实验48 光学信号的空间频谱与空间滤波

实验48 光学信号的空间频谱与空间滤波

一个光信号与它的频谱是同一事物在两个空间的表现，光信号分布于坐标空间),(y x ,而它的频谱存在于频率空间),(y x f f 。由信号到频谱可以通过透镜(欲获得准确的变换，当然不是一般的透镜所能凑效的)来实现。阿贝成像理论以及阿贝—波特实验告诉人类：可以通过对信号的频谱进行处理(滤波)来达到对信号本身作相应处理的目的。这正是现代光学信息处理最基本的思想和内容。

阿贝—波特实验告诉我们，人类已迈进了光学信息处理的大门。 【实验目的】

1．了解信号与频谱的关系以及透镜的傅立叶变换功能。

2．掌握现代成像原理和空间滤波的基本原理，理解成像过程中“分频”和“合成”的作用。

3．掌握光学滤波技术，观察各种光学滤波器产生的滤波效果，加深对光学信息处理基本思想的认识。 【实验原理】

1． 光学信号的傅立叶频谱

一个光学信号),(y x g 往往是空间变量y x ,的二维函数，其傅立叶变换被定义为

⎰⎰+∞

∞

-∙+∙-=

dxdy e

y x g f f G y f x f j y x y x )

(2),(),(π= )},({y x g FT

(48-1)

符号FT 表示傅立叶变换。),(y x f f G 本身也是两个自变量y x f f ,的函数。y x f f ,分别是与y x ,方向对应的空间频率变量。),(y x f f G 被称为光信号),(y x g 的傅立叶频谱，亦称空间频谱。一般地说，),(y x g 是非周期函数，),(y x f f G 应该是y x f f ,的连续函数。式(48-1)的逆运算被称为逆傅立叶变换，即

⎰⎰+∞

∞

-∙+∙=

y x y f x f j y x df df e

f f G y x

g y x )

(2),(),(π

(48-2)

上式可以理解为，一个复杂光学信号可以看作是由无穷多列平面波的干涉叠加组成，每列平面波的权重就是),(y x f f G 。

应该指出，式(48-1)、(48-2)所代表的傅立叶变换运算是通过透镜来完成的。换句话说，透镜(正透镜)除了具备我们已熟悉的成像功能外，还有一个功能就是能完成傅立叶变换，这是现代光学赋予它的新的任务。如图48-1所示的是一个光学信息处理中最基本的光路f 4系统光路。图中c 为扩束镜；0L 为准直镜；21,L L 为两个傅立叶变换透镜；1P 为输入平面(物面)；

2P 为傅立叶变换平面(或频谱平面，频率平面)；3P 为输出平面(像面)；D

为小孔屏(可不用)。当我们把光信号

),(11y x g 置于1P 平面。在2P 平面就能得到它的频谱),(y x f f G 。频率变量y x f f ,与坐标22,y x 的关系为

⎩⎨

⎧==f y f f

x f y

x λλ22 (48-3) 式中λ为单色准直光波长，f 为傅立叶透镜1L 的焦距。空间频率变量y x f f ,的单位为

mm lines 或mm 1。当测得频谱面2P 上一点在22,y x 方向的值，利用式(48-3)就可以获得相

应的频率值。

2． 周期结构物的频谱以及基频的测量

光学实验中有很大一类实际元器件具有周期结构，例如一片光栅，一个网格物体都属这一类。这类物体可用周期函数来表述。数学级数理论告诉我们，一个周期函数只要满足狄里赫利条件，就可以把它展成级数来表示，为简单起见，我们采用一维周期函数

∑∞

-∞

==

m x mf j m

e c

x g 02)(π (48-4)

式中m 为级次数，0f 为周期函数的空间基频率，空间基频为空间周期d 的倒数，即d f 10=。周期函数)(x g 的空间频谱为

∑⎰⎰∑∞

-∞=∞

∞

---∞

∞--∞-∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m x mf f j m x

f j m x mf j m x dx e c dx e

e c

f G x x )(22200)(πππ 由复指数函数的正交性。

⎰∞

∞

----=)(0)(20mf f dx e

x x

mf f j x δπ

上式中)(0mf f x -δ称为δ函数，于是

∑∞

-∞

=-=

m x m

x mf f c

f G )()(0δ (48-5)

