋅=，那么ABC ∆的形状是 〔 〕.A 锐角三角形 .B 钝角三角形 .C 直角三角形 .D 以上三种情况都可能9、在ABC ∆中，1AB =，BC =2CA =，ABC ∆外接圆的圆心为O ，假设AO AB AC λμ=+，那么=λ， =μ.【答案：4355，】 10、 点O 是ABC ∆的外接圆的圆心，2AB a =，2AC a =，23BAC π∠=，假设AO x AB y AC =+，那么36x y +的最小值是.【11*、设点P 是ABC ∆所在平面的动点，满足CP CA CB λμ=+，342λμ+=，,R λμ∈，||||||PA PB PC ==，假设||3AB =，那么ABC ∆面积的最大值是四、综合问题1、〔2011年高考卷文科15)假设平面向量βα，满足1,||1αβ=≤，且以向量βα，为邻边的平行四边形的面积为12，那么βα，的夹角θ取值围是___。
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。
平面向量题型总结
平面向量题型总结一、定义和基本概念平面向量是有大小、有方向的量，常用于解决平面上的几何问题。
在平面向量中，我们通常用箭头来表示方向，并用有向线段来表示大小和方向。
1. 向量的表示方法在平面中，向量可以通过两点之间的有向线段来表示。
设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)其中，向量AB的起点是A，终点是B，且向量AB的大小为线段AB的长度。
2. 向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
(1) 向量的加法设有向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2)向量的加法满足交换律和结合律。
(2) 向量的减法设有向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2)(3) 数量乘法设有向量A(x, y)和实数k，则它们的数量积为：kA = (kx, ky)3. 向量的性质平面向量具有以下基本性质：•零向量的大小为0，方向任意。
•两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
•两个向量相反，当且仅当它们的大小相等且方向相反。
•向量与零的数量积为零向量。
二、平面向量的应用平面向量在几何中的应用广泛，特别是在解决平面上的向量运动、力学和几何问题中。
1. 向量运动在平面向量运动中，我们常常用向量来表示物体的位移、速度和加速度。
•位移向量：物体从A点到B点的位移可以表示为向量AB。
•速度向量：物体的速度可以表示为位移向量的导数，即速度向量为位移向量的变化率。
•加速度向量：物体的加速度可以表示为速度向量的导数，即加速度向量为速度向量的变化率。
2. 平面向量运算平面向量的加减法可以应用于解决向量的合力、分力等问题。
•合力向量：多个力的合力可以通过向量的合成进行计算。
•分力向量：已知合力和其中一个力的大小和方向，可以通过向量的分解计算另一个力的大小和方向。
(完整版)平面向量题型汇总
《平面向量》题型汇总类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量b a ,41==且满足2.=b a ，则b a 与的夹角为 .2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为 .3.已知向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a ）（，则b a 与的夹角为 . 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a , .类型（二）：向量共线问题1.已知向量），（），，（x b a 211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是 .2.已知），（），，（），，（73231x C B A --a AB =，b BC =且a ∥b ， 则x= . 3．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，则k= .4.已知b a ,不共线，b a d b a k c -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是 .5. 已知向量且），（），，（,221m b a -==a ∥b ，则=+b a 32 .类型（三）: 向量的垂直问题1．已知向量=--==b b a n b n a 垂直，则与），若，（），，（211 .2.已知),1,1(),0,1(==b a 当λ= 时，a b a 与λ+垂直？3.已知,24），（=a 与a 垂直的单位向量的坐标为 .4. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-=5. =⊥-===k b c a k c b a ，则）若（，），（),2,()3,1(,13 .6. ）满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥c b a c ），则（类型（四）投影问题1．已知，4,5==b a ，b a 与的夹角32πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2．在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2则π 3．关于c a b a ..=且0≠a ，下列几种说法正确的是 ① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ； ③0).(=-c b a④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ；⑤a b λ=； ⑥c b =类型（四）求向量的模的问题1. 已知零向量==+==b b a b a a ，则），（25,10.,12 .2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ，则2,2,1 .3. 已知向量a )3,1(=，=+-=ba b ，则)0,2( . 4．已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 .5. 设向量a ，b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1 .类型（五）平面向量基本定理的应用问题1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于 （ ）(A) b a 2321+- (B)b a 2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2123+- 2.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝ .3.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101类型（六）平面向量与三角函数结合题1.已知向量(2sin ,cos )42x x m =，(cos 4x n =，设函数()f x m n =⋅ ⑴求函数()f x 的解析式 （2）求()f x 的最小正周期；（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．2. 已知322ππα<<，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα.(1)若||||AC BC =，求角α的值；(2)当1AC BC ⋅=-时，求22sin sin(2)1tan ααα++的值.3. 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量).1),2sin((sin A C n -=（1）如果,3,3,2=∆==S ABC C c 的面积且π求a 的值；（2）若,n m ⊥请判断ABC ∆的形状.4. 已知向量)cos 2,(sin ),sin ,2(2x x b x a ==,函数b a x f ⋅=)((1)求)(x f 的周期和单调增区间；(2)若在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。
