江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测数学试题
江苏省海安市2020-2021学年高三上学期期末学业质量监测数学试题(word版,含答案)
2020~2021学年度第一学期末学业质量监测高三数学一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,集合B={-2,-1,0,1},则A∩B= A.{-1,1} B.{-2,-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1}2.若复数z 满足|z-1+i|=|1-2i|,其中i 为虚数单位,则z 对应的点(x,y)满足方程22.(1)(1)5A x y -+-=22.(1)(1)5B x y -++= 22.(1)(1)5C x y ++-= 22.(1)(1)5D x y +++=3.圭表(圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板,表是与圭垂直的杆)是中国古代用来确定节令的仪器,利用正午时太阳照在表上,表在圭,上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与地面所成角分别为α,β,表影长之差为l,那么表高为(tan tan ).tan tan l A αβαβ- tan tan .tan tan l B αβαβ- (tan tan ).tan tan l C βαβα- tan tan .tan tan l D βαβα- 4.已知0.20.30.30.3,0.2,log 0.2a b c ===,则a,b,c 的大小关系为A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b5.若△ABC 的内角A,B,C 依次成等差数列,则函数f(x)=sin2x-2sin(x+B)cosx 的图象的一条对称轴方程为5.12A x π= .3B x π= .6C x π= .12D x π=6.某校学生到学校农场参加劳动实践,在剥黄豆､翻土､喷农药､捉鱼､喂马5个劳动项目中自主选择3个参加,已知某班41名学生中选择“剥黄豆､捉鱼､喂马”项目组合的人数最多,那么选该项目组合的人数至少是A.4B.5C.9D.107.新冠疫情防控常态化,核酸检测应检尽检!核酸检测分析是用荧光定量PCR 法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时检测,在PCR 扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足0lg lg(1)1,n X n p gX =++其中p 为扩增效率,0X 为DNA 的初始数量.已知某被测标本DNA 扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p 约为(参考数据:0.20.210 1.585,100.631-≈≈)A.0.369B.0.415C.0.585D.0.6318.设函数2sin 2()121x a x f x b x =-+++(a,b 为常数,且a ∈R ,b ∈Z ),则f(1), f(-1)的值不可能是 A.-3,0 B.2,8 C.1,-5 .3,23D -+二､选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分｡9.已知数列{}n a 的通项公式为*2,,,n n a i j =∀∈N 列仍是数列{}n a 中的项能是.i j i A a a ++ .i j i B a a +- .i j i C a a +⋅ .i ia j D a + 10.在棱长为2的正四面体ABCD 中,点E,F,G 分别为棱,,,BC CD DA 的中点,则A.AC//平面EFGB.过点E,F,G 的截面的面积为12C.AD 与BC 的公垂线段的长为2D.CD 与平面GBC 所成角的大小小于二面角G- BC-D 的大小11.嫦娥奔月是中华民族的千年梦想,2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”,如图,飞行器在环月椭圆轨道近月点制动(俗称“踩刹车”)后,以v km/s 的速度进入距离月球表面nkm 的环月圆形轨道(月球的球心为椭圆的一个焦点),环绕周期为ts 已知远月点到月球表面的最近距离为mkm,则A.圆形轨道的周长为(2πvt)k mB.月球半径为()2vt n km π- C.近月点与远月点的距离为()vt m n km π-+D.椭圆轨道的离心率为m n m n-+ 12.设随机变量X 表示从1到n 这n 个整数中随机抽取的一个整数,Y 表示从1到X 这X 个整数中随机抽取的一个整数,则A.当n=3时,12,1)3(P X Y ===B.当n=4时,5(4)24P X Y +== C.当n=k,(k≥2,且*)k ∈N 时,21(1,)P X k Y k ===D.当n=2时,Y 的数学期为54三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知单位向量a ,b 的夹角为120°,k a +b 与2a -b 垂直,则实数k=____.14.已知某空心圆锥的母线长为5cm,高为4cm,记该圆锥内半径最大的球为球O,则球O 与圆锥侧面的交线的长为___cm.15.在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221()0,0x y a b a b -=>>,及其渐近线在第一象限的交点分别为P ,A,抛物线的焦点F 恰与双曲线的右顶点重合,AF ⊥x 轴,则b a=_____;若35,PF +=则p=___.注:第一个空2分,第二个空3分. 16.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 写出一个同时满足条件①②的等差数列{}n a 的通项公式n a =____. ①n S 存在最小值且最小值不等于1a ;②不存在正整数k,使得1k k S S +>且12.k k S S ++<四､解答题:本大题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(10分)在△ABC 中,已知角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且acosC+ccosA=4.(1)求b;(2)若a=2,3sin B=4sinC,求△ABC 的面积.18.(12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为36,5,36.n S a S ==(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记为m b 为2log k 在区间*(0,]()m a m N ∈中正路数k 的个数,求教列{}m b 的前m 项和.19.(12分)如图,在四棱锥A-BCDE 中,BC//DE,BC=2DE=2,BC ⊥CD,F 为AB 的中点,BC ⊥EF.(1)求证:AC ⊥BC;(2)若AD=CD,AC=2,求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值的最大值.20.(12分)2020年8月,教育部发布《关于深化体教融合,促进青少年健康发展的意见》,要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标,高三女生6.2米达标,某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次,一旦通过无需再投.为研究该方案的合理性,到某校任选4名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0.1,该方案需要调整;否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离1ξ服从N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离2ξ服从12(6.2,0.16)(,N ξξ的单位:米)(1)请你通过计算,说明该方案是否需要调整;(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练,以女生为例,假设所有女生经训练后,投掷距离的增加值相同.问:女生投掷实心球的距离至少增加多少米,可使达标率不低于99%.附:①参考数据:310 2.15;=②若X~N(6.516,0.16),则P(X≤6.832)=0.785.21.(12分)已知函数f(x)=alnx-x,a ∈R .(1)若f(x)≤0恒成立,求a 的最大值;(2)若函数2()()F x f x x =+存在两个极值点12,.x x①求a 的取值范围;②设曲线()y F x =在12x x x =y=G(x).当x>0时,试比较F(x)与G(x)的大小,并说明理由.22.(12分)已知椭圆2222:1()0x y C a b a b+=>>的离心率为1,2且过点3(1,).2p (1)求椭圆C 的方程;(2)已知A,B 是椭圆C.上的两点,且直线OA,OB 的斜率之积为3,4-点M 为线段OA 的中点,连接BM 并延长交椭圆C 于点N,求证:OMB AMN S S 为定值.。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 10 【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==- 10z =10.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=， 故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。
【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b 的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，所以10ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a=，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题. 7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ．【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，即将函数()π4sin 23y x =-的图象向左平移π6个单位得y=4sin[2（x+π6）π3-]=4sin2x ，所以()π4f =4sin 42π=. 故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x的取值范围是_________ 【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性． 9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =， 24cos 1sin 5A A ∴=-=， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯， 3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______. 21.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y +=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩， 解得21x ≥．因此实数x 21．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积． 【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r，由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =， 同理可得10sin C =， 由正弦定理可得2sin135510︒==r r，即有2102555c a ==r r ，则2102524||||cos 4525a c c a ︒⋅=⋅⋅==u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为3()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c .【答案】(1) 3C π=(2) 36【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为93，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r Q ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r 则||1832AC ==u u u r32AC =因为ABC V 的面积为93， 所以1sin 932CA CB C ⋅= 即132sin 9323CB π⨯=解得62CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅221(32)(62)232622=+-⨯54=，所以5436AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝2，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．……………7分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．……………………… 10分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a 为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时 ，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点61,2⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P . （i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O .【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题． 19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ；（2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+② ①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===，41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③， 由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数； 当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间；（2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析x (0,1)1(1,)+∞()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x e=，列表分析 x(0,1e)1e(1,)e +∞()g x '− 0 +()g x单调递减 单调递增min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e '=-=-，①若1a e≤-则()ln 0af x x x '=-≥，故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->， 因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-. 因为当1x >时，1ln 1(*)x x>-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由x 0(1,)x0x0(,1)x a +()f x '− 0 + ()f x单调递减单调递增知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单 22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,203ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为13993(),(22A B线段AB 的中点为553(2A ，3AB k =故线段AB 中垂线的斜率为133AB k k --==， 所以AB 的中垂线方程为：5335)2y x --=- 化简得：3100x +-=， 所以极坐标方程为cos 3sin 100ρθρθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：3y x =的距离为1035331d ==+ 线段8AB =，故ABC ∆的面积为15382032S =⨯=【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b=+-+()22a b a a b=+-++22a b a a b≤++++()22222244242a a a a≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD-中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC ABλ=u u u r u u u r （Rλ∈），且向量PCuuu r与BDu u u r夹角的余弦值为1515.（1）求λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210.【解析】试题分析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-，写出,PCu u u r，BDu u u r的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD的法向量为(),,n x y z=r，根据n PCn DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u rr u r，进而得到⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u rr u rn PCn DC，从而求出nr，向量PBu r的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos,n PB<>r u r，从而得PB和平面PCD所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A xyz-(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P，因为DC ABλ=u u u r u u u r，所以(,2,0)Cλ，从而(,2,2)PCλ=-u u u r，则由15cos,15PC BD=u u u r u u u r，解得10λ=（舍去）或2λ=.（2）易得(2,2,2)PC=-u u u r，(0,2,2)PD=-u u u r，设平面PCD的法向量(,,)n x y z=r，则0⋅=r u u u rn PC，0⋅=r u u u rn PD，即0x y z+-=，且0y z-=，所以0x=，不妨取1y z==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n=r，又易得(1,0,2)PB=-u u u r，故10cos,5=⋅=-u u u r rPB n PB n，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a的通项公式为1515225n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎥=-⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N∈，记1212n n nS C a C a=++…nn nC a+.（1）求1,S2S的值；（2）求所有正整数n，使得n S能被8整除.【答案】(1) 11S=；23S=；(2) {}*|3,n n k k N=∈【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值；（2）通过化简得到213n n nS S S++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛+ =⋅+⋅+ ⎝⎭⎝…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535225n n ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即有1S 515==； 2S 3535==； （2）35355n n S n ⎡⎤+-⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 23535225n S n n +⎡⎤+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 3535353535352222225n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+⎢⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦13n n S S +=-，即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1,n n S S +除以8的余数确定，因为11,a =21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=，432324321,S S S =-=-=543363855S S S =-=-=，654316521144,S S S =-=-=7535643255377S S =-=-=，87631131144987,S S S =-=-=987329613772584S S S =-=-= 由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3,n k =*k N ∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。
江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期中学业质量监测数学试卷(解析版)
2022届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卷交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{－1，0，－b}，若P＝Q，则a＋b＝A．－2B．－1C．0D．22．已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为A．2i＋3B．－2i－3C．2i－3D．－2i＋33．已知实数a，b满足a2＋b2为定值，则abA．有最大值，没有最小值B．有最小值，没有最大值C．既有最大值，又有最小值D．既没有最大值，也没有最小值4．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k (0≤k ≤6，k ∈N )个隐藏款的概率最大，则k 的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x －1)为偶函数，则A ．f (－3)＝0B ．f (－1)＝0C ．f (0)＝0D ．f (3)＝06．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．12a ＋bB ．－12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，B 1B ，C 1D 1的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】8．已知lnπ＞π－2，设a＝eπ,b＝π°，c＝3πc，其中e为自然对数的底数，则A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题(解析版)
2025届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22,2,0,1,3A x x x B =>=−，则A B = （ ）A. {}2,0,3−B. {}2,3−C. {}0,3D. {}3【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式220x x −>，得()(),02,A ∞∞=−∪+， 所以{}2,3A B ∩=−. 故选：B2 已知命题:0,31x p x ∃>>，则p ¬：（ ） A. 0,31x x ∃>≤ B. 0,31x x ∃≤>C. 0,31x x ∀>≤D. 0,31x x ∀>>【答案】C 【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论. 【详解】命题:0,31x p x ∃>>是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以p ¬：0,31x x ∀>≤. 故选：C.3. 函数e ,e ln ln ,e ln x x xxy x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】e ,e ln ln ,e ln x x x x y x x−−− ≥= < ，即{}maxe ,ln xy x −=， 设()e ln xf x x −=−，则()f x 单调递减，且()1,10ef −>=()3ln 3e 0,3f −<=−故存在唯一一个()01,3x ∈使()00,f x = 故在()00,x 上，()eln 0xf x x −=−>，此时{}maxe ,ln e xx y x −−=单调递减； 在()0,x +∞上，()eln 0xf x x −=−<，此时{}maxe ,l l n n xyx x −=单调递增；故e ,e ln ln ,e ln x x xx y x x −−− ≥= <在区间()0,+∞上先减后增. 故选：D4. 已知函数()()211f x x =−−，则（ ） A. ()()11f x f x −=− B. ()()11f x f x −=+C. ()()11f x f x +=−D. ()()11f x f x +=−− 【答案】C 【解析】【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因()()()2212111f x x f x x −−−≠−−，而()()2111f x f x x +=+=−，所以ff (1+xx )=ff (1−xx ). 故选：C5. 已知235m n==，则4mn =（ ）A.B. 6C. 8D. 9为【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得2log 3mn=，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由235m n ==，可得23log 5,log 5m n ==，则222232log 5log 5log 3log 5log 5log 3m n===， 则222lo g 3g 23lo 4422log 99mn====. 故选：D6. 设,b c ∈R ，函数()f x x c =++，则“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A 【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可； 【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ，则240b c =−< ， 可得()20f x x c c =+=++>恒成立，故充分性成立；取3,2b c ==，满足()0f x >恒成立， 但2320x x ++>的解集为()(),21,−∞−∪−+∞，故必要性不成立；所以“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的充分不必要条件. 故选：A.7. 已知直线y ax b =+与曲线1y x x=+相切，则2a b +的最大值为（ ） A.12B. 2C.52D. 5【答案】C 【解析】【分析】设切点切点横坐标为()0m m ≠，由题意列出,,a b m 的关系，进而得到2a b +，再由二次函数求最值即可..【详解】设切点横坐标为()0m m ≠，求导：1y x x =+得'211y x=−， 由题意可得2111a m am b m m=−+=+解得：2112a m b m =− = ， 所以222211522222a b m m m +=−++=−−+ ，所以2m =时，2a b +的最大值为52. 故选:C8. 若函数()1f x x x a =−−的3个零点由小到大排列成等差数列，则a =（ ） A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将问题转化为y x a =−和()10yx x=>的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得3x =，12x x . 