同济大学 理论力学 孙杰 第九章 动量定理
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（1）已知运动 求力
aP
（2）已知力 求运动
a
F
W
F1 F2
地球
第九章 质心运动定理 动量定理
§9-1 质点运动微分方程
一m ma m 、aa m 矢 m a 量m m d d式vm m d d ddtv a vtd dt m v mtm d md2 m dd dd r2 ddvtt2 md d tr2 2 tr2a2 r2 F tmF dmFdF t 2r2ddvt
1. a1> gtan a2<0，物块相对上升 2. a1< gtan a2>0，物块相对下降 3. a1= gtan a2=0，物块相对不动
Py
A FN
ae=a1
x
ar=a2
§9-2 质点系的质心 质心运动定理
mi
质心 坐标公式： rC
xC
重mmi心xi 坐标yC
mrCi yi
m
Σmiri
求解动力学问题的步骤：
1、取研究对象 画受力图 2、确定坐标系 3、建立相应微分方程 4、求解
受力分析 运动分析
例1 一人在高为h的悬崖边以v0 的速度平抛一块石子， 当空气阻力F = - kmv 时。试求：石子的运动方程。
解： 建立微分方程：
m x Fxkm x
y
m y F ym g ky m mg
maC
Fie
Fii
Fii 0
Fie 质心运动定理 质心运动大与质内点力无关
质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质质点点系系上上的的外外力力之和
md2xC dt2
Fiex FRx
md2yc
dt2
Fiey FRy
md2zc dt2
Fiez FRz
实例
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学问题时，应将其视为刚体 系或质点系。
力学模型：与研究对象的大小无关 与问题的性质有关
4、动力学主要研究 两类基本问题
牛m 顿a 三 定m 理d dv 其t中m : d d m 2r 2 a tF m d d 质v 点t 动m 力d d 学2基r 2 t本方F 程
x Fx
m
x dx 1 t
x0
F x
m
dt
t0
x dxdxdx dt dx dt
（4）力是时间的函数
F
Ft
例如：周期力
'' x'' mx Fx t
x Fxt x dxdxdx
m
dt dx dt
xdx 1
x0
m
t t0
Fx
t
dt
x x0 t
说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应。
第三篇 动力学
静力学 是研究物体的平衡问题，没有考 虑物体在不平衡力系作用下将如何运动；
运动学 只研究物体运动的几何性质，不 考虑力的作用。
动力学 所要研究的问题，正是静力学、 运动学未考虑的问题。
1、动力学任务 研究作用于物体的力与物体运动状态变化
之间的关系，即 建立力和运动之间的关系。
2、学习动力学的目的
xx00
mm
tx
dtF
0x0
xxdx
x0
Fx m
t
（2）力是位置的函数
F
Fr
例如：弹簧力
'' x'' mx Fx
x Fx
m
x dxdxdxxdx（分离变量法） dt dx dt dx
xxdx 1 x Fxdx
x0
m x0
x2
x02
2 m
x
（3）力是速度的函数
F
Fv
例如：空气阻力
'' x'' mx Fx
P33 习题：1、2
例2 三角楔块放在光滑的地面上。现在楔块上放一块光滑物
块，以相对楔块的加速度a2滑下。求：楔块的加速度a1值。
解：
x：mA(a1cos +a2)= mAgsin
y’
A a2
y ：ma1A=a1(sgisnin =FaN2-)/mcoAsgcos
B x’ a1
讨论： a2 = gsin a1cos
(1) 解决实际工程问题
(2) 为后续课程奠定基础
3、动力学的基本模型
(1) 质点：
具有一定质量的几何点，其几何形状
和尺寸大小忽略不计。
(2) 质点系： 有限或无限质点组成的相互间有一定 联系的系统。
(3) 刚体： 质点间距离保持不变的质点系。
(4) 刚体系： 有限刚体组成的相互间有一定联系的系统。
四、两类问题
第三类问题
1、已知运动 求力（微分问题 第一类问题） （综合问题）
已知
rrt vvt
aat
求
F
是一个微分过程
2、已知力 求运动（积分问题 第二类问题） 已知 初始条件
（1）力是常力
F 常矢量
例如：重力
'' x''
mx Fx
x F x m
dx Fx dt m
xx0xddxxF1x
二、直角坐标式
m F
x
d 2zr dt 2
m
r F
F
a
百度文库
F = Fx + Fy
y
+
Fz
d d amv mdm td mvtadd三τm anvt、m d mmd m 自dm md2 mm ddddtr 2 2 a 然 tvm td22vtsdaρ2mx2nτ2 a轴2sata τamFnn F 系m Fm m FmxdF dm n式ddvaddd mtd ρ2vn质2tm2sdv d vtv点ρdd2vtt2 m Fdm t2m F动dm2ynvm vm m dρtdaFx力2bab2dndni2d stτd F学a2平20s tm yF2基0r 2 d n衡 m F tdmvb本aF m F t 方dydbdFd方b程t2F jv0bta 2z程Am _d0F dFvddbt=zzm22bF stkaddb=t2n2xSFF 轨aiddxx+v迹miitF+xF已ddaFMt2知dy2yyadjjvjt+x+mFaFiyBdzd+zkkt22zddkvtyF
v0
mg
Fx
y F y
x kx
dx kdt x
lnx|xx 0 kt
x x
v0 e kt v0 (1 e
dxv0 k
kt )
ekdt (k)t
k
x
x
y ky g
kdy k t ky g
lnky( g)|0y kt
ky g gekt dyg(ekt 1)dt
k
y h g t g (1 ekt ) k k2
m
Wi zC
ri Wmi zi m
x
求导：
m d rCd( dtdt
m ir i)
m id d ri t
ri
z
mvC
C
rC
y
mivi
再求导： md2rC d2t
mi dd2r2 ti
质点
mi
mddt2ar2iC
Fie
mFFiieai Ci
质点系
md2r C d2t
aP
（2）已知力 求运动
a
F
W
