固体物理课件——第五章

振动模式（格 波）数很多， 求解不方便
只与ω相关。 ω相同平均声
子数相同
相同的ω，不同的k， 只是对应的格波不同， 但平均声子数一样，可
放在一起。
可将各谐振子按照频率进行分类：将同频率(ω)的格波 归为一组（即 ω 同，k不同，假设对应的数目为数目 为Z(ω)个）。则内能表达式变为
Leabharlann Baidu
原来的计算方法：对 所有格波逐个累加
θ是由ωD定义，一般为102数量级。
回到之前的内能表达式
把上式 ћν 用德拜温度代替，得：
1)、德拜模型的高温极限(T» θ，则x« 1），
积分 此时德拜热容： 这时声子的量子统计可用经典统计去代替。
2)、德拜模型的低温极限
若温度降低，当T<<θ时，ω高的模式要冻结，而ω低的 模式还处于激发状态，因此德拜温度ωD也可看做是所 有模式都处于激发状态转到某些模式被冻结的温度。
Vg为群速度，当Vg=0，则模式密度发散，出现一个 奇点，这个奇点叫做一维模式密度的Van Hove奇点，在 奇点，晶体的热学性质要出现反常。
例2： 三维模式密度的计算
分布密度×体积
其中，dV是指K空间中相隔dω厚度等能面 中所包含的体积。 显然，dV与色散关系函数(相当于等能面)息息相关！
例：
关系应为：
(2)、爱因斯坦模型
爱因斯坦对色散关系的假设：所有的简正模式都具 有相同的频率，即ω=ωE，频率不是波矢的函数。这实际
上对应于长光学支模式。
若三个分支都用爱因斯坦模型，则：
点阵热容
先求晶格总能（不是晶体，不包括电子的贡献），再对T求导
2．点阵热容
若获得U，则由热能对温度在体积一定时求偏微商， 可得定容热容
1、声子数达到平衡 2、动量平衡： 各“微小区域”内总动量量为0
2.点阵热导率
单位时间、单位面积上流过的热能称为热能流密度：
宏观角度：
Ju
K
dT dx
（负号表示J与dT/dx反向，即J与温度梯度反向）
这就是热传导方程。
微观角度 重新组织 等效行为的说明：声子气
波传播 波到
波速(群速) 碰撞
能量传播 能量达到声子产生
的温度差， 用c代表声子热容（一个声子对热容
的贡献）。则C=n（c n为声子浓度）。
用v代表x方向声子的群速度。则单位时间内通过单 位面积的热流应当为：（能量传播）
（nvx: 单位时间、单位面积上流过的声子数，
此时的声子气体就不再是理想气体.
若原子间的相互作用势是严格的简谐势，则声子间无 相互作用，没有能量交换，若果真如此的话，那么一 个晶体就不可能进入热平衡状态，由外界干扰而激发 产生的声子数不会变化。但实际上声子很快要进入热 平衡分布，因此外界干扰而激发的声子很快要消失掉， 正是由于有非简谐作用的存在才可能有热膨胀和热传 导。
∵
∴
在低温T下，能受激发的模式数为 每个模式对热能的贡献都是KBT（属于经典激发） 总的热能为
那么低温下热容：
从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处 理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用 的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物 理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关 键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型 的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史
多且杂！
现在的计算方法：相同 的ω放在一起,数目用因 子Z(ω)来表达，然后
累加相对简洁！
据此可引入“模式密度”概念：
1. 简正模式密度D(ω)的定义
指K空间中，ω附近相 距dω两等能面所包围 体积中含有的模式数
定义: 在频率ω附近dω范围内共含有dZ个简正模式，则
模式密度定义如下：
它反应的是单位频率 间隔中所含有的简正模式数。
kD是晶体中格波的最大波矢，以KD为半径在波矢 空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的 简正模式，即 3N个模式，球外的短波振动在晶体 中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质 中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所
有的模式数，即3N个。