【详解】令()10f x x x a =−−=可得()10x a x x−=>， 在同一直角坐系中作出yx a =−和()10yx x=>的图象如下：要使()1f x x x a =−−有3个零点，则0a >， 由图可知：1x a x =−有一个零点3x ，1x a x=−+有2个零点12,x x ，且12x x <， 即210x ax −−=有一个零点3x ，210x ax −+=有2个零点12,x x ，且12x x <故3x =，12x x ， 由于1322x x x +=2，，平方解得a =±， 由于0a >，故a =， 故选：D【点睛】方法点睛：判断函数yy =ff (xx )零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线2x y =的是（ ） A. 32x y += B. 23xy =−C. 32xy =D. 23xy =【答案】ABD 【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD ，根据图像的伸缩变换可判断C.详解】对于A ，曲线32x y +=向右平移3个单位可得到曲线2x y =，故A 正确； 对于B ，曲线23x y =−向上平移3个单位可得到曲线2x y =，故B 正确； 对于C ，曲线32x y =横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线2x y =，故C 错误；【对于D ，曲线22log 3log 322232x x x y −===，向左平移2log 3个单位可得到曲线2x y =，故D 正确； 故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为2200m ，则窗户面积至少应该为230mB. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m %，第二次增加了%n ,地面面积两次都增加了%2m n+，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x ，依题意列出不等式组求解可判断A ；记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时根据B ，C ，D 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B ，C ，D. 【详解】对于A ，设该公寓窗户面积为x ，则地板面积为200x −，依题意有15%200200xxx x≥− <−100x ≤<， 所以，这所公寓的窗户面积至少为2600m 23，故A 错误； 对于B ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时窗户增加的面积为10%a ⋅，同时地板增加的面积为10%b ⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()110%10%,10%110%a a a a a b b b b b++⋅==+⋅+， 所以公寓采光效果不变，故B 正确；对于C ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时增加的面积为c .由题可知，0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,a a c b b c++， 因为()()()()()b ac a b c c b a a c a b c b b b c b b c +−+−+−==+++，且0,0,0a b c b a <<>−>， 所以0a c ab c b+−>+，即a c abc b +>+,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C 正确；对于D ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，则窗户增加后的面积为()()1%1%n m a ++⋅,地板增加后的面积为21%2m n b + +⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()21%1%,1%2n m aa b m n b ++⋅++⋅， 因为()()()()221%1%1%%%%1%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=++++++，又因为0,0,2m n m n +>>≥2%%%2m n m n + ≥， 因为()()()()221%1%1%%%%11%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=≤++++++，所以()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅≤+ +⋅ , 当m n =时()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅=++⋅，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D 错误. 故选：BC.11. 设函数()f x 的定义域关于原点对称，且()f x 不恒为0，下列结论正确的是（ ） A. 若()f x 具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若()f x 不具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+奇函数()p x 与偶函数()q x 不存在C. 若()f x 为奇函数，则满足()()()f x p x q x =奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对D. 若()f x 为偶函数，则满足()()()f x q p x =的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对 【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A 选项；通过举例()2f x x x =+，即可判断B 选项；通过构造的()()11p x f x n =+，()1,q x n =+即可判断C 选项；通过构造()121n p x x +=()()21,n q x f x +=即可判断D 选项.【详解】对于A ，()()()f x p x q x =+，则()()()()()f x p x q x p x q x −=−+−=−+，当()f x 为奇函数时，则()()()20f x f x q x +−==，即()0q x =； 当()f x 为偶函数时，则()()()20f x f x p x −−==，即()0p x =， 即满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A 正确；对于B ，当()2f x x x =+，()2,()p x x q x x ==时，()f x 不具有奇偶性， 满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在，故B 错误；对于C ，()f x 为奇函数时，令奇函数()()1,N 1p x f x n n =∈+，偶函数()1,N q x n n =+∈，则()()()p x q x f x =，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x p x q x =.故C 正确；对于D ，()f x 为偶函数，令奇函数()121,N n p x xn +=∈，偶函数()()21,N n q x f x n +=∈，则()()()121n q p x q x f x +==，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x q p x =.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数()f x 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个()f x =______． 【答案】2x （答案不唯一） 【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可. 【详解】设()2f x x =，则()2f x x ′=.在()2f x x =上任取一点()200,x x ，则函数在该点处的切线方程为：()2002y x x x x −=−即2002y x x x =−.只要0x 不同，切线方程就不同. 故答案为：2x （答案不唯一）13. 已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24，将ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后与DC 交于点P ．设AB x =，则DP =______________（用x 表示），当ADP △的面积最大时，x =______________．【答案】 ①. 1272x x−. ②. 【解析】【分析】结合图形，折叠后易得ADP CB P ′≅ ，设DPB P y ′==，利用Rt B PC ′ ，即可求得DP 的表示式；依题意，求出ADP △的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时x 的值.【详解】如图2是图1沿着AC 折叠后的图形，因AB x =，则12AD x =−，因矩形()ABCD AB AD >的周长为24，则612x <<，对折后12AD B C x ′==−,易得ADP CB P ′≅ ,设DPB P y ′==，则CP x y =−,在Rt B PC ′ 中，由勾股定理，222()(12)x y y x −=+−，整理得1272x y x −=，即DP =ADP △的面积为1127272(12)6()1082x S x x x x−=⋅−⋅=−++，因612x <<，则当且仅当72x x=时，72x x +≥此时x =时，max 6108108S =−×+=−.故答案为：1272x x−；14. 已知a 为常数，且0a >．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+，且当0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则a =______________． 【答案】1 【解析】【分析】根据题意，先求出()300,()f f a a a ==−，再赋值得到()303a a f a −≤≤，将(3)f a 转化为()3(3)2()f a f a f a a a ≤≤=−，运用不等式传递性，得到330a a a a −≤≤−.式子恒成立.只能30a a −=.解方程即可.【详解】0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则()300,()f f a a a ==−. 0a >．定义在RR 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+．令0x =，得到()()()03f a f f a ≤≤，即()303a a f a −≤≤.由于()()3(3)22()()f a f a a f a f a a f a a a =+≤=+≤=−，则330a a a a −≤≤−.则要使得式子恒成立，则30a a −=，解得0,a =或1,a =或者1a =−. 由于0a >.则1a =. 故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1B B ⊥平面1,90,1ABC ABC AB BC BB ∠=°===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AEBF B G ==．（1）求证：11A F C G ⊥；（2）若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）12【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =−− 为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【小问1详解】因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=°，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m −，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =−=−−=−−=−− ， 则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=−−⋅−−=−=， 故11A F C G ⊥；【小问2详解】()1,0,0E m −，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =−−−=−−，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=−−⋅−−=−+−=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ∩=，1,C G EG ⊂平面1EGC ， 所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =−−为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =， 则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为1cos A F ，又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①22sin()sin()sin sin αβαβαβ+⋅−=−；②22sin()sin()cos cos αβαββα+⋅−=−．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在ABC 中，已知4sin sin()sin sin(),cos ,25C A BB C A A BC −=−==，求ABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）34【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明； 若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得22cos a bc A =，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 若选①，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sinsin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ−=−−− 22sin sin αβ−若选②，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sin 1cos cos cos 1cos αβαβαβαβ=−=−−−22cos cos βα−【小问2详解】由已知sin sin()sin sin()C AB BC A −=−可得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A −=− 即()sin sin cos cos sin 2sin sin cos A C B C B B C A +=即()2sin sin 2sin sin cos sin 2sin sin cos A C B B C A A B C A +=⇒= 由正弦定理可得22cos a bc A =又()4cos ,2,0,5ABC a A π===∈，所以53,sin 25bc A ==， 所以ABC 的面积11533sin 22254S bc A ==××=17. 分别过椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,F F ₁₁作两条平行直线，与C 在x 轴上方的曲线分别交于点,P Q ．（1）当P 为C 的上顶点时，求直线PQ 的斜率； （2）求四边形12PF F Q 的面积的最大值．【答案】（1）（2）3 【解析】【分析】（1）结合图形，易得P ，求得1PF 的斜率，由直线2QF 与椭圆的方程联立，求得点8(5Q ，即得直线PQ 的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半，设直线PR 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出||PR 和点2F 到直线:10l x my −+=的距离d ，得到四边形12PF F Q 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】由22:143x y C +=可知12(1,0),(1,0)F F −,椭圆上顶点为，即P ,直线1PF 2QF 的方程为：1)yx =−，将其代入22:143x y C +=整理得，2580x x -=，解得，0x =或85x =，因点Q 在x 轴上方,故得点8(5Q ，于是直线PQ的斜率为：PQ k ==； 【小问2详解】如图，设过点,F F ₁₁的两条平行线分别交椭圆于点,P R 和,Q S ， 利用对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，且四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线PR 的方程为:1,l x my =− 代入22:143x y C +=，整理得：22(34)690m y my +−−=，显然0∆>， 设1122(,),(,)P x y R x y ，则122122634934m y y m y y m+= + =−+，于是，||PR2212(1)34m m +=+， 点2F 到直线:10l x my −+=的距离为d =则四边形12PF F Q的面积为221112(1)||2234m S PR d m +=⋅=×=+令t1t ≥，且221m t =−，代入得，2212121213(1)4313t t St t t t==−+++，因函数1133()3y t t t t=+=+在[1,)+∞上单调递增，故，当1t =时，13yt t =+取得最小值为4，此时max 3S =.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为11,24.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A ，蓝方击中红方目标为事件B .求： （1）概率()(),P A P B ；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X 的概率分布及数学期望； （3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率． 【答案】（1）1()2P A =，1()3P B = （2）分布列见解析，()16E X =（3）31162【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出()(),P A P B ； （2）求出X 的可能取值范围及对应的概率，求出()E X ； （3）分蓝方击中0、1和2次三种情况讨论. 【小问1详解】22()3314P A =×=，211()323P B =×=；【小问2详解】X 的可能取值为1,0,1−，因为612131)1(P X ×−===，112132321(0)2P X +=×=×=，31211)3(2P X ×===，所以分布列为：X 1− 0 1所以111()0636E X =−++=； 【小问3详解】若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为422242112()C ()()32227=，若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为133********C ()()C ()()332281=， 若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为222441211C ()()()33254=， 所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为28131278154162++=. 19. （1）函数2x y =与2log y x =的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c ，对任意的x c >，总有222log xx x >>？若存在，求c 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数1a >，证明：当x 足够大时，总有log x a a a x x >>．【答案】（1）关于直线y x =对称，证明见解析；（2）存在，min 4c =；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由22x y x =−零点，可得min 4c =，再构造函数，利用导数证明4x >时不等式恒成立. （3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得. 【详解】（1）函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，令(,)a b 为函数2x y =图象上任意一点，即2a b =，则2log a b =，因此点(,)b a 在函数2log y x =的图象上，反之亦然，而点(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称， 所以函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.（2）存在正数4c =，对任意的4x >，222log xx x >>恒成立， 令()22xf x x =−，显然()()240f f ==，根据指数函数与幂函数的增长特征，在()2,4x ∈上恒有()0f x <，当4x >时，求导得()2ln 22x f x x ′=−，令()2ln 22,4x F x x x −>，求导得2()2(ln 2)2x F x ′=−，函数()F x ′在(4,)+∞上单调递增，2()(4)(4ln 2)20F x F ′′>=−>， 函数()F x 在(4,)+∞上单调递增，(4)16ln 288(ln 41)0F =−=−>，函数()f x 在(4,)+∞上单调递增，因此(4,)x ∀∈+∞，()(4)0f x f >=； 令22()log ,4x x x x ϕ=−>，求导得1()2ln 2x x x ϕ′=−，函数()x ϕ′在(4,)+∞上单调递增， 1()(4)804ln 2x ϕϕ′′>=−>，因此函数()ϕx 在(4,)+∞上单调递增，()(4)140x ϕϕ>=>， 所以存在正数c ，对任意的x c >，总有222log x x x >>，min 4c =.（3）1a >，不妨令1x >，则不等式ln ln ln ln x ax aa x x a a x x a>⇔>⇔<， 令ln ln (),1x a g x x x a=−>，求导得21ln ()xg x x −′=，当1e x <<时，()0g x ′>；当e x >，()0g x ′< 函数()g x 在(1,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，当e a ≥时，(,)x a ∀∈+∞，()()0g x g a <=， 当1e a <<时，由()0g a =，得是函数()g x 的一个零点， 又1ln (e)0e a g a =−>，而x 趋近于正无穷大时，ln ln x ax a−趋近于ln 0a a −<， 因此存在大于e 的正数0x ，使得0()0g x =，当0x x >时，0()()0g x g x <=， 所以对于1a >，存在正数0x ，使得0x x ∀>，恒有x a a x >；1a >，不妨令1x >，log 0a x t =>，不等式ln log ln 0a at a tx x a t a a t>⇔>⇔−<， 令l (n )ln ta a t th −=，则函数()h t 在(0,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，max1l ()(en e)a a h t h =−=，令()ln ,1H a a a a =>，求导得()1ln 0H a a ′=+>，函数()H a 在(1,)+∞上单调递增，值域为(0,)+∞，存在01a >，使得01()e H a =，当0a a ≥，即e1ln a a ≥时，(e,)t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，当01a a <<，即e 10ln a a <<时，函数l (n )ln ta a t th −=有两个零点1212,(1e )t t t t <<<， 对于2(,)t t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，因此对于1a >，存在正数2t ，使得2x t ∀>，log a a x x >恒成立， 取02max{,}M x t =，对于任意的x M >，log x a a a x x >>成立， 所以当x 足够大时，总有log x a a a x x >>.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。
精品解析：江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年度第一学期期中检测试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】由()2i 12i z +=-，得12i2iz -=+，化简可得结果 【详解】解：由()2i 12i z +=-，得12i (12i)(2i)5i=i 2i (2i)(2i)5z ----===-++-， 故选：D2. 已知集合{}20A x x x =->，则RA =（ ）A. {}01x x << B. {}01x x ≤≤C. {0x x <或1}x >D. {|0x x ≤或1}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出A ，结合补集的定义进行计算即可. 【详解】{}20{1A x x x x x =->=或0}x <， 则{}01RA x x =≤≤，故选：B.3. 在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{}n a ，则50a =（ ） A. 289 B. 295C. 301D. 307【答案】B【解析】 【分析】根据题意可得出{}n a 的通项公式可求得50a .【详解】由题意可知1n a -即是2的倍数，又是3的倍数，即1n a -是6的倍数， 则()()161,n n N a n *-=-∈，所以65nan =-，所以505065295a =⨯-=.故选：B.4. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A. 35 B. 40C. 50D. 70【答案】C 【解析】 【分析】6名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少2人，则对6名学生进行分组分配即可【详解】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为22362650C A C +=,故选：C 5. 函数222xy x x-=+的图象大致为（ ） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由单调性排除一个选项，得出正确结论．【详解】函数定义域为{}|0x x ≠，则22()()1xf x f x x -=-=-+，函数为奇函数，排除BD ， 又2(1)111f ==+，416(2)11744f ==+，所以()1)(2f f >即()f x 在0x >时不是单调递增，排除C ． 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（ 1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （ 2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （ 3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （ 4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6. 某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能．．．是（ ） A. 15 B. 17C. 21D. 26【答案】A 【解析】 【分析】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X 人，参加定点射门比赛的有Y 人，根据容斥原理得出616X +≥，626X +≤，从而得出答案.【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X 人，参加定点射门比赛的有Y 人，则,X Y N ∈，且20X Y +=①由题设条件知，两项比赛均参加的有4520196--=人故参加定点投篮比赛的一共有()6X +人，参加定点射门比赛的有()6Y +人不妨设参加定点投篮比赛人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则66X Y +≥+② 由①②可得10X ≥，故616X +≥，又20X ≤，所以626X +≤ 故16626X +故参加定点投篮比赛的人数不可能为15人，即两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15. 故选：A7. