论文：关于素数有无穷多个的证明

关于素数的一个定理的证明
王鑫
(渭南师范学院 数学与信息科学系 陕西 渭南 714000)
摘要：有关于素数的个数是无穷多个的定理有许多的证明方法，最早的证明要见于欧几里德的名著《几何原本》第九篇的命题20中：素数的数目比以往任何指定的数目都要多，即素数有无穷多个.本文在总结前人证明的基础上用数学归纳法再次证明这一命题. 关键字：最小正约数；Fermat 数列；合数；调和级数；数学归纳法 1 引言
一个大于1的整数，除了1和它本身以外不能被其他正整数整除，就称为素数.通常用字母p q 、表示，例如1,2,3,5,7,11,13,17,⋅⋅⋅都是素数.设x 1≥,我们以()x π表示不超过x 的素数个数.不难算出
()()x 0x 2π=< ()53π= ()104π= ()5015π=
欧几里德的名著《几何原本》第九篇的命题20证明了: 素数的数目比以往任何指定的数目都要多，即素数有无穷多个:
()x lim x →∞
π=+∞ 这样把全体素数按大小排列就得出一个无穷数列
123n 2=p p p p <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅
后来发现在全体正整数中素数仅占很少一部分.下面我们就来证明一下这个命题.
2 引理、定理及证明
引理[]11 设整数a 1>，他的大于1的最小正约数d 必为素数.
证明 若d 不是素数,则由素数定义知,必有整数d ',使得1d <d , d d ''<,所以d a '但这与d 的专家设矛盾.故而引理得证.
由此推出: 若a 不是素数,则必有d a ≤.
引理[]32 设有一个无限正整数列 123s 1u u u u ,<<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅如果它的任意两项均互素,则一定有无限多个素数.
证明 设s d 是s u 的大于1的最小正整数,由此得到一个无限数列
12s d ,d ,d ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.
由假设知,它们也是两两互素的,所以是不同的整数,而由引理1知s d 均
为素数.这样就证明了引理2.
引理[]1
3 设整数a 1>,则a 一定可以表为 12r 12r a q q q ααα
=⋅⋅⋅ (1)
其中i q 均为素数, 且12r q q q <<⋅⋅⋅<,以及整数()i 01i r α>≤≤
证明 当a 2=时,引理显然成立.设n 3≥,假设引理对所有的()a 2a n ≤<均成立.当n 为素数时,则引理对于a n =显然也成立;当n 不是素数时设d 是n 的大于1的最小正约数1n n d =.由引理1知d 为素数.此外,这时必有12n n <<,故由假设知1n 可表为(1)的形式,所以n 亦可表为这样的形式,有归纳法知引理3成立. 直接推论 任一正整数a 一定可表为
2a k l = (2)
其中l 1=,或是不同的素数的乘机, k 是正整数.
引理[]34 设x 2≥,我们有
1
1a x 111a p -≤≤⎛⎫≤- ⎪⎝⎭∑∏ (3)
其中求和号分展在所有不超过x 的正整数上,连乘号分展在所有不超过x 的素数上.
证明 设k k 12x 2+≤<.显然有
12p x p x 11111p p p -≤≤⎛⎫⎛⎫-=+++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏2k p x 1111p p p ≤⎛⎫≥+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
∏ 1显然出现在上式右边的乘积中.注意到对于不同的a 它们的表达式(1)一定是不同的,这就证明了引理4.
定理5 n!与n!1+互素. ()n 2≥
证明 首先证明n 与n 1+互素
由于它们的最大公因子要整除它们的差,即()n 1n 1+-=,所以最大公因子只可为1,故而n 与n 1+互素.
由此得 n 2⨯与n 21⨯+互素, 因为它们的最大公因子只为1.
依次可得 ()n 1⨯⨯⨯⋅⋅⋅-n 23与()n 11⨯⨯⨯⋅⋅⋅-+n 23互素, 因为它们的最大公因子只为1.
即n!与n!1+互素.
接下来我们开始证明定理 素数的个数是无穷多的
证明 方法(一) []3
用反证法 假设素数只有有限个 即
12s 2=p p p <<⋅⋅⋅<
设12s n p p p 1=⋅⋅⋅+,d 是它的大于1的最小正约数,由引理一知d 是素数.把全体素数按大小顺序排列,就得到一个无限数列,我们记为
12s s 12=p ,p ,p ,p ,.+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 定理得证
方法(二) []3
著名的Fermat 数列
()n
2n F 21n 0,1,2,,=+=⋅⋅⋅
就是满足引理2中的条件的数列,显然有
01N 1F F F <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅ 下面证明他们两两互素,设n 0,k 1≥≥,由
()n 2k 2n k F 221+-=- 知n n k F F 2+-,设()n n k d=F ,F +,因而必有d 2, n F 均为奇数,所以d 1=. 定理得证 方法(三) []3
设n 2≥,对任意一个()a 1a n ≤≤,在它的表达式(2)中一定有:1k 1≤≤=或l
使一些不超过n 的不同的素数的乘积.这样, k 可能取得值得个数≤,而l 所可能取的值的个数不超过以下的组合数之和()*
()()()()()n n n n 12.n 12ππ⎛⎫⎛π⎫⎛π⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪π⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以必有 ()n n π≤
即 ()()21n log n n 22
π≥≥ 定理得证
*（）不超过n 的素数有()n π个，所有的k 个不超过n 的不同的素数的乘积个数为()n k ⎛π⎫ ⎪⎝⎭
由此即得所说的结论.
方法(四) []3
如果只有有限个素数,那么式(3)的右边当x →+∞时为一有限数.但是左边的调和级数当x →+∞时是发散的.这一矛盾就证明了定理.
方法(五)
由定理五,得n!与1,2,3,n 1,n ⋅⋅⋅-互素,那么n!1+有两种可能(1) n!1+为素数;(2) n!1+为合数.
(1)设a n!1=+为素数,集合{}A x 0x n x N =<≤∈有b 个素数 则集合{}B x 0x n!1x N =<≤+∈内至少有b+1个素数.
(2)设a n!1=+为合数,则在集合B A
中至少有2个元素可以被a 整除 可证B a C=min x x h h N A x ⎧⎫∈=∈⎨⎬⎩⎭
且为素数.且(1)设集合A 内有b 个素数,则集合B 内至少有b+1个素数.综合(1)、（2）可得:设集合{}A x 0x n x N =<≤∈有b 个素数. 则集合B 内至少有b+1个素数.
重复上述步骤可得集合(){}
C=x 0x n!11x N <≤++∈！内至少由b+2个素数. 继续沿用上述步骤,用数学归纳法可证:设集合{}A x 0x n x N =<≤∈有b 个素数.则集合
(){}
()D x 0x n!111x N n =<≤++++⋅⋅⋅∈⎡⎤⎣⎦！！，重至少由b+d 个素数. 由此:当d →+∞时, e=素数的个数b+d=+≥∞.
故可得 素数的个数是无穷多的.
(指导老师:王明军)
参考文献：
[]1张文鹏.初等数论[]M .西安:陕西师范大学出版社, 2007-6
[]2欧几里德.几何原本[]M .北京:人民日报出版社, 2005-10
[]3潘承洞、潘承彪.素数定理的初等证明[]M .上海:上海科技出版社, 1988-02。