复变函数与积分变换第5章留数

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高等数学课件-复变函数与积分变换第五章留数 §5.1 留数定理及留数的求法

在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来（如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R

《复变函数与积分变换》留数—计算规则

三、在 ∞ 点的留数定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留数 —— 计算规则

复变函数与积分变换5.2留数

m
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都解析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)

1 z - z0
( z ),
其中 (z)在 z 0 解析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的一级极点 .
根据规则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1

e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2

《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲

《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲课程代码：112000531课程名称：复变函数与积分变换/Function of a Complex Variable and interal transformation课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯等内容。

一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。

本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。

通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。

二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯共七章。

第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。

2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。

3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。

基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。

2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。

3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。

4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。

重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。

难点：用复数方法表示平面区域、曲线。

第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。

2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

第五章留数一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( )（A ）可去奇点（B ）本性奇点（C ）m 级极点（D ）小于m 级的极点3．设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点，那么=m ( )（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( ) (A)可去奇点（B ）一级极点（C ）一级零点（D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( )(A)可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点 6．设∑∞==)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（）（A ） 21)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1sin )(-=（C ）z z z z f cos sin )(+=(D) ze zf z111)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ）设)()()(0z z z z f mϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ）如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ）若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ）若0)(=⎰c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos[Re 3ziz s ( ) （A ）32-（B ）32 （C ）i 32（D ）i 32-11．=-],[Re 12i e z s iz ( )（A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( )（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( ) (A)0 （B ）i π2 （C ）niπ2 （D ）i n π2 14．积分=-⎰=231091z dz z z ( ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( ) （A ）0 （B ）61- （C ）3i π- （D ）i π-二、填空题1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m ．2．函数zz f 1cos1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21ΛΛ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s ．3．设函数}1exp{)(22z z z f +=，则=]0),([Re z f s 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s ． 5．双曲正切函数z tanh 在其孤立奇点处的留数为． 6．设212)(z zz f +=，则=∞]),([Re z f s ． 7．设5cos 1)(zzz f -=，则=]0),([Re z f s ． 8．积分=⎰=113z zdz e z．9．积分=⎰=1sin 1z dz z ． 10．积分=+⎰∞+∞-dx x xe ix21 ．三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e zz ．四、利用留数计算积分)0(sin 022>+⎰a a d πθθ五、利用留数计算积分⎰∞+∞-+++-dx x x x x 9102242六、利用留数计算下列积分：１．⎰∞++0212cos sin dx x xx x ２．⎰∞+∞-+-dx x x 1)1cos(2七、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数．八、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．九、设)(z f 以a 为简单极点，且在a 处的留数为A ，证明Az f z f az 1)(1)(lim2=+'→. 十、若函数)(z Φ在1≤z 上解析，当z 为实数时，)(z Φ取实数而且0)0(=Φ，),(y x f 表示)(iy x +Φ的虚部，试证明)()sin ,(cos cos 21sin 202t d f tt t Φ=+-⎰πθθθθθπ)11(<<-t答案第五章留数一、1．（D ） 2．（B ） 3．（C ） 4．（D ）５．（B ）６．（C ）７．（A ）８．（D ）９．（C ） 10．（A ） 11．（B ） 12．（D ） 13．（A ） 14．（B ） 15．（C ）二、1．9 2．2)2()1(π+π-k k 3．0 4．m - 5．16．2- 7．241-8．12i π 9．i π2 10．e i π 三、i π-316. 四、12+πa a .五、π125.六、１．)(443e e e -π ２．e1cos π。

高等数学课件-复变函数与积分变换第五章留数 §5.2 用留数定理计算实积分

§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实积分的值，计算比较复杂。但是，如果把它们化为复变函数的积分，运用留数定理计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线的积分。
一、形如
积分限化为从到，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