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则当线段OC 的长取最大值时，AOC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先分析出OC 的最大值并得到,OBC OAC ∠∠之间的关系，由此借助余弦定理求解出AB 的长度，再利用余弦定理即可求解出AOC ∠的大小.【详解】因为OB AC OA BC OC AB ⋅+⋅≥⋅，且ABC 为等边三角形，1,2OB OA ==， 所以OB OA OC +≥，所以3OC ≤，所以OC 的最大值为3，取等号时180OBC OAC ∠+∠=︒， 所以cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，不妨设AB x =，所以221949024x x x x+-+-+=，所以解得7x =所以9471cos 2232AOC +-∠==⨯⨯，所以60AOC ∠=︒，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22b P a ±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列四个函数中，以π为周期，且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A. sin y x = B. cos 2y x =C. tan y x =-D. sin 2y x =【答案】AC 【解析】 【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断. 【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； cos 2y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；tan y x =-最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； sin 2y x =不是周期函数，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 故选：AC10. 若2nx⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】ABC 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大；②展开式中只有第6项的二项式系数最大；③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大.确定每种情况下展开式的项数，进而可求得n 的值. 【详解】分以下三种情况讨论：①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则展开式共10项，可得110n +=，得9n =； ②展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共11项，可得111n +=，得10n =； ③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式共12项，可得112n +=，得11n =. 因此，n 的可能值为9、10、11. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：对二项式中的项的求解方法： （1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C a b -=的特点，一般需要建立方程求得r 的值，再将r 的值代回通项，主要是r 的取值范围()0,1,2,3,,r n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 11. 已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ）A. a b +≤B.1222a b -<<C. 221log log 2≥-D. 221a b ->-【答案】ABD【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A 正确；根据已知条件，求得,a b 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD ；利用对数函数的单调性对C 进行等价转化，通过举例可以否定C. 【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤，又0,0,a b a b >>∴+≤故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误； 故选：ABD .【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.12. 我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成()10110,nN a a n =⨯≤<∈Z .定义：(),0,0,0,N n W N N n ≥⎧=⎨<⎩的整数部分的位数的非有效数字的个数如：()21.2103W ⨯=，()1.23102W ⨯=，()23102W -⨯=，()13.001101W -⨯=，则下列说法正确的是（ ）A. 当0n >，1M >，1N >时，()()()W M N W M W N ⋅=+B. 当0n <时，()W M n =-C. 若1002N =，lg 20.301≈，则()31W N =D. 当k *∈N 时，()()22kkW W -=【答案】BCD 【解析】 【分析】先要通过举例，搞清楚()W N 的意义，)()110,10nn N n +⎡∈∈⎣N 时，N 的整数部分的位数为1n +,当)()110,101,2,3,,n n N n N +⎡∈=---⋯⎣的非有效数字中0的个数为n .然后通过举例可以否定A ；通过一般性论证判定B ；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定CD ；【详解】当[)10,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,100N ∈时，N 的整数位数为3，一般地，)()110,10n n N n +⎡∈∈⎣N 时，N 的整数部分的位数为1n +, 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字中0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，比如，0.010101023,其非有效数字中0的个数为2，一般地，当)()110,101,2,3,,nn N n N +⎡∈=---⋯⎣的非有效数字中0的个数为n .取210M =，10N =，则()3W M =，()2W N =，()()()()31045W MN W W M W N ==≠=+，取()()()()()()500,50,3,2,250005M N W M W N W MN W W M W N =======+,故A 有不正确的时候，故A 错误；当0n <时，110a ≤<,∴)()11010,10,nn n N a W N n ---+⎡=⨯∈∴=-⎣，B 正确； 因为1002,lg20.301N =≈，则()1003031lg2100lg230.1,30,1010,31n N W N ===≤<∴=，故C 正确；*k N ∈时，根据定义,由于2k 为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在N m ∈,使得110210m k m +<< ，此时()21kW m =+()110210m k m -+--<<，()21kW m -=+，故 D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在D 的判定中，注意不等式的性质的运用，*k N ∈时，2k 为正整数，且不可能是10的倍数是关键的，由此才能得出()110210m k m -+--<<，特别是右端不能取等号，否则比如0.010.1x <≤的话，不能得出()2W x =的结论，其中()0.11W =.注意小数中非有效数字概念，比如0.010101023中10101023是有效数字.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线()220y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为52，则p =______. 【答案】3 【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线定义可得，51()22p --=，解得3p =， 故答案为：314. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x （年）与维护费用y （千元）之间有如下数据： x 与y 之间具有线性相关关系，且y 关于x 的线性回归方程为 1.05y x a =+（a 为常数）.据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为______千元.（参考公式：线性回归方程y bx a =+中的系数()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-）【答案】8.2 【解析】 【分析】计算出样本的中心点(),x y 的坐标，再将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出a 的值，可得出回归直线方程，然后将7x =代入回归直线方程，即可求得对应的维修费用的估计值. 【详解】由题意可得2456855x ++++==，3 4.5 6.57.59 6.15y ++++==，由于回归直线过样本的中心点，所以，1.055 6.1a ⨯+=，解得0.85a =， 所以，回归直线方程为 1.050.85y x =+， 当7x =时， 1.0570.858.2y =⨯+=，所以，当该品牌的新能源汽车的使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元. 故答案为：8.2.15. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上，记电线杆的底部为点A .把路灯看作一个点光源，身高1.5m 的女孩站在离点A 5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D .然后从点D 出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为______2m.【答案】3200 289【解析】【分析】根据女孩在移动的过程中比例关系不变，得到女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形，再根据原正方形的对角线为4，利用比例关系求得轨迹的对角线长即可.【详解】如图所示：设女孩在点BD处头顶EF的投影点分别为MN，则EF=BD=4，BE=DF=1.5，则10 1.50.8510EFMN-==，所以8017MN =, 因为女孩在移动的过程中比例关系不变，所以当女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为对角线长为8017的正方形， 所以其面积为：18080320021717289S =⨯⨯=故答案为：320028916. 已知三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，以P 2为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______.【答案】924612π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据已知可以判定球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P 为圆心，以22为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 的内切圆，进而计算求解.【详解】如图所示，设,,BD CA AB 的中点分别为,,D E F ,P 在平面ABC 内的射影为1O ，由已知可得1O 为底面正三角形ABC 的中心.∵PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，2,AB BC CD PD PE PF ∴===∴===2,111O D O E O F==236= 以P 为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P 为圆心，以22为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 的内切圆，∴交线的长度之和为π2692463222ππ+⨯⨯+=⎝⎭, 故答案：9246π+⎝⎭.【点睛】本题关键是分析几何体的形状特征，利用球的性质，判定截线的类型和形状.注意到三棱锥是正三棱锥，斜高恰好是球的半径，从而得到截线的形状.四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nnn a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可.【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++=即2(792)8(4,)2n n nS n n n n N *+-⋅==-+≤∈5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+．选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.18. 在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+. （1）求A ；（2）若2b =，且ABC 为说角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）2S ⎛∈ ⎝.【解析】 【分析】（1）用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角A ；（2）由正弦定理把c 边用角表示，这样三角形的面积可表示为B 的函数，求出B 的范围，结合三角函数性质可得面积范围．【详解】（1）()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+ ∴()()()c b c a b a b -=-+ ∴222c bc a b -=- ∴222a b c bc =+-， 而2222cos a b c bc A =+- ∴1cos 2A =，(0,)A π∈， ∴3A π=．（2）2b =2sin sin sin sin b c Cc B C B=⇒=1sin 2ABC S bc A ===△1cos 12sin 2B B ⎫==+⎪⎭∴ABC 为锐角三角形 ∴02B π<< 且02C <<π即2032B ππ<-< ∴62B ππ<<cos sin BB∈∴3cos 11,22sin 22B B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴3,23S ⎛⎫∈⎪⎝． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin ,sin ,sin A B C 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）已知2PD =，点E 为棱PB 的中点，求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3015. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的定义得到PD BC ⊥，再根据线段的长度关系得到BC BD ⊥，由此借助线面垂直的判定定理完成证明；（2）利用等体积法求解出A 到平面DCE 的距离h ，然后根据hAE的结果得到直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：∵//AB CD ，AD CD ⊥，∴90DAB ︒∠= ∴1AB AD ==，∴2BD =在底面ABCD 中，过B 作BF CD ⊥于点F∴四边形ABFD 为矩形，∴1DF =，1CF =∴2BC =，∴2224BD BC CD +==，∴BC BD ⊥又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥ ∵BDPD D =，∴BC ⊥平面PBD（2）2BD =，426PB =+=∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AB ⊥ 又∵AB AD ⊥，PD AD D ⋂= ∴AB ⊥平面PAD ，∴AB PA ⊥ ∵E 为PB 的中点，∴162AE PB ==且62DE = 设A 到平面DCE 的距离为h ，AE 与平面DCE 所成角为θ，∴sin hAEθ=由11133A DCE E ACD DCE ACD V V S h S --=⇒⋅=⋅△△ 而在DCE 中，62DE =，2CD =，22314222CE BC BE =+=+=∴374cos EDC+-∠==sin EDC∠=∴122DCES==△，2112ACDS⨯==△∴11133h=⨯⇒=∴sin15θ==．所以直线AE与平面DCE所成角的正弦值为15.【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值（或者通过等体积法求解出线段端点到平面的距离，根据点到面的距离比上待求线段长度得到线面角的正弦值）；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）【答案】（1）分布列见解析，()1E X=；（2）0.01p≈，答案见解析.【解析】【分析】（1）先分析X的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出X的概率分布以及数学期望；（2）先分析新药无效的情况：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.【详解】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===∴X 的分布列如下：()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（2）新药无效的情况有：10中1人痊愈、10中0人痊愈，∴01090110101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1,2A ⎛⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2 .【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.【详解】解：（1）由题意知222222112211c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y += 过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y +=椭圆C 的右焦点()1,0F ，由00y 0x 1y 0x 1--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=， 联立20000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨⎪+=--⎩⎝⎭∴2222000000000022222222y x y y x PQ x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22002022004(1)4122(2)2(2)(2)x x x x x ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭===-- 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。
2020年江苏省南通市海安县实验中学高三数学理模拟试题含解析
2020年江苏省南通市海安县实验中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数，定义函数：,取函数，若对任意的，恒有，则A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为1D. k的最小值为1参考答案：D2. 已知点,．若, 则= （）A． B．2 C．D．参考答案：C3. 已知函数在R上单调递增，设，若有＞，则的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：A4. 若点M在△ABC的边AB上，且，则( )A. B. C. D.参考答案：D5. 若函数＝e x－ax2有三个不同零点，则a的取值范围是（）（A）(，＋∞)（B）(，＋∞)（C）(1，) （D）(1，)参考答案：A试题分析：时恒成立,不存在零点.故舍.时,由数形结合可知在上必有一个零点,所以要使有三个不同零点,只需在上有两个不同零点.时,所以问题可转化为直线与函数图像有两个不同交点.,令得;令得,所以在上单调递减,在上单调递增.所以,由数形结合可得.综上可得.故A正确.考点：1用导数求最值;2数形结合思想.6. 等差数列中，，则（）A．10 B．20 C．40 D．2+log25参考答案：B略7. 集合，则a的值为A.1B.2C.D.4参考答案：C略8. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】把双曲线的一条渐近线方程代入抛物线，整理得到一个一元二次方程，由渐近线与抛物线只有一个公共点，由此利用根的判别式为0，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式能求出结果．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，把y=x代入抛物线抛物线y=x2+1，得bx2﹣ax+b=0，∵渐近线与抛物线y=x2+1相切，∴△=a2﹣4b2=0，∴a=2b，∴e====．故选A．9. 如图，是一个算法程序框图，在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间（﹣5，3）内的概率为（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8参考答案：D【考点】CF：几何概型；EF：程序框图．【分析】分析题中程序框图，可以得到该程序的功能是计算分段函数的值，根据题意可以求得分段函数，结合y的值在（﹣5，3），分类讨论，列出关于x的不等式，求解即可得到x的取值范围，从而得到所求概率．【解答】解：根据程序框图可知，其功能为计算y=，∵输出的y值落在区间（﹣5，3），即﹣5＜y＜3，①当x＜0时，y=x+3，∴﹣5＜x+3＜3，解得﹣8＜x＜0，故﹣8＜x＜0符合题意；②当x=0时，y=0∈（﹣5，3），故x=0符合题意；③当x＞0时，y=x﹣5，∴﹣5＜x﹣5＜3，解得0＜x＜8，故0＜x＜8符合题意．综合①②③可得，x的取值为（﹣8，8），∵在集合A={x|﹣10≤x≤10，x∈R}中随机抽取一个数值做为x，故输出的y值落在区间（﹣5，3）内的概率为==0.8．故选：D．10. 方程C：y2=x2+所对应的曲线是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断．【解答】解：当y＞0时，y=（x2+），该为函数为偶函数，故关于y轴对称，且y2=x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，取等号，故最小值为2，y2=x2+也关于x轴对称，故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为．参考答案：55【考点】7F：基本不等式．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．12. 已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为．参考答案：﹣3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．13. 已知函数，则的值是 .参考答案：略14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是参考答案：30略15. 已知log2（x+y）=log2x+log2y，则+的最小值是．参考答案：25【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；4H：对数的运算性质．【分析】利用导数的运算法则化简已知条件，化简所求的表达式，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：log2（x+y）=log2x+log2y，可得x，y＞0，x+y=xy．+=4++9+=13+=4y+9x=（4y+9x）（）=13+≥13+2=25．当且仅当x=，y=时表达式取得最小值．故答案为：25．16. 若满足，则目标函数的最大值为______.参考答案：－1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，由得即，则有最大值，故答案为．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.17. 已知函数，且，则= .【解析】因为，所以，即。
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测(一)数学试题
江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高三上学期学业质量统测（一）数学试题一、单选题1．设复数z 满足()31i 12i z +=-，则z 的共轭复数为（ ）A ．31i 22-B ．31i 22+C ．31i 22--D ．31i 22-+2．已知函数y =f x 的对应关系如下表，函数y =g x 的图象如图，则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）A ．3B ．0C ．1D ．23．设集合{}{}221,log 1A x x B x x =-≤=<，{C x x A =∈且}x B ∉，则C =（ ） A ．∅ B ．[)1,2C ．[]2,3D ．(]2,34．命题:31,:p x q x a -≤≤≤．若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．[)3,∞-+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5．设()f x 是定义域为R 的奇函数，()37f -=-，当0x ≥时，()x f x a b =+，则()1f =（ ）A ．1B ．1C bD ．b6．我们知道当02x <<或4x >时，22x x >.若23log 3,2log 2a b c ===，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>7．函数()3213f x x x ax =-+，对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则a 的范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞8．若32e e e a b b +=+，则2a b -的最小值为（ ）A ．2B ．1ln2+C ．1D ．ln2二、多选题9．已知函数()ln f x x x =，则（ ）A ．()f x 在()1,+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．()f x 的最小值为1e -D ．()y f x =在()1,0点处切线为1y x =-10．设偶函数()f x 的定义域为R ，若()211f x --为奇函数，则（）A ．()11f =B ．()()22f x f x +=-C ．函数()f x 的一个周期是6D ．()()()()12320242024f f f f ++++=L11．已知1a b >>，则（ ）A ．11b b a a +>+B ．ln 1b a <-C ．e e a b b a >D ．11log log a b a b ++<三、填空题12．已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩则()3f f ⎡⎤=⎣⎦． 13．设幂函数()32m f x mx -=，则不等式()()32f a f a ->的解集为．14．已知曲线()2f x x =与()ln g x a x =+有公共切线，则实数a 的最大值为．四、解答题15．在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表：(1)根据往年的统计得，当年的月份x 与销量y 满足回归方程ˆ10yx t =+．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记X 为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求X 的分布列和数学期望．16．设公比为正的等比数列 a n 前n 项和为31,7n S S a =，且132,,20a a a +成等差数列．(1)求 a n 的通项；(2)若数列 b n 满足1121log ,1n n n n n b b b b a b ++=+=，求数列 b n 的前n 项和n T ．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，2,PA M =是BC 中点，N 是PD 中点．(1)证明：直线//MN 平面PAB ；(2)设2PG GC =u u u r u u u r ，求平面PCD 与平面GMN 的夹角．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x E y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，12AF AF ⊥，点A 关于y 轴的对称点为点B ．(1)求A 点坐标；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线y =Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的最大值；(3)设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求点M 的坐标．19．已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (1)当1a =-时，求曲线y =f x 在点()()2,2f 处的切线方程；(2)当12a =-时，证明：曲线1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是轴对称图形； (3)若函数()()()21h x x x f x =-'在[)2,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围．。