由δ函数的性质可知，当00=-mf f x 时，)(0mf f x -δ取值才不为零；可知当00≠-mf f x 时，δ函数衰减为零。从式(48-5)我们看到，一个周期性结构物体的傅立叶频谱，由一个加权了的δ函数列组成，亦即一个周期性结构物体具有离散谱(亦称分立谱、线状谱)。这和非周期函数具有连续谱不同。利用上述性质我们可以由2P 平面上测得的1±级频谱分量与零频谱之间的距离2x ，代入式(48-3)求得这个周期性物在2x 方向上的基频。

3. 阿贝成像理论

如图48-2所示，阿贝成像原理认为：透镜成像过程可分为两步，第一步是通过物的衍射光在系统的频谱面上形成空间频谱(夫琅和费衍射图样)，这是衍射所引起的“分频”作用；第二步是代表不同空间频率的各光束在像平面上相干叠加而形成物体的像，这是干涉所引起的“合成”作用。这两步从本质上讲对应着两次傅立叶变换。如果这两次傅

立叶变换完全理想，即信息没有任何损失，则像和物完全一样。这也是人们常说的“两次衍射成像理论”。

现以一维光栅作为物，插入图48-1所示的f 4系统中的1P 处，单色平行光垂直照射其上，产生衍射光，这是一组沿不同角度传播的平面波。它们向透镜1L 投射去，1L 将它们变换成会聚球面波，并在频率平面2P 上形成夫琅和费衍射图样，一组光点阵列，每一个光点代表了一个傅立叶分量，这是第一次夫琅和费衍射实现的分频。光通过2P 平面后立刻成为发散球面波，若P 2至P 3间的距离足够长，光束能够自动完成又一次夫琅和费衍射，各个光束在像平面实现干涉叠加形成输出像。但图48-1的第二次变换不是由长距离来完成夫琅和费衍射的，而是通过透镜2L 来实现的，这些由2P 平面上各光点发射的发散球面波被2L 变换成不同角度传播的平面波在输出平面3P 处实现干涉叠加,形成输出像。

4. 光学信号的空间滤波

如前所述，光学信号经傅立叶变换透镜变换在频谱面上形成信号的频谱(信号的夫琅和费衍射图样)。如果在频谱面上设置各种空间滤波器，挡去频谱中某一些空间频率成分，或改变某些分量的位相，则将明显地影响图像，这就是空间滤波。光学信息处理的实质就是设法在频谱面上滤去无用信息分量或改变某些分量而保留有用分量，从而在输出面上获得所需要的图像信息。

总之，空间滤波是光学信号处理的一种重要技术，它是通过对物频谱的改造处理来达到对信号(物分布)作相应改造处理，这也正是相干光信息处理的基本思想与内容。 【实验仪器】

OIP 光学信号处理系统；He-Ne 激光器(或半导体激光器)；测微目镜(或横卧显微镜)，游标卡尺。 【实验内容】

1. 打开激光器，将小孔屏插入固定滑座，小孔屏高度适中。让激光通过小孔，当滑座在整个导轨上移动，激光束都通过了小孔，说明对激光器的调节已完成了否则还应调节激光器。

2. 图48-1排布光路，顺序是傅立叶透镜1L 、2L ，准直镜0L ，使它们等高共轴后再加入扩束镜C 。

3. 在1L 的前焦面1P 上放物(网格物，或低频正交光栅)，在1L 的后焦平面(2P 平面)处放置白屏，其上呈现出网格的傅立叶频谱，改变物面与1L 的距离，观察频谱大小有无变化(注意观察并和后面提到的光路进行比较)，再将网格物放置在1L 的前焦面上。

4. 用游标卡尺测量2x 及2y 方向1±级光斑的距离22x 和22y ，它们的一半代入式(48-3)，求物信号在2x 及2y 方向的基频。

5. 取下2P 处的白屏换成滤波器，3P 放置测微目镜(或横卧显微镜)，微调测微目镜使图像最佳，变换不同滤波器，观察系统的输出，完成表48-1。

6. 将光路改为图48-4所示的单透镜光路，再做一次实验，注意： (1) 改变物和傅立叶透镜间的距离频谱面位置是否发生了变化；

(2) 改变物和傅立叶透镜的距离，观察频谱面上输入物的夫琅和费衍射图样的大小有无变化。

图48-4 单透镜系统光路