《复变函数与积分变换》用留数定理计算实积分

在上半平面的所有奇点 .
Re s [ f ( z ) , ai ] = lim ( z − ai ) R ( z ) =
z → ai
∫
R
−R
R( x ) dx + ∫ R( z ) dz = 2π i
CR
∑
Res R( z ) , z k
Re s [ f ( z ) , bi ] = lim ( z − bi ) R ( z ) =
Im zk > 0
∑
iaz Res R( z ) e , zk
解：首先计算 I 1 = ∫−∞
=∫
x ei x dx x2 + a2
+∞ x cos x x sin x dx + i ∫ dx −∞ x2 + a2 x2 + a2
其中 R ( x ) = 注：
x + a1 x + L + a n , m−n≥1, x m + b1 x m −1 + L + bm R ( x ) e i a x dx
×
O a
z1
× znbx Nhomakorabea故 I =Ñ ∫ z =1
1+ z4 dθ 2iz 2 ( z − p )(1 − pz )
奇点为 0 , p , ,
1 p
若要计算
f (z)
∫
b
a
f ( x ) dx , 在复平面上增加若干条辅助线 Γ ,
使得 C = [a, b] + Γ 是一条简单闭曲线 , 设其内部为 D , 在 D 内只有有限个孤立奇点 , 则
z → ai
两边对 R 取极限：

第五章留数

zz0时, F(z)=f(z); 当z=z0时, F(z0)=c0. 由于
z z0
lim f ( z ) lim F ( z ) F ( z0 ) c0 ,
z z0
5
所以不论f(z)原来在z0是否有定义, 如果令
f(z0)=c0, 则在圆域|z-z0|<d内就有
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,
其中 g(z)在 z0 解析, 且 g(z0)0. 所以当 zz0 时, 有 1 1 m m ( z - z0 ) ( z - z0 ) h( z ) f ( z) g ( z)
15
函数h(z)也在z 解析, 且h(z )不等于 0，z 不是h(z)的零点，因此z 是1/f(z) 的m级零点. 逆命题证明过程类似。
17
注意不能一看函数表面形式就急于作结论. 像函
e z -1 数 z 2 , 初看似乎 z=0 是它的 2 级极点, 其实是一
级极点. 因为
ez -1 1 z n 1 1 z 1 2 - 1 j ( z ), 2 z z z n 0 n! z 2! 3!
其中j(z)在 z=0 解析, 并且j(0)0.
18
4. 解析函数在无穷孤立奇点的性质如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域 R<|z|<内解析, 称点为f(z)的孤立奇点.
1 作变换 t z , 并且规定这个变换把扩充 z 平面上的
无穷远点 z=映射成扩充 t 平面上的点 t=0, 则扩充平面 z 上每一个向无穷远点收敛的序列{zn}与扩充
3 5 2 n 1
26
§5.2 留数