江苏省南通市海安市2020-2021学年高一上学期学业质量监测数学试题
2020～2021学年度第一学期学业质量监测高一数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页，共150分.考试时间120分钟.考试结束后，只要将答题纸交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上，并用2B 铅笔把答题纸上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.4.所有试题的答案全部在答题纸（卡）上作答.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}29,A x x x =<∈Z ∣，{|1,}B x x x =>∈Z ，则A B =（ ） A. ∅ B. {}2,2-C.2,0,2D. {}3,2,2,3--【答案】B2. 命题：“0x ∃≥，210x -≤”的否定为（ ） A. 0x ∀≥，210x B. 0x ∀<，210x C. 0x ∀≥，210x -≤ D. 0x ∀<，210x -≤【答案】A3. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数但不是2的倍数的概率为（ ） A.112B.211 C. 16D.518【答案】C4. 某电脑安装了“Windows ”和“Linux ”两个独立操作系统.每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用.设事件A =“Windows 系统正常”，B =“Linux 系统正常”.以1表示系统正常，0表示系统不正常，用1x ，2x 分别表示“Windows ”和“Linux ”两个系统的状态，()12,x x 表示电脑的状态，则事件A B =（ ）A. ()(){}0,0,0,1B. ()(){}1,0,1,1C. ()()(){}0,1,1,0,1,1D. ()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1【答案】C5. 函数()2cos 1xx ee x y x--=-（e 为自然对数的底数）的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A6. 已知正数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 不存在【答案】B7. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额－综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等，税率与速算扣除数见表：老王全年综合所得收入为200000元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么老王全年应缴纳综合所得个税为（ ） A. 1279.2元 B. 1744元 C. 3079.2元 D. 7744元【答案】B8. 设点集M ={|P P 是指数函数与幂函数图像的公共点或对数函数与幂函数图像的公共点}下列选项中的点是集合M 的元素的为（ ）A. 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 12,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列是“x y >”成立的充分条件的是（ ）A. ()22a x a y a >∈R B. 33x y >yD. 110x y<<【答案】ABD10. 要得到函数sin 4y x =的图象，只需将函数cos 4y x =的图象（ ） A. 向左平移8π个单位长度 B. 向左平移38π个单位长度C. 向右平移8π个单位长度 D. 向右平移38π个单位长度 【答案】BC11. 在下列区间中，存在函数()3ln 2f x x x =-+的零点的是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,3【答案】AD12. 设函数()f x 与()g x 的定义域分别为1D ，2D ：11x D ∀∈，∃唯一的22x D ∈，使得()()121f x g x =.下列选项中的函数满足题设的是（ ）A. ()2xf x =，()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. ()ln f x x =，()1lg g x x =C. ()21f x x x =-+，()31g x x =-D. ()2sin f x x =+，()tan g x x =【答案】AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知b 克盐水中含有()0a b a >>克盐，若给盐水加热，蒸发了()0m m b a <<-克水后盐水更咸了，请将这一事实表示一个不等式：______.【答案】a ab m b>- 14. 已知函数()f x 满足：()12f =，且对任意实数x ，都有()()11f x f x +=+成立，则()2021f =______. 【答案】202215. 若下表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是______，其正确的值为______.【答案】 (1). lg 25 (2). 22a c +的16. 已知函数sin y x =与函数2cos 1y x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象的交点为0P ，过点0P 作x 轴的垂线l ，垂足为H ，l 与函数tan y x =的图象交于点1P ，则线段1PH 的长为______. 【答案】34四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在①()f x 的图象关于直线3x π=对称，②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，③()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的振幅为2，初相为3π，最小正周期不小于．．．π，且______. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）见解析（2）见解析18. 已知全集U =R ，集合{}2650A x x x =-+≤∣，{}221B x a x a =-≤≤+∣. （1）若1a =，求()U C A B ；（2）若B ≠∅，且“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{3x x ≤或5}x >；（2）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦19. 已知函数()f x 是定义在()2,2-上的奇函数.当02x <<时，()log 2a b xf x x+=-，且其图象如图所示.（1）求实数a ，b 的值及函数()f x 在区间()2,2-上的解析式； （2）判断并证明函数()f x 在区间()2,0-上的单调性.【答案】（1）2,1a b ==；()221log (02)20(0)2log (20)1x x x f x x x x x +⎧<<⎪-⎪==⎨⎪+⎪-<<-⎩（2）函数()f x 在区间()2,0-上的单增.证明见解析20. 近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x （单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C （单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x （单位：米3）之间的函数关系为()50kC x x =+（0x ≥，k 为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F （单位：万元）.（1）解释()0C 的实际意义，并写出F 关于x 的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F 最小，并求出最小值.（3）要使F 不超过140万元，求x取值范围.【答案】（1）()0C 的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；192000.1250F x x =++，0x ≥；（2）该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，可使F 最小，且最小值为90万元；（3）3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21. 已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）.（1）证明：()()()1212222f x f x f x x +≥+；（2）若()12f x =，()23f x =，()128f x x =，求a 的值； （3）x ∀∈R ，()212xx f x -+≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）见详解；（2；（3）(]1,11,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭22. 设函数()y f x =定义域为A ，区间I A ⊆.如果12,x x I ∃∈，使得()()120f x f x <，那么称函数()y f x =为区间I 上的“变号函数”.（1）判断下列函数是否为区间I 上的“变号函数”，并说明理由.①()13p x x =-，1,3I ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭；②()sin cos q x x x =-，0,2I π⎛⎫= ⎪⎝⎭；的（2）若函数()()2121r x ax a x a =+-+-为区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“变号函数”.求实数a 的取值范围.【答案】（1）①不是，②是，理由见解析；（2）2a <-或24a >.。
江苏南通市海安市2024-2025学年高三上学期开学数学试题(解析版)
注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项江苏南通市海安市2025届高三期初学业质量监测试卷数学是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22,2,0,1,3A x x x B =>=−，则A B = （ ）A. {}2,0,3−B. {}2,3−C. {}0,3D. {}3【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式220x x −>，得()(),02,A ∞∞=−∪+， 所以{}2,3A B ∩=−. 故选：B2 已知命题:0,31x p x ∃>>，则p ¬：（ ） A. 0,31x x ∃>≤ B. 0,31x x ∃≤> C. 0,31x x ∀>≤ D. 0,31x x ∀>>【答案】C 【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论. 【详解】命题:0,31x p x ∃>>是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以p ¬：0,31x x ∀>≤. 故选：C.3. 函数e ,e ln ln ,e ln x x xxy x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】e ,e ln ln ,e ln x x x x y x x−−− ≥= < ，即{}maxe ,ln xy x −=， 设()e ln xf x x −=−，则()f x 单调递减，且()1,10ef −>=()3ln 3e 0,3f −<=−故存在唯一一个()01,3x ∈使()00,f x = 故在()00,x 上，()eln 0xf x x −=−>，此时{}maxe ,ln e xx y x −−=单调递减； 在()0,x +∞上，()eln 0xf x x −=−<，此时{}maxe ,l l n n xyx x −=单调递增；故e ,e ln ln ,e ln x x xx y x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上先减后增. 故选：D4. 已知函数()()211f x x =−−，则（ ） A. ()()11f x f x −=− B. ()()11f x f x −=+C. ()()11f x f x +=−D. ()()11f x f x +=−− 【答案】C 【解析】【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因()()()2212111f x x f x x −−−≠−−，而()()2111f x f x x +=+=−，所以ff (1+xx )=ff (1−xx ). 故选：C5. 已知235m n==，则4mn =（ ）A.B. 6C. 8D. 9为【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得2log 3mn=，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由235m n ==，可得23log 5,log 5m n==，则222232log 5log 5log 3log 5log 5log 3m n ===， 则222lo g 3g 23lo 4422log 99mn ====. 故选：D6. 设,b c ∈R ，函数()f x x c =++，则“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A 【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可； 【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ，则240b c =−< ， 可得()20f x x c c =++=+>恒成立，故充分性成立；取3,2b c ==，满足()0f x >恒成立， 但2320x x ++>的解集为()(),21,−∞−∪−+∞，故必要性不成立；所以“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的充分不必要条件. 故选：A.7. 已知直线y ax b =+与曲线1y x x=+相切，则2a b +的最大值为（ ） A.12B. 2C.52D. 5【答案】C 【解析】【分析】设切点切点横坐标为()0m m ≠，由题意列出,,a b m 的关系，进而得到2a b +，再由二次函数求最值即可..【详解】设切点横坐标为()0m m ≠，求导：1y x x =+得'211y x=−， 由题意可得2111a m am b m m=−+=+解得：2112a m b m =− = ， 所以222211522222a b m m m +=−++=−−+ ，所以2m =时，2a b +的最大值为52. 故选:C8. 若函数()1f x x x a =−−的3个零点由小到大排列成等差数列，则a =（ ） A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将问题转化为y x a =−和()10yx x=>的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得3x =12x x ，即可利用等差中项求解. 【详解】令()10f x x x a =−−=可得()10x a x x−=>， 在同一直角坐系中作出yx a =−和()10yx x=>的图象如下：要使()1f x x x a =−−有3个零点，则0a >， 由图可知：1x a x =−有一个零点3x ，1x a x=−+有2个零点12,x x ，且12x x <， 即210x ax −−=有一个零点3x ，210x ax −+=有2个零点12,x x ，且12x x <故3x =12x x 由于1322x x x +=2，a = 由于0a >，故a =， 故选：D【点睛】方法点睛：判断函数yy =ff (xx )零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线2x y =的是（ ） A. 32x y += B. 23xy =−C. 32xy =D. 23xy =【答案】ABD 【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD ，根据图像的伸缩变换可判断C.详解】对于A ，曲线32x y +=向右平移3个单位可得到曲线2x y =，故A 正确； 对于B ，曲线23x y =−向上平移3个单位可得到曲线2x y =，故B 正确； 对于C ，曲线32x y =横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线2x y =，故C 错误；【对于D ，曲线22log 3log 322232x xx y −===，向左平移2log 3个单位可得到曲线2x y =，故D 正确； 故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为2200m ，则窗户面积至少应该为230mB. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m %，第二次增加了%n ,地面面积两次都增加了%2m n+，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x ，依题意列出不等式组求解可判断A ；记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时根据B ，C ，D 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B ，C ，D. 【详解】对于A ，设该公寓窗户面积为x ，则地板面积为200x −，依题意有15%200200xxx x≥− <−100x ≤<， 所以，这所公寓的窗户面积至少为2600m 23，故A 错误； 对于B ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时窗户增加的面积为10%a ⋅，同时地板增加的面积为10%b ⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()110%10%,10%110%a a a a ab b b b b++⋅==+⋅+，所以公寓采光效果不变，故B 正确；对于C ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时增加的面积为c .由题可知，0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,a a c b b c++， 因为()()()()()b ac a b c c b a a c a b c b b b c b b c +−+−+−==+++，且0,0,0a b c b a <<>−>， 所以0a c ab c b+−>+，即a c abc b +>+,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C 正确；对于D ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，则窗户增加后的面积为()()1%1%n m a ++⋅,地板增加后的面积为21%2m n b + +⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()21%1%,1%2n m aa b m n b ++⋅++⋅， 因为()()()()221%1%1%%%%1%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=++++++，又因为0,0,2m n m n +>>≥2%%%2m n m n + ≥， 因为()()()()221%1%1%%%%11%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=≤++++++，所以()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅≤+ +⋅ , 当m n =时()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅=++⋅，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D 错误. 故选：BC.11. 设函数()f x 的定义域关于原点对称，且()f x 不恒为0，下列结论正确的是（ ） A. 若()f x 具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若()f x 不具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+奇函数()p x 与偶函数()q x 不存在C. 若()f x 为奇函数，则满足()()()f x p x q x =奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对D. 若()f x 为偶函数，则满足()()()f x q p x =的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对 【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A 选项；通过举例()2f x x x =+，即可判断B 选项；通过构造的()()11p x f x n =+，()1,q x n =+即可判断C 选项；通过构造()121n p x x +=()()21,n q x f x +=即可判断D选项.【详解】对于A ，()()()f x p x q x =+，则()()()()()f x p x q x p x q x −=−+−=−+，当()f x 为奇函数时，则()()()20f x f x q x +−==，即()0q x =； 当()f x 为偶函数时，则()()()20f x f x p x −−==，即()0p x =， 即满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A 正确；对于B ，当()2f x x x =+，()2,()p x x q x x ==时，()f x 不具有奇偶性， 满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在，故B 错误；对于C ，()f x 为奇函数时，令奇函数()()1,N 1p x f x n n =∈+，偶函数()1,N q x n n =+∈，则()()()p x q x f x =，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x p x q x =.故C 正确； 对于D ，()f x 为偶函数，令奇函数()121,N n p x x n +=∈，偶函数()()21,N n q x f x n +=∈，则()()()121n q p x q x f x +==，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x q p x =.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数()f x 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个()f x =______． 【答案】2x （答案不唯一） 【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可.【详解】设()2f x x =，则()2f x x ′=.在()2f x x =上任取一点()200,x x ，则函数在该点处的切线方程为：()2002y x x x x −=−即2002y x x x =−.只要0x 不同，切线方程就不同. 故答案为：2x （答案不唯一）13. 已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24，将ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后与DC 交于点P ．设AB x =，则DP =______________（用x 表示），当ADP △的面积最大时，x =______________．【答案】 ①. 1272x x−. ②. 【解析】【分析】结合图形，折叠后易得ADP CB P ′≅ ，设DPB P y ′==，利用Rt B PC ′ ，即可求得DP 的表示式；依题意，求出ADP △的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时x 的值.【详解】如图2是图1沿着AC 折叠后的图形，因AB x =，则12AD x =−，因矩形()ABCD AB AD >的周长为24，则612x <<，对折后12AD B C x ′==−,易得ADP CB P ′≅ ,设DPB P y ′==，则CP x y =−,在Rt B PC ′ 中，由勾股定理，222()(12)x y y x −=+−，整理得1272x y x −=，即DP =ADP △的面积为1127272(12)6()1082x S x x x x−=⋅−⋅=−++，因612x <<，则当且仅当72x x=时，72x x +≥，此时x =时，max 6108108S =−×+=−.故答案为：1272x x−；14. 已知a 为常数，且0a >．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+，且当0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则a =______________． 【答案】1 【解析】【分析】根据题意，先求出()300,()f f a a a ==−，再赋值得到()303a a f a −≤≤，将(3)f a 转化为()3(3)2()f a f a f a a a ≤≤=−，运用不等式传递性，得到330a a a a −≤≤−.式子恒成立.只能30a a −=.解方程即可.【详解】0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则()300,()f f a a a ==−. 0a >．定义在RR 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+．令0x =，得到()()()03f a f f a ≤≤，即()303a a f a −≤≤.由于()()3(3)22()()f a f a a f a f a a f a a a =+≤=+≤=−，则330a a a a −≤≤−.则要使得式子恒成立，则30a a −=，解得0,a =或1,a =或者1a =−. 由于0a >.则1a =. 故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1B B ⊥平面1,90,1ABC ABC AB BC BB ∠=°===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AEBF B G ==．（1）求证：11A F C G ⊥；（2）若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）12【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =−− 为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AAB B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【小问1详解】因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=°，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m −，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =−=−−=−−=−− ， 则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=−−⋅−−=−=， 故11A F C G ⊥；【小问2详解】()1,0,0E m −，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =−−−=−−，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=−−⋅−−=−+−=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ∩=，1,C G EG ⊂平面1EGC ， 所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =−−为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =， 则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为1cos A F ，又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①22sin()sin()sin sin αβαβαβ+⋅−=−；②22sin()sin()cos cos αβαββα+⋅−=−．