函数的最值与值域(提高)知识梳理
函数的值域与最值知识点梳理、经典例题及解析、近年高考题带答案
函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。
函数值的集合叫做函数的值域。
2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。
（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。
（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
高一函数求最值总结知识点
高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。
下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。
对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。
二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。
当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。
2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。
这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。
3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。
求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。
这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。
三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。
例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。
解：首先，我们可以通过顶点法来求解。
根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。
所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。
例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。
解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。
根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。
例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解高考数学冲刺策略：函数的值域与最值求解高考数学中，函数的值域与最值问题一直是重点和难点。
在冲刺阶段，掌握有效的求解策略对于提高成绩至关重要。
本文将为同学们详细介绍函数值域与最值的求解方法，并通过实例帮助大家加深理解。
一、函数值域与最值的基本概念首先，我们来明确一下函数值域和最值的定义。
函数的值域是指函数在其定义域内所有可能的输出值的集合。
简单来说，就是当自变量在定义域内取遍所有可能的值时，函数所对应的函数值的范围。
而函数的最值则分为最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内所能取得的最大函数值，最小值则是所能取得的最小函数值。
二、常见函数的值域与最值1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的函数为一次函数。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增，值域为 R；当 k ＜ 0 时，函数单调递减，值域也为 R。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
对于形如 y ＝ a(x h)²＋ k 的顶点式，顶点坐标为（h, k)，当 a ＞ 0 时，函数的最小值为 k；当 a ＜ 0 时，函数的最大值为 k。
3、反比例函数反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0），其定义域为x ≠ 0。
当 k ＞ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递减；当 k ＜ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递增。
值域为（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
4、指数函数指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数在 R 上单调递增，值域为（0, ＋∞）；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在 R 上单调递减，值域同样为（0, ＋∞）。
5、对数函数对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），其定义域为（0, ＋∞）。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
函数的值域知识点总结
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
高考热点：函数值域、最值及极值
高考热点二：函数值域、最值及极值基础回顾1、 函数的值域是指：几种常见的基本初等函数的值域：（1） 一次函数)0()(≠+=a b ax x f 的值域为：（2） 反比例函数)0()(≠=k xk x f 的定义域、值域分别为： （3） 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为：当0>a 时，值域为： 当0<a 时，值域为：（4） 指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且的定义域、值域分别为：（5） 对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且的定义域、值域分别为：（6） 幂函数)3,2,1,21,1()(-==ααx x f 的定义域、值域分别为： （7） 函数)0)(sin()(≠+=A x A x f ϕω的值域为：2、 函数的最大值、最小值是指：3、 函数的极大值、极小值是指：极大值、极小值统称为极值.4、 求函数)(x f 的极值的方法步骤：（1） （2） (3)5、 利用导数求函数)(x f 的最值的方法步骤：（1） （2）6、 求函数值域与最值的常用方法：（1）直接法 （2）配方法 （3）分离常数法（4）换元法（5）三角有界法 （6）基本不等式法 （7）单调函数法 （8）数形结合法 （9）逆求法（10）判别式法 （11）构造法 （12）导数法达标训练一、选择题1、已知函数)(x f y =的定义域为R ，值域为]1,3[-，则)2(+=x f y 的值域为（ ）A 、]1,3[-B 、]3,1[-C 、),3(+∞D 、),(+∞-∞2、函数)1)(111(log 21>+-+=x x x y 的最大值是（ ） A 、2- B 、2 C 、3- D 、33、函数)1(log ++=x a y a x 在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4 4、已知函数313)(23-++=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、31>a B 、012≤<-a C 、012<<-a D 、31≤a 。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
高二函数的最值知识点
高二函数的最值知识点函数是数学中经常出现的一种数学对象，它描述了两个变量之间的关系。
在高中数学中，函数最值问题是一个重要的知识点，它涉及了函数的最大值和最小值的求解。
本文将介绍高二函数的最值知识点，包括最值的定义、求解方法和相关例题。
一、最值的定义函数的最值指的是函数在给定定义域内所取得的最大值和最小值。
最大值是函数取值中的最大值，最小值则是函数取值中的最小值。
二、求解方法1. 寻找临界点在求解函数最值时，一种常用的方法是寻找函数的临界点。
临界点是指函数的导数为零或导数不存在的点。
通过求导数并解方程，可以得到函数的临界点。
2. 确定边界点边界点是指函数定义域的端点。
当给定的函数在定义域的端点处取到最值时，这些端点就是函数的边界点。
3. 对比找到函数的临界点和边界点之后，将它们与函数在定义域内的其他点进行比较。
最终确定函数的最值。
三、例题分析下面通过几个例题来说明高二函数最值的求解过程。
例题一：已知函数 f(x) = -2x^2 + 5x + 3，求函数 f(x) 的最大值和最小值。
解答：首先，对函数 f(x) 求导，得到 f'(x) = -4x + 5。
令 f'(x) = 0，解方程得到 x = 5/4。
这个点是函数的临界点。
接下来，考虑函数在定义域的边界点。
由于函数未给出定义域，我们需进一步判断。
由于二次函数的图像是开口朝下的，所以最大值在临界点或者边界点处取得。
如果给定了定义域，则找出定义域的边界点。
比如定义域为 [a, b]，则将 a 和 b 代入函数 f(x) 中计算，将得到的两个函数值与 f(x) 的临界点进行比较，得出最值。
例题二：已知函数 g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5，求函数 g(x) 的最大值和最小值。
解答：同样地，对函数 g(x) 求导，得到 g'(x) = 6x^2 - 18x + 12。
令g'(x) = 0，解方程得到 x = 1 或 x = 2。
新高考数学一轮复习知识点解析14---函数值域与最值