复变函数与积分变换第5章习题解答

习题五答案1. 求下列函数的留数．(1)()5e 1z f z z-=在z =0处．解：5e 1z z-在0<|z |<+∞的罗朗展开式为23454321111111112!3!4!2!3!4!z z z z z z z z z+++++-=+⋅+⋅+⋅+L L ∴5e 111Res ,014!24z z ⎡⎤-=⋅=⎢⎥⎣⎦(2)()11e zf z -=在z =1处．解：11e z -在0<1z -| <+∞的罗朗展开式为()()()11231111111e112!3!!111z nz n z z z -=++⋅+⋅++⋅+----L L ∴11Res e ,11z -⎡⎤=⎣⎦．2. 利用各种方法计算f (z )在有限孤立奇点处的留数．(1)()()2322z f z z z +=+解：()()2322z f z z z +=+的有限孤立奇点处有z =0，z =-2．其中z =0为二级极点z =-2为一级极点．∴()[]()()120013232324Res ,0lim lim 11!242z z z z z f z z z →→++--⎛⎫=⋅=== ⎪⎝+⎭+ ()[]2232Res ,2lim 1z z f z z→-+-==-3. 利用罗朗展开式求函数()211sin z z +⋅在∞处的留数．解：()()()22235111sin 21sin11111213!5!z z z z z z z z zz +⋅=++⋅⎛⎫=++⋅-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭L∴()[]1Res ,013!f z =-从而()[]1Res ,13!f z ∞=-+5. 计算下列积分．(1)ctan πd z z ⎰Ñ，n 为正整数，c 为|z |=n 取正向．解：cc sin πtan πd d cos πzz z z z =⎰⎰蜒．在C 内tan πz 有12k z k =+(k =0,±1,±2…±(n -1),-n )一级极点由于()()2sin π1Res ,πcos πk z kz f z z z =⎡⎤==-⎣⎦'∴()c1tan πd 2πi Res ,2πi 24i πk kz z f z z n n ⎛⎫=⋅⎡⎤=⋅-⋅=- ⎪⎣⎦⎝⎭∑⎰Ñ (2)()()()10cd i 13zz z z +--⎰Ñ C :|z |=2取正向．解：因为()()()101i 13z z z +--在C 内有z =1，z =-i 两个奇点．所以()()()()[]()[]()()[]()[]()()10c 10d 2πi Res ,i Res ,1i 132πi Res ,3Res ,πi3i zf z f z z z z f z f z =⋅-++--=-⋅+∞=-+⎰Ñ6. 计算下列积分． (1)π0cos d 54cos m θθθ-⎰因被积函数为θ的偶函数，所以ππ1cos d 254cos m I θθθ-=-⎰令π1π1sin d 254cos m I θθθ-=-⎰则有i π1π1e i d 254cos m I I θθθ-+=-⎰设i e z θ= d 1d i z zθ= 2os 12c z z θ+=则()121211d i 2i 15421d 2i 521m z m z z zI I z z z z z z==+=⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-+⎰⎰ÑÑ 被积函数()()2521mz f z z z=-+在|z |=1内只有一个简单极点12z = 但()()[]12211Res ,lim232521mmz z f z z z →⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⋅'-+ 所以111πi 2πi 2i 3232m mI I +=⋅⋅=⋅⋅ 又因为π1π1sin d 254s 0co m I θθθ-=-=⎰∴πcos d 54cos π32mm θθθ=⋅-⎰ (2)202πcos3d 12cos a a θθθ+-⎰，|a|>1．解：令2π102cos3d 12cos I a a θθθ+=-⎰ 2π202sin3d 12cos I a a θθθ+=-⎰ 32π120i2e i d 12cos I I a a θθθ-++=⎰令z =e i θ．31d d i os 2c z z zzθθ==，则 ()()()3122123221321i d 1i 1221d i 1112π2πi Res ,i 1z z z I I z z za azz z az a z a f z a a a ==+=⋅+-⋅+=-++--⎡⎤=⋅⋅=⎢⎥⎣⎦-⎰⎰ÑÑ 得()1322π1I a a =-(3)()()2222d x x a x b∞+-∞++⎰，a >0，b >0．解：令()()()22221R z z a z b =++，被积函数R (z )在上半平面有一级极点z =i a 和i b ．故()[]()[]()()()()()()()()()()22222222i i 22222πi Res ,i Res ,i 112πi lim i lim i112πi 2i 2i πz a z b I R z a R z b z a z b z a z b z a z b a b a b a b ab a b →→=+⎡⎤=-+-⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦=+4.()2222d x x x a ∞++⎰，a >0．解：()()2222022221d d 2x x x x x a x a -∞++∞∞=++⎰⎰令()()2222z R z z a =+，则z =±a i 分别为R (z )的二级极点故()()[]()[]()()()22222222i 0i 1d 2πi Res ,i Res ,i 2πi lim lim i i π2z a z a x x R z a R z a x a z z z a z a a-→∞→-=⋅⋅+-+⎛⎫''⎡⎤⎡⎤ ⎪=+⎢⎥⎢⎥ ⎪+-⎣⎦⎣⎦⎝⎭=⎰(5)()222sin d x x x b xβ∞+⋅+⎰，β>0，b>0．解：()()()i 222222222cos sin e d d i d x x x x x xxx x x b x b x b βββ+++--∞∞∞∞∞∞-⋅⋅⋅=++++⎰⎰⎰而考知()()222zR z z b =+，则R (z )在上半平面有z =b i 一个二级极点．()()[]()i i 222i i e d 2πi Res e ,i e π2πi lim e i i 2z x z zbb xx R z b x b z z b b βββββ+--→∞∞⋅=⋅⋅+'⎡⎤=⋅=⋅⋅⎢⎥+⎣⎦⎰()222sin πd e 2bb b xx x x βββ+--∞∞⋅=⋅+⎰从而()222sin ππd e 44e b bx x b b xx b βββββ+-∞⋅=⋅=+⎰ (6)22i e d xx x a+-∞∞+⎰，a >0 解：令()221R z z a =+，在上半平面有z =a i 一个一级极点 ()[]i i i 22i e e e πd 2πi Res e ,i 2πi lim 2πi i 2i e x z a zaz a x R z a x a z a a a -+-→∞∞=⋅⋅=⋅=⋅=++⎰ 7. 计算下列积分(1)()20sin 2d 1x x x x ∞++⎰解：令()()211R z z z =+，则R (z )在实轴上有孤立奇点z =0作的原点为圆心r 为半径的上半圆周c r ，使c r ,[-R ,-r ],c r ,[r ,R ]构成封装曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i ,是()()[]{}()z 22i 201e 1eIm d Im 2πi Res ,i lim d 2211r r x izc I x R z z z z x x +-∞∞→⎡⎤==⋅-⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ 而()202e d lim πi 1r iz c r zzz →⋅=-+⎰．设()()2221e 1e πIm 2πi lim πi Im 2πi πi 1e 21222zz i i I z z --→⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⋅+=⋅-+=- ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦． (2)21d 2πi zT a z z⎰，其中T 为直线Re z =c ,c >0,0<a <1解：在直线z =c +i y (-∞<y <+∞)上，令()ln 22ez z aa f z z z==，()ln 22e i c a f c y c y ⋅+=+，()ln 22e i d d c af c y y y c y⋅++--∞∞∞∞+=+⎰⎰收敛，所以积分()i i d c c f z z ∞∞+-⎰是存在的，并且 ()()()i i i i d limd limd c c c c ABR RR Rf z z f z z f z z ++--→+∞→+∞∞∞==⎰⎰⎰其中AB 为复平面从c -i R 到c +i R 的线段．考虑函数f(z)沿长方形-R ≤x ≤c ，-R ≤y ≤R 周界的积分．＜如图＞因为f (z )在其内仅有一个二级极点z =0，而且()[]()()20Res ,0lim ln z f z z f z a →'=⋅=所以由留数定理．()()()()d d d d 2πi ln ABBEEFFAf z z f z z f z z f z z a +++=⋅⎰⎰⎰⎰而()()()()i ln ln ln ln 22222e e e e d d d d 0i x R ax a aC C a RCC R BECR R f z z xx x C R x R R R x R →+⋅⋅-+--∞==⋅+−−−→++⎰⎰⎰⎰≤≤．。