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在ABC 中，已知4sin sin()sin sin(),cos ,25C A BB C A A BC −=−==，求ABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）34【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明； 若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得22cos a bc A =，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 若选①，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sinsin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ−=−−− 22sin sin αβ−若选②，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sin 1cos cos cos 1cos αβαβαβαβ=−=−−−22cos cos βα−【小问2详解】由已知sin sin()sin sin()C AB BC A −=−可得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A −=− 即()sin sin cos cos sin 2sin sin cos A C B C B B C A +=即()2sin sin 2sin sin cos sin 2sin sin cos A C B B C A A B C A +=⇒= 由正弦定理可得22cos a bc A =又()4cos ,2,0,5ABC a A π===∈，所以53,sin 25bc A ==， 所以ABC 的面积11533sin 22254S bc A ==××=17. 分别过椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,F F ₁₁作两条平行直线，与C 在x 轴上方的曲线分别交于点,P Q ．（1）当P 为C 的上顶点时，求直线PQ 的斜率； （2）求四边形12PF F Q 的面积的最大值．【答案】（1） （2）3 【解析】【分析】（1）结合图形，易得P ，求得1PF 的斜率，由直线2QF 与椭圆的方程联立，求得点8(5Q ，即得直线PQ 的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半，设直线PR 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出||PR 和点2F 到直线:10l x my −+=的距离d ，得到四边形12PF F Q 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】由22:143x y C +=可知12(1,0),(1,0)F F −,椭圆上顶点为，即P ,直线1PF 2QF 的方程为：1)yx =−，将其代入22:143x y C +=整理得，2580x x -=，解得，0x =或85x =，因点Q 在x 轴上方,故得点8(5Q ，于是直线PQ的斜率为：PQ k == 【小问2详解】如图，设过点,F F ₁₁的两条平行线分别交椭圆于点,P R 和,Q S ， 利用对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，且四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线PR 的方程为:1,l x my =− 代入22:143x y C +=，整理得：22(34)690m y my +−−=，显然0∆>， 设1122(,),(,)P x y R x y ，则122122634934m y y m y y m+= + =− +，于是，||PR2212(1)34m m +=+， 点2F 到直线:10l x my −+=的距离为d =则四边形12PF F Q的面积为221112(1)||2234m S PR d m +=⋅=×=+令t，则1t ≥，且221m t =−，代入得，2212121213(1)4313t t St t t t==−+++，因函数1133()3y t t t t=+=+在[1,)+∞上单调递增，故，当1t =时，13yt t =+取得最小值为4，此时max 3S =.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为11,24.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A ，蓝方击中红方目标为事件B .求： （1）概率()(),P A P B ；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X 的概率分布及数学期望； （3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率． 【答案】（1）1()2P A =，1()3P B = （2）分布列见解析，()16E X =（3）31162【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出()(),P A P B ； （2）求出X 的可能取值范围及对应的概率，求出()E X ； （3）分蓝方击中0、1和2次三种情况讨论. 【小问1详解】22()3314P A =×=，211()323P B =×=；【小问2详解】X 的可能取值为1,0,1−，因为612131)1(P X ×−===，112132321(0)2P X +=×=×=，31211)3(2P X ×===，所以分布列为：X 1− 0 1所以111()0636E X =−++=； 【小问3详解】若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为422242112()C ()()32227=，若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为133********C ()()C ()()332281=， 若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为222441211C ()()()33254=， 所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为28131278154162++=. 19. （1）函数2x y =与2log y x =的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c ，对任意的x c >，总有222log xx x >>？若存在，求c 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数1a >，证明：当x 足够大时，总有log x a a a x x >>．【答案】（1）关于直线y x =对称，证明见解析；（2）存在，min 4c =；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由22x y x =−零点，可得min 4c =，再构造函数，利用导数证明4x >时不等式恒成立. （3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得. 【详解】（1）函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，令(,)a b 为函数2x y =图象上任意一点，即2a b =，则2log a b =，因此点(,)b a 在函数2log y x =的图象上，反之亦然，而点(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称， 所以函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.（2）存在正数4c =，对任意的4x >，222log xx x >>恒成立， 令()22xf x x =−，显然()()240f f ==，根据指数函数与幂函数的增长特征，在()2,4x ∈上恒有()0f x <，当4x >时，求导得()2ln 22x f x x ′=−，令()2ln 22,4x F x x x −>，求导得2()2(ln 2)2x F x ′=−，函数()F x ′在(4,)+∞上单调递增，2()(4)(4ln 2)20F x F ′′>=−>， 函数()F x 在(4,)+∞上单调递增，(4)16ln 288(ln 41)0F =−=−>，函数()f x 在(4,)+∞上单调递增，因此(4,)x ∀∈+∞，()(4)0f x f >=； 令22()log ,4x x x x ϕ=−>，求导得1()2ln 2x x x ϕ′=−，函数()x ϕ′在(4,)+∞上单调递增， 1()(4)804ln 2x ϕϕ′′>=−>，因此函数()ϕx 在(4,)+∞上单调递增，()(4)140x ϕϕ>=>， 所以存在正数c ，对任意的x c >，总有222log x x x >>，min 4c =.（3）1a >，不妨令1x >，则不等式ln ln ln ln x ax aa x x a a x x a>⇔>⇔<， 令ln ln (),1x a g x x x a=−>，求导得21ln ()xg x x −′=， 当1e x <<时，()0g x ′>；当e x >，()0g x ′< 函数()g x 在(1,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，当e a ≥时，(,)x a ∀∈+∞，()()0g x g a <=， 当1e a <<时，由()0g a =，得是函数()g x 的一个零点， 又1ln (e)0e a g a =−>，而x 趋近于正无穷大时，ln ln x ax a−趋近于ln 0a a −<， 因此存在大于e 的正数0x ，使得0()0g x =，当0x x >时，0()()0g x g x <=， 所以对于1a >，存在正数0x ，使得0x x ∀>，恒有x a a x >；1a >，不妨令1x >，log 0a x t =>，不等式ln log ln 0a at a tx x a t a a t>⇔>⇔−<， 令l (n )ln ta a t th −=，则函数()h t 在(0,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，max1l ()(en e)a a h t h =−=，令()ln ,1H a a a a =>，求导得()1ln 0H a a ′=+>，函数()H a 在(1,)+∞上单调递增，值域为(0,)+∞，存在01a >，使得01()e H a =，当0a a ≥，即e1ln a a ≥时，(e,)t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，当01a a <<，即e 10ln a a <<时，函数l (n )ln ta a t th −=有两个零点1212,(1e )t t t t <<<， 对于2(,)t t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，因此对于1a >，存在正数2t ，使得2x t ∀>，log a a x x >恒成立， 取02max{,}M x t =，对于任意的x M >，log x a a a x x >>成立， 所以当x 足够大时，总有log x a a a x x >>.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。
江苏名校备战高考12讲专题04 立体几何(学生版)
专题04 立体几何 一、单选题1. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，23AB =，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量.设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P 是直线l 外一点，n 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ 在法向量n 上的投影向量为()cos n PQ n θ⋅(θ为向量n 与PQ 的夹角），其模就是点P 到直线l 的距离d ，即PQ n d n ⋅=.据此，请解决下面的问题：已知点A (-4，0)，B (2，-1)，C (-1，3)，则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．215 B ．7 C ．275 D ．83. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是A ．334B ．33C ．34D ．3124. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △的面积为11，则此三棱锥外接球的体积为（ ）A ．16πB ．4πC ．163πD ．323π 5. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11AB BC ，的中点，则异面直线EF 与1C D 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒6. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，且3PA =，则二面角P BC A --的大小为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．无法确定7. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱14BB =，2AB =，3AC BC ==，则点C 到平面11A BC 的距离为（ ）A ．22211B ．42211C ．62211D ．1222118. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】正三棱锥S ABC -中，2SA =，22AB =，则该棱锥外接球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．12πD ．6π9. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M ､N 分别是边CD ､BC 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，在ADM △翻折到PAM △的过程中，tan PND ∠的最大值为（ ）A ．54B ．255C ．55D ．2310. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A ．33sin θB ．33cos θC ．12sin θD ．12cos θ11. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】正三棱锥S ABC -中，2SA =，22AB =，则该棱锥外接球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．12πD ．6π12. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的体积为（ ）A ．92B ．242C ．362D ．722二、多选题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nD ．若αβ⊥，//m α，βn//，则m n ⊥ 2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】已知边长为2的等边ABC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，满足//DE BC 且ADAC λ=（()0,1λ∈），将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE C ．若12λ=，当二面角A DE B '--等于60°时，72A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为2393. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）A ．直线PB 与平面AMC 平行B ．直线PB 与直线AD 垂直C ．线段AM 与线段CM 长度相等D ．PB 与AM 所成角的余弦值为24 4. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】已知菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O ．将∠ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ） A ．BD ∠CMB ．存在一个位置，使∠CDM 为等边三角形C ．DM 与BC 不可能垂直D ．直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°5. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒ D ．//EF 平面1111D C B A6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】在棱长为2的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，DA 的中点，则（ ）A ．//AC 平面EFGB ．过点E ，F ，G 的截面的面积为12C ．AD 与BC 的公垂线段的长为2D ．CD 与平面GBC 所成角的大小小于．．二面角G BC D --的大小 7. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M ，N 分别是棱11A D ，CD 的中点，点P 在四边形ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若25PM =，则（ ） A ．点P 的轨迹的长度为2π B ．线段MP 的轨迹与平面11ADC B 的交线为圆弧C ．PQ 长度的最小值为65105-D ．PQ 长度的最大值为252+ 8. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）A ．三棱锥1P A BD -的体积为定值13B ．过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A BCD -截得的多边形的面积为32C ．直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球的体积为32π 9. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直B ．若直线m α⊥，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线C ．若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线D ．若直线m α⊂，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连结PB ，PC ，在ADM △翻折到PAM △的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥P ABCM -的体积的最大值为255B ．当面PAM ⊥平面ABCM 时，二面角PAB C 的正切值为54C ．存在某一翻折位置，使得AM PB ⊥D ．棱PB 的中点为N ，则CN 的长为定值 11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（ ）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD 12. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的正三角形.60ADB ∠=︒，二面角D AB C --的大小为60︒，则下列说法正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．四面体ABCD 的体积V 的最大值为32 C ．棱CD 的长的最小值为3D ．四面体ABCD 的体积最大时，四面体ABCD 的外接球的表面积为529π 13. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（ ）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD14. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BA 的中点（ ）A ．直线1EC 与直线AD 是异面直线B ．在直线11AC 上存在点F ，使EF ⊥平面1ACDC ．直线1BA 与平面1ACD 所成角是6π D ．点B 到平面1ACD 的距离是22 15. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD ，BC 为母线，AB ＝AD ＝2，点F 在AB 上，点G 在DC 上，BF ＝DG ＝1，P 为DC 的中点.则（ ）A ．BF ∠PGB ．异面直线AF 与CG 所成角为60°C ．三棱锥P —ACG 的体积为32D ．直线AP 与平面ADG 所成角的正弦值为1510 16. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是（ ） A ．,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为55三、填空题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________.2. ．【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，现将ABD △沿对角线BD 折起，得到三棱锥P BCD -.则当二面角P BD C --的大小为23π时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为______.3. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】在三棱锥P ABC -中，ABC 与PBC 均为边长为1的等边三角形，,,,P A B C ，四点在球O 的球面上，当三棱锥P ABC -的体积最大时，则球O 的表面积为______．4. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1==PA AB ，2BC =，则二面角A PC B --的正弦值为______.5. ．【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】已知三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，以P 为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______. 6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．7. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .8. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心．．工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积计算公式是2S Rh π= . 由此可知，该实心．．工艺品的表面积是____.9. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1BC =，5AC =，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，222AD AB BC ===，将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，连结MD ．当三棱锥M ACD -的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，三角形PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_________.12. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面EFGH 与平面ABCD 的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.13. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，三棱锥P ABC -中，1BC =，2AC =，3PC =，PA AB =，PA AC ⊥，PB BC ⊥.点Q 在棱PB 上且1BQ =，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是__________.14. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.15. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为______；以点E 为球心，以104为半径的球面与对角面11ACC A 的交线长为______．四、解答题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF 沿直线BF 翻折至A BF '△，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点.（1）证明：//OH 平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE 所成锐二面角的余弦值.2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，45BCD ∠=︒，2BC AD =.（1）求证：BD PC ⊥；（2）若PC BC =，求平面PAD 和平面PBC 所成的角（锐角）的余弦值.3. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥P -ABCD 中，23,AD =3,AB =3,AP =//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ︒∠=，点E 满足2133PE PA PB =+.（1）证明：PE DC ⊥； （2）求二面角A -PD -E 的余弦值.4. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为菱形，PD ＝PB ，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∠平面AMHN .（1）证明：MN ∠PC ；（2）当H 为PC 的中点，PA ＝PC ＝3AB ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.5. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】如图，平面ABCD ⊥平面DBNM ，且菱形ABCD 与菱形DBNM 全等，且MDB DAB ∠=∠，G 为MC 中点.（1）求证：平面//GBD 平面AMN .（2）求直线AD 与平面AMN 的所成角的正弦值.6. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34，求BM . 7. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）已知2PD =，点E 为棱PB 的中点，求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.8. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值.9. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥A BCDE -中，//BC DE ，22BC DE ==，BC CD ⊥，F 为AB 的中点，BC EF ⊥.（1）求证：AC BC ⊥；（2）若AD CD =，2AC =，求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值的最大值.10. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，2AB =，且60DAB DBF ∠=∠=．