1．熟悉函数求值域的方法，能够灵活运用恰当的方法求函数的值域． 2．掌握函数求最值的方法，并且能够将恒成立问题，方程有解问题等转化成函数求最值问题．一、函数值域与最值的概念 1．函数值域的概念在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2．函数最值的概念一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤，且存在0x I ∈，使得()0f x M =，那么M 就是函数()y f x =的最大值．②对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥，且存在0x I ∈，使得()0f x M =，那么M 就是函数()y f x =的最小值．二、常见函数的值域①一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．②二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a>第三章 函数的概念及基本初等函数第11讲 函数值域与最值时，值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦； ③反比例函数()0ky k x=≠的值域为()(),00,-∞+∞；④指数函数()0,1x y a a a =>≠且的值域为()0,+∞； ⑤对数函数()log 0,1a y x a a =>≠且的值域为R ； ⑥正、余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ．【例1】已知函数()223f x x x =+-，则()f x 的值域为（） A ．[)4,-+∞ B ．[)3,-+∞ C ．[)0,+∞ D ．[]0,4【答案】B【解析】()()222232314f x x x x x x =+-=+-=+-，[)0,x ∈+∞，故()()min 03f x f ==-，故函数值域为[)3,-+∞， 故选B ．【变式1．1】已知函数1()(12)f x x x =≤≤，则函数2()2()()g x f x f x =+的值域为（）A ．[3,2+B ．5[,3]4C ．9[,3]16D ．1[2+【答案】D【解析】1()(12)f x x x =≤≤，由21212x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得1x ≤≤2221()2()()(1g x f f x x x x x∴=≤+≤=+．令11)t t x =≤≤，∴函数222(1)1y t t t =+=+-．当2t =时，min 12y =+1t =时，max 3y =， ∴函数2()2()()g x f x f x =+的值域为1[2，故选D ．【变式1．2】函数()1423x x y x -=++∈R 的值域为（）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)9,+∞【答案】B【解析】令2,0x t t =>，可得()21320y t t t =++>，可得函数的对称轴为14t =-，故函数在(0,)t ∈+∞上单调递增，当0t =时，min 3y =，故函数的值域为()3,+∞， 故选B ．【例2】函数21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为________．【答案】(0,)+∞【解析】当1x <时，()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭；当1x >时，()()10,1f x x=∈， 综上可得21,1()1,1x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为(0,)+∞，故答案为(0,)+∞．【变式2．1】已知函数()(12)3,1ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意知()ln 1y x x =≥的值域为[)0,+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有23(1)y a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->且1a ≥-，解得112a -≤<， 实数a 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．【例3】下列各式中，最小值为2的是（）A ．1xx+B +C ．y x x y+ D ．3x -【答案】D【解析】当0x <时，10x x+<不合题意，所以A 错误；4≥，当x =所以B 错误； 当0xy <时，0y xx y+<不合题意，所以C 错误； )2312x -=+1=时，取得最小值2，故选D ．【变式3．1】已知函数()[1,5]f x ∈，则函数1()()()g x f x f x =+的值域为_________． 【答案】26[2,]5【解析】设()t f x =，则[1,5]t ∈，()1h t t t=+，设121t t <<，则()()()()211212*********t t h t h t t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又121t t <<时，()()120h t h t -<，所以函数1()h t t t =+在[1,)+∞上为增函数，所以函数1()h t t t=+在[1,5]上为增函数，则函数的最大值为()1265555h =+=，最小值为()1112h =+=，故函数的值域为26[2,]5，故答案为26[2,]5．【例4】（1）若函数()11x f x x -=+的定义域是[)0,+∞，则()f x 的值域是_____． 【答案】[)1,1-【解析】由()11221111x x f x x x x -+-===-+++， 当0x ≥时，11x +≥，所以1011x <≤+，则2201x -≤-<+， 所以21111x -≤-<+，即()()101x f x x x -=≥+的值域为[)1,1-，故答案为[)1,1-．（2）函数12321x x y ++=+的值域为（）A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(2,3)D ．[1,2]【答案】C【解析】123122121x x xy ++==+++，10121x <<+，23y ∴<<，故选C ． （3）求函数2211x x y x ++=+的值域_____________．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2221111x x xy x x ++==+++， 当0x =时，1y =； 当0x >时，111y x x=++，12x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），131122y ∴<≤+=；当0x <时，111y x x=++，12x x--≥=（当且仅当1x =-时取等号）， 12x x ∴+≤-，11012xx∴-≤<+，112y ∴≤<， 综上所述，函数2211x x y x ++=+的值域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）设1x >-，求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最值．【答案】最小值9，无最大值． 【解析】∵1x >-，∴10x +>，401x >+，∴()()221514(5)(2)710111x x x x x x y x x x ++++++++===+++ 415591x x =+++≥=+， 当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立， ∴1x =时，函数y 有最小值9，无最大值． 【变式4．1】求下列函数的值域． （1）322xy x -=+； （2）2211x x y x x -+=++；（3）221xy x =+； （4）21x x y x ++=．【答案】（1）()(),22,-∞--+∞；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）[]1,1-；（4）(][),13,-∞-+∞．【解析】（1）327222x y x x -==-++，定义域为2x ≠-，所以其值域为()(),22,-∞--+∞．（2）由解析式知：定义域为x ∈R ，函数可转化为2(1)(1)10y x y x y -+++-=在x ∈R 上有解，∴当10y -=，即1y =时，0x =显然成立；当10y -≠时，22(1)4(1)0Δy y =+--≥，整理得231030y y -+≤，解得133y ≤≤且1y ≠， ∴综上，函数的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（3）由解析式知：定义域为x ∈R ，函数可转化为220yx x y -+=在x ∈R 上有解，∴当0y =时，0x =显然成立；当0y ≠时，2440Δy =-≥，整理得21y ≤，解得11y -≤≤且0y ≠， ∴综上，函数的值域为[]1,1-．（4）由解析式知：定义域为0x ≠，而2111x x y x x x ++==++，∴当0x >时，1113y x x =++≥=，当且仅当1x =时等号成立；当0x <时，1[()()]111y x x =--+-+≤-=-，当且仅当1x =-时等号成立， ∴综上，函数的值域为(][),13,-∞-+∞．【例5】（1）函数y =的定义域是_________，函数23)y x x =->的值域为__________．【答案】[3,1]-，(4,)+∞【解析】①由228401x x --≥，得2230x x +-≤，解得31x -≤≤，故函数y =[3,1]-．②令t =2t >，则21x t =-，所以原函数可化为22()2(1)22g t t t t t =--=--，其对称轴为14t =， 所以函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，所以()(2)4g t g >=，所以函数23)y x x =->的值域为(4,)+∞． 故答案为[3,1]-，(4,)+∞．（2）函数()f x x =的值域是___________．【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x =，令0t t =≥，则21122x t =-， 则22111()(1)1,0222f t t t t t =+-=+-≥，所以当0t =，即12x =-时，()f x 取得最小值，最小值为12-，因而()f x 的值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（3）函数y =的值域为_________．【答案】2⎤⎦【解析】由题意得3050x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得35x ≤≤，222y =+=+224y ∴≤≤，由y 的非负性知原函数的值域为2⎤⎦，故答案为2⎤⎦．（4）函数()f x =___________．【答案】)+∞【解析】由已知得2206100x x x -≥⎧⎨-+≥⎩，解得2x ≤，所以()f x 的定义域为{}2x x ≤，且2x ≤时，y =y =所以()f x 在(],2-∞上是减函数，()()2f x f ≥=所以()f x 的值域为)+∞，故答案为)+∞．【变式5．1】求下列函数的值域．（1）y x =；（2）4y =；（3）y x =+（4）y =【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[]2,4；（3）(],1-∞；（4）[]0,2．