数值分析实验报告2

实验报告

一、实验名称

复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。

二、实验目的及要求

1. 掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤.

2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境

计算机，MATLAB 软件 四、实验内容

1.用不同数值方法计算积分9

4

ln 1

0-=⎰

xdx x 。 （1）取不同的步长h 。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善。

（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。 （3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4。 五、算法描述及实验步骤

1.复合梯形公式

将区间[a,b]划分为n 等份，分点x k =a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,...,n ，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用梯形公式（），得

)]()([2

)(b f a f a b dx x f b a

+-≈⎰ （） )]()(2)([2)]()([21

1

110b f x f b f h

x f x f h T n k k k n k k n ++=+=∑∑-=+-= （）

),(),(12

)('

'2b a f h a b f R n ∈--

=ηη （） 其中Tn 称为复合梯形公式，Rn 为复合梯形公式的余项。

2.复合辛普森求积公式

将区间[a,b]划分为n 等份，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用辛普森公式（），得

)]()2

(4)([6b f b a f a f a b S +++-= （）

)]()(2)(4)([6)]

()()([61

1

102/112/11

b f x f x f b f h

x f x f x f h S n k k n k k k k n k k n +++=++=∑∑∑-=-=+++-= （） ),(),()2

(180)()

4(4b a f h a b f R n ∈-=

ηη （） 其中Sn 称为复合辛普森求积公式，Rn 为复合辛普森求积公式的余项。

3.龙贝格算法 统一的公式：

)(1

41

)2(144)(11h T h T h T m m m m m m -----= （）

经过m （m=1,2...）次加速后，余项便取下列形式：

...)()2(22)1(21+++=++m m m h h I h T ξξ （）

上述处理方法通常称为理查森外推加速法。

设以)(0k T 表示二分k 次后求得的梯形值，且以)

(k m T 表示序列｛)(0k T ｝的m 次加

速值，则依递推公式（）可得

,...2,1,1

41144)()

(1)1(1)(=---=-+-k T T h T

k m m

k m m m k m

（） 公式（）也称为龙贝格求积算法，计算过程如下：

（1）取k=0,h=b-a,求)]

()([2)0(0b f a f h

T +=。令k →1（k 记区间[a,b]的二分次数）。

（2）求梯形值T 0((b-a)/2k ),即按递推公式（）计算)(0k T 。

∑-=++=1

2/12)(221n k k n n x f h T T （）

（3）求加速值，按公式（）逐个求出T 值。

（4）若ε<--)

0(1)0(k k T T （预先给定的精度），则终止计算，并取I T k ≈)0(；否则

令k k →+1转（2）继续计算。

4.自适应积分方法

设给定精度要求0>ε，计算积分dx x f f I b

a

⎰=)()(的近似值。先取步长h=b-a ，

应用辛普森公式有

),(),()2

(180),()()(4

4b a f h a b b a S dx x f f I b

a ∈--

==⎰ηη （）

表区间[a,b]对分，步长h 2=h/2=(b-a)/2，在每个小区间上用辛普森公式，得

),(),()2

(180),()(4

422b a f h a b b a S f I ∈--

=ξξ （） 上式即为

),(),()4

(180),()(4

42b a f h a b b a S f I ∈--

=ξξ （） 将（）与（）比较得 212215

1),(),(151),()(S S b a S b a S b a S f I -=-≈

- 则期望得到

ε<-),()(2b a S f I （） 此时可取S 2(a,b)作为dx x f f I b

a ⎰=)()(的近视，则可达到给定的误差精度ε。

如果不行，则细分区间，进行计算。 六、调试过程及实验结果

取不同的步长，得到的不同结果如下表：

七、总结

通过本次学习Matlab ，掌握了复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分的程序和算法，为以后处理数据提供一种更加简便，准确的方法。

八、附录（源程序清单）

1.复合梯形

function s=fuhetixing(f,a,b,n) %f 为被积分函数 %a ，b 是积分上下限 %n 是子区间个数 %s 是积分值 h=(b-a)/n; s=0;

for k=1:(n-1) x=a+h*k;

s=s+feval('f',x); end