高中数学专题：定积分问题

0
0
＝0，
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∴－cos(23π－φ)＋cos φ＝0.
∴cos(23π－φ)－cos φ＝0.
∴
3 2 sin
φ－32cos
φ＝0.
∴ 3sin(φ－3π)＝0.
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∴φ－3π＝k1π(k1∈Z). ∴φ＝k1π＋π3(k1∈Z). ∴f(x)＝sin(x－k1π－π3)(k1∈Z). 由 x－k1π－π3＝k2π＋π2(k1，k2∈Z) 得 x＝(k1＋k2)π＋56π(k1，k2∈Z)，
A.－1
B.－13
1 C.3
D.1
解析 ∵f(x)＝x2＋2ʃ 10f(x)dx，
∴ʃ 10f(x)dx＝(13x3＋2xʃ 10f(x)dx)|10 ＝13＋2ʃ 10f(x)dx， ∴ʃ 10f(x)dx＝－13.
点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性 质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理 求解； (2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的 几何意义求解.
10.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R) 的图象如图所示，它与x轴在原点处相切， 且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分) 的面积为 1 ，则a的值为________.
12 解析 由曲线在原点处与x轴相切，可得f′(0)＝b＝0， 此时f(x)＝－x3＋ax2＝x2(a－x)，
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∴f(x)的对称轴方程为 x＝(k1＋k2)π＋56π(k1，k2∈Z). 故 x＝56π为函数 f(x)的一条对称轴. 答案 A
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8.设 n＝π24sin xdx，则二项式(x－1x)n 的展开式的常数项是(
而
ʃ
m －2
－x2－2xdx＝4π，
即在区间[－2，m]上该函数图象应为14个圆，
于是得m＝－1，故选A.
答案 A
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 (1)(山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封 闭图形的面积为( ) D
A.2 2
B.4 2
C.2
D.4
解析 令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2， ∴S＝ʃ 20(4x－x3)＝ 2x2－x4420＝8－4＝4，故选 D.
x2， x∈[0，1]， 变式训练 1 (1)设 f(x)＝2－x， x∈1，2]， 则 ʃ 20f(x)dx 等
于( C )
3
4
5
A.4
B.5
C.6
解析 ʃ 20f(x)dx＝ʃ 10x2dx＋ʃ 21(2－x)dx
＝13x3|10＋2x－12x2|21 ＝13＋4－2－2＋12＝56.
D.不存在
和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面
积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，
即 S＝4－2ʃ 20x42dx＝ 4－2·1x23 20＝4－43＝38.
答案 C
(3)由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，
x＝π2所围成的平面图形(如图中的阴影部
分所示)的面积是( )
A.1 解析
π B.4
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9.曲线y＝1x与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为_32__－__ln__2_. 解析 S＝ʃ 21(x－1x)dx
＝ 12x2－ln x21 ＝32－ln 2.
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22 C. 3
D.2 2－2
方法一 由 sin x＝cos x(x∈(0，π2))，得 x＝π4.
故所求阴影部分的面积
S＝π4
0
π
(cos x－sin x)dx＋2
π
(sin x－cos x)dx
4
π
π2
＝(sin ＝sin
x＋cos π4＋cos
x)
4
＋(－cos x－sin x)
0
π4－sin 0－cos 0＋[(－cos
常考题型精析
题型一 定积分的计算 题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
题型一 定积分的计算
例1 (1)(陕西)定积分ʃ (2x＋10ex)dx的值为(
A.e＋2
B.e＋1
C.e
D.e－1
解析 ʃ 10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝e.故选 C.
)C
(2)(2014·江西)若 f(x)＝x2＋2ʃ 10f(x)dx，则 ʃ 10f(x)dx 等于( B )
设抛物线方程为y＝ax2，
将点(5,2)代入抛物线方程得 a＝225， 故抛物线方程为 y＝225x2， 抛物线的横截面面积为 S1＝2502－225x2dx ＝22x－725x350 ＝430(m2)，
而原梯形下底为 10－tan245°×2＝6(m)， 故原梯形面积为 S2＝12(10＋6)×2＝16，
专题3 函数与导数
第16练 定积分问题
题型分析·高考展望
定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积 分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度 不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考 查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形 的面积是本节重点.
常考题型精析 高考题型精练
2π－π4 sin
2π)－
(－cos π4－sin 4π)]＝2 2－2. 故选D.
方法二 由 sin x＝cos x(x∈(0，π2))，得 x＝4π.