【解析】（1）函数y x =中，令120x -≥，得12x ≤，易见函数y =y x =-都是减函数，故函数y x =在12x ≤时是递减的，故12x =时，min 12y =-， 故值域为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．（2）44y ==，[]1,3x ∈-， 而20(1)44x ≤--+≤，[]1,3x ∈-，02∴≤≤，42440∴-≤-， 即24y ≤≤，故值域为[]2,4．（3）函数y x =+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令0t =≥，所以212t x -=，所以221,20221t t y t t t -=+=-++≥，对称轴方程为1t =，所以1t =时，函数max111122y =-++=，故值域为(],1-∞．（4）函数y ==[]5,1--，()[]24043,x +∈-+，故[]0,2y =，即值域为[]0,2．【变式5．2】已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()10,2g x h x x ⎫⎡⎫=+∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭的值域．【答案】（1）0m =；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5． 当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数； 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=．（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，t =，则21122x t =-+，(]0,1t ∈，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]0,1t ∈，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，()f t ∴的值域为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，故函数()g x 的值域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦．【例6】（多选）若函数()f x =(0,)+∞，则实数a 的取值可能是（） A ．0 B ．12C ．34D ．1【答案】CD【解析】当0a =时，()f x =，故不符合题意； 当0a ≠时，函数()f x =的值域为(0,)+∞，()204430a a a >⎧⎪∴⎨--⨯⨯≥⎪⎩，解得34a ≥， 故选CD ．【变式6．1】已知函数()22()lg 1(21)1(0)f x a x a x a ⎡⎤=-+++<⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】要使函数()22()lg 1(21)1(0)f x a x a x a ⎡⎤=-+++<⎣⎦的值域为R ，则()22()1(21)1(0)g x a x a x a =-+++<的值域包含()0,∞+，①当210a -=，0a <，即1a =-时，()1g x x =-+值域为R 包含()0,∞+， 故符合条件；②当210a -≠，0a <时，2105014450a a a Δa ⎧->⎪<⇒-≤<-⎨⎪=+≥⎩， 综上，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故答案为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【例7】已知函数()()343,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,4- B ．[)2,4-C ．(],2-∞-D ．{}2-【答案】B【解析】1≥x 时，3log 0y x =≥， 又()f x 的值域为R ，则1x <时，()()43f x a x a =-+的值域包含(),0-∞，()404130a a a ->⎧∴⎨-⋅+≥⎩，解得24a -≤<，故选B ．【变式7．1】已知函数()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域与值域相同，则常数a =（） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-【答案】A【解析】显然，()()31(3)33x x f x x a x -⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩的定义域为R ，故值域为R ，3110333x y x x -==-++值域为{|3}y y ∈≠R ，3a ∴=， 故选A ．【例8】已知函数23()f x x =，[1,8]x ∈-，函数()2g x ax =+，[1,8]x ∈-．若对任意1[1,8]x ∈-，总存在2[1,8]x ∈-，使12()()f x g x =成立．则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】若对任意的1[1,8]x ∈-，总存在2[1,8]x ∈-，使12()()f x g x =成立， 只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．23()f x x =，[1,8]x ∈-的值域为[0,4]，下求()2g x ax =+的值域． ①当0a =时，()2g x =为常数，不符合题意舍去；②当0a >时，()g x 的值域为[2,28]a a -+，要使[0,4][2,28]a a ⊆-+， 得20a -≤且428a ≤+，解得2a ≥；③当0a <时，()g x 的值域为[28,2]a a +-，要使[0,4][28,2]a a ⊆+-， 得280a +≤且42a ≤-，解得2a ≤-， 综上所述，a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞，故答案为(][),22,-∞-+∞．【变式8．1】已知函数()2f x x a =+，2()61g x x x =-+，对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】26a -≤≤【解析】因为[1,1]x ∈-，所以()[2,2]f x a a ∈-++， 又因为2()(3)8g x x =--，[1,1]x ∈-，所以有()[4,8]g x ∈-，要想对于任意的1[1,1]x ∈-都能找到2[1,1]x ∈-，使得()()21g x f x =成立，则有282624a a a +≤⎧⇒-≤≤⎨-+≥-⎩．一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈， 记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ，()[],,y g x x c d =∈的值域为B ， ①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则有A B ⊆； ②若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x =成立，则有A B ⊇； ③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，故A B ≠∅．【例9】已知()2220,1,0x tx t x f x x t x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则t 的取值范围为________． 【答案】[]0,2【解析】由于当0x >时，()1f x x t x=++在1x =时取得最小值为2t +，由题意当0x ≤时，()()2f x x t =-，若0t ≥，此时最小值为()20f t =，故22t t ≤+，即220t t --≤，解得12t -≤≤，此时02t ≤≤， 若0t <，则()()0f t f <，条件不成立， 故答案为[]0,2．【变式9．1】已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________．【答案】3⎫⎪⎣⎭【解析】由题意知，函数()y f x =在(],3-∞上单调递增，且()31f =，由于函数()2,33log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则函数()3log a f x x =+在()3,+∞上单调递减且3log 31a +≤，则有013log 31a a <<⎧⎨+≤⎩，即01log 32aa <<⎧⎨≤-⎩1a ≤<，因此，实数a的取值范围是3⎫⎪⎣⎭，故答案为3⎫⎪⎣⎭． 【例10】已知函数()11f x a x=-，()0,x ∈+∞． （1）求证()f x 在()0,∞+上递增；（2）若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，求实数a 的取值范围； （3）当()2f x x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）102a <<；（3）4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【解析】（1）设120x x <<，则()()2121211211110x x f x f x a x a x x x --=--+=>， 故()()21f x f x >，即函数单调递增．（2）∵()f x 在()0,∞+上单调递增，∴若()f x 在[],m n 上的值域是[],m n ，则()()0n m f m m f n n ⎧>>⎪=⎨⎪=⎩，即11110m a m n an n m ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪>>⎪⎪⎩，故函数1y a =与1y x x=+（0x >）的图象有两个公共点， ∵当0x >时，12y x x =+≥（当且仅当1x x=，即1x =时取“=”），∴12a >，解得102a <<． （3）∵()11f x a x=-，()2f x x ≤在()0,∞+上恒成立， ∴211212x a x x x≥=++在()0,∞+上恒成立， 令()112g x x x=+，则()4g x ≤=（当且仅当12x x =，即x =时取等号），要使()0,∞+上恒成立，故a 的取值范围是,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【变式10．