复变函数与积分变换第五章习题解答

c-1r-•
1 (1 2 7) Res[f(z),O] =Iim!!:_[z = ti ,k =土1,土2, ] = o, Res[f(z),k叶= ,�, dz k冗 (zsin z)'L,, zsinz 8) Res[f位）， (k+½
叶
(ch z)' :�(k+ ）汀i
一
shz
=
I k为整数。
证由题知： J(z)=(z-z。)飞(z), <p亿）*o, 则有
一 Ill
-{,, 0
0
k=O k=,;O
l 2 (sinz )"1 z O =2, 知 z=O 是． 2 的二级极点， smz
=
故z。是 J'(z) 的 m-1 级零点。
冗l
f'(z)=m(z-z。)m 凇(z)+(z-z。) 份'(z)=(z-z0 Y,一'[m<p(z)+(z-z。炒'(z)]
六
f'(z) ＝ (fJ(z) + (z- Zo )(fJ'(z) g'(z) lf/(z) + (z-Zo)lf/'(z)
亡,
6. 若叫z) 与 lf/(z) 分别以 z=a 为 m 级与 n 级极点（或零点），那么下列三个函数在 z=a 处各有什 (f)(Z)lf/(Z); (2) (f)(z)llf/(Z);
汗
I
2
5) cos— = L 巨 -11>0 , 知 Res [f(z), l ] = c一 . 2 "' I- z n=O (2n) !(z-1)
1 00
I
(-1) "