根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积
S＝2π4 (cos x－sin x)dx
0
π
＝2(sin x＋cos x)
4
0
＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0) ＝2 2－2.
)
0
A.12 B.6 C.4 D.1
π
解析 由定积分得 n＝－4cos x2 ＝4，
0
二项式的通项公式为 Tk＋1＝Ck4x4－k(－1x)
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＝Ck4(－1)kx4－2k， 由4－2k＝0，得k＝2， 所以常数项为 T3＝C24(－1)2＝6，故选 B. 答案 B
(2)直线l过抛物线C:x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所
围成的图形的面积等于( )
4
8
16 2
A.3
B.2
C.3
D. 3
解析 ∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.
如图所示，可知l与C围成的图形的面积等
于
矩形OABF
的
面
积与
函
数
y
＝
1 4
x2
的
图象
SS21＝1460＝1.2. 3
答案 1.2
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1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0
所走的路程为( C )
A.g3t20
B.gt20
C.g2t20
D.g6t20
解析 由题意，可知所走路程为t0vdt＝t0gtdt
故选D. 答案 D
点评 求曲边多边形面积的步骤: (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上 限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.
变式训练2 (陕西)如图，一横截面为 等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠 截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与 当前最大流量的比值为________. 解析 由题意可知最大流量的比即为横截 面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的 直角坐标系，如图所示，
0
0
＝12gt2t00 ＝12gt20.
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2.若π2(sin x－acos x)dx＝2，则实数 a 等于( A )
0
A.－1
B.1
C.－ 3
D. 3
解析
π
π2sinx－acosxdx＝－cos x－asin x2
0
0
＝－a＋1＝2，a＝－1.
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7.(2014·湖南)已知函数 f(x)＝sin(x－φ)，且23πf(x)dx＝0，则
0
函数 f(x)的图象的一条对称轴是( )
A.x＝56π
B.x＝71π2
C.x＝3π
D.x＝6π
解析
2π
∵23πsin(x－φ)dx＝－cos(x－φ) 3
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝ʃ
3 0
(1＋2x)dx，S20
＝17，则S30为( A )
A.15 B.20 C.25 D.30
解析 由已知得 S10＝ʃ 30(1＋2x)dx＝12， 据等差数列性质可得S10＝12，S20－S10＝5，S30－S20＝S30－ 17亦成等差数列，
x2，x∈[0，1]，
6.设 f(x)＝1x，x∈[1，e]
(其中 e 为自然对数的底数)，
则 ʃ e0f(x)dx 的值为( )
4
5
6
7
A.3
B.4
C.5
D.6
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解析 根据定积分的运算法则， 由题意，可知 ʃ e0f(x)dx＝ʃ 10x2dx＋ʃ e11xdx＝13x3|10＋ln x|e1＝13 ＋1＝43. 答案 A
y＝2－x， 由y＝－13x
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得交点B(3，－1).
故所求面积
S＝ʃ
1 0
x＋13xdx＋ʃ 312－x＋13xdx
＝
2 3
3
x2
1 6
x2
1 0
＋
2x－13x231
＝23＋16＋43＝163.
解析 由题意知，阴影部分的面积 ʃ 21(4－x2)dx＝ 4x－13x321＝535， ∴所求概率 P＝S矩形SABCD＝1×3 4＝152.
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12.求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－31x 所围成图形的面积. y＝ x，
解 由y＝2－x 得交点A(1,1)；
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3.由直线 x＝－3π，x＝3π，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭 图形的面积为( D )
1 A.2 解析
B.1
π
3 cos
-π
xdx=sin
π3
x
π
—
3
3
3 C. 2
D. 3
＝sin π3－sin－π3＝ 3.
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据定积分知阴影部分面积－ʃ 0a(－x3＋ax2)dx＝112， 解得a＝－1. 答案 －1
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11.(福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为
(2,4)，函数f(x)＝x2，若在矩形ABCD内随机 5
取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___1_2__.
故有12＋S30－17＝10⇒S30＝15.
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5.图中阴影部分的面积是( B )
A.16
B.18
C.20
D.22
解析 S＝ʃ 4－2y＋4－y22dy＝ y22＋4y－y634－2＝18.
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(2)若定积分
ʃ
m －2
－x2－2xdx＝4π，则 m 等于(
)
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 根据定积分的几何意义知，
定积分
ʃ
m －2
－x2－2xdx 的值就是函数 y＝
－x2－2x的图象与
x 轴及直线 x＝－2，x＝m 所围成图形的面积， y＝ －x2－2x是一个半径为 1 的半圆，其面积等于π2，