1】已知函数()()2410f x ax ax b a =-++>的定义域为[]2,3，值域为[]1,4，设()()6103f x x g x x+-=．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,2x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）3,12a b ==；（2）14k ≤． 【解析】（1）∵函数()()2410f x ax ax b a =-++>其图象对称轴为直线2x =，函数的定义域为[]2,3，值域为[]1,4，∴()()24811391214f a a b f a a b ⎧=-++=⎪⎨=-++=⎪⎩，解得3a =，12b =．（2）由（1）得()231213f x x x =-+，()()26103631233f x x x x g x x xx x+--+===+-．若不等式()220x xg k -⋅≥在[]1,2x ∈上恒成立，则2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立，[]22,4x∈，111,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1122x =，即1x =时，2112122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值14， 故14k ≤． 【例11】已知函数()4f x x x =+，()2g x x a =+，若11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∈都有()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(],2-∞-【解析】由于132x ≤≤时，()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，也即()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为4．由于23x ≤≤时，()g x 单调递增，所以最大值为()36g a =+，由于对11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∈，都有()()12f x g x ≥，所以46a ≥+，解得2a ≤-．所以实数a 的取值范围是(],2-∞-， 故答案为(],2-∞-．【变式11．1】已知函数()4f x x x =+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A【解析】任取12112x x ≤<≤，()()()()112212121212444x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=， 12121,14x x x x <<<，()()()()12120,f x f x f x f x ∴->>，即函数()4f x x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，min ()(1)5f x f ==， min ()(2)4g x g a ==+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥，即54,1a a ≥+≤， 故选A ．【变式11．2】已知二次函数()()220f x ax x a =->．（1）若()f x 在[]0,2的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥．求a 的取值范围．【答案】（1）2；（2）[)8,+∞．【解析】由()f x 解析式知：()f x 为开口方向向上，对称轴为1x a=的二次函数， （1）当12a ≥，即102a <≤时，()f x 在[]0,2上单调递减， ()()max 00f x f ∴==，不合题意； 当102a <<，即12a >时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()(){}max max 0,2f x f f ∴=，又()00f =，()244f a =-，()f x 在[]0,2的最大值为4，()()max 2444f x f a ∴==-=，解得2a =， 综上所述：2a =．（2）若对任意实数t ，总存在[]12,,1x x t t ∈+，使得()()122f x f x -≥， 则()()max min 2f x f x -≥对[],1x t t ∈+恒成立， ①当1t a≤时，()f x 在[],1t t +上单调递增， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=+-=+-≥， 当1t a≥时，22y at a =+-单调递增，()min 12222at a a a a a ∴+-=⋅+-=，2a ∴≥；②当11t a ≥+，即11t a≤-时，()f x 在[],1t t +上单调递减， ()()()()max min 1222f x f x f t f t at a ∴-=-+=--+≥， 当11t a≤-时，22y at a =--+单调递减， ()min 122212at a a a a a ⎛⎫∴--+=---+= ⎪⎝⎭，2a ∴≥；③当112t t a <≤+，即1112t a a -≤<时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()()()()2max min 1111212f x f x f t f a t t a a ⎛⎫∴-=+-=+-++≥ ⎪⎝⎭，当1112t a a -≤<时，又0a >，11111122t a a<+≤+<+， 令1m t =+，则212y am m a =-+在111,12a a ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭上单调递增， 2111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a ≥；④当1112t t a +<<+，即11112t a a -<<-时，()f x 在1,t a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 在1,1t a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()()()2max min 1122f x f x f t f at t a a ⎛⎫∴-=-=-+≥ ⎪⎝⎭，当11112t a a -<<-时，212y at t a =-+在1111,2aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，2111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得8a ≥，综上所述：a 的取值范围为[)8,+∞．【例12】已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-． （1）求()f x 及()g x 的解析式及定义域；（2）若函数()()2(2)g x f x k x =+-在区间(1,1)-上为单调函数，求实数k 的范围；（3）若关于x 的方程()20xf m -=有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）21()log (11)1xf x x x-=-<<+，()()22log 1(11)g x x x =--<<；（2）(,0][4,)-∞+∞；（3）(,0)-∞．【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=．因为2()()2log (1)f x g x x +=-，①所以用x -取代x 代入上式得2()()2log (1)f x g x x -+-=+，即2()()2log (1)f x g x x -+=+，②联立①②可得2221()log (1)log (1)log (11)1xf x x x x x-=--+=-<<+， ()()2222log (1)log (1)log 1(11)g x x x x x =-++=--<<．（2）因为()()22log 1g x x =-，所以()2(2)1f x x k x =-+-+，因为函数()f x 在区间(1,1)-上为单调函数，所以212k -≤-或212k -≥， 所以所求实数k 的取值范围为(,0][4,)-∞+∞． （3）因为21()log 1x f x x ，所以()2122log 12x xxf -=+． 设1212x x t -=+，则12211212x x xt -==-+++． 因为()f x 的定义域为(1,1)-，20x >，所以021x <<，1122x <+<，111212x <<+，201112x<-+<+， 即01t <<，则2log 0t <．因为关于x 的方程()20xf m -=有解，则0m <，故m 的取值范围为(,0)-∞．【变式12．1】方程()12log 22x a x -=+有解，则a 的最小值为__________．【答案】1【解析】方程()12log 22x a x -=+有解，即方程222x x a --+=有解，即a 值属于222x x --+的范围内．由于2221x x --+≥=，当且仅当1x =-时取等号，a 的最小值为1，故答案为1．一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈． （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <．一、选择题．1．若函数()1,1431x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<，则()f x 的值域为（）A．⎡⎣B ．150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D．154⎤⎥⎦【答案】C【解析】函数1,14()31x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<， 当14x ≤≤时，1()f x x x =-递增，可得15()[0,]4f x ∈； 当31x -≤<时，()f x ==， 当2x =-时，()f x 取得最大值4；1x =时，()1f =，即有()f x ⎤∈⎦，可得()f x 的值域为[0,4]，故选C ．2．点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，则函数()g x =值域为（）A．⎡⎣B．⎡⎣C．2⎤⎦D ．