复变函数第五章-1

（5.2）
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定在 z 0 的值为1(即C0)，那么在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：

如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有

[数学]工程数学复变函数积分变换场论

吴新民
- 11 -
z ; 2 z 1
3)
1 ; 2 z ( z 1)
第五章留数
第一节
留数
4) e
1 z 1
4) z 1 是函数 e
第五章留数
1 z 1
的本性奇点，利用留数的定义
计算函数的留数，由于 1 1 n z ( 1) e z 1 n ! n 0 1 1 1 0 | z 1 | 2 z 1 2( z 1) 所以
第五章留数
所以
1 d m 1 c 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] ( m 1)! z z0 dz
即 (5.2.6) 成立，特别 m 1 时，就是 (5.1.5) 式。
吴新民
-8-
第一节
留数
Q( z ) , 其中 P ( z ), Q( z ) 在 z0 处解规则III 设 f ( z ) P(z) 析，且 P ( z0 ) 0, P ( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, 则 Q ( z0 ) (5.1.7) Res[ f ( z ), z0 ] P ( z 0 )
Res[ f ( z ), z0 ] c1 1 从而有 Res[ f ( z ), z0 ] f ( z )dz 2 i C (5.1.2) (5.1.3)
内的洛朗级数中的
第五章留数
( z z0 )1 的系数 c1 为函数 f ( z ) 在点 z0 处的留数，
其中 C 为 0 | z z0 | 内的环绕 z0 正向简单闭曲线。
- 17 -
第五章留数
吴新民
第一节
留数
1 1 cos z Res[ ,0] 因此 6! z7 1 cos z dz , 我们又可用高阶导数公式在计算积分 7 z | z | 1 1 cos z 2 i (6) dz (1 cos z ) 7 z 0 6! z | z | 1 2 i 2 i cos z z 0 6! 6!

复变函数与积分变换教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。

同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。

另外，通过教学使学生了解复变函数与积分变换的一些基本知识，逐步培养利用这些知识解决实际问题的能力。

第一，通过课程学习，提高学生的计算能力，主要是提高学生求解析函数、复积分、留数的计算能力。

第二，通过课程学习，提高学生的自学能力，主要是提高学生自主学习的能力。

第三，通过课程学习，提高学生的分析问题与解决问题的能力，主要是提高学生能利用所学的复变函数与积分变换知识去分析和解决一些实际问题的能力。

三、教学学时分配《复变函数与积分变换》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章复数与复变函数（7学时）（一）教学要求1．理解复数的概念，掌握复数的表示方法；2．掌握复数的四则运算、乘方与开方运算；3．了解复平面上点集的基本概念，理解区域的概念，了解无穷远点的概念；4．掌握复变函数的概念，了解复变函数极限与连续性。

（二）教学重点与难点教学重点：复数的表示方法,复数的四则运算、乘方与开方运算，区域，复变函数的概念。

教学难点：复数的乘方与开方运算，区域，复变函数的极限与连续性。

（三）教学内容第一节复数1．复数的概念2．共轭复数及复数的四则运算第二节复平面及复数的三角表达式1．复平面2．复数的模、辐角及三角表达式3．复数模的三角不等式4．利用复数的三角表达式作乘除法5．复数的乘方和开方第三节平面点集1．邻域与开集2．区域、简单曲线3．单连通区域与多连通区域4．无穷远点第四节复变函数1．复变函数的概念2．复变函数的极限和连续性本章习题要点：1．复数的模和辐角；2．复数的三角表达式；3．利用复数的三角表达式作乘除法、乘方和开方运算。