对一个三维点阵常数为a的立方点阵，第1BZ为 一边长为2π/a 的立方体， 第1BZ中有N个K（N 为晶体中的初基晶胞数），按德拜模型（即对晶 体使用连续介质中的弹性波的色散关系），K值只 能在德拜球中取值，但第1BZ中的声子模式数也 是3N个，因此德拜模型实际上用一个球代替了第 1BZ，也就是说本应在第1BZ中取的K值，而现在 是在德拜球内取值，显然，德拜球的体积应等于 第1BZ的体积，根据此模型，模式密度D(ω)～ω
附：若考虑同一振动模式(k、ω相同)的不同振动方向 (纵波、横波)的影响，则：
对于纵波：
对于横波：
可将三种 模式合并:
D()
3V 2 2 2v3
函数图形如下，是一个抛物线性函数：
D()
可见，随ω增加，总模式数： →∞ 发散。
这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶 体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。
能量传播速度(群速) 能量传递
声子气体通过
（声子通过速度） （声子吸收）
不同温度<n>不同，等效于气体浓度不一样
我们引入声子平均自由程的概念，即连续碰撞 之间的平均距离，用气体分子运动讨论声子对 热能的输送。
在晶体中相距 lx 的两点的温度差应为： 若 lx 代表平均自由程，则ΔT为在x方向走过范围
假设ω~k关系是线性的，即：ω＝ck
等能面是球面形状。
可见，色散关系对模式密 度有直接性的影响。
根据对色散关系的不同预 测情况，两种常见模型
(1)、德拜模型 (晶体低温时的模型)
德拜对色散关系的假设 (假设1)：
这实际上是（低温） 长声学支模式
球体分布
将Vg带入上页D(ω)公式即得对应的 模式密度
（其中，x是相对于平衡位置的位移）
按玻尔兹曼统计，在温度T下的平均位移为：
式中
分子项:
考虑到位移是小位移，则： 忽略高次项后得：
分母项
分子分母分别代入可得原 子间平均位移为：
可见， <x>与g/c2值有关，正是由于势能函数曲线 的不对称性，才导致了的变化。
线膨胀系数：
2. 点 阵 热 导 率
热平衡
的最大KD或ωD的值（即限制条件）.
附：德拜温度的意义
德拜温度表示固体热学性质主要参数。
一般在实验上不是通过θ求Cv，而是通过测出 Cv 求θ， 因此若此模型正确的话,θ不应是温度的函数，但实际上由
于德拜模型是近似模型，θ就是温度的函数。
Na
θ=158K
Si
θ=625K
Pb
θ=88K
金刚石 θ=2230K
1. 热 膨 胀
1.热膨胀
若两个原子之间的互作用势是简谐势，则其图 形应为严格的抛物线，随振幅的增大，两原子之 间的平均距离不会增大(平均位移为0)，就不可能
有热膨胀，热膨胀是由于原子之间互作用势是不 对称（其图形不是严格的抛物线）而引起的，由
于原子间平均距离增大引起了热膨胀。
只考虑势能函数的前三项时
晶体的定容比热定义为：
E ---晶体的平均内能
CV CVa CVe
晶体电子比 热
晶格振动比热
本节只讨论晶格振动比热。
晶格比热的 经典理论:杜隆--珀替定律
根据能量均分定理，每一个自由度的平均能量是kBT,若晶
体有N个原子，则总自由度为： 3N。
它是一个与温度无关的常数，这一结论称为杜隆--珀替定律。
如何确定该格波所对应的能量值
每个能量状态出现的几率不同
平均声子数
统计规律： 声子分布满足波尔兹曼分布条件
附
：
平
均
声
子
即能量出现的几率：与能量称反比。
数
能量越高（声子数越多），出现几率越低。
的
推
导
过
平均声子数
程
令：
附 ： 平 均 声 子 数
的 推 导 过 程
对
平 均
式中，<n>只与ωs、T有关。(与K无关) ωs是标量。
附：德拜假设2
为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模 式都存在，而存在着一个频率上限ωD ，称为德拜截止 频率。超过ωD的振动模式是不存在的，而频率小于ωD 的模式可用连续介质中的弹性波处理, ωD由总的3N个声 子模式自由度决定：
（为初基晶胞数）
则
D (6 2n)1/3 v
与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢:
< 1 > 爱因斯坦模型的热容
ω=ωE，即所有的模式有相同的振动频率
课本中为1维，则3NN
则爱因斯坦固体的热能为：
<n> 代表温度T时一个振动模式上的平均声子数：
1)、爱因斯坦模型的高温极限 (kBT»ћωE或 T»hωE /kB ）：
爱因斯坦热容 Cv～3NKB，与实验结果符合 (杜隆——珀替定律)
2)、爱因斯坦模型的低温极限 ：
，与实验结果不符。
Cv 按指数规律急剧下降，但实际上固体的热容是按T3规律下