[]2,3【答案】B【解析】因为点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上， 所以11m -=，即2m =，()()228n f m f ===，所以3n =，故()g x =[]2,3x ∈，2()11g x =+=+，因为[]2,3x ∈，所以21560,4x x ⎡⎤-+-∈⎢⎥⎣⎦， 所以[]2()1,2g x ∈，所以函数()g x =⎡⎣，故选B ．3．下列各函数中，值域为()0,∞+的是（） A ．113x y +=B ．212x y --=C ．()22log 23y x x =++D ．y =【答案】B【解析】因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以()()1130,11,x y +=∈+∞，不满足条件，故A 错误； 因为21x --∈R ，()2120,x y --=∈+∞，即函数的值域为()0,∞+，满足条件，故B 正确；()2223122x x x ++=++≥，因为()22log 23y x x =++的值域是[)1,+∞，不满足条件，故C 错误；所以121x +>，∴1>y ，则函数的值域为()1,+∞，不满足条件，故D 错误， 故选B ．4．下列函数求值域正确的是（）A ．()1f x x =++[2,)+∞B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2,)+∞C ．()h x =)+∞D ．()w x =的值域为[2,【答案】D【解析】A 选项，原函数化为21,1()3,1221,2x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，其图象如图，原函数值域为[3,)+∞，错；B 选项，2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，∴值域为(,2][2,)-∞-+∞，错； C 选项，()h x 的定义域为[1,)+∞，()h x ===，均在[1,)+∞[1,)+∞上是增函数，[1,)+∞上恒不等于0[1,)+∞上是减函数，则()h x的最大值为(1)h =()h x 的最小值为x 最大时，此时()h x 无限接近于0，∴()h x的值域为，错； D 选项，()w x 的定义域为[]3,1-，()w x======设2(1)t x=-+，则[4,0]t∈-，则()m t=则()w x的值域为[2,，对，故选D．5．若函数()f x=0,，则实数m的取值范围是（）A．()1,4B．()(),14,-∞+∞C．(][)0,14,+∞D．[][)0,14,+∞【答案】D【解析】令t=1yt=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x=+-+的值域为A，则()0,A+∞⊆，若0m=，则()41g x x=-+，其值域为R，满足()0,A+∞⊆；若0m≠，则mΔ>⎧⎨≥⎩，即()24240mm m>⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m≥或01m<≤．综上所述，实数m的取值范围是[][)0,14,+∞，故选D．二、填空题．6．函数()8f x xx=+，[)2,8x∈的值域为__________．【答案】)⎡⎣【解析】由8xx=可得x=±，∴对勾函数()f x在2,⎡⎣上单调递减，在)⎡⎣上单调递增，又()26f =，(f =88968+=>，∴函数()f x 的值域为)⎡⎣，故答案为)⎡⎣．7．函数2221x x y -=+的值域为__________．【答案】(2,1)-【解析】()1232212121213xx x x xy -+-===-+++， 因为20x >，所以211x +>，所以10121x <<+，则33021x-<-<+， 所以321121x-<-<+，即21y -<<， 所以函数的值域为(2,1)-．8．求函数()1y x =≥的值域____________．【答案】)+∞【解析】由()f x =()g x =[1,)x ∈+∞上均单调递增，∴y =在[1,)x ∈+∞上单调递增，而1x =时，y =)+∞，故答案为)+∞．9．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<， 故答案为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．10．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________． 【答案】10[2,]3【解析】因函数()y f x =的值域是1[,3]2，从而得函数(21)t f x =+值域为1[,3]2， 函数()F x 变为1y t t =+，1[,3]2t ∈，由对勾函数的性质知1y t t =+在1[,1]2上递减，在[1,3]上递增，1t =时，min 2y =；而12t =时，52y =；3t =时，103y =，即max 103y =，所以原函数值域是10[2,]3，故答案为10[2,]3． 11．已知函数||()2x f x =，11()2142xxg x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若对于任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】24m ≤【解析】因为[1,2]x ∈-，对()2xf x =，当()1,0x ∈-单调递减，当()0,2x ∈单调递增，故min ()(0)1f x f ==，所以存在[1,2]x ∈-使得1()g x ≥成立．令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2[1,2]x ∈-，1,24t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则存在1,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得2211mt t +-≤成立，即222t m t -≤成立，所以2max22t m t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．又因为2222111122,,42t t t t t -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22max 22242424t t -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以24m ≤， 故答案为24m ≤．12．已知函数2()2(0)x f x ax a =+>，2()41g x x x =-+．若对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设2()2(0),[1,2]x f x ax a x =+>∈-的值域为A ， 设2()41[1,2]g x x x x =-+∈-，的值域为B ，因为()22()4123g x x x x =-+=--，所以()g x 在[1,2]-单调递减， 所以[]3,6B =-．因为对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =， 所以A B ⊆．因为024x <≤，0a >时，204ax a ≤≤，所以()0f x >在[1,2]x ∈-恒成立，所以只需max()6f x ≤，只需()02446a f a >⎧⎨=+≤⎩，解得102a <≤， 故实数a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为10,2⎛⎤⎥⎝⎦．13．已知函数()221f x x ax =++，存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】令()2211f x x ax =++=，则10x =，22x a =-，则有122x x a -=，存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立， 因为()f x 开口向上，故()1f x =的两根间距大于1，所以21a ≥，解得12a ≤-或12a ≥，同理，令()2211f x x ax =++=-，则22a x -±=，则有12x x -=存在0x ∈R ，使得()01f x ≤及()011f x +≤同时成立， 因为()f x 开口向上，故()1f x =-的两根间距小于1，1≤，即294a ≤，解得3322a -≤≤，综上所述，3113,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故答案为3113,,2222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．三、解答题．14．已知函数()()()2lg 39f x x ax a =++∈R ．（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,2-；（2）3⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为函数()()2lg 39f x x ax =++的定义域为R ，所以2390x ax ++>恒成立，所以29360Δa =-<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-．（2）若对于任意[)1,x ∈+∞，恒有()0f x >，则对于任意[)1,x ∈+∞，恒有2391x ax ++>成立， 即83a x x>--对于[)1,x ∈+∞恒成立， 记()8g x x x=--，[)1,x ∈+∞，则只需()max 3a g x >． 当[)1,x ∈+∞时，()(,g x ∈-∞-，所以()max g x =-所以3a >-3a >-， 所以实数a的取值范围是⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．15．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数．若()32f =-．（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立， 求实数m 的取值范围．【答案】（1）2a =；（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()32f =-，()12log 1032a ∴-=-， 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2a =． （2）设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立， ()g x 在[]3,4上为增函数，()31min 2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭，178m ∴<-， m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 16．设指数函数()(2)x f x m =+，幂函数()23()1g x m m x =++． （1）求m ；（2）设0a <，如果存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，求a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(32,0)a ∈-．【解析】（1）根据题意得2212011m m m m +≠⎧⎪+>⎨⎪++=⎩，解得0m =．（2）由（1）知()2x f x =，3()g x x =，存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，等价于当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，又0a <，所以()1max (2)4a af x af ⎡⎤=-=⎣⎦， ()32min (2)(2)8g x g ⎡⎤=-=-=-⎣⎦， 所以84a >-，解得32a >-， 所以(32,0)a ∈-．江西多宝格教育咨询有限公司（旗下网站：好教育 ）郑重发表如下声明：维权 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函数最值知识点总结
