浙江大学2000年研究生高等代数试题
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2 n 1 的充要条件是 B 是 E , A, A ,L , A 的线性组合，其中 E 为恒等变换.
五、 （10 分）证明： n 阶幂零指数为 n 1 的矩阵都相似. （若 An 1 0 ， An 2 0 而称 A 的幂零指数为 n 1 ） 六、 （20 分）设 A, B 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换。对任意 , V ，都有
1 , 2 ,L , n s.t A i i i ，其中 i 为 A 的特征值，且 i j , i j , i , j 1, 2L , n 1 令 T (1 , 2 ,L , n ) s.tT AT 2 O n
三、 （20 分） （1） A 是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 P 使得 P 1 AP, P 1CP 同时为 对角形； （2） A 是正定阵， B 是实矩阵，而 AB 是实对称的，证明： AB 正定的充要条件是 B 的 特征值全大于 0. 四、 （20 分）设 n 维线性空间 V 的线性变换 A 有 n 个互异的特征值，线性变换 B 与 A 可交换
1 1 都是 f ( x) 的根， b 是 f ( x) 的任一根，证明： 也是 f ( x) 的根。 c b
Proof：（1）Q f ( x) 是数域 P 上的不可约多项式，故对于 P 上任一多项式 g ( x) 只有以下两种情形：
10 f ( x) | g ( x)
,
20
( f ( x), g ( x)) 1
1
B i bi i , i 1, 2,L , n
（3）Q A i i i A
1
k
i i k i , k 1, 2,L , n
2 n 1
（4）欲证 B 可由 E , A , A ,L , A
线性表出，只须证方程
（ B 0 显然）设 B 0 B x1 E x2 A1 x3 A2 L xn An 1 有非零解即可， 将 B 作用于 i ， i 1, 2,L , n 则
(*) 中得到 1 0 的矛
1 b
2 1 0 ...0 0 0 Dn 1 2 1 ...0 0 0 .. .. .. .. 0 0 0 ...0 1 2
Solution:我们已经知道：
1
1
O O 1 O
n 1 n 1 , (n 1) n 1 ,
1
（2）Q AB BA 则， (T AT )(T BT ) (T BT )(T AT ) ，令 C T AT , D T BT ， C 为对 角矩阵，且主对角线上的元素互异，而 CD DC ，
1
1
1
1
1
1
b1 由结论“与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵”知 D b2 ，即 O bn b1 T BT b2 ， O bn
1
四、设 n 维线性空间 V 的线性变换 A 有 n 个互异的特征值，线性变换 B与A 可交换的充分必要条件是 B
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是 E , A , A ,L , A
1
2
n 1
的线性组合，其中 E 为恒等变换。
Proof:我们分以下四步来完成证明。 （1） 由题意知， A 有 n 个互异特征值，故
( A( ), ) ( , B ( )) 。证明： A 的核等于 B 的值域的正交补.
答案
一、 f ( x) 是数域 P 上的不可约多项式 （1） g ( x) P[ x] ，且与 f ( x) 有一公共复根，证明： f ( x) | g ( x) 。
第 1 页 共 4 页
（2）若 c 及
在此结论中令
1 ，知 Dn n 1
三、 （1） A 是正定矩阵， C 是实对称矩阵，证明： 可逆矩阵 P s.t PAP, PCP 同时为对角形 Proof: (1)Q A 正定， 可逆矩阵 T 使得 T AT E ，此时 T CT 还是对称的， 正交矩阵 M 使得 M T CTM 为对角形，令 P TM ，此时 PAP E PCP 是对角形，得证！
PAP E 1 （2）由（1）知 P非异s. t 2 PABP O n
1 所以 P BP 2 ，故 AB 正定 i 0, i 1, 2,L , n 得证！！ O n
下证不可能是情形二。 （反证法）若不然为情形二，就是 ( f ( x), g ( x)) 1 则
u ( x), v( x) P[ x]s.t u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1L (*)
由已知条件， f 与g 有一公共复根（设为 ） ，则 f ( ) g ( ) 0 ，将 代入 盾，故假设不正确，得证！ （2）设 b 是 f ( x) 的任一根，下证 f ( ) 0 。证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编 P20 第 42 题. 二、计算行列式
浙
江Biblioteka Baidu
大
学
二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数
编号：226
一、 （20 分） f ( x) 是数域 P 上的不可约多项式 （1） g ( x) P[ x] ，且与 f ( x) 有一个公共复根，证明 f ( x) | g ( x) ；
1 1 （2）若 c 及 都是 f ( x) 的根， b 是 f ( x) 的任一根，证明 也是 f ( x) 的根. c b 2 1 0 L 0 0 0 1 2 1 L 0 0 0 二、 （10 分）计算行列式 Dn . L L L L L 0 0 0 L 1 2 1 0 0 0 L 0 1 2
