复变函数与积分变换第5章留数

若点
a 为函数
f
z


z hz
点 a 0,ha 0,
的一级极
( z 与hz 均在点a 解析,且
),则
Re
s
f
,
a


a ha
ha 0
方法五:若点 a 为函数 f z 的m 级极点,则
Re s
f
,a

m
1
1!lzima
利用留数定理,来计算这些类型的定积分,只需 计算这些解析函数在孤立奇点处的留数;这样 一来就把问题大大简化了.
5.3.1 积分类型
Ⅰ：Px
Qx
dx
这里的Px 与Qx 分别为x 的n 次和m 次多
项式，且有m n 2 P；x Q与x 无公因式；
Qx 在实轴上无零点。
d m1 dz m1
z

am
f
z
例1计算积分
c
ze z dz,C z2 1
为正向圆周:
z
2
解:
Re
s
f
z ,1

lim z
z 1
1
ze z z2 1
lim ze z z1 z 1
e, 2
同理
Re s f z,1 lim z 1 ze z

z
sin z6
z
,0

6
1
1!
lim
z0
d5 dz 5

z
6
z sin z z 6
1 lim z sin z 5
5! z0
1 lim cos z
5! z0
1. 5!
5.1.3 关于无穷远点的留数
设 z 为函数f z 的孤立奇点C, 为圆周
Re
s
f
,
a

1
2i

C
f
z dz
方法二: Re s f , a C1
其中 C1 为函数f z 在点z a 的去心邻域内
所
1
za
展成的罗朗级数a 中 的f 系z数.

方法三:若R点e s
f
为,a函 数lim za
z

a的 f 一z级极点,则
方法四:
z ,若f z 在R z
内解R析
(的留数R21ei,sC)f,f则,z 称dz
f z 为函z 数
Re s
在点
记作
Re
s

f
,


或1 2i

C
f

z
dz
.即
C
C
其中 表示积分是沿围线 的负方向进行.
无穷远点处留数的计算
方法一:利用定义式子,即
解法
Px
Qx
dx

2i
n j 1
Re
s
QPzz,
z
j

其中 z j , j 1,2,, n 平面的全部奇点
为
f
z


Pz Qz
在上半
5.3.2 积分类型
Ⅱ：Px Qx
eikxdx
这里的 Px 与Qx 分别为 x的n 次和m 次多项
Re
s
f
,


1
2i

C
f
z
dz
方法二:
Re s f , C1
方法三:
Re
s
f
,




Re
s

f

1 z


1 z2
,0
5.2 留数定理
第5章 留数及其应用
定理5.1(留数定理) 设函数f z 在区域D 内除
有限个孤立奇点 z1, z2 ,, zk 处处解析C. 是 D 内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线,则
周: z a ,若f z 在 0 z a 解
析,则称
1
2i

C
f
z dz
为 f z 在点 a 的留数,记作 Re s f ,a
或 Re sa ,即
Re s
f
,a

1
2i

C
f
z dz
5.1.2 关于留数的计算
方法一:利用定义式子计算,即
Pz Qz

eikz
在上半
由前式可导出以下两个公式
式，且有 m n 1 ；Px 与 Qx 无公因式；Qx
在实轴上无零点， k 0 。
解法
Px
Qx
eikxdx

2i
n j 1
Re
s
Pz Qz
eikz
,
z
j

其中 z j , j 1,2,, n 平面的全部奇点
为
f

z


e, 2
因此
Re s f z,1
ze z z2 1
z 1
ze z 2z z 1
e1 . 2
c
ze z dz z2 1

2iຫໍສະໝຸດ Baidu
e 2

e 1 2


2ich1
例3求
f
z

z
sin z6
z
在
z0
处的留数.
解:
Re
s
5.3 留数在计算某些定积分上的应用
第5章 留数及其应用
复变函数是一门工程数学，在工程技术上有 许多应用,复变函数在稳定平面流场和静电场 以及在工程技术上都有许多用,由于涉及到许 多专业知识,因此我们在此只简述一点留数在 定积分计算上的应用.
在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分 的值,而这些定积分中,被积函数的原函数不能 用初等函数的有限形式表示出来;有时即便可 求出原函数,计算也往往比较复杂.
第5章 留数
本章学习目标 1、了解孤立奇点的概念; 2、会求可去奇点, 本性奇点; 3、熟练掌握极点的求法; 4、会求留数; 5、熟练掌握留数定理; 6、会用留数定理计算积分; 7、了解留数的一些应用。
5.1 留数的概念与计算
第5章 留数及其应用
5.1.1 关于有限点的留数的概念
设 a 为函数f z 的孤立奇点,C 为圆
n
c f zdz 2i Re s f z, zk k 1
定理5.2 若函数f z 在扩充复平面上除有限
个奇点 a1, a2,, an , 外是解析的，则f z 在点 a1, a2,, an , 处的留数之和为零，即
n
Re s f , Re s f ,a j 0 j 1
z 1
z2 1
lim ze z z1 z 1
e 1 , 2
因此
c
ze z dz
z2 1

2i
e 2

e 1 2


2ich1
例2 我们也可用另外的方法来求留数:
Re s f z,1
ze z
z 2 1
z
1
ze z 2z z 1