F1 F2
地球
第九章 质心运动定理 动量定理
§9-1 质点运动微分方程
一m ma m 、aa m 矢 m a 量m m d d式vm m d d ddtv a vtd dt m v mtm d md2 m dd dd r2 ddvtt2 md d tr2 2 tr2a2 r2 F tmF dmFdF t 2r2ddvt
1. a1> gtan a2<0，物块相对上升 2. a1< gtan a2>0，物块相对下降 3. a1= gtan a2=0，物块相对不动
Py
A FN
ae=a1
x
ar=a2
§9-2 质点系的质心 质心运动定理
mi
质心 坐标公式： rC
xC
重mmi心xi 坐标yC
mrCi yi
m
Σmiri
求解动力学问题的步骤：
1、取研究对象 画受力图 2、确定坐标系 3、建立相应微分方程 4、求解
受力分析 运动分析
例1 一人在高为h的悬崖边以v0 的速度平抛一块石子， 当空气阻力F = - kmv 时。试求：石子的运动方程。
解： 建立微分方程：
m x Fxkm x
y
m y F ym g ky m mg
maC
Fie
Fii
Fii 0
Fie 质心运动定理 质心运动大与质内点力无关
质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质质点点系系上上的的外外力力之和
md2xC dt2
Fiex FRx
md2yc
dt2
Fiey FRy
md2zc dt2
Fiez FRz
实例
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学问题时，应将其视为刚体 系或质点系。
力学模型：与研究对象的大小无关 与问题的性质有关
4、动力学主要研究 两类基本问题
牛m 顿a 三 定m 理d dv 其t中m : d d m 2r 2 a tF m d d 质v 点t 动m 力d d 学2基r 2 t本方F 程
x Fx
m
x dx 1 t
x0
F x
m
dt
t0
x dxdxdx dt dx dt
（4）力是时间的函数
F
Ft
例如：周期力
'' x'' mx Fx t
x Fxt x dxdxdx
m
dt dx dt
xdx 1
x0
m
t t0
Fx
t
dt
x x0 t
说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应。
第三篇 动力学
静力学 是研究物体的平衡问题，没有考 虑物体在不平衡力系作用下将如何运动；
运动学 只研究物体运动的几何性质，不 考虑力的作用。
动力学 所要研究的问题，正是静力学、 运动学未考虑的问题。
1、动力学任务 研究作用于物体的力与物体运动状态变化
之间的关系，即 建立力和运动之间的关系。
2、学习动力学的目的
xx00
mm
tx
dtF
0x0
xxdx
x0
Fx m
t
（2）力是位置的函数
F
Fr
例如：弹簧力
'' x'' mx Fx
x Fx
m
x dxdxdxxdx（分离变量法） dt dx dt dx
xxdx 1 x Fxdx
x0
m x0
x2
x02
2 m
x
（3）力是速度的函数
F
Fv
例如：空气阻力
'' x'' mx Fx
P33 习题：1、2
例2 三角楔块放在光滑的地面上。现在楔块上放一块光滑物
块，以相对楔块的加速度a2滑下。求：楔块的加速度a1值。
解：
x：mA(a1cos +a2)= mAgsin
y’
A a2
y ：ma1A=a1(sgisnin =FaN2-)/mcoAsgcos
B x’ a1
讨论： a2 = gsin a1cos
(1) 解决实际工程问题
(2) 为后续课程奠定基础
3、动力学的基本模型
(1) 质点：
具有一定质量的几何点，其几何形状
和尺寸大小忽略不计。
(2) 质点系： 有限或无限质点组成的相互间有一定 联系的系统。
(3) 刚体： 质点间距离保持不变的质点系。
(4) 刚体系： 有限刚体组成的相互间有一定联系的系统。
四、两类问题
第三类问题
1、已知运动 求力（微分问题 第一类问题） （综合问题）
已知
rrt vvt
aat
求
F
是一个微分过程
2、已知力 求运动（积分问题 第二类问题） 已知 初始条件
（1）力是常力
F 常矢量
例如：重力
'' x''
mx Fx
x F x m
dx Fx dt m
xx0xddxxF1x
二、直角坐标式
m F
x
d 2zr dt 2
m
r F
F
a
百度文库
F = Fx + Fy
y
+
Fz
d d amv mdm td mvtadd三τm anvt、m d mmd m 自dm md2 mm ddddtr 2 2 a 然 tvm td22vtsdaρ2mx2nτ2 a轴2sata τamFnn F 系m Fm m FmxdF dm n式ddvaddd mtd ρ2vn质2tm2sdv d vtv点ρdd2vtt2 m Fdm t2m F动dm2ynvm vm m dρtdaFx力2bab2dndni2d stτd F学a2平20s tm yF2基0r 2 d n衡 m F tdmvb本aF m F t 方dydbdFd方b程t2F jv0bta 2z程Am _d0F dFvddbt=zzm22bF stkaddb=t2n2xSFF 轨aiddxx+v迹miitF+xF已ddaFMt2知dy2yyadjjvjt+x+mFaFiyBdzd+zkkt22zddkvtyF
v0
mg
Fx
y F y
x kx
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lnx|xx 0 kt
x x
v0 e kt v0 (1 e
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x
x
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x
求导：
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再求导： md2rC d2t
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质点
mi
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质点系
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