第五章留数及其应用

f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n
n0
n1
解析部分
主要部分
(1)主部消失即只有 Cn (z z0 )n，则称z0为函数f (z)的可去奇点 n0
(2)主部仅含有限项(m项), 则称z0为函数f (z)的 m阶极点
(3)主部含有无限多项，则称z0为函数f (z)的本性奇点
z 1是有理函数的3阶极点.
(2)对于z
i, 有
(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z i)
(z
z2 i)(z 1)3
1 (z i)
g2 (z)
(3)对于 i,有
(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z i)
(z
z2 i)(z 1)3
1 (z i)
g3 ( z)
z i都是有理函数的1阶极点.
sin 1
z
除此之外，zn
1
n
(n
1, 2,
)也是它的一个奇点，
当n的绝对值逐渐增大时，1 可任意接近z 0，
n
即在z 0不论怎样小的去心邻域，总有函数f (z)的奇点存在，
所以z 0不是函数f (z)的孤立奇点.
2024/8/3
5
孤立奇点分类：
函数f (z)在孤立奇点z0的邻域0 z z0 内展为洛朗级数为：
1)3
的极点.
解：函数的孤立奇点有：z 1，z i.
lim f (z) , lim f (z) ,
z1
zi
z 1, z i都是函数f (z)的极点.
(1)当z
1时，(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z 1)3
z2 (z2 1)

复变函数(48学时)教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲Functions of Complex Variables and Integral Transform课程代码：03108730 课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：总学分数：3.0总学时数：48 修订年月：2016年01月编写年月：2014年01月执笔：谭立辉、乔守红课程简介(中文)：《复变函数与积分变换》是高等院校理工科学生的一门基础理论课，是《高等数学》的重要后续课程。

主要内容包括：复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，级数，留数，Fourier变换，Laplace变换。

课程简介(英文)：Functions of complex variables is a foundation theory course of science and engineer students in the college and university. The contents include complex numbers and functions of complex variable，analytic functions，complex integrals，series，residues，Fourier transforms and Laplace transforms.一、课程目的《复变函数与积分变换》是高等院校工科类及应用理科类有关专业的一门基础理论课.本课程旨在使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习相关专业课程、以后实际应用及进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础.二、课程教学内容及学时分配（一）教学内容第一章复数与复变函数(4学时)1．掌握复数各种表示方法及其运算(扼要讲述)；2．了解区域的概念；3．理解复变函数概念；4．了解复变函数的极限和连续的概念。

第二章解析函数(6学时)1．理解复变函数的导数及复变函数解析的概念2．掌握复变函数解析的充要条件；3．了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质。

留数在定积分计算上的应用.ppt

)
,
I
2
π
i
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2
(1
p2)
2π 1
p2 p2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算 I
dx ,
0 1 cos 2x
0 1的值.
解：令 2x , d 2dx; x :0 , :0 2
z2 z2
1
dz
1 z4
I |z|1
2
1
2
p
z
z 1
p2
iz
|z|1 2iz2 (1 pz)(z p) dz |z|1 f (z)dz
2
z2 z2
1
1
{
2
1 2 p
z z1 p2
iz
2
z4 1
1
z4 1
1
2iz2 z pz2 p p2z 2iz2 z(1 pz) p(1 pz)
z
| 足够大时)
R(z)d z | R(z) | d s M π R M π 0
CR
CR
R2
R
R
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此
R(x)d x 2 πi
Res[R(z), zk ].
如果R( x)为偶函数,
R(x)d x 1
2.
形如 R(x)d x的积分
当被积函数 R(x)是 x 的有理函
数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)
在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案