（1）求证：AC BF ⊥；（2）求二面角E AF B --的余弦值．11. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，233AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.12. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示的某种容器的体积为318dm π，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为dm r ，圆柱的高为dm h .已知顶部半球面的造价为3a 元2/dm ，圆柱的侧面造价为a 元2/dm ，圆柱底面的造价为23a 元2/dm .（1）将圆柱的高h 表示为底面半径r 的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？13. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD为圆柱Ω的轴截面，点E 为圆弧AB 上异于A ，B 的点，点F 为线段ED 上的动点.（1）求证：BE AF ⊥；（2）若2AB =，1AD =，30ABE ∠=︒，且直线CA 与平面ABF 所成角的正弦值为1510，求EF ED 的值. 14. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，底面ABCD 是菱形，且1A D ⊥平面1AA C ．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1A DB ；（2）求证：11//BB DD ．15. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，已知五面体ABCDEF 中，CDEF 为正方形，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，120ADC BCD ∠=∠=.（1）证明：ABCD 为等腰梯形；（2）若AD DE =，求二面角F BD C --的余弦值.16. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC ，BD 相交于点N ，2DN NB =，已知3PA AC AD ===，33BD =30ADB ∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面PAD ；（2）设棱PD 的中点为M ，求平面PAB 与平面MAC 所成二面角的正弦值.17. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.请选择一个条件求平面EFG 与平面11ACC A 所成的二面角(锐角)的余弦值.18. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．（∠）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（∠）求二面角H BD C --的大小．19. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（∠）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（∠）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223． 20. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长． 21. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,2,4AB DC BC CD AB ===．M N ，分别是,AB AD 的中点，且PD NC ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知三棱锥D PAB -的体积为23，求二面角C PN M --的大小． 22. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方体，FA ∠底面ABCD ，AF ＝2，且DE ＝AF λ(0＜λ＜1).（1）求证：CE ∠平面ABF ；（2）若二面角B —CF —E 的大小为56π，求λ的值. 23. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，E 为侧棱PA 上一点，且2AE PE =，3AP =，2AB BC ==，4=AD .（1）证明：//PC 平面BDE . （2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值.24. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.ACC A所成的二面角(锐角)的余弦值.请选择一个条件求平面EFG与平面11。
江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测数学试题
海安市实验中学2020~2021学年第一学期第三次学情检测高三数学一．选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分．每小题四个选项中只有一项符合题意．1．已知全集为R ,集合{}2211,6802x A x B x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣∣,则R A B ⋂=（ ）A ．{0}xx ≤︱ B ．{24}x x ∣ C ．{02xx <∣或4}x D ．{02x x <∣或4}x > 2．已知512i z i=-（i 为虚数单位）,则z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+3．设x R ∈,则“38x >”是“||2x >”的_______条件．（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．声音大小（单位为分贝）取决于声波通过介质时,所产生的压力变化（简称声压,单位为2N/m ）．已知声压x 与声音大小y 的关系式为2510lg 210x y -⎛⎫=⨯ ⎪⨯⎝⎭,且根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定,新建企业工作地点噪声容许标准为85分贝．若某新建企业运行时测得的声音为80分贝,则该企业的声压为（ ）A ．220N/mB ．25N/mC ．20.5N/mD ．20.2N/m5．过点(1,1)的直线l 与圆2240x y x +-=交于,A B 两点,则||AB 的最小值为 （ ）A B ．2 C ． D ．46．已知01m n <<<,不等式①1123m n ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;②1132m n >;③1123log log m n >中正确的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是11,AB BC 中点,则EF 与1C D 所成角为 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周牌算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽,大如图,正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若,,AB a AD b E ==为BF 的中点,则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b + 二．选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分．9．已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π,则下列正确的有（ ）A ．2ω=B ．函数()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 C ．直线3x π=是()y f x =图象的一条对称轴 D ．点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心10．2020年初,突如其来的疫情改变了人们的消费方式,在疫情防控常态化背景下,某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况,更好的提高服务质量,收集并整理了本超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入的数据,绘制如下的折线图,根据折线图,下列正确的是（ ）A ．这8个月中,线上收入的平均值高于线下收入的平均值B ．这8个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C ．这8个月中,每月总收入与时间呈现负相关D ．从这8个月的收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费11．己知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,点F 为双曲线E 的右焦点,则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线E 的离心率为2B ．双曲线E 的渐近线方程为0x =C ．若点F 到双曲线E ,则双曲线E 的方程为22142x y -=D ．设O 为坐标原点,若PO PF =,则POF 的面积为212．设函数{}2()min |2|,,|2|f x x x x =-+,其中{}min ,,x y z 表示,,x y z 中的最小者．下列正确的有（ ）A ．函数()f x 为偶函数B ．()42f =C ．当x R ∈时,[()]()f f x f x >D ．当[]4,4x ∈-时,|()2|()f x f x -三．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共计20分．其中第16题第一空2分,第二空3分）13．数列{}n a 是公比为2的等比数列,其前n 项和为n S ,若5421S S -=,则13a a +=______．14．61(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______． 15．若函数()f x 满足当0x >时,()3x f x =,当0x <时,()()1f x f x =+,则()3log 2f =_______．16．某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一长个截面圆的周为6π,则该球的半径为_______;现定义:球面部被平面所截得的一分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R ,球冠的高是h ,那么球冠的表面积计算公式是2S Rh π=．由此可知,实心工艺品的表面积是_______．四．解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出了文字说明､证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①()()()a b a b a c c +-=-,②22cos a c b C -=,cos )sin a b C c B -=三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答．在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若_______,b =求a c +的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S ,满足312n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记(21)n n b n a =-,求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图,四边形ABCD 与BDEF 均为菱形,,2FA FC AB ==,且60DAB DBF ∠=∠=︒．（1）求证:AC BF ⊥;（2）求二面角E AF B --的余弦值．20．（本小题满分12分）2020年8月,体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合,促进青少年健康发展的意见》．某地区为落实该意见,初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远､掷实心球､1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到频率分布直方图（如图所示）,且规定计分规则如下表:（1分的概率;（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数2~(),X N μσ,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差．已知样本方差2169s ≈（各组数据用中点值代替）．根据往年经验,该校初三年级学生经过训练,正式测试时跳绳个数都有明显进步．假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,现利用所得正态分布模型:①全年级有1000名学生,预估正式测试每分钟跳182个以上人数;（结果四舍五入到整数）②若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为Y ,求随机变量Y 的分布列和期望．附:若2~(),X N μσ,则(||)0.6826,(||2)0.9544,(||3)0.9974P X P X P X μσμσμσ-<≈-<≈-<≈．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点⎛- ⎝⎭,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4,点1122,,()(),A x y B x y 是椭圆E 上的两点．（1）若12x x =,且OAB 为等边三角形,求OAB 的边长;（2）若12x x ≠,是否存在点,A B ,使OAB 为等边三角形,若存在,求点,A B ,若不存在,说明理由．22．（本小题满分12分） 已知函数2()ex x ax a f x +-=,其中a R ∈． （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程;（2）求证:若()f x 有极值,则极大值必大于0．海安市实验中学2020~2021学年第一学期第三次学情检测高三数学答案一．选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分．每小题四个选项中只有一项符合题意．1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A二．选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分．9．BD 10．ABD 11．ABC 12．AB三．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共计20分．其中第16题第一空2分,第二空3分）13．5 14．20- 15．6 16．5,94π四．解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出了文字说明､证明过程或演算步骤．17．解析 若选①,由()()()a b a b a c c +-=-有222a c b ac +-=, 由余弦定理有2221cos 222a c b ac B ac ac +-===,因为()0,B π∈,所以3B π=, 4分由正弦定理有4sin sin sin 3a c A C ===,所以4,4a sinA c sinC ==, 6分所以24sin 4sin 4sin 4sin 6sin 36a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 8分 因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,于是1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,所以a c +∈,即a c +的取值范围是． 10分若选②,由22cos a c b C -=,及正弦定理有2sin sin 2sin cos A C B C -=,由A B C π=--有()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=,整理得sin 2cos sin C B C =,因为sin 0C ≠,所以1cos 2B =,因为()0,B π∈,所以3B π=,以下同① 4分 若选③,cos )csin a b C B -=-,cos sin sin A B C C B =, 由A B C π=--)cos sin sin B C B C C B +=,整理得sin sin sin B C C B =,因为sin 0,cos 0C B ≠≠,所以tan B =因为,()0B π∈,所以3B π=,以下同① 4分18．（本小题满分12分） 解析 （1）当1n =时,由312n n S a =+有11312S a =+,所以11a =, 2分 当2n ≥时,由312n n S a =+有11312n n S a --=+,所以1322n n n a a a -=-,整理得12n n a a -=-,所以数列{}n a 是以1为首项2-为公比的等比数列,所以()12n n a -=-; 5分（2）由（1）有()1212n n b n -=-⨯,所以 ()0121123252212n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-, ①2⨯①得 ()()12121232232212n n n S n n -=⨯+⨯+⋯+-+-, ②-①②得()012112222222212n n n S n --=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯--, ()122112(21)2322(21)23(32)221n n n n n n n n --=+⨯--=-+⨯--=-+--所以()2323n n S n =-+． 12分19．（本小题满分12分）解析（1）证明:设AC 与BD 相交于O 点,连接FO ,因为四边形ABCD 为菱形,所以,AC BD O ⊥为AC 的中点,因为FA FC =,所以AC OF ⊥, 2分又,,OF BD O OF BD ⋂=⊂平面BDEF ,所以AC ⊥平面BDEF , 4分又因为BF ⊂平面BDEF ,所以AC BF ⊥; 5分（2）连接DF,因为四边形BDEF为菱形,且60DBF∠=︒,所以DBF为等边三角形,O为BD中点,所以OF BD⊥,即,,OA OB OF两两垂直,以点O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OF为z轴建立空间直角坐标系, 6分因为2,60AB DAB=∠=︒,所以2,AB BD BF OF====则(0,1,0)A B, (0,F E-,设平面AEF的法向量为()1111,,n x y z=,因为(3,2,3),(3,0,AE AF=--=-,所以111111132030n AE x yn AF⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令11x=,得110,1y z==,所以1(1,0,1)n=, 8分设平面AFB的法向量为()2222,,n x y z=,因为(3,1,0),(3,0,AB AF=-=-,所以2222223030n AB yn AF⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令21x=,得221y z==,所以1(1,3,1)n=, 10分所以121212cos,2n nn nn n⋅<>===⨯,因为二面角E AF B--为钝角,所以其余弦值为5-． 12分20．（本小题满分12分）解析（1）由频率分步直方图得,得分为17,18的人数分别为6人,12人,所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分,或两人中1人17分1人18分, 所以21166122100291650C C CPC+== 3分（2）1600.061700.121800.341900.302000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 5分又2169,13σσ≈=,所以正式测试时,195,13μσ==,所以182μσ-=, ①所以11(182)0.68260.841322P X >=+⨯=,所以0.84131000841.3841⨯=≈人; 7分②由正态分布模型,任取1人,每分钟跳绳个数195以上的概率为12,即1~3,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以03120133111113(0)C 1,(1)C 1228228P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以21302333113111(2)C 1,(3)C 1228228P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 9分所以Y 的分布列为所以13()012388882E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． 11分答:（1）两人得分之和不大于35分的概率为291650; （2）①每分钟跳182个以上人数为841;②随机变量Y 的期望32． 12分 21．（本小题满分12分）解析（1）依题意221311,4442ab a b ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭, 解得224,1a b ==,故椭圆E 的方程为2214x y +=, 3分 由12x x =且OAB 为等边三角形可知,直线OA 和OB 与x 轴的夹角均为30°,由y x =与2214x y +=联立得2712x =,所以1x =, 5分因为OAB1,所以PAB; 6分 （2）假设存在,A B ,使OAB 为等边三角形,记AB 中点为()00,Q x y ,则OQ AB ⊥, 7分因为12x x ≠,所以直线AB 斜率存在,设直线:,AB y kx m AB =+中点为()00,Q x y , 联立2214x y +=与y kx m =+,消去y 得()222348440k x kmx m +++-=, 所以122834km x x k+=-+, 9分 因为AB 中点为()00,Q x y ,所以120002243,23434x x km m x y kx m k k +==-=+=++, 所以000304OQ y k x k-==--, 于是3344OQ AB k k k k ⋅=-⨯=-, 所以OQ 与AB 不垂直, 11分所以当12x x ≠时,不存在点,A B ,使OAB 为等边三角形． 12分22．（本小题满分12分）解析（1）函数()f x 的导数2(2)2()(2)()e e x x x a x a x a x f x '---+-+-==, 2分当0a =时,11(1),(1)e ef f '==, 4分 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为11(1)e e y x -=-,即1ey =, 5分（2）证明:令()0f x '=,解得2x =或x a =-,①当2a =-时,()0f x '≤恒成立,所以函数()f x 在R 上单调递减,无极值; 6分②当2a -<,即2a >-时,2021届高三数学复习专练坚持就是胜利！所以函数()f x 存在极值,函数()f x 的极大值为22(2)0e ef =>>, 9分③当2a ->,即2a <-时,所以函数()f x 存在极值,函数()f x 的极大值为()e 0e a a f a a --==->,综上,当()f x 有极值时,函数()f x 的极大值必大于0． 12分。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题及答案
2020届江苏省南通市海安高级中学高三阶段测试三数学试题一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5}U =,若{1,2,4}U A =ð，则集合A =_________. 【答案】{3,5}.【解析】直接求根据{1,2,4}U A =ð求出集合A 即可. 【详解】解：因为全集{1,2,3,4,5}U =若{1,2,4}U A =ð， 则集合A ={3,5}. 故答案为：{3,5}. 【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+Q ，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．已知一组数据123,,a a a ，…，n a 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差为___________.【答案】24S【解析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，得到结果． 【详解】解： ∵数据123,,a a a ，…，n a 的方差为2S ，∴数据121,a +221,a +321a +，…，21n a +的方差是22224S S ⨯=，故答案为：24S . 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差与数据的变化之间的关系． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．【答案】1011【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111S =++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯⨯，应填答案1011． 5．从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______。