五、 （10 分）证明： n 阶幂零指数为 n 1 的矩阵都相似. （若 An 1 0 ， An 2 0 而称 A 的幂零指数为 n 1 ） 六、 （20 分）设 A, B 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换。对任意 , V ，都有
1 , 2 ,L , n s.t A i i i ，其中 i 为 A 的特征值，且 i j , i j , i , j 1, 2L , n 1 令 T (1 , 2 ,L , n ) s.tT AT 2 O n
三、 （20 分） （1） A 是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 P 使得 P 1 AP, P 1CP 同时为 对角形； （2） A 是正定阵， B 是实矩阵，而 AB 是实对称的，证明： AB 正定的充要条件是 B 的 特征值全大于 0. 四、 （20 分）设 n 维线性空间 V 的线性变换 A 有 n 个互异的特征值，线性变换 B 与 A 可交换
1 1 都是 f ( x) 的根， b 是 f ( x) 的任一根，证明： 也是 f ( x) 的根。 c b
Proof：（1）Q f ( x) 是数域 P 上的不可约多项式，故对于 P 上任一多项式 g ( x) 只有以下两种情形：
10 f ( x) | g ( x)
,
20
( f ( x), g ( x)) 1
1
B i bi i , i 1, 2,L , n
（3）Q A i i i A
1
k
i i k i , k 1, 2,L , n
2 n 1
（4）欲证 B 可由 E , A , A ,L , A
线性表出，只须证方程
（ B 0 显然）设 B 0 B x1 E x2 A1 x3 A2 L xn An 1 有非零解即可， 将 B 作用于 i ， i 1, 2,L , n 则
(*) 中得到 1 0 的矛
1 b
2 1 0 ...0 0 0 Dn 1 2 1 ...0 0 0 .. .. .. .. 0 0 0 ...0 1 2
Solution:我们已经知道：
1
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O O 1 O
n 1 n 1 , (n 1) n 1 ,
1
（2）Q AB BA 则， (T AT )(T BT ) (T BT )(T AT ) ，令 C T AT , D T BT ， C 为对 角矩阵，且主对角线上的元素互异，而 CD DC ，
1
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b1 由结论“与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵”知 D b2 ，即 O bn b1 T BT b2 ， O bn
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四、设 n 维线性空间 V 的线性变换 A 有 n 个互异的特征值，线性变换 B与A 可交换的充分必要条件是 B
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是 E , A , A ,L , A
1
2
n 1
的线性组合，其中 E 为恒等变换。
Proof:我们分以下四步来完成证明。 （1） 由题意知， A 有 n 个互异特征值，故
( A( ), ) ( , B ( )) 。证明： A 的核等于 B 的值域的正交补.
答案
一、 f ( x) 是数域 P 上的不可约多项式 （1） g ( x) P[ x] ，且与 f ( x) 有一公共复根，证明： f ( x) | g ( x) 。
第 1 页 共 4 页
（2）若 c 及
在此结论中令
1 ，知 Dn n 1
三、 （1） A 是正定矩阵， C 是实对称矩阵，证明： 可逆矩阵 P s.t PAP, PCP 同时为对角形 Proof: (1)Q A 正定， 可逆矩阵 T 使得 T AT E ，此时 T CT 还是对称的， 正交矩阵 M 使得 M T CTM 为对角形，令 P TM ，此时 PAP E PCP 是对角形，得证！
PAP E 1 （2）由（1）知 P非异s. t 2 PABP O n
1 所以 P BP 2 ，故 AB 正定 i 0, i 1, 2,L , n 得证！！ O n
下证不可能是情形二。 （反证法）若不然为情形二，就是 ( f ( x), g ( x)) 1 则
u ( x), v( x) P[ x]s.t u ( x) f ( x) v( x) g ( x) 1L (*)
由已知条件， f 与g 有一公共复根（设为 ） ，则 f ( ) g ( ) 0 ，将 代入 盾，故假设不正确，得证！ （2）设 b 是 f ( x) 的任一根，下证 f ( ) 0 。证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编 P20 第 42 题. 二、计算行列式
浙
江Biblioteka Baidu
大
学
二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数
编号：226
一、 （20 分） f ( x) 是数域 P 上的不可约多项式 （1） g ( x) P[ x] ，且与 f ( x) 有一个公共复根，证明 f ( x) | g ( x) ；
1 1 （2）若 c 及 都是 f ( x) 的根， b 是 f ( x) 的任一根，证明 也是 f ( x) 的根. c b 2 1 0 L 0 0 0 1 2 1 L 0 0 0 二、 （10 分）计算行列式 Dn . L L L L L 0 0 0 L 1 2 1 0 0 0 L 0 1 2