复变函数与积分变换第五章留数测验题与答案、选择题:1.函数V" “亠在z _ i = 2内的奇点个数为() 2z —3的()(A ) (C )X 21 — e3 .设Z= 0为函数一4一的m 级极点，那么m =() Z SinZ14 ? Z =1 是函数(Z-I)Sin 的( z —15 ? Z= '■:是函数33 2z Z的(7?设z = a 为解析函数f(z)的m 级零点，那么&在下列函数中，Res[f (z),0] = 0的是(第五章(A)可去奇点 (C ) 一级零点(B ) (D ) 一级极点本性奇点(A)可去奇点 (C ) 二级极点(B ) (D ) 一级极点本性奇点Oo6.设 f (Z)八 an =0nn Z在Z ：：： R 内解析, k 为正整数，那么ReS[Z kf (Z)W ()(A) ak(B ) k!a k(C ) a k -1(D)(k- 1)!a k ^(A) m(B)- m(C )(D) -(m -1)(A )(B ) 2(C ) 3(D) 42 ?设函数 f(z)与g(z)分别以z=a 为本性奇点与 m 级极点，则z = a 为函数 f (z)g(z)可去奇点m 级极点(B )本性奇点 (D )小于m 级的极点(A ) 5(B ) 4(C)3(D ) 2Ref汕(9 .下列命题中，正确的是()极点.若z=0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Res[f(z),0] = 0 右Tf (Z )dZ = 0 ,则f (Z )在C 内无奇点G12.下列命题中，不正确的是(A )若Z 0(" )是f (Z)的可去奇点或解析点，则P(Z)(B )若 P (Z)与 Q(Z)在 Z 0 解析，Z 0 为 Q(Z)的一级零点，则 Re S (Q r Z ),Z0∏ Q (Z 0)1Res[f(z), Z 0]Iim n! Xf Odz(A)f(z)=叮 ZSin Z (B ) f (Z)=Z (C ) sinZ + COSZf(z)=(D)1f(Z)X(A )设 f(z) =(Z-ZO)Jm (Z) , (Z)在 Z o 点解析, m 为自然数，则Z o 为f (Z)的m 级(B )如果无穷远点二是函数f(z)的可去奇点，那么 Res[f(Z),:] = 0(C ) (D)10. Re S [Z 3COS 2i ,:]=( Z(A)-1(B )(C ) 2.i3(D)2. I 311. Res[z 2e 1已1] (A)- 1 I6(B )-5 I 6(C ) (D )Res[f(Z),Z°] = 0P(Z o )(C )若Z o 为 f (Z)的 m 级极点，n - m 为自然数，则 dn[(z-z °)n1 f(z)](D )如果无穷远点：：为f (Z)的一级极点，则Z = O 为 Re s[f(z),*I Z mZf(I) Res[ f (z),Zk]=2 13.设函数 f(z)=exp{z 丐},则 Res[f(z),0] = Z1f ()的一级极点，并且 Z13 .设n 1为正整数，则：：nZ 2Z一11dz =((A) 0(B) 2 二i(C )2i(D )2n i14积分「10ZZ 9(A ) 0z4 (B ) 2 \(C ) 10(D )2115?积分■- Z Sin dz =(Z IZl 吕(A ) 0 (B) (C)--(D)二、填空题331 .设z=0为函数Z -Sin Z 的m 级零点，那么 m =2 .函数f (Z) =在其孤立奇点Zk= —-1 COS-Z (k = 0,-1,-2, ....... )处的留数4 .设z=a 为函数f (Z)的m 级极点，那么 ReSr f (Z), a]= f(Z)5.双曲正切函数tanhZ 在其孤立奇点处的留数为__________________________ .2Z6?设 f(Z) 2 ,则 ReSrf(Z)J= _______________________ .1 +Z 1-cosZ7?设 f(Z)5 ,贝U ReSrf(Z),0］二 _______________________Z1 3 一8 .积分匚Ze Z dZ= _________________________ZlT19 .积分dZ = ____________________IZd SinZ三、计算积分1(?発严.六、禾U 用留数计算下列积分:七、设a 为f (Z)的孤立奇点， m 为正整数，试证a 为f (z)的m 级极点的充要条件是Iim(Z -a)m f (z) =b ,其中 b = 0为有限数.Z r a八、设a 为f (z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Res[f(z),a] = Res[f (z),-a]；10 .积分I- iXXe 2 dx =二 1 X 2四、利用留数计算积分πdθ)a 2Sin 2寸(a 0)五、利用留数计算积分X 2 - X 2 410X 29dXXSin X cos2 Xdx2.COS(X-1) 2 dx ^O X +1若 f(z)是偶函数，则 Res[f(z),a]= -Res[f(z)^a].十、若函数①(Z)在Z 兰1上解析，当Z 为实数时，①(Z)取实数而且①(0) = 0, f(x,y)表示九、设f (z)以a 为简单极点，且在a 处的留数为 A ,证明Iim ——T I + f (z)f (z)G(X iy)的虚部，试证明2二 tsin V)1 - 2tcos J t 2f (COSV ,sin^ )d J -二：(t) (一1 t 1)答案。

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