【答案】18【解析】试题分析：分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有23A =6种； 2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有23A =6种；故共有323A =18种，故答案为18． 【考点】计数原理点评：本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>10，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 【答案】3y x =±【解析】10，可以得到10ca=222a b c +=求出,a b的关系，从而得出渐近线的方程. 【详解】解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，所以ca= 故2210c a=， 又因为222a b c +=，所以22210a b a +=，即229b a =，即3=b a ， 所以双曲线的渐近线3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出,a b 的关系，从而解决问题.7．将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的图象，则()π4f 为 ． 【答案】4【解析】试题分析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数()π4sin 23y x =-的(π23x -()π4f =4sin 42π=.故答案为：4．【考点】三角函数的图象平移.8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调减函数，且()23(2)0f x x f -+>，则实数x 的取值范围是_________【答案】(1,2)【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得函数()f x 在R 上为减函数，则()23(2)0f x x f -+>可以转化为232x x -<-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是单调减函数， 则其在区间(,0)-∞上递减， 则函数()f x 在R 上为减函数，()()22223(2)03(2)(3)(2)32f x x f f x x f f x x f x x -+>⇒->-⇒->-⇒-<-，解得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)； 故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数在整个定义域上的单调性．9．在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为_________.【答案】79【解析】由题意可得tan A ，进而可得tan B ，而tan tan()C A B =-+，由两角和与差的正切公式可得． 【详解】解：∵在锐角三角形ABC 中3sin 5A =，4cos 5A ∴==， sin 3tan cos 4A A A ∴==， 31tan tan()1343tan tan[()]311tan tan()9143A A B B A A B A A B +--∴=--===+--⨯， 313tan tan 7949tan tan()3131tan tan 3149A B C A B A B ++∴=-+=-=-=--⨯，3tan 79C ∴=故答案为：79． 【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．10．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和3(1)(*)n n S na n n n N =--∈且211a =.则1a 的值________ 【答案】5【解析】由3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．取2n =即可得出． 【详解】解：∵3(1)(*)n n S na n n n N =--∈，且211a =．12226a a a ∴+=-，即1265a a =-=．故答案为：5. 【点睛】本题考查了递推式的简单应用，是基础题. 11．设正实数x ，y 满足x yxy x y+=-，则实数x 的最小值为______.1.【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为()2210xy x y x +-+=，可得()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，计算即可． 【详解】解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为()2210xy xy x +-+=，∴()222212121401010x x x y y x y y ⎧∆=--≥⎪⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎪⎩，化为426101x x x ⎧-+≥⎨>⎩，解得1x ≥．因此实数x1．故答案为：21+． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式、根与系数的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．如图正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点）且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为___________.【答案】9【解析】由11113A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅，由此能求出四棱锥1A AEFD -的体积．【详解】 解：连接DE ，∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱11,B B C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，11A AED A FED V V --∴=，1111111111193662A AED E A AD A AD A ADD ABCD A C D V V S AB S AB V --∆-∴==⋅=⋅==，∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=． 故答案为：9． 【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．13．已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r 的值为___________.【答案】45【解析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u ru u ur u uu r r r r， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B CA B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==，可得sin 5B =，同理可得sin 10C =，由正弦定理可得2sin135︒==r r，即有c a ==r r ，则4||||cos 455525a c c a ︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u rr r r ．故答案为：45． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________. 【答案】()4,2m ∈--【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．二、解答题15．已知ABC ∆的面积为()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+u r 和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量.（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c . 【答案】(1) 3C π=(2) 【解析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C ；（2）由()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u r 得：2()18AC AB BC AC ⋅+==u u u r u u u r u u u r u u u r ，进而利用ABC ∆的面积为，及余弦定理可求ABC ∆的边长c ． 【详解】（1）因为向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r 和(1,cos cos )n A B =r是共线向量， 所以cos cos (tan tan )sin 20A B A B C +-=， 即sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C +-=， 化简sin 2sin cos 0C C C -=， 即sin (12cos )0C C -=.因为0C π<<，所以sin 0C >，从而1cos ,2C =3C π=.（2）()18AC AB CB ⋅-=u u u r u u u r u u u rQ ，18()AC AB CB ∴=⋅-u u u r u u u r u u u r 2||AC AC AC =⋅=u u u r u u u r u u u r则||AC ==u u u rAC =因为ABC V 的面积为，所以1sin 2CA CB C ⋅=即1sin 23π⨯=解得CB =在ABC V 中，由余弦定理得2222cos AB CA CB CA CB C =+-⋅22122=+-⨯54=，所以AB ==【点睛】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.【答案】证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12 CD．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝12 CD．所以FM∥EA，且FM＝EA．所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM．……………………… 5分又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．………7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD． (7)分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD． (2)分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD． (5)分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．……………………………… 7分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC． (10)分因为平面PAC⊥平面ABCD 因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．………………………… 14分【解析】略17．如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．（1）求水上旅游线AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题：试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为．由，及得，∴．∴直线的方程为，即，由得即，∴，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时，当.，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【考点】函数实际应用，不等式恒成立18．在平面直角坐标系xOy 中已知椭圆222:1(0)3x y E a b a +=>>过点6⎛ ⎝⎭，其左、右焦点分别为12F F 、，离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P .（i ）求证：OP OM ⋅uu u r uuu r为定值；（ii ）设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2) （i ）证明见解析，定值为4 （ii ）直线MQ 过定点(0,0)O . 【解析】（1）由题意得离心率公式和点满足的方程，结合椭圆的,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）（i ）设()02,,M y ()11,P x y ，求得直线MA 的方程，代入椭圆方程，解得点P 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；（ii ）直线MQ 过定点O （0，0）．先求得PB 的斜率，再由圆的性质可得MQ ⊥PB ，求出MQ 的斜率，再求直线MQ 的方程，即可得到定点． 【详解】解：（1）易得22312122a b c a⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩，， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=（2）设()02,,M y ()11,P x y ，①易得直线MA 的方程为：0042y y y x =+， 代入椭圆22142x y +=得，2222000140822y y y x x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由()20124828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以示()()20002200288,2,88y y OP OM y y y ⎛⎫-- ⎪⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ()22002200488488y y y y --=+=++， ②直线MQ 过定点(0,0)O ，理由如下：依题意，()2020020882288PBy y k y y y +==---+， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即02yy x =，所以直线MQ 过定点(0,0)O . 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题．19．已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0k >），111n n n n K a a a a -+-+=()*3,n n N ≥∈.数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=()*n N ∈. （1）求1,b 2,b 3,b 4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由.【答案】(1) 132b b ==，2421k b b k +==；(2) 41122nn k b k k+-=+（）； (3) k 为1，2时数列{}n a 是整数列.【解析】（1）经过计算可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++，由数列{}n b 满足：21n n n n a a b a +++=（n ＝1，2，3，4…），从而可求1,b 2,b 3,b 4b ； （2）由条件可知121n n n n a a k a a +--=+．得211n n n n a a k a a +-+=+，两式相减整理得2n n b b -=，从而可求数列{}n b 的通项公式；（3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩，由1a k Z =∈，624Z a k k =++∈，可求得1,2k =．证明1,2k =时，满足题意，说明1,2k =时，数列{}n a 是整数列． 【详解】（1）由已知可知：45621,2,4a k a k a k k=+=+=++， 把数列{}n a 的项代入21n n n n b a a a =+++求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由121n n n n k a a a a --++=3,n n N ≥∈*（） 可知：121n n n n a a k a a +--=+① 则：211n n n n a a k a a +-+=+②①−②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -=2123n n b b --∴==…13122a a b a +===，222n n b b -== (242321)a a kb a k++===， 41122nn k b k k+-∴=+（）； （3）假设存在正数k 使得数列{}n a 的每一项均为整数，则由（2）可知：2122122222211n n n n n n a a a k a a a k +-+=-⎧⎪+⎨=+-⎪⎩③，由1a k Z =∈，624Z a k k=++∈，可知1k =，2. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈结合③式可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122222512n n n n n n a a a a a a +-+=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数.1n =时结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述k 为1，2时数列{}n a 是整数列. 【点睛】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于难题． 20．设函数()()ln ,f x x a x x a =--+a R ∈. （1）若0a =求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <试判断函数()f x 在区间()22,e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a 都存在实数t 满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-. 【答案】(1) 单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞. (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】（1）求解()ln f x x '=，利用()0,()0f x f x ''><，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间； （2）'()ln af x x x=-，其中0x >， 再次构造函数令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况．()ln 1g x x '=+，令1()0,g x x e'==，列表分析得出()g x 单调性，求其最小值， 分类讨论求解①若1a e≤-，②若212a e e -<<-，③若220,()a f x e -≤<的单调性，()f x 最大值，最小值，确定有无零点问题；（3）先猜想(1,1),()1x a f x a ∈+<-恒成立．再运用导数判断证明．令'1()ln 1,1,()10G x x x x G x x=-+≥=-≤，求解最大值，得出()(1)0G x G <=即可． 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=， 令()0f x '=，1x =，列表分析故()f x 的单调递减区间为(0,1)单调递增区间为(1,)+∞.（2）()()ln f x x a x x a =--+，()ln f x x ax '=-，其中0x >， 令()ln g x x x a =-，分析()g x 的零点情况.()ln 1g x x '=+ 令()0g x '=，1x =，列表分析min 11()()g x g a e e ==--，而11()1n 1f ae ae e e'=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+22221()2(2)a f e e a e e'=-=-，①若1a e ≤-则()ln 0af x x x'=-≥， 故()f x 在22(,)e e -内没有极值点；②若212a e e -<<-，则11()1n 0f ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+> 2221()(2)0f e e a e'=->因此()f x '在22(,)e e -有两个零点，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点；③若220a e -≤<则11()10f n ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+≤，2221()(2)0f e e a e'=->，因此()f x '在22(,)e e -有一个零点，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点；综上所述当1(,]a e∈-∞-时，()f x 在22(,)e e -内没有极值点；当212,a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()f x 在22(,)e e -内有两个极值点； 当22,0a e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()f x 在22(,)e e -内有一个极值点. （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立. 证明如下：由（2）得()g x 在1(,)e+∞上单调递增，且(1)0g a =-<，(1)(1)ln(1)g a a a a +=++-.因为当1x >时，1ln 1(*)x x >-， 所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+ 故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x .由知(1,1)x a ∈+，()max{(1),(1)}f x f f a <+.又(1)ln(1)1f a a +=+-，而1x >时，ln 1(**)x x <-， 所以(1)(1)111(1)f a a a f +<+--=-=. 即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-.所以对任意的正数a ，都存在实数1t =， 使对任意的(,)x t t ∈+∞， 使()1f x a <-. 补充证明(*): 令1()1n 1F x x x =+-，1x ≥.22111()0x F x x x x-'=-=≥， 所以()F x 在[1,)+∞上单调递增.所以1x >时，()(1)0F x F >=，即1ln 1x x>-. 补充证明(**)令()ln 1G x x x =-+，1x ≥.1()10G x x'=-≤， 所以()G x 在[1,)+∞上单调递减.所以1x >时，()(1)0G x G <=，即ln 1x x <-. 【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间，考查了不等式与导数的结合，难度较大． 21．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得 同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．在极坐标系中，已知1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．【答案】l 的极坐标方程及cos 53πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,ABC ∆的面积. 【解析】将1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段AB 的中点与直线AB 的斜率，进而求出直线l 在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C 到直线AB 的距离、线段AB 的长度，从而得出ABC ∆的面积. 【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy 在平面直角坐标系xoy 中，1,,9,33A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的坐标为19((22A B线段AB 的中点为5(,22A ，AB k故线段AB 中垂线的斜率为1AB k k -==，所以AB 的中垂线方程为：5)2y x =-化简得：100x +-=，所以极坐标方程为cos sin 100ρθθ+-=， 即cos()53πρθ-=，令0y =，则10x =，故在平面直角坐标系xoy 中，C （10,0）点C 到直线AB ：y =的距离为d == 线段8AB =，故ABC ∆的面积为182S =⨯=【点睛】 本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+．【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证.【详解】 解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+ 2222a b a b =-++()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u r u u u r （R λ∈），且向量PC uuu r 与BD u u u r .（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）2λ=；（210【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，写出,PC u u u r ，BD u u u r 的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于λ的方程可求；（2）设岀平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r ，根据n PC n DC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u r r u r ，进而得到00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u r r u r n PC n DC ，从而求出n r ，向量PB u r 的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出cos ,n PB <>r u r ，从而得PB 和平面PCD 所成角的正弦值.试题解析：（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由15cos ,15PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0⋅=r u u u r n PC ，0⋅=r u u u r n PD ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-u u u r ，故10cos ,=⋅=u u u r r PB n PB n ，所以直线PB 与平面PCD 10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.25．已知数列{}n a 的通项公式为1515225n n n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，n N ∈，记1212n n n S C a C a =++…n n n C a +.（1）求1,S 2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除.【答案】(1) 11S =；23S =； (2) {}*|3,n n k k N =∈ 【解析】（1）运用二项式定理，化简整理，再代入计算即可得到所求值； （2）通过化简得到213n n n S S S ++=-，再由不完全归纳找规律得到结论，即可得到所求结论．【详解】解：（1）1212n n n n n n S C a C a C a =++⋯+2121515225n n C C ⎡⎛⎛⎫+⎢ =⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎣…212151515n n n n n C C C ⎫⎛+--⎪ +⋅-+⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝…15n n n C ⎤⎫-⎥⎪+⋅⎥⎪⎝⎭⎭⎦ 1515115n n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=+-+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ 35355n n ⎡⎤+-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即有1S1==；2S33==；（2）3322nnS n⎡⎤⎛⎛-⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，2332222nS n n+⎡⎤⎛⎛+-=+-+⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎦333333222222n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎛⎛--⎥⎢⎥-⋅+-- ⎪⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦13n nS S+=-，即213n n nS S S++=-，*n N∈，因此2nS+除以8的余数，完全由1,n nS S+除以8的余数确定，因为11,a=21a=，所以11111S C a==，12221223S C a C a=+=，3213918S S S=-=-=，432324321,S S S=-=-=543363855S S S=-=-=，654316521144,S S S=-=-=7535643255377S S=-=-=，87631131144987,S S S=-=-=987329613772584S S S=-=-=由以上计算及213n n nS S S++=-可知，数列{}n S各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…,它是一个以6为周期的数列，从而n S除以8的余数等价于n除以3的余数，所以3,n k=*k N∈，即所求集合为：{}*|3,n n k k N=∈.【点睛】本题考查数列通项的运用，解决问题的关键是运用二项式定理，本题属于难题．。
江苏省南通市海安市2023-2024学年高三上学期期初学业质量监测数学试题
3．A
【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.
【详解】由函数 f (x) = (a -1)x 为指数函数，故 a > 1 且 a ¹ 2 ，
当 a > 2 时，函数 f (x) = (a -1)x 单调递增，有 f (2) < f (3) ，不符合题意，故舍去；
当1 < a < 2 时，函数 f (x) = (a -1)x 单调递减，有 f (2) > f (3) ，符合题意，故正确. 故选：A. 4．A 【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.
B
=
rr {x∣x
=
(
p,
q),
p
Î
A,
q
Î
A} ．若对任意的向量
ur x1
Î
B
，存在
向量
uur x2
Î
B
，使得
ur x1
^
uur x2
，则称
A
是“T
集”．
(1)设 M = {-1,1, 2}, N = {-1,1, 2,3} ，判断 M，N 是否为“T 集”．若不是，请说明理由； (2)已知 A 是“T 集”．
【详解】因为 a，b 为两条异面直线且 a Ì a ， b Ì b ，a I b = l ，所以 a 与 l 共面，b 与 l
共面. 若 l 与 a、b 都不相交，则 a∥l，b∥l，a∥b，与 a、b 异面矛盾，故 A 对； 当 a、b 为如图所示的位置时，可知 l 与 a、b 都相交，故 B、C、D 错.