函数最值知识点总结函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。
在数学中，函数最值是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数的极值点和函数的最大值和最小值。
本文将对函数最值的相关知识点进行总结，包括定义、性质、求解方法等内容。
一、函数最值的定义函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)，如果存在一个实数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在定义域D上的最大值。
类似地，如果存在一个实数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在定义域D上的最小值。
二、函数最值的性质1. 如果函数f(x)在定义域D上有最大值或最小值，那么它一定是在D的边界上取得的。
2. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在内部有一点c使得f(c)是最值，那么f(c)一定是函数f(x)在区间[a,b]内的最大值或最小值。
3. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么必须是一个有界函数。
4. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么它必定有一个最大值和一个最小值。
三、求解函数最值的方法1. 利用导数对于一元函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来找到函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解出导函数f'(x)=0的解，即导数为0的点；（3）将解代入原函数f(x)中，求出相应的函数值；（4）比较函数值，得出最大值和最小值。
2. 利用二次函数的性质对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过二次函数的性质来找到函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出二次函数的顶点坐标（-b/2a,f(-b/2a)）；（2）根据a的正负来判断最值点的情况：a）若a>0，函数有最小值，最小值为f(-b/2a)；b）若a<0，函数有最大值，最大值为f(-b/2a)。
高考数学精讲知识点（8）：函数的最值与值域
高考数学精讲知识点（8）：函数的最值与值域
历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。
——培根
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、函数最值的定义
考点二、函数最值的常用求法
要点诠释：
【典型例题】
类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值
类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值
举一反三：
类型三、含参类函数的最值与值域问题
举一反三：
类型四、抽象函数的最值与值域问题
类型五：解析几何在最值方面的综合应用。
2021年函数的最值知识点总结与经典题型归纳
函数最值知识梳理1. 函数最大值普通地，设函数()y f x =定义域为I . 如果存在实数M 满足：①对于任意x 均有()f x M ≤.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =最大值.2. 函数最小值普通地，设函数()y f x =定义域为I . 如果存在实数M 满足：①对于任意x 均有()f x M ≥.②存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么，称M 是函数()y f x =最小值.注意：对于一种函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中一种元素．3. 函数最值与其单调性关系．（1）若函数在闭区间[,]a b 上是减函数，则()f x 在[,]a b 上最大值为 f (a )，最小值为 f (b )；（2）若函数在闭区间[,]a b 上是增函数，则()f x 在[,]a b 上最大值为 f (b )，最小值为 f (a )．4．二次函数在闭区间上最值．探求二次函数在给定区间上最值问题，普通要先作出()y f x =草图，然后依照图象增减性进行研究．特别要注意二次函数对称轴与所给区间位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题重要根据，并且最大(小)值不一定在顶点处获得．例题精讲【例1】求函数()3f x x =在[0,3]上最大值和最小值．解：由于函数()3f x x =在[0,3]上单调递增因此()3f x x =在[0,3]上最大值为(3)339f =⨯=；()3f x x =在[0,3]上最小值为(0)300f =⨯=；【例2】求函数12-=xy在区间[2，6]上最大值和最小值．解：函数12-=xy图象如下图所示，因此12-=xy在区间[2，6]上单调递减；因此12-=xy在区间[2，6]上最大值为2221=-；最小值为22615=-.题型一运用图象求最值【例3】求下列函数最大值和最小值.（1）25332,[,]22y x x x=--∈-（2）|1||2|y x x=+--解：（1）二次函数232y x x=--对称轴为x＝－1.画出函数图象，由下图，可知：当1x=-时，max4y=；当32x=时，min94y=-.因此函数25332,[,]22y x x x=--∈-最大值为4，最小值为94-.（2）3,2|1||2|21,123,1xy x x x xx≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩作出函数图象，如下图，可知：[3,3]y∈-因此函数最大值为 3，最小值为－3.题型二运用函数单调性求最值【例4】求函数9()f x xx=+在[1,3]x∈上最大值和最小值.分析：先判断函数单调性，再求最值.解：由于1213x x ≤<≤ 因此12121299()()()f x f x x x x x -=+-+121299()x x x x =-+-2112129()x x x x x x -=-+12129()(1)x x x x =--由于1213x x ≤<≤因此120x x -<，129x x ≤ 因此12910x x -<，因此12()()0f x f x ->,12()()f x f x > 因此9()f x x x =+在区间[1,3]上单调递减；因此求函数()f x 在[1,3]x ∈上最小值为918(3)333f =+=，最大值为9(1)1101f =+=.题型三 函数最值应用【例5】已知函数22()x x af x x ++=，[1,)x ∈+∞（1）当12a =时，求函数()f x 最小值.（2）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求a 取值范畴.解：（1）当12a =时，2122()x x f x x ++=设121x x ≤<则12121211()()(2)(2)22f x f x x x x x -=++-++21121212121221()()22x x x x x x x x x x x x --=-+=-由于120x x -<，因此1221x x >，12210x x ->因此12()()0f x f x -<，12()()f x f x <因此()f x 在区间[1,)+∞上单调递增因此最小值为17(1)1222f =++=.（2）()0f x >对[1,)x ∈+∞恒成立⇔220x x a ++>对[1,)x ∈+∞恒成立⇔22a x x >-- 对[1,)x ∈+∞恒成立．令222(1)1u x x x =--=-++，其在[1,)+∞上是减函数，∴当1x =时，max 3u =-. 因而3a >-.故实数a 取值范畴是(3,)-+∞．课堂练习仔细读题，一定要选取最佳答案哟！1．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )最大值、最小值分别为( ) A ．10,6 B ．10,8 C ．8,6 D ．以上都不对 2．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( )A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )3. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 取值范畴是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1] 4．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )A ．最大值4，最小值0B ．最大值0，最小值－4C ．最大值4，最小值－4D ．最大值、最小值都不存在5．函数y ＝－x 2－10x ＋11在区间[－1,2]上最小值是________．6．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |最小值为________．7. 已知函数2()23f x x x =--，若[,2]x t t ∈+时，求函数()f x 最值.8. 求函数()1x f x x =-在区间[2,5]上最大值和最小值.9. 已知函数 f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5].（1）当 a ＝－1 时，求 f (x )最大值和最小值；（2）求使函数 y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数 a 取值范畴．。
