二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)

二次函数中的存在性问题姓名

1.已知抛物线y=﹣x2+ x﹣3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4 相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x 轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D 坐标，如果不存在，说明理由．

3.已知直线y=x﹣3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在直线CA 上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．

4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）．

（1）求直线AC 及抛物线的解析式；

（2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积；

（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C．

（1）求直线BC 的解析式；

（2）求抛物线的顶点及对称轴；

（3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；

（4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

解得：x=1 或 x=4，

∴B （1，0），A （4，0），

令 x=0，得到 y=﹣3，即 C （0，﹣3），

设直线 AC 解析式为 y=kx+b ，

将 A 与 C 坐标代入得：

， 解得：k=，b=﹣3，

∴直线 AC 解析式为 y=x ﹣3，

设平行于直线 AC ，且与抛物线只有一个交点的直线方程为 y=x+m ，

此时直线与抛物线交于点 D ，使得△ACD 的面积最大，

与二次函数解析式联立消去 y 得：﹣x 2+

x ﹣3= x+m ， 整理得：3x 2﹣12x+4m+12=0，

∴△=144﹣12（4m+12）=0，

解得：m=0，

∴此时直线方程为 y=x ，点 D 坐标为（2，）．

2．（2008•宁波校级自主招生）已知 y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象与直线 y=kx+4 相交于 A （1，m ），B （4，8）两点，与 x 轴交于原点及点 C ．

（1） 求直线和抛物线解析式；

（2） 在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 D ，使 S △OCD =2S △OAB ？如果存在，求出点 D 坐标，如果不存在，说明理由．

解答： 解：（1）∵直线 y=kx+4 过 A （1，m ），B （4，8）两点，

∴ ，解得 ，∴y=x+4，

1. 已知抛物线 y=﹣ x 2+ x ﹣3 与 x 轴交于 A ，B 两点，

2. 与 y 轴交于点 C ．在直线 CA 上方的抛物线上是否存在

3. 一点 D ，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D

4. 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答： 解：对于抛物线 y=﹣x 2+

x ﹣3， 令 y=0，得到﹣ x 2+

x ﹣3=0，

和点 C ．

（1） 求此抛物线的解析式；

（2） 在直线 CA 上方的抛物线上是否存在点 D ，使得△ACD 的面积

最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由．

解答： 解：（1）把 x=0 代入 y= x ﹣3 得 y=﹣3，则 C 点坐标为（0，﹣3），

把 O 、A 、B 三点坐标代入抛物线解析式，得 ， ，

∴y=﹣x 2+6x ；

（2）存在．设 D 点纵坐标为 h （h ＞0），

由 O （0，0），A （1，5），B （4，8），可知 S △OAB =6，

∴S △OCD =2S △OAB =12， ×6×h=12，解得 h=4，

由﹣x 2+6x=4，得 x=3±

， ∴D （3+，4）或（3﹣，4）．

3．（2014 春•昌平区期末）已知直线 y=x ﹣3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y=﹣x 2+mx+n 经过点 A 把 y=0 代入 y=x ﹣3 得x ﹣3=0，解得 x=4，则 A 点坐标为（4，0），

把 A （4，0），C （0，﹣3）代入 y=﹣x 2+mx+n 得 ，

解得 ，

所以二次函数解析式为 y=﹣x 2+

x ﹣3；

（2）存在． 过 D 点作直线 AC 的平行线 y=kx+b ，当直线 y=kx+b 与抛物线只有一个公共点时，点 D 到 AC 的距离最大，此时△ACD 的面积最大，

∵直线 AC 的解析式为 y=x ﹣3，

∴k= ，即 y=x+b ，

由直线 y=x+b 和抛物线 y=﹣x 2+ x ﹣3 组成方程组得 ，消去 y 得到

3x 2﹣12x+4b+12=0，