=
sin 36° 1+ cos 36°
=
2sin18° cos18° 1+ 2 cos2 18° -1
江苏省海安市2021-2022学年高三上学期期初学业质量监测数学试卷(原卷版)
2022届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为150分钟。
考试结束后，请将答题卷交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题S分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{－1，0，1，2}，N＝{x|x2＜2}，则M∩N＝A． B．{－1} C．{－1，0，1} D．{－1，0，1，2} 2．若复数z满足z i＝2－i，其中i是虚数单位，则z＝A．－1－2i B．－1＋2i C．1－2i D．1＋2i3．已知单位向量a，b满足|a－2b|＝a·b，则a，b的夹角为A．0° B．45° C．60° D．90°4．从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为A．10 B．20 C．540 D．10805．已知a＝1，b＝2sin1，c＝tan1，则A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．已知幂函数f(x)的图象为曲线C，在命题：①f(x)为偶函数；②曲线C不过原点O；③曲线C 在第一象限量上升趋势；④当x≥1时，f(x)≥1中，只有一个假命题，则该命题是A．①B．②C．③D．④7．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为A ． 2B ．62 C ．355 D ．477图1 图28．与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ，CC 1，A 1D 1所在直线的距离相等的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省海安中学2020届高三上学期阶段测试三数学试题 Word版含解析
海安中学2020届高三阶段测试三数 学 试 卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}，则集合A = ． 解：全集{1U =，2，3，4，5}，若{1U A =ð，2，4}， 则集合{3A =，5}．故答案为：{3，5}．2．已知复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），则z 的模为 ．解：Q 复数z 满足(2)1(z i i i -=+为虚数单位），21()(1)22i i i z i i +-+∴=+=+-213i i =+-=-，||z ∴==3．已知一组数据123,,,n a a a a L 的平均数为a ，极差为d ，方差为2S ，则数据12+1a ，22+1a ，32+1a ，L 2+1n a 的方差为_____.故答案为：24S4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．解：模拟执行伪代码，可得：111111111100(1)()()11223101122310111111S =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯． 故答案为：1011． 5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．解：从0、2中选一个数字0，则0不只能排在百位，从1、3、5中选两个数字之一排在百位，共有122312A A =种； 从0、2中选一个数字2，从1、3、5中选两个数字全排列，共有233318C A =种； 故共有121830+=种． 故答案为：30．6．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>线C 的渐近线方程为 ．解：因为22()1()10c ba a=+=，所以3b a =，所以渐近线方程为3y x =±．故答案为：3y x =±．7．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象，则()4f π的值为 ．解：由将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数4sin(2)3y x π=-的图象， 可得把函数4sin(2)3y x π=-的图象向左平移6π个单位后得函数()f x 的图象，故()4sin(2)4sin 233f x x x ππ=+-=，则()4sin 442f ππ==，故答案为：4．8．设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调减函数，且2(3)f x x f -+（2）0>，则实数x 的取值范围是 ．解：根据题意，()f x 是在R 上的奇函数()f x ，且在区间[0，)+∞上是单调减函数，则其在区间(,0])-∞上递减，则函数()f x 在R 上为减函数，2(3)f x x f -+（2）20(3)f x x f >⇒->-（2）22(3)(2)32f x x f x x ⇒->-⇒-<-，解可得：12x <<；即实数x 的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．9．在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3tan C 的值为 ． 解：锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，A B ∴<，4cos5A=，sin3tancos4AAA==．3tan1tan tan4tan()331tan tan1tan4BA BA BA B B---=-==++Qg，13tan9B∴=．则tan tan3tan3tan()3791tan tanA BC A BA B+=-+=-=-g，故答案为：79．10．设nS为数列{}na的前n项和，若*3(1)()n nS na n n n N=--∈，且211a=，则20S的值为．解：由2122232(21)S a a a=+=-⨯-，211a=，可得15a=．解法1：当2n…时，由1n n na S S-=-，得13(1)[(1)3(1)(2)]n n na na n n n a n n-=-------，1(1)(1)6(1)n nn a n a n-∴---=-，即*16(2,)n na a n n N--=∈…，∴数列{}na是首项15a=，公差为6的等差数列，202019205612402S⨯∴=⨯+⨯=．解法2：当2n…时，由13(1)()3(1)n n n nS na n n n S S n n-=--=---，可得1(1)3(1)n nn S nS n n---=-，∴131n nS Sn n--=-，∴数列{}nSn是首项151S=，公差为3的等差数列，∴2053196220S=+⨯=，201240S ∴=．11.设正实数x ，y 满足x yxy x y +=-，则实数x 的最小值为 ． 解：由正实数x ，y 满足x yxy x y+=-， 化为22(1)0xy x y x +-+=，∴22221212(1)401010x x x y y x y y ⎧=--⎪-⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩V …，化为426101x x x ⎧-+⎨>⎩…，解得1x ．因此实数x1．1．12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．解：连接DE ，Q 正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，∴11A AED A FED V V --=，∴11113A AED E A AD A AD V V S AB --==V g111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -===g ， ∴四棱锥1A AEFD -的体积19A AEFD V -=．故答案为：9．13．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c r rg 的值为 ．解：可设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CA c =u u u r r，由题意可得1tan 2B =，1tan 3C =， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A =︒，又B ，C 为锐角，22sin cos 1B B +=，sin 1cos 2B B =，可得sin B同理可得sin C =由正弦定理可得2sin135==︒r r即有||c =r，||a =r则4||||cos4525a c c a =︒==r r r rg g g g ．故答案为：45．14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是 ．解：对于①()22x g x =-Q ，当1x <时，()0g x <， 又Q ①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++<在1x …时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m ∴-<<即①成立的范围为40m -<<又Q ②(,4)x ∈-∞-，()()0f x g x <∴此时()220x g x =-<恒成立()(2)(3)0f x m x m x m ∴=-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比1x ，2x 中的较小的根大即可，()i 当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立，()ii 当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，()iii 当41m -<<-时，较小的根为2m ，24m <-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-． 故答案为：(4,2)--．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积为，且()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u r g ，向量(tan tan ,sin 2)m A B C =+r和向量(1,cos cos )n A B =r是共线向量．（1）求角C ；（2）求ABC ∆的边长c ．解：（1）Q //m n r r，(tan tan )cos cos sin 2A B A B C ∴+=，即sin cos cos sin sin2A B A B C +=，sin()sin 2A B C ∴+=， sin 2sin cos C C C ∴=sin 0C ≠Q ，∴1cos 2C =， (0,)C π∈Q∴3C π=（2）由()18AC AB CB -=u u u r u u u r u u u rg 得：2()18AC AB BC AC +==u u u r u u u r u u u r u u u r g ，∴11sin 22b ab C a ====V g∴a =2222cos 54c a b ab C ∴=+-=，∴c =16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且AB =1BC =，E ，F 分别为AB ，PC 中点． （1）求证：//EF 平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE ．证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM ．因为F为PC的中点，所以//FM CD，且12FM CD=．因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以//EA CD，且12EA CD=．所以//FM EA，且FM EA=．所以四边形AEFM为平行四边形．所以//EF AM．又AM⊂平面PAD，EF⊂/平面PAD，所以//EF平面PAD．方法二：连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN．因为四边形ABCD为矩形，所以//AD BC，所以BCE ANE∠=∠，CBE NAE∠=∠．又AE EB=，所以CEB NEA∆≅∆．所以CE NE=．又F为PC的中点，所以//EF NP．⋯（5分）又NP⊂平面PAD，EF⊂/平面PAD，所以//EF平面PAD．方法三：取CD的中点Q，连接FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE DQ=，且//AE DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以//EQ AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊂/平面PAD，所以//EQ平面PAD．因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以//FQ PD．又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊂/平面PAD ，所以//FQ 平面PAD ．又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ EQ Q =I ，所以平面//EQF 平面PAD ． 因为EF ⊂平面EQF ，所以//EF 平面PAD ．（2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为AB =，E 为AB 的中点．所以DA CDAE DA== 又DAE CDA ∠=∠，所以DAE CDA ∆∆∽，所以ADE DCA ∠=∠． 又90ADE CDE ADC ∠+∠=∠=︒，所以90DCA CDE ∠+∠=︒． 由DGC ∆的内角和为180︒，得90DGC ∠=︒．即DE AC ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个码头．已知tan 3MON ∠=-，6OA km =，Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ．现要在海岸线ON 上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB 经过小岛Q ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，从水波生成th 时的半径为r a =为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以/h 的速度自码头A 开往码头B ，问实数a 在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，0(Q x ，03)(0)x >．=，及00x > 得03x =，(3,3)Q ∴． ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=，由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩得39x y =-⎧⎨=⎩ 即(3,9)B -，∴AB =即水上旅游线AB 的长为． （2）设试验产生的强水波圆P ，由题意可得(3,9)P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t剟，(618,18)C t t ∴-．强水波不会波及游轮的航行即2210,2PC r t ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦对恒成立．2222(183)(189)9PC t t r at =-+->=，当0t = 时，上式恒成立，当10,0,2t t ⎛⎤≠∈ ⎥⎝⎦时即时，()101017248.7248,0,2a t g t t t t t ⎛⎤<+-=+-∈ ⎥⎝⎦令，10()724848g t t t=+-…，当且仅当1(0,]2t = 时等号成立，所以，在048a << 时r PC < 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，其左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ()i 求证：OP OM u u u r u u u u rg为定值； ()ii 设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问：直线MQ 是否过定点，并说明理由．解：（1）由题意可得221312a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩且222a b c -=，解得2a =，b即有椭圆方程为22142x y +=；（2）()i 证明：由(2,0)A -，(2,0)B ，MB AB ⊥，设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ，可得00:42y y MA y x =+， 代入椭圆方程可得，2222000(1)40822y y y x x +++-=，由201204(8)28y x y --=+，可得201202(8)8y x y -=-+， 00011208428y y yy x y ==+=+， 则200022004(8)8488y y OP OM y y y -=-+=++u u u r u u u u r gg 为定值； ()ii 直线MQ 过定点(0,0)O ．理由如下：由题意可得2001222100088282(8)2(8)PBy y y k x y y y +==-+---+g 02y =-， 由PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，可得MQ PB ⊥，即有02MQ y k =．则直线0:0(2)2y MQ y y x -=-， 即02y y x =， 故直线MQ 过定点(0,0)O ．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足：123a a a k ===（常数0)k >，*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…．数列{}n b 满足：*21()n n n n a a b n N a +++=∈． （1）求1b ，2b ，3b ，4b 的值； （2）求出数列{}n b 的通项公式；（3）问：数列{}n a 的每一项能否均为整数？若能，求出k 的所有可能值；若不能，请说明理由．解：（1）由已知可知：41a k =+，52a k =+，624a k k=++． 把数列{}n a 的项代入21n n n n a a b a +++=，求得132b b ==，2421k b b k+==； （2）由*112(3,)n n n n k a a a n n N a -+-+=∈…，可知：121n n n n a a k a a +--=+．⋯① 则：211n n n n a a k a a +-+=+．⋯②①-②有：2211n n n nn n a a a a a a +-+-++=，即：2n n b b -= ∴132123122n n a a b b b a --+==⋯===，242222321n n a a k b b b a k-++==⋯===．∴41(1)22nn k b k k+-=+； （3）假设存在正数k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数， 则由（2）可知：2122122212221n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，⋯③ 由1a k Z =∈，624a k Z k=++∈，可知1k =，2．当1k =时，213k k+=为整数，利用1a ，2a ，3a Z ∈，结合③式，可知{}n a 的每一项均为整数；当2k =时，③变为2122122212252n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，⋯④ 用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数．1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，22n a +为整数，1n k ∴=+时，命题成立． 故数列{}n a 是整数列．综上所述，k 为1，2时，数列{}n a 是整数列． 20．（本小题满分16分）设函数()()f x x a lnx x a =--+，a R ∈．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间2(e -，2)e 内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-．解：（1）当0a =时，()f x xlnx x =-，()f x lnx '=，令()0f x '=，1x =，列表分析（2）()()f x x a lnx x a =--+，()af x lnx x'=-，其中0x >，令()g x xlnx a =-，分析()g x 的零点情况．()1g x lnx '=+，令()0g x '=，1x e=，列表分析()()min g x g a e e==--，而11()1f ln ae ae e e '=-=--，222()2(2)f e ae ae -'=--=-+，221()2(2)22a f e e a e e '=-=-，①若1a e-„，则()0a f x lnx x '=-…，故()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；②若122a e e -<<-，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+>，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有两个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；③若202a e -<„，则11()0f ln ae e e '=-<，22()(2)0f e ae -'=-+„，221()(2)02f e e a e '=->，因此()f x '在2(e -，2)e 有一个零点，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点；综上所述，当(a ∈-∞，1]e-时，()f x 在2(e -，2)e 内没有极值点；当1(a e ∈-，2)2e -时，()f x 在2(e -，2)e 内有两个极值点；当2[2a e ∈-，0)时，()f x 在2(e -，2)e 内有一个极值点． （3）猜想：(1,1)x a ∈+，()1f x a <-恒成立．证明如下：由（2）得()g x 在1(e ，)+∞上单调递增，且g （1）0a =-<，(1)(1)(1)g a a ln a a +=++-．因为当1x >时，11(*)lnx x >-，所以1(1)(1)(1)01g a a a a +>+--=+．故()g x 在(1,1)a +上存在唯一的零点，设为0x ． 由又(1)(1)1f a ln a +=+-，而1x >时，1(**)lnx x <-，所以(1)(1)111f a a a f +<+--=-=（1）．即(1,1)x a ∈+，()1f x a <-．所以对任意的正数a ，都存在实数1t =，使对任意的(,)x t t a ∈+，使()1f x a <-．补充证明(*):令1()1F x lnx x =+-，1x …．111()022x F x x x x -'=-=…，所以()F x 在[1，)+∞上单调递增．所以1x >时，()F x F >（1）0=，即11lnx x>-． 补充证明(**)令()1G x lnx x =-+，1x …．1()10G x x'=-„， 所以()G x 在[1，)+∞上单调递减．所以1x >时，()G x G <（1）0=，即1lnx x <-．海安中学2020届高三阶段测试三数学附加题21．[选做题，本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应区域作答]A.已知二阶矩阵[]a b A c d =，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为11[]1a =-，属于特征值24λ=的一个特征向量为13[]2a =．求矩阵A ．解：由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=， 即1111111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩ 解得2a =，3b =，2c =，1d =．因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．在极坐标系中，已知(A 1，3π )，(B 9，3π)，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l 的极坐标方程及ABC ∆的面积．解：由题意，线段AB 的中点坐标为(5,)3π，设点(,)P ρθ为直线l 上任意一点，在直角三角形OMP 中，cos()53πρθ-=，所以，l 的极坐标方程为cos()53πρθ-=，令0θ=，得10ρ=，即(10,0)C ．（8分）所以，ABC ∆的面积为：1(91)10sin 23π⨯-⨯⨯=22．已知实数a ，b 满足||2a b +„，求证：22|22|4(||2)a a b b a +-++„．证明：由||||||2b a a b -+剟，可得||||2b a +„，22|22||()()2()|a a b b a b a b a b +-+=+-++ |||2|2|2|a b a b a b =+-+-+g „，要证22|22|4(||2)a a b b a +-++„，即证|2|2(||2)a b a -++„，由于|2|||||2a b a b -+++„，即证||||22(||2)a b a +++„，即为||||2b a +„，显然成立．故原不等式成立．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC AB λ=u u u r u u u r ，且向量PC u u u r 与BD u u u r ． （1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 则：(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)；DC AB λ=u u u r u u u r ，可得(C λ，2，0)．（1）(PC λ=u u u r ，2，2)-，(1BD =-u u u r ，2，0)，向量PC u u u r 与BD u u u r ．=10λ=（舍去）或2λ=．实数λ的值为2．；（2）(2PC =u u u r ，2，2)-，(0PD =u u u r ，2，2)-，平面PCD 的法向量(n x =r，y ，)z ． 则0n PC =u u u r r g 且0n PD =u u ur r g ，即：0x y z +-=，0y z -=，0x ∴=，不妨去1y z ==，平面PCD 的法向量(0n =r，1，1)．又(1PB =u u u r ，0，2)．故cos ,||||n PB n PB n PB <>==u u u r r u u u r g ru u u r r ．直线PB 与平面PCD ．24．已知数列{}n a 的通项公式为]n nn a =-，*n N ∈．记1212nn n n n n S C a C a C a =++⋯+．（1）求1S ，2S 的值；（2）求所有正整数n ，使得n S 能被8整除．解：（1）1212nn nn n n S C a C a C a =++⋯+122)nn n n n C C C =++⋯+-g122()]nn n n n C C C ++⋯+g(1]n n=+-+]n n =-，即有11S ==；233S =；（2）]n nn S =-，222]]n n n n n S +++=-=-g1]3n nn n S S +--=-， 即213n n n S S S ++=-，*n N ∈，因此2n S +除以8的余数，完全由1n S +，n S 除以8的余数确定， 因为11a =，21a =，所以11111S C a ==，12221223S C a C a =+=，3213918S S S =-=-=， 432324321S S S =-=-=，543363855S S S =-=-=， 654316521144S S S =-=-=，765343255377S S S =-=-=， 87631131144987S S S =-=-=，987329613772584S S S =-=-=，由以上计算及213n n n S S S ++=-可知，数列{}n S 各项除以8的余数依次是： 1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，⋯，它是一个以6为周期的数列，从而n S 除以8的余数等价于n 除以3的余数， 所以3n k =，*k N ∈，即所求集合为：{|3n n k =，*}k N ∈．。
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江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知全集为集合，则
（）
A．B．
C．或D．或
2. 若（是虚数单位），则的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3. 设，则“”是“”的_______条件.（）
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
4. 声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声
压，单位为).已知声压与声音大小的关系式为，且根据我国《工业企业噪声卫生标准》规定，新建企业工作地点噪声容许标准为85分贝.若某新建企业运行时测得的声音为80分贝，则该企业的声压为
（）
A．B．C．D．
5. 已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（）
A．B．2 C．D．4
6. 已知，不等式①；②；③中正确的个数是（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
7. 如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（）
A．B．C．D．
8. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角
三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（）
A．B．C．D．
二、多选题
9. 已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（）
A．
B．函数在上为增函数
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．是函数图象的一个对称中心
10. 2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）
A．该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值
B．该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月
C．该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关
D．从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费
11. 己知双曲线的一条渐近线过点，点
为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的方程为
D．设为坐标原点，若，则的面积为
12. 设函数，其中表示中的最小者.下列正确的有（）
A．函数为偶函数B．
C．当时，D．当时，
三、填空题
13. 数列是公比为2的等比数列，其前项和为，若，则
______.
14. 的展开式中的常数项是_______.
15. 若函数满足当时，，当时，，则
_______.
四、双空题
16. 某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是 . 由此可知，
该实心工艺品的表面积是____.
五、解答题
17. 在①，②，
③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
在中，内角的对边分别是，若_______，.求的取值范围.
18. 已知数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19. 如图，四边形与均为菱形，，，且
．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
20. 2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，
考生必须参加立定跳远?掷实心球?1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：
每分钟跳绳个
数
得分17 18 19 20
35分的概率；
（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数，用样本数据的平均值和
方差估计总体的期望和方差.已知样本方差(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.
附：若，则
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21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点
，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4，点
是椭圆上的两点.
（1）若，且为等边三角形，求的边长；
（2）若，是否存在点，使为等边三角形，若存在，求点，若不存在，说明理由.
22. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点的切线方程；（2）求证：若有极值，则极大值必大于0.。