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向量基本定理与不等式,、三角函数相结合
例题1： 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为 解析：由090A ∠=可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中()00A ，，()30B ，，()04C ，
∵(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>∴1λμ+= ∵2λμλμ+≥14λμ≤当且仅当12λμ==时取等号 ()()111133004222222AD AB AC AB AC λμ⎛⎫=+=
+=+= ⎪⎝⎭，，， ∴2235222AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
变式1： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则221a b a b b
+++的最小值是___________ 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。
解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析：由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=，且0,0a b >>，
所以()222222211222221222a b a b a a b b a b a b a b b a b a b b a b a b
+++++++=-+-=+-≥+++++++ 所以最小值为222，故填222.
变式2： 给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以
O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，
则x y +的最大值是______. 思考方向一 ：考虑特值法
解法1 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，
当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，
当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>，
于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.
当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形，
∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+=
猜想x y +的最大值是2.
思考方向二：考虑坐标法
建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则13(1,0),(,),(cos ,sin )22A B C αα-. 于是OC xOA yOB =+可化为：13(cos ,sin )(1,0)(,)22
x y αα=+-， ∴1cos ,23sin .2x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（1）
解法2：函数法求最值
由方程组（1）得： 1cos sin ,32sin .3x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴3sin cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，
又0120α≤≤，∴当30α=时，max () 2.x y +=
解法3：不等式法求最值
由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-， ∴211()33xy x y =+-，由0,0x y >>，及2x y xy +≥得：2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号，∴max () 2.x y +=
思考方向三：考虑向量的数量积的运算
解法：两边点乘同一个向量
∵,OC xOA yOB =+∴,.
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，
∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩
，∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y +=
解法5：两边平方法
∵,OC xOA yOB =+∴2
2(),OC xOA yOB =+
∴2221()3x y xy x y xy =+-=+- 22
2
()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号，
∴max () 2.x y +=
思考方向四：考虑平行四边形法则
过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OMCN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=， 则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y ==
解法6：利用正弦定理
sin sin sin OM MC OC OCM COM OMC
==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60
x y αα+=++， ∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y +=
解法7：利用余弦定理
222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅
∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-22
2
()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号，∴max () 2.x y +=
小结：仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.
变式3： 若非零向量a b 、满足a b b -=，则下列不等式恒成立的为（ ） A. 22b a b >- B. 22b a b <- C. 22a a b >- D. 22a a b <-
解析：若两向量共线，则由于非零向量a b 、，且a b b -=，
∴必有a =2b ；代入可知只有A. C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， ∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB =AB =BC ；令OA =a ,OB =b ,则BA =a b - ∴CA =2a b -且a b b -=；又BA +BC >AC ∴a b -+b >2a b -∴22b a b >-。