陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(8-11章)

习 题

8．1利用4f 系统做阿贝—波特实验，设物函数t （x 1，y 1）为一无限大正交光栅 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=)comb()rect()comb()rect(),(2121211111

1111b y a y b b x a x b y x t 其中a 1、a 2分别为x 、y 方向上缝的宽度，b 1、b 2则是相应的缝间隔。频谱面上得

到如图8-53（a ）所示的频谱。分别用图8-53（b ）（c ）（d ）所示的三种滤波器进行滤

波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

（a ） （b ） （c ） （d ）

图8.53（题8.1 图）

解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为

T ( f x , f y ) = ℱ [ t ( x 1 , y 1 )]

= { 11b ℱ [)rect(11a x ]·ℱ [)comb(11b x ] } *{2

1b ℱ [)rect(21a y ·ℱ [comb(

21b y ]} 将函数展开得

T ( f x , f y ) = {}•••++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(1

11111111b 1b 1-x x x f b a f b a f a b a * {

}•••++++)δ(sinc(δ()sinc()sinc(222222222b 1b 1-y y y f b a f b a f a b a （1） 用滤波器（b ）时，其透过率函数可写为

1 f x = + 1/ b 1 f y = 0

F ( f x , f y ) =

0 f x ≠ 1/ b 1 f y = 任何值

滤波后的光振幅函数为

T ·F = [])δ()δ()sinc(1

11111b 1b 1-++x x f f b a b a 输出平面光振幅函数为

t ’（x 3，y 3）= ℱ -1

[ T ·F ] = )]}(exp [)](){exp [sinc(1

3131111b 2-b 2x j x j b a b a ππ+ = )(cos )sinc(1

31111b 22x b a b a π• 输出强度分布为 I （x 3，y 3）= )(cos )(sinc 13211221

21b 24x b a b a π• = )cos()(sinc 1311221

2

1b 42x b a b a π• - C 其中C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

（2）用滤波器（c ）时，其透过率函数可写为 1 f x ，f y ≠ 0

F ( f x , f y ) =

0 f x = f y = 0

滤波后的光振幅函数为 T ·F = {}•••+++)()sinc()()sinc(1111111

1

b 1b 1-x x f b a f b a b a δδ * {}•••+++)()sinc()()sinc(

22222222

b 1b 1-y y f b a f b a b a δδ 输出平面光振幅函数为

t ’（x 3，y 3）= ℱ -1

[ T ·F ] = {[)(rect 1311a x b *])comb(13b x - )rect(1

311b x b a } × {

[)(rect 2321a y b *])comb(23b y - )rect(2322b y b a }

输出强度分布为

I （x 3，y 3）= | t ’（x 3，y 3）|

2 有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。

（3）用滤波器（d ）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b ’，它与物光栅周期b 1、b 2的关系为 2

221111b b b +=’

8．2 采用图8-53（b ）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm ，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。

解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应

表达为

t ’（x 3）= ℱ -1 { )]()()[sinc(1

11122-b f b f b a x x ++δδ} = 1

3111142b x b a b a πcos )c(sin 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布： I = 1

32112212144b x b a b a πcos )(sinc = 1311221

2

182b x b a b a πcos )(sinc - C 其中C 是一个常数。

答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm 。

8．3 在4f 系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最

大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，

（a ）写出傅里叶平面P 2上的频谱分布表达式；

（b ）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；

（c ）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式；

（d ）若将一个π位相滤波器 exp （j π） x 2，y 2 ≤ x 0，y 0

H （x 2，y 2）=

0 其它

放在P 2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。

解答：将8．1题结果代入，其中b 1 = d = 4，a 1 = a = 1，除去与y 分量有关的项，可得

（a ）P 2平面上的频谱分布为： })()sinc()()sinc(){sinc()(•••++++=4

14141-4141x x x x f f f f T δδ （b ）输出平面：

复振幅 t （x 3）= ℱ -1

[T （f x ）]