降，而不是指数下降，这个模型与实验结果出入较大，主要是模 型过于简化，即认为所有简正模式具有相同的频率，低温下一起 冻结，温度升高时同时激发，因此导致热容在低温时急剧下降。
<2> 德拜模型的热容
但实际上，实验表明在低温时，晶体
的比热按T3趋于零。
低温时经典理论不再适用。
§1. 点阵热容 C = dU/dT
吸热 —> 内能增 晶格振动—>可用格波描 述 谐振子 —> 声子数（反映格波的能量）。
反之，系统能量 =“所有格波：对应的能 量（声子数）之和”。(声子数 对应于格波 振幅)
任一格波对应于多个能量值(声子数)：
模式密度：
则点阵热能为:
直接导出结论即可，下页ppt及课本（27-29）式无甚必要
补充：德拜温度的定义
由于ћω、 kBT均具有能量的量纲，可令ћω=kBTω
可见，在效果上 每个不同的ω 均对应于某一温度的大小 当ω= ωD时，所对应的Tω=θ， θ即所谓的德拜温度
德拜温度是一重要参数，实际上对应于固体中所允许
第五章 声子Ⅱ: 热学性质
本章是从量子角度讨论 内能 热容
晶体的比热实验规律
(1)在高温时，晶体的比热为3NkB (N为晶体中原子的个
数, kB=1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量) ；
(2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。 下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。
晶体比热的一般理论
声
相同的 ωs，可同时对应多个不同的 k。
子
数
<n>
根据色散关系：在动量空间（k空间中）作出色散 图。
的
将所有具相同ω的k连接起来，则形成一个平面。该
说 明
平面称为等能面，显然所有在等能面上的k具有相 同的（平均）声子数。
K分布的特点: 均匀分布, 每k占有体积一定。
如此，晶格振动的总能量 = 所有谐振子对内能的贡献：
根据前面所得热能和热容表达式：
在低温情况下，即T«θ时，则x»1，
积分：
xD x3 dx x3 esx dx
0 ex 1
0 s 1
上式中，利用了公式：
x3 esxdx
0 s 1
多次采用分部积分法：
则低温下的热能为：
低温下的热容：
低温下热容与温度的三次方成正比，这与实 验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长 声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式 才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结， 在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关 系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何
也可以说是物理模型的演变史。
§2. 非简谐晶体相互作用
简谐近似是把原子之间的互作用势在平衡位置 附近按泰勒级数展开：
只取到平方项，则
在这个近似下，格波都是独立的，简正模式间无 互作用。
若考虑展开式的高次项，得到的模式不再是 相互独立的，此时也不能再定义独立的声子了， 如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量， 此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波 间的相互作用，即可把高次项作为微扰来考虑，
（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）。
引入简正模式密度后，则热能可表示为：
2.模式密度的计算方法
1). 求波矢K的分布密度：k均匀分布
2).a、求间距为dω的等能面内所包含的体积
b、或ω等能面内拥有的总共模式数，再求导
例1： 一维模式密度的计算 分布密度×体积(长度)
其中，dZ是指K空间中相隔dω(对应dk)厚度的(等能面)空间中所 包含的体积。
晶体在低温下都可用德拜模型处理。
德拜低温结果(Cv与T3成正比) 的物理“解释模型”
下面用一个简单的物理模型说明规律的由来： 在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球
当T«θ时, 在德拜球内受激发的模式有ћω≤KBT,
即声子能量小于KBT 的才受激发，若当热能与声子能量 相等时的声子波矢为KT (=KBT/ћv), 在波矢空间以KT为半 径画一个球，此球内的模式是受激发的模式，在温度T下 能受激发的模式份数等于两球体积之比（KT/KD）3这个 比值实际上就是 （T/θ)3 。