高一数学函数知识点总结(五篇)
高一数学函数知识点总结函数的图象函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.高一数学函数知识点总结（二）函数的值域与最值(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，____]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-____]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如____>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结（三）函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量____有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R，且k∈Z)，余切函数y=cot____(____∈R，____≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a，b]，求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围，而已知f[g(____)]的定义域[a，b]指的是____∈[a，b]，此时f(____)的定义域，即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(____)=a____+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时，可用换元法求函数f(____)的表达式，这时必须求出g(____)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式，这个等式除f(____)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-____)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结（四）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
高一数学函数的值域与最值(教师版)
学科教师辅导讲义11222=，故225)4x x x +=+254x +=+显然这样的实数不存在，那么我们就不能使用不等式法来求解了例4、求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，． 变式练习1：求函数13y x x =-+-的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.24,(,1],2,(1,3),24,[3,),x x y x x x -+∈-∞⎧⎪=∈⎨⎪-∈+∞⎩在对应的区间内,画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为),2[+∞. 变式练习2：求函数224548y x x x x =+++-+的值域。
解：原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =+++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成 12个单位正方形。
设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +,AK=22(2)2x -+,KC=2(2)1x ++ 。
由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。
当A 、K 、C 三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。
变式练习3：求函数()225222++-++=x x x x x f 的最大值解：()225222++-++=x x x x x f =()()114122++-++x x=()()()()2222101201-++--++x x ，显然，求f(x)的最大值就是求点A(x,0)分别到B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图1所示：()()22201-++x =|AB|,()()22101-++x =|AC|,且|BC|=1.显然f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1当且仅当A,B,C 三点共线时取到等号，即当X=-1时()[]1max =∴x f . y yB 2 B 2C 1 C 1-1 O 1 x -1 O 1 x图1 图2图1y=-2x+4y=2x-4YX4O231时，x R ∈，函数的值域为[1,92212+++x x x 的值域先将此函数化成隐函数的形式得的一元二0)1≥-,解得略解：易知定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，而12y x x =--在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上均为增函数，∴11112222y --=≤，故y ∈1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦13、求函数22y x x =-++的值域。
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。
记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
函数的值域与最值知识梳理总结
函数的值域与最值知识梳理求函数的值域和求函数的最值实质上是同一问题，只是答题的方式有所差异，因此求函数值域的方法，也是求函数的最值的方法。
求函数值域（最值）的常用方法：(1)配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．由0∆≥且()0a y ≠，求得y 的范围或最值(若求最值在求出y 的值后，要检验这个y 值在定义域内是否有相应的x 的值;若是求值域应判断()0a y =时的x 值是否在函数的定义域内)；(3)不等式法：利用基本不等式求值域（最值）时一定要注意等号成立的条件；(4)换元法：运用代数或三角代换将所给函数转化为容易确定值域（最值）的另一函数，从而求得原来函数的值域。
用换元法时一定要注意新变元的取值范围；(5)数形结合法：对于图形较容易画出的函数的值域（最值）问题可借助图象直观求出； (6)单调性法：利用函数的单调性确定函数值域（最值），特别是闭区间上函数的值域（最值）． (7)利用函数有界性.借助于某些函数(如三角函数、指数函数等)的有界性求另一些函数的值域.1 具体函数值域（最值） 具体函数值域（最值）的求法主要是根据不同类型,采用适当的方法求解.在求值域的过程中应特别注意函数的定义域对函数值域的制约作用。
【例题1】 求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）312x y x +=-； （3）y x =+（4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；（6）2211()212x x y x x -+=>-. 【分析】根据不同的类型采有不同的方法.【答案】（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． （2）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---，∵702x ≠-，∴7332x +≠-，∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（5）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．（6）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即12x =时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．【点评】说明：形如y ax b =++2y ax b =+用代数换元法2 复合函数值域复合函数求值域是一个难点，对于复合函数求值域问题应注意握两点：一、复合函数的定义域；二、复合函数的单调性。
函数最值和极值的知识点
函数最值和极值的知识点函数是数学中非常重要的概念，它可以描述数值之间的关系。
在实际应用中，我们经常会遇到需要找到函数的最值和极值的问题。
本文将以“step by step thinking”的方式，逐步介绍函数最值和极值的知识点。
1.函数和定义域首先，我们需要明确函数的概念。
函数是一个从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射关系。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是对应的值域中的元素。
2.极值的概念在函数中，极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
极大值是函数在该点附近的值都小于等于该点的值，而极小值是函数在该点附近的值都大于等于该点的值。
3.局部极值和全局极值函数的局部极值是指在某个特定的定义域范围内，函数取得的最大值或最小值。
而全局极值是指在整个定义域上，函数取得的最大值或最小值。
4.寻找极值的方法为了找到函数的极值，我们可以使用以下方法：a.导数法：通过求函数的导数，找到导数为0的点，即函数的极值点。
具体步骤如下：–求函数f(x)的导数f’(x)；–解方程f’(x) = 0，求出导数为0的点；–对导数f’(x)的符号进行判断，确定各个导数为0的点是极大值还是极小值；–比较函数在导数为0的点以及边界点上的值，找到函数的最大值和最小值。
b.集合法：将函数的定义域分成若干个小区间，在每个区间中比较函数的值，找到最大值和最小值。
5.函数最值和极值的应用函数最值和极值的概念在数学和实际应用中都有广泛的应用。
在数学中，它可以用于证明数学定理和解决数学问题。
在实际应用中，函数的最值和极值可以用于优化问题的求解，例如寻找最佳投资组合、最大利润等。
总结起来，函数最值和极值是数学中重要的知识点。
通过求函数的导数或将定义域分成若干个区间，我们可以找到函数的最大值和最小值。
这个概念在数学和实际应用中都具有重要的意义，它可以帮助我们解决各种问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解函数最值和极值的知识点。
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函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()x x x f x e me e -=-+-xme -的最值． 【解析】22()()x x x x f x e e m e e --=+-+ 2()()2x x x x e e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数y =解：平方再开方，得[3,1]y x =∈-y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===+++2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===-----1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例 3.（2015 保定模拟）若函数()121sin 21x xf x x +=+++在区间[](),0k k k ->上的值域为[],m n ，则m n += .【答案】4【解析】记()()122sin 121x xg x f x x +=-=+-+ ()()12sin 1212sin 112x x xg x x x -+-∴-=+--+=--+()()122sin 1sin 102112x x xg x +g x x x +∴-=+-+--=++()()g x g x ∴-=-()g x ∴为奇函数，函数图像关于原点对称.∴函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最大值记为a ,(a >0),则函数()g x 在区间[](),0k k k ->上的最小值为-a()a g x a ∴-≤≤即()2a f x a -≤-≤即()22a f x a -≤≤+2,2m a n a ∴=-=+4m n ∴+=故选D.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.【解析】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=， ∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用 例 5. （2016 全国新课标Ⅱ）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++>(Ⅱ)'33(x 2)e (x 2)x 2(x)(f(x)a)x a g x x-+++==+ 由（Ⅰ）知，(x)f a +单调递增，对任意[0110,(2)0,a f a a f a a ∈=-<+=≥，）,(0)+ 因此。
存在唯一0(02]x ∈，，使得00f x a =()+，即'0()0g x =，当00x x <<时，'()0,()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，'()0,()0,()f x a g x g x +>>单调递增。
因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -+++===+于是0(),2x e h a x =+由'2(1)()0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增，所以，由0(02]x ∈，得，002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.举一反三：【变式】设函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）.(I)当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；(II )若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.【解析】(I) ()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()'320x x e kx f x x x --∴=>当0k ≤时，0kx ≤，0x e kx ∴->令()'0f x =则2x =，∴当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减.当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.()f x ∴的单调递减区间为()0,2，()f x 的单调递增区间为()2,+∞. (II )由(I)知，0k ≤时，函数()f x 在()0,2内单调递减，故()f x 在()0,2内不存在极值点.当0k >时，设函数()(),0,x g x e kx x =-∈+∞.()'ln x x k g x e k e e =-=-当01k <≤时，当()0,2x ∈时，()'0x g x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在()0,2内不存在两个极值点.当1k >时，得：()0,ln x k ∈时，()'0g x <，函数()y g x =单调递减,()ln ,x k ∈+∞时，()'0g x >，函数()y g x =单调递增, ()y g x ∴=的最小值为()()ln 1ln g k k k =-函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()()()00ln 0200ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪∴⎨>⎪⎪<<⎩解得22e e k <<综上所述函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为：2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用 例6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【解析】（I ）依题意得，32,nS n n=-即232n S n n =-. 当2n ≥时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当1n =时，2113121615a S ==⨯-==⨯-. 所以65()n a n n N *=-∈. （II ）由（I ）得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+， 故1111111111(1)()...()(1)277136561261nn b n n n T =⎡⎤-=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦∑. 因此，使得()11(1)26120m n N n *-<∈+成立的m 必须满足1220m ≤，即10m ≥, 故满足要求的最小整数m 为10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n(n∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)31(<f ．【解析】（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n∈N *)n=1时，a 1=1n≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n-1)=n 2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N *总有a n =2n-1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)21111()13(21)3333nf n =⨯+⨯++-⋅=)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n ∴2312111111()12()(21)3333333n n f n +=⋅+++--11111213(21)139313n n n -+-=+⋅--- 1222,33n n ++=- ∴11()1133n n f +=-<【变式2】已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，2112()1(1)3n na x x x --++≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．【解析】 （Ⅰ）1321n n n a a a +=+，112133n n a a +∴=+，11111(1)3n na a +∴-=-，又1213n a -=，1{1}na ∴-是以23为首项，13为公比的等比数列．∴112121333n n n a --=⋅=，332n n na ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+，2112()1(1)3n x x x --++2112(11)1(1)3nx x x =-+--++ 2111[(1)]1(1)nx x x a =--+++ 2112(1)1n a x x =-⋅+++211()1n n n a a a x=--++n a ≤， ∴原不等式成立．【另解】设2112()()1(1)3nf x x x x =--++， 则222222(1)()2(1)2()133()(1)(1)(1)x x x x f x x x x -+--⋅+-'=--=+++ 0x >，∴当23n x <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值21()2313n n n f a ==+．∴原不等式成立．由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122222112112112()()()1(1)31(1)31(1)3n na a a x x x x x x x x x +++--+--++--++++++≥221222()1(1)333n n nx x x =-+++-++． ∴令22220333n nx +++-=， 则221(1)12221133()(1)13333(1)3n n nx n n n -=+++==--， ∴2212111111(1)133n n nn n n n a a a x n n n +++==>+++-+-≥．∴原不等式成立．类型五：解析几何在最值方面的综合应用例7．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。